BÀI TOÁN VẬN DỤNG CAO HÌNH HỌC OXYZ

CHƯƠNG 06 tiếp theoBÀI TOÁN VẬN DỤNG CAO HÌNH HỌC OXYZ CHỦ ĐỀ 3.. ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN 1... Lập phương trình đường thẳng d song song với mặt phẳng  P và cắt d d1, 2 lần lượt

CHƯƠNG 06 (tiếp theo)

BÀI TOÁN VẬN DỤNG CAO HÌNH HỌC OXYZ

CHỦ ĐỀ 3.

ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN

1 Định nghĩa

Phương trình tham số của đường thẳng  đi qua điểm M x y z0 0; ;0 0

và có vec tơ chỉ phương

 1; ;2 3, 0

ar  a a a ar r� :

0 1

0 2

0 3

x x a t

z z a t

 

�

�  

�

�  

�

Nếu a a a1; ;2 3 đều khác không Phương trình đường thẳng  viết dưới dạng chính tắc như sau:

Ngoài ra đường thẳng còn có dạng tổng quát là:

0 0

A x B y C z D

A x B y C z D

�

�

với A B C A B C1, , ,1 1 2, 2, 2 thỏa 2 2 2 2 2 2

A B C  A B C 

2 Vị trí tương đối của hai đường thẳng

Chương trình cơ bản Chương trình nâng cao

1 )Vị trí tương đối của hai đường thẳng

Trong không gian Oxyz cho hai đường thẳng

Vtcp ur đi qua M0 và d' có vtcp uur' đi qua M0'

 u u, '

r r

cùng phương:



 u ur r , '

không cùng phương:

 

�

�   

�

�   

�

d chéo d’ � hệ phương trình  1 vô nghiệm

d cắt d’ � hệ phương trình  1

có 1 nghiệm

1 ) Vị trí tương đối của hai đường thẳng

Trong không gian Oxyz cho hai đường thẳng

Vtcp ur đi qua M0 và d' có vtcp uur' đi qua M0'



   

0

/ / '

'

u u

�� �

�� �

� �

�

�



   

0

'

'

u u

�� �

�� �

�

�



0

, ' 0

at '

u u

u u MM

�� ��

�� �

� �

�� �

�

r ur r

r ur uuuuur

  d cheo d ' ۹ � �� �u u MMr ur uuuuur, ' 0 0

3 Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng

Trong không gian Oxyz cho: Trong không gian Oxyz cho đường thẳng d qua

 0; ;0 0

M x y z có vtcp: ar a a a1; ;2 3 và

  :Ax+By+Cz+D=0 có vtpt nrA B C; ; 

  :Ax+By+Cz+D=0 và

0 1

0 2

0 3

:

x x a t

z z a t

 

�

�  

�

�  

�

Pt: A x 0a t1 B y 0a t2 C z 0a t3  D 0 1 

 Phương trình  1 vô nghiệm thì d/ / 

 Phương trình  1

có 1 nghiệm thì d cắt  

 Phương trình  1

có vô số nghiệm thì d� 

Đặc biệt: d   �a nr r, cùng phương

  d cắt   ۹ a nr r 0



   d / / a n.  0

M





� 

�

� �

�

�

r r

  d nằm trên mp    

a n

� 

�

� �

�

�

r r

4 Khoảng cách

Khoảng cách từ M x y z 0; ;0 0 đến mặt phẳng   :Ax+By+Cz+D=0cho bởi công thức

Ax

d M

Khoảng cách từ M đến đường thẳng  d

Phương pháp 1:

 Lập ptmp   đi qua M và vuông góc với d.

 Tìm tọa độ giao điểm H của mp   và d

 d M d ,  MH

 Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

Phương pháp 1:

d đi qua M x y z 0; ;0 0

; có vtpt ara a a1; ;2 3

'

d đi qua M x y z' 0'; 0'; '0 ; vtpt auur'a a a1'; 2'; '3 

Lập phương trình mp   chứa d và song song

với d’: d d d , ' d M ',  

 Khoảng cách từ M đến đường thẳng  d

Phương pháp 2:

(d đi qua M0 có vtcp ur )

d M

u

 

uuuuuur r r

 Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

Phương pháp 2:

d đi qua M x y z 0; ;0 0; có vtpt ar a a a1; ;2 3

'

d đi qua M x' 0';y z0'; '0 ; vtpt auur'a a a1'; 2'; '3 

, '

hop day

d

S

a a

� �

� �

� �

� �

r uur uuuuur

r uur

5 Góc giữa hai đường thẳng

 Góc giữa hai đường thẳng

  đi qua M x y z 0; ;0 0

có VTCP ara a a1; ;2 3

 ' đi qua M x' 0';y z0'; '0 có VTCP auur'a a a1'; 2'; '3 

cos cos , '

a a

r uur

r uur

r uur

6 Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng   đi qua M0 có VTCP ar , mặt phẳng   có VTPT

 ; ; 

nr A B C

Gọi  là góc hợp bởi   và mặt phẳng     1 2 3

Aa

a n

r r

BÀI TẬP ÁP DỤNG

Bài 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng

:

và mặt phẳng

 P x: 2y z  3 0. Viết phương trình đường thẳng  nằm trong  P

sao cho  vuông góc với d

và khoảng cách giữa hai đường thẳng  và d bằng 2.

A

:

3

:

�



:

3 :

�



�

C

:

3

:

:

:

�

Lời giải

Đường thẳng d có VTCP uuurd 2;1;1  Mặt phẳng  P có VTPT nuurp 1; 2; 1 ,  ta có

p d

n u

uur uur

P d VTPT u �u u �

 �   � uur �uur uur� 

Khi đó, phương trình mặt phẳng  Q y z m:   0

Chọn A1; 2;0 �d, ta có:

 

0 2

m m

m



Với m4� Q y z:   4 0

Vì     P �Q � đi qua 7;0; 4 : 7 4

Với m0� Q y z:  0

Vì     P �Q � đi qua 3;0;0 : 3

Chọn A.

Bài 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng

:

  và mặt phẳng

 P x y z:    3 0. Gọi I là giao điểm của d P,  Tìm M� P sao cho MI vuông góc với d và

4 14

MI 

A

5;9; 11

3; 7;13

M

M



�

�

 

5;7; 11 3; 7;13

M M



�

�

 

�

C

5;9; 11

3; 7;13

M

M

�

�



5; 7;11 3;7; 13

M M



�

�



�

Lời giải

Vì I d� nên I2  t; 1 2 ;t t 

Hơn nữa I� P �2    t 1 2t 3 0�t 1�I1;1;1

Gọi M a b c ; ; 

Do:

  

�

�

Khi đó ta có hệ phương trình:

Với a b c; ;   5;9; 11 �M5;9; 11 

Với a b c; ;    3; 7;13�M 3; 7;13

Chọn A.

Bài 3: Trong không gian Ox ,yz cho hai mặt phẳng  P x: 2y2z0, Q : 2x2y z  1 0. Viết

phương trình của đường thẳng d đi qua A0;0;1 , nằm trong mặt phẳng  Q và tạo với mặt phẳng

 P

một góc bằng 45 0

A

1: ; 2:

1: 2 1; 2: 1

C

3

1 4

Lời giải

Ta có nr 2; 2;1 là vecto pháp tuyến của  Q b,r 1; 2; 2 là vec tơ pháp tuyến của  P

Gọi ar a b c a; ; , 2  b2 c2 0 là một vecto chỉ phương của d.

Vì đường thẳng d đi qua A0;0;1 mà A0;0;1 , A� Q

Do đó d � Q �arnr �a nr r 0�2a2b c 0�c  2a 2b

Góc hợp bởi d và  P

bằng 45 :0

2 2 2

2

 

r r

r r

r r

    �  

Vậy

1: ; 2:

� � là các đường thẳng cần tìm

Chọn A.

Bài 4: Trong không gian với hệ tọa độ Ox ,yz cho hình thang cân ABCD có hai đáy AB CD, thỏa mãn

2

CD AB và diện tích bằng 27; đỉnh A 1; 1;0 ; phương trình đường thẳng chứa cạnh CD là

.

x  y  z

Tìm tọa độ các điểm D biết hoành độ điểm B lớn hơn hoành độ điểm A

Lời giải

Đường thẳng CD qua M2; 1;3  có vec tơ chỉ phương ur 2; 2;1

Gọi H2 2 ; 1 2 ;3 t   t t là hình chiếu của A lên CD, ta có:

uuur r

Từ giả thiết ta có:

2

AH

Đặt

u

uuur

r

9

6;6;3 6;3;5 6

3

2; 2; 1 2; 5;1 6

uuur uuur

uuur uuur

Chọn A.

Bài 5: Trong hệ trục tọa độ Oxyz cho mặt phẳng  P : 5x z  4 0 và hai đường thẳng d d1; 2 lần lượt

có phương trình

x  y  z x  y  z

 Viết phương trình của mặt phẳng    Q / / P ,

theo thứ tự cắt d d1, 2 tại A B, sao cho

4 5 3

AB

A.  1  2

B.  Q1 : 5x z  2 0; Q2 : 55x11z 14 0

C.  Q1 : 5   x z 2 0; Q2 : 55 x11z 14 0

D.  Q1 : 5x z  4 0; Q2 : 55x11z 7 0

Lời giải

 

Suy ra 6 ; 6 4 ;30 5 16 ; 6 4 ;30 5 

AB ��    ��   d d  d

uuur

Do

25 331

7

d

d

�  

�

�

�  

�

� Vậy, tìm được hai mặt phẳng thỏa mãn:

Chọn A.

Bài 6: Trong không gian với hệ tọa độ Ox ,yz cho hai đường thẳng 1

2

:

và mặt phẳng  P x y:  2z 5 0. Lập phương trình đường thẳng d song

song với mặt phẳng  P

và cắt d d1, 2 lần lượt tại A B, sao cho độ dài đoạn AB đạt giá trị nhỏ nhất

A

:

B

:



C

:

D

:

Lời giải

Vì A d B d�1; � �2 A   1 a; 2 2 ; ,a a B 2 2 ;1 b b;1b

Ta có uuurAB   a 2b      3; 2a b 3; a b 1

 P

có vec tơ pháp tuyến

1;1; 2 , / /  AB  n

� 

�

�

�

uuur r r

minAB3 3

� khi a �2 A1;2; 2

 3; 3; 3 , 1; 2; 2  

uuur

Vậy phương trình đường thẳng

Chọn A.

Bài 7: Trong không gian với hệ tọa độ Ox ,yz cho đường thẳng

:

 và mặt phẳng

 P x y z:    2 0. Gọi M là giao điểm giữa d và  P Viết phương trình đường thẳng  nằm trong mặt phẳng  P , vuông góc với d đồng thời khoảng cách từ M đến  bằng 42

A

:

:

�

:

:

�

�

C

:

:

�

:

:

�

�

�

Lời giải

Phương trình tham số của

3 2

1

 

�

�   

�

�   

�

Mặt phẳng  P

có VTPT nuurP 1;1;1 , d có VTCP uuurd 2;1; 1 

Vì M d� P �M1; 3;0 

Vì  nằm trong  P

và vuông góc với d nên: VTCP uuur ��u nuur uurd; P��2; 3;1 

Gọi N x y z ; ;  là hình chiếu vuông góc của M trên  , khi đó: MNuuuur x 1;y3;z

Ta có:

 

2 0

5; 2; 5

3; 4;5

42

N

N

MN

 

�

�

uuuur uur





Chọn A.

Bài 8: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A1;2;3 ,

đường thẳng

1 :

mặt phẳng  P x: 2y z  1 0. Gọi d' là đường thẳng đối xứng với d qua  P Tìm tọa độ điểm B

trên d' sao cho AB9.

A

B

B

B B

�

C

16 151 2 151 8 151

B

B

B B

�

Lời giải

Có d cắt  P

tại I2; 1;1   Chọn M0;0; 1 � d và M' là điểm đối xứng của M qua  P

Khi đó

 

M �d Ta tìm M'.

Gọi  là đường thẳng đi qua M và vuông góc với mặt phẳng  P

P

VTCP u VTPT n      



Gọi H là trung điểm MM' thì tọa độ H định:

1



�  

�    

�

H M H M H M

M x x y y z z     �� ��

Suy ra d’ là đường thẳng đi qua I2; 1;1  nhận VTCP:

M I  �� ���d     

uuuur

27

AB �  t  t  t  � t  t  �t �

B

B

�

Chọn A.

Bài 9: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng  Q

chứa đường thẳng

:

và tạo với mặt phẳng  P x: 2y z  5 0 một góc nhỏ nhất.

A  Q y z:   4 0 B  Q y z:   6 0

Lời giải

+ d có vtcp ur 2;1;1 ,  P có vtpt mur1; 2; 1  ,  Q có vtpt    2 2 2 

n a b c a   b c

r

+ do  Q

chứa d nên ta có: n ur r�n ur r 0�2a b c  0�c  2a b�nr a b, , 2 a b

+ Góc hợp bởi  P và  Q là 

 

2

2 2

0

2 2

2

c



�



� ۳

ur r

ur r

ur r

Vậy min  30 0 Dấu bằng xảy ra khi và chi khi a0 lúc đó ta chọn b1;c 1�nr 0;1; 1 

Mặt phẳng

:

qua A Q

vtpt n

 

�

�

� r từ đó  Q y z:   4 0.

Chọn A.

CHỦ ĐỀ 4.

MẶT CẦU

1 Định nghĩa mặt cầu

Tập hợp các điểm trong không gian cách điểm O cố định một khoảng cách R cho trước là mặt cầu tâm O và bán kính R. Kí hiệu S O R ; 

Trong không gian với hệ trục Ox :yz

- Mặt cầu  S tâm I a b c , ,  bán kính R có phương trình là:   2  2 2 2

.

x a  y b  z c R

- Phương trình: x2y2 z2 2ax2by2cz d 0, với a2    b2 c2 d 0 là phương trình mặt cầu tâm I a b c ; ; , bán kính R a2  b2 c2 d

2 Vị trí tương đối của mặt phẳng  P và mặt cầu  S

 d I P ,   R khi và chỉ khi  P

không cắt mặt cầu  S

 d I P ,   R khi và chỉ khi  P tiếp xúc mặt cầu  S

 d I P ,   R khi và chỉ khi  P

cắt mặt cầu  S

theo giao tuyến là đường tròn nằm trên mặt phẳng  P có tâm

H và có bán kính r  R2d2.

3 Vị trí tương đối giữa mặt cầu và đường thẳng

a) Cho mặt cầu S O R ; 

và đường thẳng  Gọi H là hình chiếu của O lên  và d OH là

khoảng cách từ O đến 

 Nếu d R thì  cắt mặt cầu tại 2 điểm phân biệt (H.3.1)

 Nếu d R thì  cắt mặt cầu tại 1 điểm duy nhất (H.3.2)

 Nếu d R thì  không cắt mặt cầu (H.3.3)

BÀI TẬP ÁP DỤNG

Bài 1: Trong không gian với hệ tọa độ Ox ,yz cho A1;0;0 , B 2; 1;2 ,  C 1;1; 3   Viết phương trình

mặt cầu có tâm thuộc trục Oy, đi qua A và cắt mặt phẳng ABC theo một đường tròn có bán kính nhỏ nhất

A

2

x  ��y ��z 

2

x  ��y ��z 

C

2

x  ��y ��z 

2

x  ��y ��z 

Lời giải

Mặt phẳng ABC có phương trình: x y z   1 0

Gọi  S

là mặt cầu có tâm I Oy� và cắt ABC

theo một đường tròn bán kính r nhỏ nhất

Vì I Oy� nên I0; ;0 ,t  gọi H là hình chiếu của I lên ABC khi đó là có bán kính

đường tròn giao của ABC

và  S

là r AH  IA2IH2.

3

IA  t IH d I ABC   �r t       

Do đó, r nhỏ nhất khi và chỉ khi

1 2

t Khi đó

2

0; ;0 ,

I�� ��IA 

Vậy phương trình mặt cầu cần tìm là :

2

x  ��y ��z 

Chọn A.

Bài 2: Trong không gian với hệ tọa độ Ox ,yz viết phương trình mặt cầu có tâm I1;2;3 và tiếp xúc với đường thẳng

2

x  y  z



A   2 2 2 233

9

x  y  z 

B   2 2 2 243

9

x  y  z 

C   2 2 2 2223

9

x  y  z 

D   2 2 2 333

9

x  y  z 

Lời giải

+ Đường thẳng d đi qua M0; 2;0  có vec tơ chỉ phương ur  1; 2; 2  Tính được MIuuur1; 4;3 

+ Khẳng định và tính được

3

MI u

d I d

u

uuur r r

+ Khẳng định mặt cầu cần tìm có bán kính bằng d I d ,  và viết phương trình:

9

x  y  z 

Chọn A.

Bài 3: Trong không gian với hệ tọa độ Ox ,yz cho mặt cầu có phương trình

x y  z x y z  và đường thẳng d x:   5 2 ;t y 4;z  7 t. Viết phương trình đường thẳng  tiếp xúc mặt cầu  S

tại điểm M5;0;1

biết đường thẳng  tạo với đường thẳng d một góc  thỏa mãn

1

7

 

A

C

Lời giải

S x  y  z  � S có tâm I2; 1; 3   và bán kính R 26.

3;1; 4 , 1 2;0;1

là 1 VTVP của  d

Giả sử uuur2 a b c; ;  là 1 VTCP của đường thẳng a2   �b2 c2 0

Do tiếp xúc mặt cầu  S tại M �uuur uurIM u2 �3a b 4c0�b  3a 4 1c 

Mà góc giữa đường thẳng  và đường thẳng d bằng .

1 2

 

ur uur

ur uur

ur uur

Thay  1 vào  2 ta được:

7 2a c  5 a  3a4c c �7 4a 4ac c 5 a 9a 24ac16c c

3

11

 

�

�

�  

�

Với a 3c do 2 2 2

0

a   �b c nên chọn c  1 �a 3;b  5

� phương trình đường thẳng là:

5 3

1

 

�

�

�  

�

Với

13

11

a  c

do a2  �b2 c2 0 nên chọn c  11 �a 13;b 5

� phương trình đường thẳng là:

5 13

1 11

 

�

�

�  

�

Chọn A.

Bài 4: Trong không gian với hệ tọa độ Ox ,yz cho đường thẳng

 Tìm tọa độ điểm

M thuộc đường thẳng d sao cho mặt cầu  S tâm M tiếp xúc với trục Oz có bán kính bằng 2

M  � �M ��  ���

5 5 5

M  � �M ��  ���

M  � �M ��  ���

Lời giải

Vì M d� �M1 ; 2 2 ; 2   t t  t Trục Oz đi qua điểm O 0;0;0 

và có vtcp kr 0;0;1 ;

2

uuuur r

Gọi R là bán kính mặt cầu  S , ta có : R d M Oz  ;   5t2 6t 5

2; 2;0 1

M t



�



�

�

�

Chọn A.

Bài 5: Trong không gian với hệ tọa độ Ox ,yz cho hai đường thẳng  1, 2 có phương trình:

 Viết phương trình mặt cầu có bán kính nhỏ nhất và tiếp xúc với hai đường thẳng  1, 2?

A 2  2 2

x  y z 

C 2  2 2

x  y z 

Lời giải

Mặt cầu có bán kính nhỏ nhất và tiếp xúc với hai đường thẳng  1, 2 là mặt cầu nhận đoạn vuông góc chung của  1, 2 làm đường kính Giả sử mặt cầu cần lập là  S

và A B, lần lượt là tiếp điểm của  S với  1, 2 Viết phương trình  1, 2 dưới dang tham số thì ta có:

Do AB là đoạn vuông góc chung của  1, 2 nên:

1

2

0 2;1;1 , 2;3; 1

n m ABU





�

uuur uuur

uuur uuur

Trung điểm I của AB có tọa độ là I0; 2;0nên phương trình mặt cầu cần lập là:

 2

x  y z 

Chọn A.

Bài 6: Trong không gian với hệ tọa độ Ox ,yz cho mặt cầu  S x: 2y2 z2 2x4y2z 3 0

Viết phương trình mặt phẳng  P chứa trục Ox và cắt mặt cầu  S theo một đường tròn có bán kính bằng 3

A  P :y 2z 0 B  P x:  2z 0 C  P :y 2z 0 D  P x:  2z 0

Lời giải

 S có tâm I1; 2; 1   và bán kính R3.

 P

chứa trục Ox và cắt mặt cầu  S

theo một đường tròn có bán kính bằng 3 nên  P

chứa Ox và

đi qua tâm I của mặt cầu

Ta có: OIuur1; 2; 1 ,    P có vec tơ pháp tuyến nr��r uuri OI, ��0; 1; 2  

và  P qua O. Vậy  P y: 2z0

Chọn A.

Bài 7: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng

:

 và cắt mặt phẳng

 P x: 2y z  6 0 tại điểm M. Viết phương trình mặt cầu  S có tâm I thuộc đường thẳng d và tiếp xúc với mặt phẳng  P

tại điểm A, biết diện tích tam giác IAM bằng 3 3 và tâm I có hoành

độ âm

A    2 2  2

S x y  z 

C    2 2  2

S x  y  z 

Lời giải

Một vec tơ chỉ phương của đường thẳng d là ur2;1; 1   Một vec tơ pháp tuyến của đường thẳng và

mặt phẳng  P

là nr1; 2;1  Gọi  là góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng  P

2

6 6

Gọi R bán kính mặt cầu  S �IA R Tam giác IAM vuông tại A có

2

IMA

Giả sử: 1 2 ;1 ; , 1

2

I  t  t t t

Từ giả thuyết ta có khoảng cách:  ,   3 3 1 3

6

t

(loại) �I1;0;1

Phương trình mặt cầu    2 2  2

S x y  z 

Chọn A.

Bài 8: Trong không gian tọa độ Ox ,yz viết phương trình mặt cầu đi qua ba điểm A1; 1;2 ,  B 2;1; 1 

 1; 2; 3

C   biết tâm của mặt cầu nằm trên mặt phẳng Oxz.

A   12 2 2 4 2 1326

:

S ��x ��y  ��z ��

:

S ��x ��y  ��z ��

C   12 2 2 4 2 1328

:

S ��x ��y  ��z ��

:

S ��x ��y   ��z ��

Lời giải

Oxz

I� nên I x ;0; ,z IA IB IC   nên:

�

�

�