BÀI TOÁN VẬN DỤNG CAO HÌNH HỌC OXYZ

Tọa độ của điểm và véc tơ trong không gian  Véc tơ trong không gian  Véc tơ đồng phẳng  Tọa độ của véc tơ  Tích có hướng của hai véc tơ và ứng dụng  Một số kiến thức khác  Bài tập

CHƯƠNG 06

BÀI TOÁN VẬN DỤNG CAO HÌNH HỌC OXYZ

……… Chủ đề 1 Tọa độ của điểm và véc tơ trong không gian

 Véc tơ trong không gian

 Véc tơ đồng phẳng

 Tọa độ của véc tơ

 Tích có hướng của hai véc tơ và ứng dụng

 Một số kiến thức khác

 Bài tập áp dụng – Lời giải chi tiết

Chủ đề 2 Mặt phẳng trong không gian

 Định nghĩa

 Các trường hợp riêng của mặt phẳng

 Vị trí tương đối của hai mặt phẳng

 Góc giữa hai mặt phẳng

 Bài tập áp dụng – Lời giải chi tiết

Chủ đề 3 Đường thẳng trong không gian

 Định nghĩa

 Vị trí tương đối của hai đường thẳng

 Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng

 Khoảng cách

 Góc giữa hai đường thẳng

 Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

 Bài tập áp dụng – Lời giải chi tiết

Chủ đề 4 Mặt cầu

 Định nghĩa mặt cầu

 Vị trí tương đối của mặt phẳng và mặt cầu (S)

 Vị trí tương đối giữa mặt cầu và đường thẳng

 Bài tập áp dụng – Lời giải chi tiết

CHƯƠNG 06

BÀI TOÁN VẬN DỤNG CAO HÌNH HỌC OXYZ

Phương pháp tọa độ trong không gian hay còn gọi ngắn là hình học Oxyz là chuyên đề cuối cùng trong chương trình toán THPT Phần này là một phần được đánh giá là không khó, tuy nhiên việc tính toán lại rất dễ sai và ngoài ra số lượng câu hỏi vận dụng cao cũng không phải là ít Cùng đi ngay vào Chủ đề 1 sau đây:

CHỦ ĐỀ 1.

TỌA ĐỘ CỦA ĐIỂM VÀ VÉCTƠ TRONG KHÔNG GIAN

1 Véc tơ trong không gian

Định nghĩa

Trong không gian, vecto là một đoạn thẳng có định hướng tức là đoạn thẳng có quy định thứ tự của hai đầu

 Chú ý: Các định nghĩa về hai vecto bằng nhau, đối nhau và các phép toán trên các vecto trong không

gian được xác định tương tự như trong mặt phẳng

2 Vecto đồng phẳng

A Định nghĩa: Ba vecto

, ,

a b cr r r khác 0

r

gọi là đồng phẳng khi giá của chúng cùng song song với một

mặt phẳng

 Chú ý:



• n vecto khác 0

r

gọi là đồng phẳng khi giá của chúng cùng song song với một mặt phẳng

• Các giá của các vecto đồng phẳng có thể

là các đường thẳng chéo nhau

B Điều kiện để 3 vecto khác 0

r

đồng phẳng

Định lý 1:

, ,

a b cr r r

đồng phẳng

,

m n

⇔ ∃ ∈R:

: a mb ncr= r+ r

C Phân tích một vecto theo ba vecto không đồng phẳng

 Định lý 2: Cho 3 vecto 1 2 3

, ,

e e eur uur ur

không đồng phẳng Bất kì một vecto a

r

nào trong không gian cũng có thể phân tích theo ba vecto đó, nghĩa la có một bộ ba số thực (x x x1, ,2 3)

duy nhất

1 1 2 2 3 3

a x er= ur+x euur+x eur

 Chú ý: Cho vecto

, ,

a b cr r r khác 0

r

:

, ,

a b cr r r

đồng phẳng nếu có ba số thực

, ,

m n p

không đồng thời bằng 0 sao cho: 0

ma nb pcr+ r+ r=

2.

, ,

a b cr r r

không đồng phẳng nếu từ ma nb pcr+ r+ r= ⇒ = = =0 m n p 0

3. Tọa độ của vecto

Trong không gian xét hệ trục

Ox ,yz

có trục Ox vuông góc với trục

Oy

tại O, và trục Oz vuông góc với mặt phẳng (Oxy)

tại O Các vecto đơn vị trên từng trục

Ox,Oy Oz,

lần lượt là (1;0;0 ,) (0;1;0 ,) (0;0;1 )

1.

( 1; ;2 3) 1 2 3

ar = a a a ⇔ =a a i a j a kr r+ r+ r

2.

( M, M, M) M M M

M x y z ⇔OMuuuur=x i y j z kr+ r+ r

3. Cho A x y z( A, A, A) (,B x y z B, B, B)

ta có:

( B A; B A; B A)

uuur

và

( ) (2 ) (2 )2

B A B A B A

4. M là trung điểm AB thì

B A B A B A

x x y y z z

5. Cho ar =(a a a1; ;2 3)

và br=(b b b1; ;2 3)

ta có:



=





= ⇔  =

 =



r r



( 1 1; 2 2; 3 3)

a br r± = a ±b a ±b a ±b



( 1 2 3)

k ar= ka ka ka



( ) 1 1 2 2 3 3

a br r= a br r a br r =a b +a b +a b



ar = a +a +a



cos cos ;

.

a b a b a b

a b

ϕ= = + +

r r

(với

0, 0

ar r r r≠ b≠

)



ar

và b

r

vuông góc : 1 1 2 2 3 3

⇔ r r= ⇔ + + =

ar

và b

r

cùng phương:

:

=





⇔ ∃ ∈ = ⇔ =

 =



4 Tích có hướng và ứng dụng

Tích có hướng của ar =(a a a1; ;2 3)

và br =(b b b1; ;2 3)

là:

2 3 3 1 1 2

2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1

2 3 3 1 1 2

a b a b a b a b a b a b a b

b b b b b b

r r

1. Tính chất:



 ⊥  ⊥

   



( )

  =

 



ar

và b

r

cùng phương:

a b

  =

 



, ,

a b c

r r r

đồng phẳng

a b c

 

⇔r r r =

2. Các ứng dụng tích có hướng

 Diện tích tam giác:

1 , 2

ABC

S =  AB AC 

uuur uuur

 Thể tích tứ diện

1

6

ABCD

V =  AB AC AD 

uuur uuur uuur

 Thể tích khối hộp :

ABCD A B C D

uuur uuur uuur

5 Một số kiến thức khác

1. Nếu M chia đoạn AB theo tỉ số k MA kMB(uuur= uuur)

thì ta có:

A B A B A B

với k ≠1

2. G là trọng tâm tam giác

A B C A B C A B C

ABC⇔x = + + y = + + z = + +

3. G là trọng tâm tứ diện ABCD⇔GA GB GC GDuuur uuur uuur uuur r+ + + =0

BÀI TẬP ÁP DỤNG

Bài 1: Cho 4 điểm S(1, 2,3 ;) (A 2, 2,3 ;) (B 1,3,3 ;) (C 1, 2, 4 ) SABC

là:

C Tứ diện đều D Hình thang vuông

Lời giải

( 1;1;0 ;) (0; 1;1 ;) ( 1;0;1)

2

⇒ = = = ⇒

là tam giác đều

Hay ta có thể tính

SA SB SC

  ≠

 

uur uur uuur r

, ,

SA SB SC

⇒uur uur uuur

không đồng phẳng

SABC

⇒

là hình chóp đều , đỉnh S

Chọn B.

Bài 2: Cho bốn điểm S(1, 2,3 ;) (A 2, 2,3 ;) (B 1,3,3 ;) (C 1, 2, 4 )

Gọi

, ,

M N P

lần lượt là trung điểm của ,

BC CA

và

AB.SMNP

là:

C Tứ diện đều D Tam diện vuông

Lời giải

Tam giác: ABC có AB BC CA= = = 2

2 2

MN NP PM

(1;0;0 ;) (0;1;0 ;) (0;0;1)

⇒ = ⇒ ⊥

uur uur

Tương tự

,

SA⊥SC SB⊥SC

Các tam giác vuông

SAB SBC SCA

vuông tại S, có các trung tuyến:

2

AB

SP SM= =SN = = =MN =NP PM=

Ta có: SP⊂(SAB SM); ⊂(SBC SN); ⊂(SCA)

, ,

SP SM SN

⇒uur uuur uuur

không đồng phẳng

SMNP

⇒

là tứ diện đều

Chọn C.

Bài 3: Cho bốn điểm S(1, 2,3 ;) (A 2, 2,3 ;) (B 1,3,3 ;) (C 1, 2, 4 )

Xác định tọa độ trọng tâm G của hình chóp SABC.

A (5,9,13)

B

5 13 ,3,

C

7 9

1, ,

4 4

D

5 9 13 , ,

4 4 4

Lời giải

Ta có GS GA GB GCuuur uuur uuur uuur+ + + ⇔4OG OA OB OC OSuuur uuur uuur uuur uuur= + + +

2 1 1 1

2 3 2 2

3 3 4 3

x

G y

z

 = + + + =







⇒  = + + + =



 = + + + =



Chọn D.

Bài 4: Cho 3 vectơ ar=(1,1, 2 ;− ) br=(2, 1, 2 ;− ) cr= −( 2,3, 2 − )

Xác định vec tơ d

ur

thỏa mãn 4; 5; 7.

a dr ur= b dr ur= c dr ur=

A (3,6,5)

B (−3,6, 5− )

C

, 6,

D

5 3,6, 2

 

 

Lời giải

( ) ( ) ( )

7

x y z

c d

 =  + − =

 = ⇔ − + =

 = − + − =



r ur

r ur

r ur

( ) ( )1 + 2 : 3x= ⇔ =9 x 3

và ( ) ( )2 + 3 : 2y=12⇔ =y 6

( )1 : 1( 4) 1(3 6 4) 5 3;6;5

z= x y+ + = d  

+ − = ⇒ = ur  ÷

Chọn D.

Bài 5: Cho khối tứ diện ABCD. Nếu

AB a AC b AD c= = =

uuur r uuur r uuur r

Gọi M là trung điểm của BC thì:

A

2 2

a c b

DM = r r+ − r

uuuur

B

2 2

b c a

DM = r r+ − r

uuuur

C

2 2

a b c

DM = r r+ − r

uuuur

D

2 2

a b c

DM = r+ r r−

uuuur

Lời giải

2

a b a b c

DM =DA DM+ = − +c r r+ = r r+ − r

uuuur uuur uuuur r

Chọn C.

Bài 6: Cho khối tứ diện ABCD. Nếu

AB b AC c AD d= = =

uuur r uuur r uuur ur

Gọi G là trọng tâm tam giác BCD thì:

b d c

AG= r ur r+ +

uuur

b d c

AG= r ur r+ +

uuur

b d c

AG= r ur r+ +

uuur

D uuur r ur rAG b d c= + +

Lời giải

Gọi G là trọng tâm tam giác BCD nên:

( ) ( ) ( )

1 2 3

AG AB BG b BG

AG AC CG c CG

AG AD DG d DG

= + = +

= + = +

= + = +

uuur uuur uuur r uuur

uuur uuur uuur r uuur

uuur uuur uuur ur uuur

Từ ( ) ( ) ( )1 ; 2 ; 3

suy ra:

3

b d c

AG b d c= + + + = + + ⇒b d c AG= r ur r+ +

uuur r ur r r r ur r uuur

Chọn B.

Bài 7: Cho hình lập phương ABCD A B C D ' ' ' '. Gọi O là tâm của hình lập phương, khi đó:

A

' 3

AD AB AA

AO= uuur uuur uuur+ +

uuur

B

' 4

AD AB AA

AO=uuur uuur uuur+ +

uuur

C

' 2

AD AB AA

AO= uuur uuur uuur+ +

uuur

D

3

AD AB AA

=

uuur uuur uuur uuur

Lời giải

'

AD AB AA

AO= AC = uuur uuur uuur+ +

uuur uuuur

Chọn C.

Bài 8: Cho hình lập phương ABCD A B C D ' ' ' '. Gọi I là tâm của mặt (CDD ' 'C )

, khi đó:

A

' 2

AB AA

AI = uuur uuur+ +AD

B

' 2

AB AD

AI = uuur uuur+ +AA

C

' 2

AD AA

AI = uuur uuur+ +AB

D

' 2

AB AA AD

AI =uuur uuur uuur+ +

uur

Lời giải

O

là tâm hình lập phương

AI= AO IO+ = uuur uuur uuur+ + + AD= uuur uuur+ +AD

Chọn A.

Bài 9: Cho khối tứ diện ABCD. Gọi

,

P Q

lần lượt là trung điểm của

,

AC BD

Tìm hệ thức đúng:

A

4

AB AD CB BD+ + + = PQ

uuur uuur uuur uuur uuur

B

2

AB AD CB BD+ + + = PQ

uuur uuur uuur uuur uuur

C

3

AB AD CB BD+ + + = PQ

uuur uuur uuur uuur uuur

D

AB AD CB BD PQ+ + + =

uuur uuur uuur uuur uuur

Lời giải

2

2

+ =

+

+ =

+ + + = + = + + + = + + =

uuur uuur uuur

uuur uuur uuur

uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur

Chọn A.

Bài 10: Cho hình hộp ABCD A B C D ' ' ' '.Tìm hệ thức sai:

A uuuur uuurAC'+CA' 2 '+ C Cuuuur=0

B uuuur uuuurAC'+A C' =2uuurAC

C uuuur uuuur uuurAC'+A C' = AA'

D CAuuur uuur uuuur'+AC CC= '

Lời giải

O

là tâm hình hộp

' 2

= = = ⇒ + = + =

+ + = + =



= 

+ = +



= 

uuuur uuur uuuur uuur uuur uuuur uuur uuuur uuur uuuur

uuuur uuuur uuuur uuuur uuuur r

uuuur uuur

uuuur uuuur uuur

uuuur uuur ( uuurC) =2uuurAC

Vậy C sai

Chọn C.

Bài 11: Cho tứ diện

ABCD M N ,

lần lượt là trung điểm

,

AC BD

Chọn hệ thức sai:

A MB MDuuur uuuur+ =2MNuuuur

B uuur uuurAB CD+ =2MNuuuur

C uuur uuurNC NA+ =2MNuuuur

D CB ADuuur uuur+ =2MNuuuur

Lời giải

2

uuur uuuur uuuur

(hệ thức trung điểm) Gọi

,

P Q

lần lượt là trung điểm của

,

AD BC⇒MNPQ

là hình bình hành:

1

2

2

MP MQ MN

MP CD

AB CD MN AB CD MN

MQ AB

NC NA MN C sai

AD CB AB BD CD DB AB CD MN

+ =

 =



 =



+ =

uuur uuuur uuuur

uuur uuur

uuur uuur uuuur uuur uuur uuuur uuuur uuur

uuur uuur uuuur

uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuuru

Chọn C.

Bài 12: Cho hình hộp ABCD A B C D A C ' ' ' ', ' ∩(A BD' ) =E AC, '∩(CB D' ') =F

Xác định hệ thức sai:

A uuur uuur uuur rEA'+EB ED+ =0

B FC FDuuur uuuur uuur r+ '+FB' 0=

C uuur uuur uuurAB AD AA+ + ' 2= uuuurAC'

D

1 ' 2

EF= AC

uuur uuuur

Lời giải

Gọi

, '

là các giao điểm của các đường chéo ở 2 mặt đáy AC' cắt các trung tuyến A I' của tam giác A BD' và trung tuyến CI' (của tam giác CB D' ' ) tại E và F

IF 1

,

EI

E F

A I = FC = ⇒

là trọng tâm của tam giác

' ; ' '

A BD CB D

Chọn A, B đúng

uuur uuur uuur uuur uuur uuuur

C sai

AE EF= =FC = AC ⇒EFuuur= uuuurAC

D đúng

Chọn D.

Bài 13: Cho khối tứ diện

,

ABCD G

là trọng tâm của tứ diện, A' là trọng tâm tam giác BCD M. là 1 điểm tùy ý trong không gian Chọn hệ thức đúng:

A GB GC GDuuur uuur uuur+ + =3GAuuur'

B GA GB GC GDuuur uuur uuur uuur r+ + + =0

C uuurAA' 3= uuurAG

D MA MB MC MDuuur uuur uuuur uuuur+ + + =4MGuuuur

Lời giải

Gọi B' là trọng tâm tam giác

,

ACD

hai trung tuyến

AA';BB'

cắt nhau tại

, ' '

G GA B∆

đồng dạng

GAB

∆

' ' ' 1 1 4

⇒ = = ⇒ = ⇒ =

+ + = + + + + +

= + + + = + =

= − ⇒

uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuuur uuur uuuur uuur uuuur

uuur uuuur uuuur uuuur uuur r uuur

1 4 44 2 4 4 43

uuur uuur u r

0

GB GC GD

MA MB MC MD MG GA MG GB MG GC MG GD

+ + + = + + + = + + + + + + +

= + + + + =

uu uuur uuur uuur r uuur uuur uuuur uuuur uuuur uuur uuuur uuur uuuur uuur uuuur uuur

uuuur uuur uuur uuur uuur uuuur

Chọn C.

Bài 14: Cho hình hộp ABCD A B C D ' ' ' '.Chọn hệ thức sai:

A uuur uuur uuur uuuurAA'+AB AD AC+ = '

B uuuuur uuuuur uuuur uuuurA B' '+A D' '+A A A C' = '

C C Duuuuur uuuuur uuuur uuuur' '+C B' '+C C C A' = '

D uuur uuur uuur uuuurBC BA BB+ + '=D B'

Lời giải

+ + = + =

+ + = + +

+ + = + =

+ + = +

uuur uuur uuur uuuur uuur uuuur

uuuuur uuuuur uuuur uuuuur uuuur uuuur

uuuuur uuuuur uuuur uuuuur uuuur uuuur

uuur uuur uuur uuur uuur

'

BD

=uuuur

Chỉ có hệ thức D sai

Chọn D.

CHỦ ĐỀ 2.

MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN

1. Định nghĩa

Trong không gian

Oxyz

phương trình dạng

0

Ax By Cz D+ + + =

với

A +B +C >

được gọi là phương trình tổng quát của mặt phẳng

 Phương trình mặt phẳng

( )P :Ax+By+Cz+D=0

với

0

A +B +C >

có vec tơ pháp tuyến là ( ; ; )

nr= A B C

 Mặt phẳng ( )P

đi qua điểm M x y z0( 0; ;0 0)

và nhận vecto nr=(A B C n; ; ),r r≠0

làm vecto pháp tuyến dạng ( ) (P A x x: − 0)+B y y( − 0)+C z z( − 0) =0

 Nếu ( )P

có cặp vecto ar =(a a a1; ;2 3);br =(b b b1; ;2 3)

không cùng phương, có giá song song hoặc nằm

trên ( )P

Thì vecto pháp tuyến của ( )P

được xác định

,

nr=  a br r

2 Các trường hợp riêng của mặt phẳng

Trong không gian

Oxyz

cho mp ( )α :Ax+By+Cz+D=0,

với

A +B +C >

Khi đó:



0

khi và chỉ khi ( )α

đi qua gốc tọa độ



A= B≠ C≠ D≠

khi và chỉ khi ( )α

song song trục Ox.



A= B= C ≠ D≠

khi và chỉ khi ( )α

song song mặt phẳng (Ox y)



, , , 0.

A B C D≠

Đặt

= − = − = −

Khi đó :

( ):x y c 1

a b z

α + + =

3 Vị trí tương đối của hai mặt phẳng

Trong không gian

Oxyz

cho ( )α :Ax+By+Cz+D=0

và ( )α' :A'x+B'y+C'z+D'=0



( )α

cắt ( )α'

≠





⇔ ≠

 ≠





( )α

// ( )α'

=





⇔ = ≠

 =





( )α ≡ ( )α'

=



 =



⇔  =



 =



Đặt biệt: ( ) ( )α ⊥ α' ⇔n nur uur1 2 = ⇔0 A A B B C C '+ '+ ' 0=

4 Góc giữa hai mặt phẳng

Gọi ϕ

là góc giữa hai mặt phẳng (0 0 ≤ ≤ϕ 90 0)

( )P :Ax+By+Cz+D=0

và ( )Q :A'x+B'y+C'z+D'=0

cos = cos ,

P Q

P Q

P Q

n n A A B B C C

n n

uur uur uur uur

uur uur

BÀI TẬP ÁP DỤNG

Bài 1: Cho tứ giác ABCD có A(0;1; 1 ;− ) (B 1;1; 2 ;) (C 1; 1;0 ;− ) (D 0;0;1 )

Viết phương trình của mặt phẳng ( )P

qua

,

A B

và chia tứ diện thành hai khối ABCE và ABDE có tỉ số thể tích bằng 3

A

15x− 4y− − = 5z 1 0

B.

15x+ 4y− 5z− = 1 0

C

15x+ 4y− + = 5z 1 0

D.

15x− 4y+ 5z+ = 1 0

Lời giải

( )P

cắt cạnh CD tại

,

E E

chia đoạn CD theoo tỷ số −3

C D

C D

C D

x x

x

y y

E y

z z

z











(1;0;3 ;) 1; 5 7; 1(1; 5;7)

AB= AE= − = −

Vecto pháp tuyến của

( )P n:r =uuur uuurAB AE, =(15; 4; 5− − ⇒) ( ) (P : x−0 15) + −(y 1) ( ) (− + +4 z 1) ( )− = ⇔5 0 15x−4y− − =5z 1 0

Chọn A.

Bài 2: Cho tứ giác ABCD có A(0;1; 1 ;− ) (B 1;1; 2 ;) (C 1; 1;0 ;− ) (D 0;0;1 )

Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng ( )Q

song song với mặt phẳng (BCD)

và chia tứ diện thành hai khối AMNF và

MNFBCD

có tỉ số thể tích bằng

1 27

A 3x− − =3z 4 0

B

1 0

y z− − =

C

4 0

y z+ − =

D 4x+ + =3z 4 0

Lời giải

Tỷ số thể tích hai khối AMNF và MNFBCD:

3

1 27

AM AB

  =

 ÷

 

1

3

AM

M AB

chia cạnh AB theo tỉ số −2

( )

1 2.0 1

1 2.1

3

2 2 1

0 3

x

x

+

 = =





+





 + −



Vecto pháp tuyến của ( )Q n:r =(0;1; 1− )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )

1

3

P y z

 

⇒ ∈ ⇒  − ÷ + − + − − =

 

⇒ − − =

Chọn B.

Bài 3: Từ gốc O vẽ OH vuông góc với mặt phẳng ( ) (P , OH = p)

; gọi

, ,

α β γ

lần lượt là các góc tạo bởi vec tơ pháp tuyến của ( )P

với ba trục

Ox,Oy Oz,

Phương trình của ( )P

là:

A

x α+y β+z γ − =p

B

x α+y β+z γ − =p

C

x α+y β +z γ + =p

D

x α+y β+z γ + =p

Lời giải

Gọi: M x y z( , , ) ( )∈ P ⇒HMuuuur= −(x pcos ,α y p− cos ,β z c− cosγ)

( )

α β γ

⊥

⇔ + + − =

uuur uuuur

Chọn A.

Bài 4: Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng ( )P

cắt hai trục

'

y Oy

và z Oz' tại (0, 1,0 ,) (0,0,1)

và tạo với mặt phẳng (yOz)

một góc

0

45

A

2x y z− + − = 1 0

B

2x y z+ − + = 1 0

C

2x y z+ − + = 1 0; 2x y z− + + = 1 0

D

2x y z+ − + = 1 0; 2x y z− + − = 1 0

Lời giải

Gọi C a( ,0,0)

là giao điểm của ( )P

và trục x'Ox (0, 1, 1 ;) ( ,0, 1)

⇒uuur= − − uuur= −

Vec tơ pháp tuyến của ( )P

là

( )

nr=BA BCuuur uuur= −a a

Vec tơ pháp tuyến của (yOz)

là: eur1=(1,0,0)

Gọi α

là góc tạo bởi ( )P

và

2

1 2

a

+

Vậy có hai mặt phẳng ( )P :± 2x y z− + = ⇒1 2x y z+ − + =1 0; 2x y z− + − =1 0

Chọn D.

Bài 5: Cho mặt phẳng ( )P

đi qua hai điểm A(3,0, 4 ,) (B −3,0, 4)

và hợp với mặt phẳng (xOy)

một góc

0

30

và cắt

'

y Oy

tại C. Tính khoảng cách từ O đến ( )P

Lời giải

Vẽ OH ⊥KC

với K là giao điểm của AB và trục z Oz'

Ta có:

3

2

⇒ = =

= =

Chọn D.

Bài 6: Cho mặt phẳng ( )P

đi qua hai điểm A(3,0, 4 ,) (B −3,0, 4)

và hợp với mặt phẳng (xOy)

một góc

0

30

và cắt

'

y Oy

tại C. Viết phương trình tổng quát mặt phẳng ( )P

A

3 4 3 0

y+ z+ =

B

3 4 3 0

y+ z− =

C

3 4 3 0

y± z± =

D

3 4 3 0

x y− − z− =

Lời giải

(0, ,0 ;) ( 3, , 4 ;) ( 6,0,0)

Vec tơ pháp tuyến của

( )P n:r=uuur uuurAC AB, =6 0, 4,( c) Vec tơ pháp tuyến của (xOz e):ur3 =(0,0,1)