BÀI TOÁN VẬN DỤNG CAO HÌNH HỌC KHÔNG GIAN

Mặt cầu – khối cầu  Định nghĩa mặt cầu  Công thức tính diện tích mặt cầu, thể tích khối cầu  Phương pháp tìm tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC.. 3 Phương pháp tìm tâm mặt cầu ngo

CHƯƠNG 05.

BÀI TOÁN VẬN DỤNG CAO

HÌNH HỌC KHÔNG GIAN

……… Chủ đề 1 Thể tích khối đa diện

 Thể tích khối chóp

 Thể tích khối lăng trụ

 Thể tích khối hộp chữ nhật

 Thể tích khối lập phương

 Định lý tỉ số thể tích khối tứ diện hoặc khối chóp tam giác

 Bài tập áp dụng – Lời giải chi tiết

Chủ đề 2 Mặt cầu – khối cầu

 Định nghĩa mặt cầu

 Công thức tính diện tích mặt cầu, thể tích khối cầu

 Phương pháp tìm tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC.

 Bài tập áp dụng – Lời giải chi tiết

 Diện tích xung quanh, diện tích toàn phần của hình trụ và thể tích của khối trụ

 Bài tập áp dụng – Lời giải chi tiết

Chủ đề 5 Ứng dụng hình học không gian giải các bài toán thực tế

CHƯƠNG 05.

BÀI TOÁN VẬN DỤNG CAO

HÌNH HỌC KHÔNG GIAN

CHỦ ĐỀ 1.

THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN

Trước khi vào phần bài tập bạn đọc cần trang bị cho mình các kiến thức căn bản tối thiểu:

1 Thể tích khối chóp

Công thức tính:

1 3

5 Định lý tỉ số thể tích khối tứ diện hoặc khối chóp tam giác

B A

S

C

A'

B' C'

Cho khối tứ diện SABC và A B C', ', ' là các điểm tùy ý lần lượt thuộc SA SB SC, , ta có:

BÀI TẬP ÁP DỤNG

Bài 1: Cho hình lập phương ABCD A B C D ' ' ' ' cạnh a. Gọi M N, lần lượt là trung điểm của A B' ' và

BC Mặt phẳng DMN chia khối lập phương đã cho thành hai khối đa diện Gọi  H là khối đa

diện chứa đỉnh A H, ' là khối đa diện còn lại Tính tỉ số

 

 

H H

V V

H H

H H

H H

C'

C D

Suy ra thiết diện là KMIDN

 H ABA KMIDN' D ABKMA ' D BKN. D MA I '

 

3 2

N

M

H

C B

S

Do ABC đều và SAB  ABCD SH ABCD

Xét ABC đều:

3

2 32

3

 

B

2arcsin

7

 

C

1arcsin

5

 

D

13arcsin

23

a

V 

C

3 26

J C

D M

Góc I nhọn và

I c SIH c S  S va SIH ke bu  SIH 

Xét tam giác SHI ta có

a

Lời giải

Tổng quát: Cho hình chóp tam giác đều S ABC.

có cạnh đáy bằng a. Gọi  P là mặt phẳng đi

qua A và song song BC và vuông góc với SBC,

S

H F

A

B

C E

x

góc giữa  P với mặt phẳng đáy là 

Thể tích khối chóp S ABC. là:

3

cot24

+ Gọi   P  SBC=EF EF//BC   P  SBC=Ax với Ax EF/ / / /BC

+ Gọi M là trung điểm BC SM, EF N

B

J A

IBC ABCD IAB DIC

IBC S

BC

09 3.tan 60

5

Do đó

3

B' A'

C'

B

C D

Bài 9: Cho khối hộp ABCD A B C D ' ' ' ' có độ dài cạnh bên bằng a; đáy là hình thoi, diện tích của hai mặt chéo là S1 và S2; góc giữa hai mặt phẳng chứa hai mặt chéo là  Tính thể tích V của khối hộp .

S S V

S S V

S S V

a





Lời giải

Gọi O và O' theo thứ tự là tâm của hai mặt đáy ABCD A B C D, ' ' ' '.

Hai mặt chéo ACC A' ' và BDD ' 'B  có giao tuyến là OO ', có diện tích theo thứ tự S S1, 2

A'

C D

Ta có: EG HF , OO' tại I EIH   là góc giữa hai mặt phẳng chéo ACC A' ' và BDD ' 'B 

- EFGH là một thiết diện thẳng của hình hộp và là một hình bình hành

1) Định nghĩa: Tập hợp các điểm trong không gian cách điểm O cố định một khoảng cách R

cho trước là mặt cầu tâm O và bán kính R Kí hiệu S O R ; .

Như vậy, khối cầu S O R ;  là tập hợp các điểm M sao cho OM R.

2) Công thức tính diện tích mặt cầu, thể tích khối cầu

V  R

3) Phương pháp tìm tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC.

Để tìm mặt cầu ngoại tiếp một hình chóp bất kì ta cần phải tìm được điểm I cách đều tất cả cácđỉnh

Bước 1: Dựng trục của đáy: là đường thẳng đi qua tâm của đáy và vuông góc với đáy.

Bước 2: Ta thường dựng trung trực của một cạnh bên nào đó cắt trục của đáy tại I, hoặc dựng

trục của một mặt bên nào đó cắt trục của đáy tại I Tâm mặt cầu chính là điểm I, ở bước 2 này phảitùy vào đề bài mà ta có cách xử lý cụ thể

Và ABC vuông cân tại B nên ABCH là hình vuông

Gọi OACBH O, là tâm hình vuông

Dựng một đường thẳng d qua O vuông góc với

ABCH,

dựng mặt phẳng trung trực của SA qua

trung điểm J cắt d tại I I, là tâm mặt cầu ngoại tiếp

Ta hoàn toàn có IJ SA IJ / /AB I là trung điểm

  tam giác SHC vuông tại H SH a 6

Tam giác SHA vuông tại H  SA3a

K

I là tiếp điểm của  P và  S

Đường thẳng OM cắt  P tại N nên IN

Vuông góc với OI tại I

Suy ra IN tiếp xúc với  S .

 H là tâm của đường tròn giao tuyến (P) và (S).

C B

a

D a 6

Lời giải

Gọi M là trung điểm AC, suy ra M

là tâm đường tròn ngoại tiếp tam

giác ABC. Gọi I là trung điểm 2SC,

suy ra IM/ /SA nên IM ABC.

Do đó IM là trục của ABC ,

suy ra IA IB IC   1

Hơn nữa , tam giác SAC vuông tại A

có I là trung điểm SC nên ISIC IA  2

S

Gọi OACBD, suy ra O là tâm đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD

Gọi I là trung điểm SC, suy ra IO SA/ /  IOABCD.

Do đó IO là trục của hình vuông ABCD, suy ra: IA IB IC ID    1

Tam giác SAC vuông tại A có I là trung điểm cạnh huyền SC nên IS IC IA  2

B

C S

C.

62

a

D

23

a

Lời giải

Gọi M trung điểm AC, suy ra SM ABC SM AC

Tam giác SAC có SM là đường cao và cũng là trung tuyến nên tam giác SAC cân tại S

Ta có AC AB2BC2 a 2, suy ra tam giác SAC đều

Gọi G trọng tâm tam giác SAC, suy ra GS GA GC   1

Tam giác ABC vuông tại B, có M là trung điểm cạnh huyền AC nên M là tâm đường tròn ngoại tiếptam giác ABC

G

M

A

B C S

Lại có SM ABC nên SM là trục của tam giác ABC

Mà G thuộc SM nên suy ra GA GB GC   2

Từ    1 , 2 , suy ra GS GA GB GC   hay G là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S ABC. .

a

Gọi h làchiều cao của khối chóp và R là bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp Tỉ số

Lời giải

Gọi O là tâm ABC, suy ra SOABC và

3.3

a

h SO  SA  AO 

O A

B C

Do đó IA IB IC  IS nên I là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S ABC. .

Gọi M là trung điểm SA, ta có SOA đồng dạng SMI nên

Trong mặt phẳng SOB, kẻ đường trung trực d của đoạn SB.

Gọi

IS=RIS=IB

Tương tự, ta cũng có SBBD hay SAD  90 0

Ta có SAD SCD SBD   900 nên khối chóp S ABCD. nhận trung điểm I của SD làm tâm mặt cầungoại tiếp, bán kính

và h là:

D E

B

A C S

I

Lời giải

J N

O

C

D A

22

M F E

O

C

D A

22

Lại có AH SB. Suy ra AH SBC AH HC nên tam giác AHC vuông tại H

và có O là trung điểm cạnh huyền AC nên suy ra OH OC  2

C B

I A

B

C S

Vậy thể tích khối cầu

3 3

Bài 16: Cho hình chóp S ABCD. có đáy ABCD là hình vuông tâm O, BD a . Hình chiếu vuông góc

H của đỉnh S trên mặt phẳng đáy ABCD là trung điểm OD Đường thẳng SD tạo với mặt đáy 1 gócbằng 60 0 Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABCD. nhận giá trị nào sau đây?

Trong tam giác vuông SHB, có

.2

a

SB SH HB Xét tam giác SBD, ta có SB2SD2 a2 BD2.

Suy ra tam giác SBD vuông tại S Vậy các đỉnh S A C, , cùng nhìn xuống BD dưới 1 góc vuông nên tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABCD. là O bán kính

Vì mặt cầu có tâm G và tiếp xúc với SAB nên bán kính mặt cầu R d G SAB  , 

G

I

E M

H C

d G SAB   d C SAB   d H SAB 

Gọi M, E lần lượt là trung điểm AB MB, .

Suy ra

32

a CM

Gọi M trung điểm AB, do tam giác

SAB vuông tại S nên MS MA MB  .

Gọi H là hình chiếu của S trên AB

Từ giả thiết suy ra: SH ABCD

R OA 

3 3

a

C.

396

a

D

154

O

G A

B

C S

Gọi

OSOS

a

R OA  OG AG 

Chọn C.

Bài 20: Cho tứ diện S ABC. có các cạnh AS AB AC, , đôi một vuông góc và ASa AB, 2 ,a AC 3 a

Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện S ABC. là:

A a 3 B

3 2

a

C.

62

a

D

142

B

C S

Suy ra Mx là trục của ABC. Trong mặt phẳng SA Mx,  kẻ trung trực d của đoạn thẳng SA cắt Mxtại I Khi đó I chính là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện

Bán kính mặt cầu:

.2

V

S bằng?

142

a

C.

3 144

a

D

26

Suy ra Ix là trục của ABC.

Trong mặt phẳng SA, Ix , kẻ trung trực d của đoạn thẳng SA cắt Ix tại J Khi đó, J chính là tâm mặtcầu ngoại tiếp hình chóp

J

I A

B

C S

C.

134

O C

A

B

D S

Gọi G là trọng tâm tam giác đều ACD Kẻ GxACD, suy ra Gx là trục của ACD Trong mặt phẳng SA Gx, , kẻ trung trực d của đoạn SA cắt Gx tại I Khi đó I chính là tâm mặt cầu ngoại tiếp

Gọi M trung điểm AB, suy ra SM AB và SM ABC.

Do đó, SM là trục của tam giác ABC

Trong mặt phẳng SBM, kẻ đường trung trực d của đoạn SB cắt SM tại I Khi đó I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC. , bán kính R SI .

T N

V

6 22

T N

V

Lời giải

Bài quy về hình nón tâm O ngoại tiếp

hình vuông ABCD và nội tiếp tam giác

là tâm của hình vuông ABCD đồng thời cũng là trọng tâm của tam giác đều SEF

Như vậy, đường cao của tam giác SEF là SH 3OH 3 R

Trong tam giác EOH (vuông tại H, EOH 300 )

S

F D

Bài 25: Cho lăng trụ đứng ABC A B C ' ' ' có đáy ABC là tam giác vuông tại B AC a,  3, góc ACB

bằng 30 0 Góc giữa đường thẳng AB' và mặt phẳng ABC bằng 60 0 Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứdiện A ABC' bằng:

a

C.

212

a

D

218

suy ra N là tâm đường tròn

ngoại tiếp ABC.

Gọi I là trung điểm A C' ,

suy ra IN/ / 'A A IN ABC.

Do đó IN là trục của ABC,

suy ra IA IB IC   1

Hơn nữa, tam giác A AC' vuông tại A có I là trung điểm A'C nên IA'IB'IC' 2 

Từ    1 , 2 , ta có IA'IA IB IC  hay I là tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp A ABC'. với bán kính

a

C.

3 4

a

D

31 36

B

A'

B'

C C'

Gọi G’là trọng tam tam giác đều A B C' ' ',

suy ra G' cũng là tâm đường tròn ngoại

tiếp A B C' ' ' vì lăng trụ đứng

nên GG'A B C' ' '

Do đó GG' là trục của tam giác A B C' ' '.

Trong mặt phẳng GC G' ' , kẻ trung

trực d của đoạn thẳng GC' cắt GG' tại I

Khi đó I là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối

chóp GA B C' ' ' , bán kính R GI .

Ta có

' ' '