cung và góc lượng giác

Đơn vị đo góc và cung tròn, độ dài cung tròn a Đơn vị rađian: Cung tròn có độ dài bằng bán kính gọi là cung có số đo 1 rađian, gọi tắt là cung 1 rađian.. a Đường tròn định hướng: Đường

Trang 1

LƯỢNG GIÁC

CHUYÊN ĐỀ 1 CUNG VÀ GÓC LƯỢNG GIÁC

§1: GÓC VÀ CUNG LƯỢNG GIÁC

A TÓM TẮT LÝ THUYẾT.

1 Đơn vị đo góc và cung tròn, độ dài cung tròn

a) Đơn vị rađian: Cung tròn có độ dài bằng bán kính gọi là cung có số đo 1 rađian, gọi tắt là cung 1

rađian Góc ở tâm chắn cung 1 rađian gọi là góc có số đo 1 rađian, gọi tắt là góc 1 rađian

1 rađian còn viết tắt là 1 rad

Vì tính thông dụng của đơn vị rađian người ta thường không viết rađian hay rad sau số đo của cung và góc

b) Độ dài cung tròn Quan hệ giữa độ và rađian:

Cung tròn bán kính R có số đo a(0£ a £ 2p) , có số đo a0 (0£ a £ 360) và có độ dài là l thì:

180

a

l =R a = p R do đó

180

a a

p =

Đặc biệt:

0 0 180

180

p

æ ö÷ ç

=ççè ÷÷ø = .

2 Góc và cung lượng giác.

a) Đường tròn định hướng: Đường tròn định hướng là một đường tròn trên đó ta đã chọn một chiều

chuyển động gọi là chiều dương, chiều ngược lại gọi là chiều âm Ta quy ước chọn chiều ngược với chiều quay của kim đồng hồ gọi là chiều dương(cùng chiều kim đồng hồ là chiều âm)

b) Khái niệm góc, cung lượng giác và số đo của chúng.

Cho đường tròn định hướng tâm O và hai tia Ou Ov lần lượt cắt đường,

tròn tại U và V Tia Om cắt đường tròn tại M , tia Om chuyển động

theo một chiều(âm hoặc dương) quay quanh O khi đó điểm M cũng

chuyển động theo một chiều trên đường tròn

• Tia Om chuyển động theo một chiều từ Ou đến trùng với tia

Ov thì ta nói tia Om đã quét được một góc lượng giác tia đầu

là Ou , tia cuối là Ov Kí hiệu ( Ou Ov, )

• Điểm M chuyển động theo một từ điểm U đến trùng với điểm

V thì ta nói điểm M đã vạch nên một cung lượng giác điểm

đầu U , điểm cuối V Kí hiệu là UVþ

• Tia Om quay đúng một vòng theo chiều dương thì ta nói tia Om quay góc 360 (hay 2p), quay 0 hai vòng thì ta nói nó quay góc 2.3600 =7200 (hay 4p ), quay theo chiều âm một phần tư vòng

ta nói nó quay góc - 900(hay

2

p

- ), quay theo chiều âm ba vòng bốn phần bảy(25

7 vòng) thì nói

nó quay góc 25 0

.360 7

7

p

• Ta coi số đo của góc lượng giác (Ou Ov là số đo của cung lượng giác , ) UVþ

c) Hệ thức Sa-lơ.

• Với ba tia Ou Ov Ow tùy ý ta có: , ,

Sđ(Ou Ov + Sđ(, ) Ov Ow = Sđ(, ) Ou Ow, ) +k2p (k Î Z)

Sđ(Ou Ov - Sđ(, ) Ou Ow = Sđ, ) (Ow Ov, ) +k2p(k Î Z)

6

Chương

Trang 2

• Với ba điểm tùy ý , ,U V W trên đường tròn định hướng ta có :

SđUV + Sđþ

þ

VW =Sđ UW kþ + 2p(k Î Z)

SđUV - Sđþ

þ

UW = Sđ WVþ +k2p (k Î Z)

Câu 1: Góc có số đo 108ođổi ra radian là

A.3

5

10

2

4

π

Lời giải Chọn A.

Cách 1: áp dụng công thức đổi độ ra rad .

180

nπ

α =

Cách 2:

3

5

π

tương ứng 108o

10

π tương ứng o

3

2

π tương ứng o

4

π tương ứng o

Câu 2: Biết một số đo của góc ( , ) 3 2001

2

Ox Oy = π + π Giá trị tổng quát của góc (Ox Oy là, )

A ( , ) 3

2

Ox Oy = π +kπ

B (Ox Oy, ) = +π k2π

C ( , )

2

Ox Oy = +π kπ. D ( , ) 2

2

Ox Oy = +π k π .

Câu 3: Góc có số đo

2 5

π đổi sang độ là

Lời giải Chọn C

Áp dụng công thức đổi rad sang độ n α.180

π

Câu 4: Góc có số đo π9đổi sang độ là

A. o

Lời giải Chọn C.

Áp dụng công thức đổi rad sang độ n α.180

π

o o 180

9

n π

π

Câu 5: Cho (Ox Oy, ) =22 30'o +k360o Với k bằng bao nhiêu thì (Ox Oy, ) =1822 30'o ?

Trang 3

A.k∈∅ B.k =3 C.k= −5 D k =5.

Lời giải Chọn D.

(Ox Oy, ) =1822 30 ' 22 30' 5.360o = o + o ⇒ =k 5

Câu 6: Góc có số đo 24π đổi sang độ là

Lời giải Câu 7: Chọn B

áp dụng công thức đổi rad sang độ n α.180

π

o

o o 180

7,5 7 30'

24

n π

π

Câu 8: Góc có số đo 120o đổi sang rađian là góc

A.

10

2

4

3

π

o o

o

120 2

π π

Câu 9: Số đo góc 22 30o ′ đổi sang rađian là:

A.

8

12

6

5

π

o o

o

22 30

π π

′

Câu 10: Đổi số đo góc 105o sang rađian bằng

A.5

12

π

B.7 12

π

C.9

12

π

D.5 8

π

Lời giải Chọn B.

o o

o

105 7 105

180 12

π π

Câu 11: Giá trị k để cung 2 k2

π

α = + π thỏa mãn 10π α< <11π là

π α< < π ⇔ π < + π < π ⇔ < π < ⇔ < < ⇔ =

Câu 12: Cho hình vuông ABCD có tâm O và một trục ( )l đi qua O Xác định số

đo của các góc giữa tia OA với trục( )l , biết trục ( )l đi qua đỉnh Acủa hình vuông

Trang 4

A o o

360

k

Vì trục ( )l đi qua đỉnh A và tâm O của hình vuông nên trục ( )l ≡OA nên số đo

của các góc giữa tia OA với trục( )l bằng 0o+ 360k o =k360o

Câu 13: Một đường tròn có bán kính

10 cm

R

π

= Tìm độ dài của cung

2

π trên đường tròn

A 10cm B 5cm C.202 cm

2 m

20c

Độ dài của cung rad 90o

2

π = trên đường tròn được tính bằng công thức: o

a

R

π

Câu 14: Một đường tròn có bán kínhR=10 cm Độ dài cung 40o trên đường tròn

gần bằng:

Lời giải Chọn A

Độ dài của cung 40o trên đường tròn được tính bằng công thức: o

.40.10 7 cm

a

R

Câu 15: Góc 18o có số đo bằng rađian là

A

18

10

360

π . D π

Ta có: 1o rad 18o 18 rad rad

Câu 16: Góc 18π có số đo bằng độ là:

A o

Ta có:

o

Câu 17: Một đường tròn có bán kính20cm Tìm độ dài của cung trên đường tròn

đó có số đo

15

π (tính gần đúng đến hàng phần trăm).

Độ dài của cung rad 12o

15

π = trên đường tròn được tính bằng công thức:

Trang 5

o

.12.20 4,18cm

a

R

Câu 18: Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:

A Số đo của một cung lượng giác luôn là một số không âm.

B Số đo của một cung lượng giác luôn không vượt quá 2π

C Số đo của một cung lượng giác luôn là một số thực thuộc đoạn [0; 2 ]π

D Số đo của một cung lượng giác là một số thực.

Câu 19: Chọn điểm A( )1;0 làm điểm đầu của cung lượng giác trên đường tròn

lượng giác Tìm điểm cuối M của cung lượng giác có số đo 25

4

π .

A M là điểm chính giữa của cung phần tư thứ I

B.M là điểm chính giữa của cung phần tư thứ II

C M là điểm chính giữa của cung phần tư thứ III

D M là điểm chính giữa của cung phần tư thứ IV

Theo giả thiết ta có: 25 6

AM þ = π π= + π

, suy ra điểm M là điểm chính giữa của cung phần tư thứ I

Câu 20: Một đường tròn có bán kính 15 cm Tìm độ dài cung tròn có góc ở tâm

bằng 300 là :

A 5

2

3

5

3

π .

Theo công thức tính độ dài cung tròn ta có

180

a

l=Rα= π R nên

a

l= π R=π = π .

Câu 21: Cho đường tròn có bán kính 6 cm Tìm số đo (rad) của cung có độ dài là

180

a

l=Rα = π R nên

6

l R

α = = =

Câu 22: Góc có số đo

3 16

π

− được đổi sang số đo độ là :

Lời giải

Trang 6

Vì

o

180 1rad

π

 

=  ÷ nên

π

− =−  =−  = − = −

Câu 23: Số đo radian của góc 30olà :

A

6

4

3

16

π .

Vì o

180

π

= nên 30o 30

π π

Câu 24: Số đo độ của góc π4 là :

Theo công thức đổi đơn vị độ sang radial ta có số đo độ của góc

4

π là o

Câu 25: Số đo radian của góc 270olà :

2

4

27

−

Theo công thức đổi đơn vị số đo radian của góc 0

2

π .

Câu 26: Góc 63 48'o bằng (với π =3,1416)

3

Theo công thức đổi đơn vị, ta có số đo cung đã cho có số đo bằng

63 48

° ; radial, với π ; 3,1416

Câu 27: Cung tròn bán kính bằng 8, 43 cm có số đo 3,85rad có độ dài là:

A 2 cm

21

Theo công thức tính độ dài cung ta có độ dài cung có số đo 3,85 rad là

l =Rα= = Làm tròn kết quả thu được ta có đáp án là D

Câu 28: Xét góc lượng giác (OA OM; ) =α , trong đó M là điểm không làm trên các

trục tọa độ Ox và Oy Khi đó M thuộc góc phần tư nào để sinα và cosα

cùng dấu

A I và ( )II B I và ( )III C I và ( )IV D ( )II và ( )III

Dựa theo định nghĩa các giá trị lượng giác trên đường tròn lượng giác

Trang 7

Câu 29: Cho α là góc tù Điều khẳng định nào sau đây đúng?

A.sinα <0 B cosα >0 C tanα <0 D cotα >0

Vì α là góc tù, nên sinα >0, cosα < ⇒0 tanα <0

Câu 30: Cho bốn cung (trên một đường tròn định hướng):

5 6

π

α= − ,

3

π

β = ,

25 3

π

γ = , 19

6

π

δ = Các cung nào có điểm cuối trùng nhau:

A α và β; γ và δ B β và γ ; α và δ C α , β, γ D β,

γ , δ

2

π π

α = − = − π; 25 8

π π

γ = = + π ; 19 7 2

π π

δ = = + π

⇒ β và γ; α và δ là các cặp góc lượng giác có điểm cuối trùng nhau

Câu 31: Cho 2 ( )

3

a= +π k π k∈¢ Để a∈(19; 27) thì giá trị của k là

A.k=2, k=3 B.k =3, k =4 C k =4, k=5 D k=5, k=6

Cách 1:

2

a π

2

5

2

Cách 2:

< + ∈¢ < ⇔k= 3;4{ }

Câu 32: Cho góc lượng giác (OA OB có số đo bằng , )

5

π Hỏi trong các số sau, số nào là số đo của một góc lượng giác có cùng tia đầu, tia cuối với góc lượng giác (OA OB ?, )

A.6

5

π

5

π

5π π π= +5

− = − −

π = π π+

π π= + π

Câu 33: Cung α có mút đầu là

A và mút cuối là

M thì số đo của α là

Trang 8

A.3

π π

π + π D 3

2

Cung α có mút đầu là A và mút cuối là M theo chiều dương có số đo là

5

2

π + π nên loại A,C.

Cung α có mút đầu là A và mút cuối là Mtheo chiều âm có số đo là 3

4

π

−

và chỉ có duy nhất một điểm M trên đường tròn lượng giác nên loại B

Câu 34: Cho hình vuông ABCD có tâm O và trục ( )i đi qua O Xác định số đo

góc giữa tia OA với trục ( )i , biết trục ( )i đi qua trung điểm I của cạnh AB

Lời giải Chọn A

·AOB=90o và OA OB=

Tam giác AOB vuông cân tại O

( )i đi qua trung điểm của AB nên ( )i ⊥AB

( )i

⇒ là đường phân giác của góc ·AOB nên ( )· ( ) o

OA iuuur = .

Câu 35: Một bánh xe có 72 răng Số đo góc mà bánh xe đã quay được khi di

chuyển 10 răng là

A. o

60

Một bánh xe có 72 răng nên 1 răng tương ứng 360o o

5

72 = Khi di chuyển được 10 răng là o o

Câu 36: Tìm khẳng định sai:

x A

y B

A’

B’

M O

Trang 9

A Với ba tia Ou,Ov,Ow, ta có: sđ(Ou Ov, )+sđ(Ov O, w) =sđ(Ou O, w)−2k kπ, ∈¢

B Với ba điểm U V W, , trên đường tròn định hướng:

sđUV þ +sđV W þ =sđU þW+2kπ, k∈¢.

C Với ba tia Ou,Ov,Ox, ta có: sđ(Ou Ov, ) =sđ(Ox Ov, ) −sđ(Ox Ou, )+2k kπ, ∈¢

D Với ba tia Ou,Ov,Ow, ta có: sđ(Ov Ou, )+sđ(Ov O, w) =sđ(Ou O, w)+2k kπ, ∈¢

Sử dụng hệ thức Sa-lơ về số đo của góc lượng giác thì ba khẳng định ở câu

A, B, C đều đúng.

Câu 37: Trên đường tròn lượng giác gốc A cho các cung có số đo:

( )I

4

π .

( )II 7

4

π

− ( )III 13

4

π .

( )IV 5

4

π

− Hỏi các cung nào có điểm cuối trùng nhau?

A Chỉ ( )I và ( )II B Chỉ ( )I , ( )II và ( )III

C Chỉ ( )II , ( )III và ( )IV D Chỉ ( )I , ( )II và ( )IV

π π π

− = − ; 13 5 2

π = π + π ; 5 3

2

Suy ra chỉ có hai cung

4

π và 7

4

π

− có điểm cuối trùng nhau

Câu 38: Trong 20 giây bánh xe của xe gắn máy quay được 60 vòng.Tính độ dài

quãng đường xe gắn máy đã đi được trong vòng 3 phút, biết rằng bán kính bánh xe gắn máy bằng 6,5 cm (lấy π =3,1416)

A 22054 cm B 22063 cm C 22054 mm D 22044 cm

Lời giải

180

a

l=Rα = π R nên

Trong 3 phút bánh xe quay được60.180 540

20 = vòng, bánh xe lăn được:

6,5.540.2 6,5.540.2.3,1416 cm 22054 cm

Câu 39: Trong mặt phẳng định hướng cho tia Ox và hình vuông OABC vẽ theo

chiều ngược với chiều quay của kim đồng hồ, biết sđ (Ox OA, ) =30o+k360 ,o k∈Z Khi đó sđ (OA AC bằng:, )

A 120o+k360 ,o k∈Z B −45o +k360 ,o k∈Z.

C 450+k360 ,0 k∈Z D 90o+k360 ,o k∈Z

Lời giải

Trang 10

Chọn B.

Tia AO quay một góc 45 độ theo chiều âm( cùng chiều kim đồng hồ ) sẻ

trùng tia AC nên góc

sđ (OA AC, ) = −45o+k360 ,o k∈Z

Câu 40: Trong mặt phẳng định hướng cho ba tia Ou Ov Ox, , Xét các hệ thức sau:

( )I sđ(Ou Ov, ) =sđ(Ou Ox, ) +sđ(Ox Ov, ) +k2 ,π k∈Z.

( )II sđ(Ou Ov, ) =sđ(Ox Ov, )+sđ(Ox Ou, )+k2 ,π k∈Z

( )III sđ(Ou Ov, ) =sđ(Ov Ox, ) +sđ(Ox Ou, )+k2 ,π k∈Z

Hệ thức nào là hệ thức Sa- lơ về số đo các góc:

A Chỉ ( )I B Chỉ ( )II C Chỉ ( )III D Chỉ ( )I và ( )III

Hệ thức Sa-lơ: Với ba tia tùy ý Ou Ov Ox, , , ta có

sđ(Ou Ov, ) +sđ(Ov Ox, ) =sđ(Ou Ox +, ) k2 π (k∈¢ )

Câu 41: Góc lượng giác có số đo α (rad) thì mọi góc lượng giác cùng tia đầu và

tia cuối với nó có số đo dạng :

A α+k180o ( k là số nguyên, mỗi góc ứng với một giá trị của k ).

B α+k360o ( k là số nguyên, mỗi góc ứng với một giá trị của k ).

C α+k2π ( k là số nguyên, mỗi góc ứng với một giá trị của k ).

D α+kπ ( k là số nguyên, mỗi góc ứng với một giá trị của k ).

Nếu một góc lượng giác (Ou Ov có số đo , ) α radian thì mọi góc lượng giác

cùng tia đầu Ou , tia cuối Ov có số đo α+2kπ, k∈¢, mỗi góc tương ứng với

một giá trị của k Các cung lượng giác tương ứng trên đường tròn định hướng tâm O cũng có tính chất như vậy Tương tự cho đơn vị độ

Câu 42: Cho hai góc lượng giác có sđ ( , ) 5 2

2

Ox Ou = − π +m π, m∈Z và sđ

2

Ox Ov = − +π n π

, n∈Z Khẳng định nào sau đây đúng?

A Ou và Ov trùng nhau B Ou và Ov đối nhau.

C Ou và Ov vuông góc. D Tạo với nhau một góc

4

π .

Ox Ou = − π +m π = − −π π+m π = − +π m− π m∈Z

Vậy n m= −1 do đó Ou và Ov trùng nhau.

Câu 43: Nếu góc lượng giác có ( , ) 63

2

Ox Oz

sđ = − π thì hai tia Ox và Oz

C Tạo với nhau một góc bằng 3

4

π . D Đối nhau.

Lời giải

Trang 11

Chọn B.

Ox

sđ Oz = − π π= − π π= − π

nên hai tia Ox và Oz vuông góc.

Câu 44: Cho hai góc lượng giác có sđ(Ox Ou, ) =45o+m360 ,o m∈Z và sđ

(Ox Ov, ) = −135o+n360 ,o n∈Z Ta có hai tia Ou và Ov

A Tạo với nhau góc 45o B Trùng nhau.

(Ox Ov, ) = −135o+n360o =225o +n360o =45o+180o+n360o(n∈Z )

Vậy, Ta có hai tia Ou và Ov đối nhau

Câu 45: Sau khoảng thời gian từ 0 giờ đến 3 giờ thì kim giây đồng hồ sẽ quay

được số vòng bằng:

Từ 0 đến 3 giờ kim giờ quay 9 vòng(tính theo chiều ngược kim đồng hồ) Kim phút quay 9.60 540= vòng

Kim giây 540.60 32400= vòng

Câu 46: Góc có số đo 120o được đổi sang số đo rad là :

2

3

π .

π π π

Câu 47: Biết góc lượng giác α có số đo là 137

− thì góc (Ou Ov có số đo dương, ) nhỏ nhất là:

Ta có 137 27, 4

− = − Vậy góc dương nhỏ nhất là 28π−27, 4π =0,6π

Câu 48: Cung nào sau đây có mút trung với B hoặc B′

π

α = − + π

C.a=90o+ k360o D.a=–90o+ k180o

¼ 180o

B B′ = =π

Cung có mút trùng với B hoặc B′ có chu kì π hoặc 180o

Câu 49: Trên đường tròn định hướng gốc A có bao nhiêu điểm M thỏa mãn

6 sin x+cos x+tan x+cot x= , với x là số đo của cung AM ?

Trang 12

A 6 B 4 C 8 D 10

ĐK: sin 2x≠0

6

8

sin 2x

2

Biểu diễn trên vòng tròn lượng giác ta thấy có 8 điểm cuối M thỏa ycbt

Câu 50: Khi biểu diễn trên đường tròn lượng giác các cung lượng giác nào trong

các cung lượng giác có số đo dưới đây có cùng ngọn cung với cung lượng giác có số đo 4200 o

A 130o B 120o C −120o D

8

π

Ta có 4200° = −120° +12.360°nên cung có số đo o

120

− có ngọn cung trùng với ngọn cung có số đo 4200°

Câu 51: Một đồng hồ treo tường, kim giờ dài 10,57 cm và kim phút dài 13,34 cm

.Trong 30 phút mũi kim giờ vạch lên cung tròn có độ dài là:

Trong 30 phút mũi kim giờ chạy trên đường tròn có bán kính 10,57 cm và đi được cung có số đo là

24

π nên độ dài đoạn đường mũi kim giờ đi được là

24

Câu 52: Có bao nhiêu điểm M trên đường tròn định hướng gốc A thoả mãn sđ

k

AM = +π π k∈Z

?

¼ 0,

3

k = AM =π ; ¼ 2

1,

3

k = AM = π ; ¼ 3

2,

3

k= AM = π ; ¼ 4

3,

3

k = AM = π ; ¼ 5

4,

3

k = AM = π ;

¼

k = AM = π; 6,¼ 7

3

k= AM = π .

Câu 53: Trong mặt phẳng định hướng cho tia Ox và hình vuông OABC vẽ theo

chiều ngược với chiều quay của kim đồng hồ, biết sđ (Ox OA, ) =300+k360 ,0 k∈Z Khi đó sđ(Ox BC bằng:, )

A 175o+h360 ,o h∈Z B −210o+h360 ,o h∈Z.

a= b= π < <a π < <b π 

210 +h360 ,h∈Z

Định dạng
Số trang	15
Dung lượng	1,87 MB