Các phân bố thống kê cổ điển (2018)

Vật lí thống kê có quan hệ chặt chẽ với nhiệt động lực học và người ta thấy rằng trong trường hợp hệ vĩ mô nằm trong trạng thái cân bằng thì định luật mà ta thu được trong vật lí thống k

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA VẬT LÍ -

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA VẬT LÍ -

VŨ THỊ NGỌC BÍCH

CÁC PHÂN BỐ THỐNG KÊ CỔ ĐIỂN

Chuyên ngành: Vật lí lý thuyết

KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Người hướng dẫn khoa học:

PGS TS LƯU THỊ KIM THANH

LỜI CẢM ƠN

Trong quá trình thực hiện khóa luận tốt nghiệp này, em đã nhận được nhiều sự quan tâm, giúp đỡ của các thầy cô và các bạn sinh viên Em xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo trong khoa Vật lí – trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, các thầy cô đã dạy em trong suốt bốn năm học, qua đó đã giúp em hoàn thành khóa luận này

Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc của mình tới PGS.TS Lưu Thị Kim Thanh, người đã trực tiếp hướng dẫn, chỉ bảo em trong suốt quá trình thực hiện khóa luận này

Do còn nhiều hạn chế về kiến thức và thời gian nên khóa luận vẫn còn nhiều thiếu sót Em rất mong nhận được sự giúp đỡ, góp ý, nhận xét của các thầy cô và các bạn để khóa luận này được hoàn thiện hơn

Em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, tháng 05 năm 2018

Sinh viên

Vũ Thị Ngọc Bích

LỜI CAM ĐOAN

Khoá luận này là kết quả của bản thân em trong quá trình học tập và nghiên cứu trên cơ sở những kiến thức đã học Đặc biệt là sự hướng dẫn tận

tình của cô giáo PGS.TS Lưu Thị Kim Thanh

Trong khi nghiên cứu và hoàn thành khoá luận này, em có tham khảo các tài liệu có liên quan ghi trong mục tài liệu tham khảo

Vì vậy, em xin khẳng định kết quả nghiên cứu của đề tài “Các phân bố thống kê cổ điển ” không trùng lặp với kết quả của bất cứ đề tài nào khác

Hà Nội, tháng 05 năm 2018

Sinh viên

Vũ Thị Ngọc Bích

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 1

1 Lí do chọn đề tài 1

2 Mục đích nghiên cứu 2

3 Đối tượng nghiên cứu 2

4 Phương pháp nghiên cứu 2

5 Nhiệm vụ nghiên cứu 2

6 Cấu trúc của khóa luận: 2

NỘI DUNG 3

CHƯƠNG 1: LUẬN ĐỀ CƠ BẢN CỦA VẬT LÝ THỐNG KÊ 3

1.1 Các khái niệm cơ bản của vật lý thống kê 3

1.1.1 Quy luật tính thống kê 3

1.1.2 Trạng thái vi mô và trạng thái vĩ mô Xác suất nhiệt động 3

1.1.3 Không gian pha 4

1.1.4 Cách mô tả thống kê nhiều hạt Xác suất trạng thái 5

1.2 Phương pháp Gipxơ 6

1.3 Định lý Liuvin (Liouville) 8

Kết luận chương 1 14

CHƯƠNG 2: HÀM PHÂN BỐ GIPXƠ 15

2.1 Phân bố vi chính tắc 15

2.3 Phân bố chính tắc lớn 19

2.4 Phân bố Macxoen – Bonxoman 21

2.5 Định lí về sự phân bố đều động năng theo các bậc tự do 23

2.5.1 Biểu thức của động năng theo các bậc tự do 23

2.5.2 Nội dung định lý về sự phân bố đều động năng theo các bậc tự do.23 2.5.3 Định lý Virian 25

Kết luận chương 2 26

CHƯƠNG 3: ÁP DỤNG PHÂN BỐ GIPXƠ 27

3.1 Xác định thăng giáng bằng phương pháp Gipxơ 27

3.2 Áp dụng định lý phân bố đều động năng tính nhiệt dung của vật rắn 32

3.3 Một số bài tập ứng dụng 33

Kết luận chương 3 36

KẾT LUẬN 37

TÀI LIỆU THAM KHẢO 38

MỞ ĐẦU

1 Lí do chọn đề tài

Cùng với sự phát triển của xã hội loài người, vật lí học đã trải qua nhiều giai đoạn phát triển và đạt nhiều thành tựu đáng kể Thế kỷ XVIII cơ học cổ điển của Newton đã trở thành môn khoa học cơ bản Thế kỷ XIX lý thuyết điện từ trường của Macxoen và Faraday ra đời Đến thế kỷ XX là thế kỷ của vật lí học hiện đại với khuynh hướng thâm nhập vào cấu trúc vi mô của vật chất và người ta nhận thấy rằng các quy luật xảy ra trong thế giới vi mô này mâu thuẫn với các quy luật đã tìm thấy trong vật lí cổ điển

Vật lí thống kê là một bộ môn vật lí hiện đại, nó nghiên cứu các hệ nhiều hạt bằng phương pháp thống kê Vật lí thống kê có quan hệ chặt chẽ với nhiệt động lực học và người ta thấy rằng trong trường hợp hệ vĩ mô nằm trong trạng thái cân bằng thì định luật mà ta thu được trong vật lí thống kê đối với các đại lượng trung bình là trùng với các định luật của nhiệt động lực học Vật lí thống kê có vai trò quan trọng trong vật lí lý thuyết cũng như trong vật lí thực nghiệm

Hiện nay, các phương pháp của vật lí thống kê được áp dụng rộng rãi trong các lĩnh vực khác của vật lí hiện đại, như vật lí học các trạng thái ngưng

tụ, lý thuyết các hạt cơ bản, vũ trụ và thiên văn học Các định luật cơ bản của vật lí thống kê cho phép ta xác định được các thông số nhiệt động như nhiệt

độ, entropi, năng lượng tự do, nhiệt dung của hệ nhiều hạt, từ đó xây dựng được các phân bố Gipxơ cho các hệ Vật lí thống kê cho ta khả năng thiết lập các phương trình các hàm nhiệt động của nhiệt động lực học căn cứ vào cấu trúc của hệ Hơn thế nữa nó còn cho ta hiểu được ý nghĩa vật lí thống kê của các vấn đề quan trọng trong Nhiệt động lực học, như nguyên lý hai nhiệt động lực học, tính thuận nghịch và không thuận nghịch Khi ta coi chuyển động của

từng hạt tạo hệ nhiều hạt tuân theo quy luật của cơ học cổ điển chúng ta có vật

lí thống kê cổ điển Nội dung chính của vật lí thống kê cổ điển là việc xác định các hàm phân bố và áp dụng các phân bố đó cho một số hệ vật lí Có thể nói đây là một vấn đề cơ bản của vật lí thống kê Vì vậy tôi chọn đề tài này làm

nội dung nghiên cứu của mình: “Các phân bố thống kê cổ điển”

2 Mục đích nghiên cứu

- Tìm hiểu sâu sắc hơn về các phân bố thống kê trong vật lí lý thuyết cổ điển

3 Đối tượng nghiên cứu

- Các phân bố thống kê cổ điển

4 Phương pháp nghiên cứu

- Phương pháp vật lí lý thuyết và phương pháp toán học

5 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Xây dựng hàm phân bố thống kê trong vật lí thống kê cổ điển

- Nghiên cứu ứng dụng các hàm phân bố thống kê

6 Cấu trúc của khóa luận:

Chương 1: Luận đề cơ bản của vật lí thống kê

Chương 2: Hàm phân bố Gíp xơ

Chương 3: Áp dụng phân bố Gipxơ

NỘI DUNG

CHƯƠNG 1: LUẬN ĐỀ CƠ BẢN CỦA VẬT LÍ THỐNG KÊ

1.1 Các khái niệm cơ bản của vật lí thống kê

1.1.1 Quy luật tính thống kê

Vật lí thống kê nghiên cứu những hệ bao gồm một số rất lớn các hạt như

nguyên tử, phân tử, ion và các hạt khác mà người ta gọi là hệ vi mô hay hệ

nhiều hạt, nhưng bằng các phương pháp khác nhau Cụ thể là vật lí thống kê nghiên cứu mối liên hệ giữa đặc tính vĩ mô của hệ mà ta khảo sát với các đặc tính và các định luật chuyển động của các hạt vi mô cấu thành hệ Do sự phức tạp và chuyển động không ngừng của trạng thái vi mô mà ta phải sử dụng phương pháp thống kê dựa trên lý thuyết xác suất [2][3]

Trong hệ nhiều hạt xuất hiện các quy luật mới gọi là quy luật thống kê

Quy luật tính thống kê: là quy luật khách quan của hệ nhiều hạt, vì tính cách của hệ nhiều hạt tại thời điểm xét hoàn toàn không phụ thuộc vào trạng thái lúc trước Ví dụ như hệ khí (bao gồm một số lớn phân tử), hoặc một thanh

kim loại (bao gồm một số rất lớn các electron)

1.1.2 Trạng thái vi mô và trạng thái vĩ mô Xác suất nhiệt động

- Trạng thái vi mô: là trạng thái xác định bằng các thông số vi mô tức là

các toạ độ và xung lượng của các hạt cấu thành hệ và chúng chỉ có ý nghĩa

đối với thế giới vi mô ở đó ta xét các phân tử (các hạt) riêng lẻ [3][6]

- Trạng thái vĩ mô: là trạng thái được xác định bởi các thông số đo được

trong các thí nghiệm vĩ mô thông thường Ví dụ như T,p,V của khối khí là những thông số vĩ mô Mỗi trạng thái vĩ mô của hệ đều tương ứng với một số rất lớn các trạng thái vi mô Các trạng thái vi mô này biến đổi liên tục theo thời gian.[1]

- Xác suất nhiệt động

Xác suất nhiệt động WT: các trạng thái vĩ mô khác nhau tương ứng với các số lượng khác nhau các trạng thái vi mô, một trạng thái vĩ mô sẽ là càng bền nếu như số trạng thái vi mô tương ứng với nó mà hệ có thể thực hiện được là càng lớn Xác suất nhiệt động WT của một trạng thái vĩ mô nhất định của hệ là số trạng thái vi mô tương ứng với trạng thái vĩ mô đó.[3]

WT 1

1.1.3 Không gian pha

Không gian pha: Để biểu diễn sự biến đổi trạng thái vi mô của hệ nhiều

hạt với thời gian người ta đưa vào một không gian quy ước gọi là không gian pha, đồng thời các tọa độ của không gian đó chính là các thông số độc lập xác định trạng thái vi mô của hệ (tức là các tọa độ và xung lượng suy rộng của tất

cả các hạt cấu thành hệ) [3] Phương pháp đó phải coi là rất thuận tiện về mặt nguyên tắc vì rằng, việc mô tả tính chất của hệ nhiều hạt trong không gian thực ba chiều gặp phải những khó khăn rất lớn Mặt khác, đối với tất cả các hệ vật lí thực, không gian pha là không gian nhiều chiều Chẳng hạn như, không gian pha của một phân tử khí lí tưởng đơn giản nhất là không gian 6 chiều; đối với phân tử hai nguyên tử có 5 bậc tự do không gian pha là mười chiều; còn đối với một hệ phức tạp nói chung là 2fN chiều với f là số hạt tự do của một hạt trong hệ, N là số hạt trong hệ

- Trong vật lí thống kê người ta thường xét hai loại không gian pha: Không gian µ và không gian K Không gian µ là không gian của hệ 1 hạt Không gian K là không gian của hệ nhiều hạt

- Các yếu tố cơ bản của không gian pha

+ Không gian pha là tập hợp tất cả các trạng thái của hệ Mỗi trạng thái

là một điểm pha Trạng thái của hệ được xác định bởi tất cả các giá trị của tất

+ Quỹ đạo pha: Khi trạng thái của hệ biến đổi với thời gian, điểm pha sẽ chuyển động và vạch một đường cong nào đó gọi là quỹ đạo pha

+ Bởi vì các phương trình Hamintơn luôn luôn xác định một các đơn trị tính chất của hệ, nên từ đó suy ra rằng, các quỹ đạo pha của hệ không thể cắt nhau trong không gian pha

+ Nếu hệ cô lập thì năng lượng toàn phần là không đổi, nghĩa là:

E = E (𝑞1, 𝑞2,….𝑝1, 𝑝2…) = const

Điều đó có thể xem như một phương trình liên hệ tất cả các thông số vi

mô của trạng thái, và trong không gian pha nó là phương trình của một mặt

nào đó Mặt đó được gọi là siêu diện năng lượng, hay, vắn tắt hơn là mặt năng lượng trong không gian pha

+ Thể tích pha

Sau này ta sẽ xét không phải là 1 hệ mà là một tập hợp hệ và sự phân bố của các điểm pha của chúng trong không gian pha vì vậy người ta đưa vào quan niệm thể tích pha

dV = dx.dy.dz

Để thuận tiện cho việc nghiên cứu sự phân bố của các hệ ta chia không gian pha ra thành các thể tích nguyên tố đồng thời tương tự như thể tích của hình hộp 3 chiều độ lớn của mỗi thể tích đó được biểu thị như sau

1.1.4 Cách mô tả thống kê nhiều hạt Xác suất trạng thái

- Cách mô tả thống kê nhiều hạt:

Trong không gian pha K, trạng thái của mỗi hệ trong tập hợp thống kê được biểu diễn bằng một điểm pha, điểm pha này gọi là điểm biểu diễn pha của hệ đó, và trạng thái của cả tập hợp thống kê được biểu diễn bằng một tập

hợp các điểm biểu diễn pha riêng biệt, gọi là tập hợp pha thống kê hay gọi tắt

dX là một yếu tố thể tích bao quanh một điểm pha ở thời điểm t

Trong tập hợp thống kê, tại thời điểm t cũng có một số hệ có điểm biểu

diễn pha dX Gọi dn là số lượng các hệ trong tập hợp thống kê có điểm biểu

( ) W ( ) ( , )

F F X d F X  X t dX

1.2 Phương pháp Gipxơ

Ta đã biết rằng, mọi thông số vĩ mô bất kỳ F đều là hàm của các thông số

vi mô, vì vậy, trong trường hợp tổng quát, nó biến thiên liên tục với thời gian

Tuy nhiên, trong bất kỳ một thí nghiệm vật lí nào, ta cũng đều đo không phải

là giá trị tức thời của các đại lượng vật lí mà là đo các trị trung bình theo thời gian [2][3] Thực vậy để tiến hành đo đạc một đại lượng nào đó như áp suất chẳng hạn ta cần một khoảng thời gian t nào đó và trị số đo được là trị trung

bình của F theo thời gian t

0

1( , , , ) ,

t t

- Để giải quyết khó khăn đó Gipxơ (Gibbs) đã đề xuất ra phương pháp nổi tiếng gọi là phương pháp Gipxơ

Cơ sở của phương pháp Gipxơ: thay việc khảo sát sự biến đổi (vĩ mô)

của hệ đã cho với thời gian bằng việc khảo sát một tập hợp nhiều hệ tương tự với hệ đã cho gọi là tập hợp thống kê

Tập hợp thống kê: là một tập hợp các hệ, tương tự với nhau có số lượng

và loại hạt như nhau và ở trong các điều kiện vĩ mô giống nhau và ở trong các trạng thái vi mô khả hữu khác nhau Đồng thời, phải đảm bảo rằng mỗi một

hệ trong tập hợp thống kê sớm hay muộn sẽ đi qua mọi giai đoạn biến đổi dành cho các hệ tương tự khác, tức là sẽ lần lượt ở trong các trạng thái vi mô

dành cho mọi hệ tương tự trong tập hợp, đó là nội dung của cái gọi là giả thiết écgôđíc Tuy nhiên có thể thừa nhận một cách gần đúng rằng mọi hệ trong tập

hợp thống kê sẽ lần lượt ở trong những trạng thái vi mô rất gần giống với

những trạng thái vi mô của các hệ khác; đó là giả thiết chuẩn écgôđíc và các

hệ đó được gọi là các hệ chuẩn écgôđíc

Giả thiết chuẩn écgôđíc: trị trung bình theo thời gian của một đại lượng

bằng trị trung bình theo tập hợp thống kê Như vậy trong phương pháp cơ bản của vật lí thống kê một vấn đề được đặt ra là làm sao tìm được trị trung bình theo tập hợp; muốn vậy ta phải tìm được mật độ xác suất hay hàm phân bố thống kê của hệ Để giải quyết vấn đề này Gipxơ đã dựa vào cách biểu diễn

hệ trong không gian pha để đưa vào mật độ xác suất

2

 Khi đó, hiển nhiên là

1 1 2 2

dndX  dX (1.1) Đẳng thức (1.1) đưa ta đến ý nghĩ rằng, sự chuyển động của các điểm biểu diễn pha của các hệ trong không gian pha cũng có thể coi tương tự như chuyển động của chất lỏng Vì vậy, ta hãy tạm thời quên không gian pha và xét phương trình liên tục (phương trình Ơle) của chất lỏng thông thường

Ta tưởng tượng tách ra trong chất lỏng chuyển động một nguyên tố thể

tích cố định có dạng hình hộp, với các cạnh là dx, dy, dz Giả sử chất lỏng

chảy vào thể tích này qua bề mặt gần gốc tọa độ và sau đó chảy qua bề mặt khác Khi đó khối lượng chất lỏng chảy vào nguyên tố thể tích theo hướng

của trục y theo thời gian dt bằng ρv y dtdxdz, trong đó:  là khối lượng riêng

của chất lỏng và nói chung nó là hàm của tọa độ và thời gian; v y là hình chiếu của vận tốc trên trục Oy Cũng trong thời gian trên khối lượng chất lỏng chảy

ra qua bề mặt song song với bề mặt trước và theo hướng trục y là

 

;

y y









Lý luận tương tự đối với các trục khác, ta tìm được khối lượng chất lỏng

dư ra tổng cộng, khi nó chảy vào chảy ra khỏi nguyên tố thể tích cả ba trục

Nhưng khối lượng chất lỏng dư đó đúng bằng độ biến thiên của khối

lượng chất lỏng của nguyên tố thể tích trong khoảng thời gian dt, nghĩa là

bằng

dt dxdydz t

Trở lại không gian pha, ta có thể viết được một phương trình tương tự, bởi vì có một sự tương tự hình thức giữa chuyển động của các điểm biểu diễn pha với các chuyển động của chất lỏng thực Có nghĩa là, đối với không gian pha K, ta có thể lặp lại các lập luận giống như trên Muốn vậy, trong không

gian pha ta đưa vào khái niệm vận tốc pha, đó là một vectơ có các thành phần

là q1, q2 p1, p2 và nó chính là vận tốc của các điểm biểu diễn pha (bởi vì

“tọa độ” của các điểm biểu diễn pha là q1, q2…p1, p2 Đối với hệ có fN bậc

tự do, ta được phương trình liên tục tổng quát sau đây

lí Liouville

Suy rộng các kết quả thu được, ta có thể nói rằng tập hợp pha chuyển động trong không gian pha với mật độ phân bố không đổi nhưng có thể bị biến dạng Giá trị căn bản của định lí Liouville là: nhờ nó ta đã chứng minh được giả thiết nói rằng số lượng dn của các hệ có điểm biểu diễn pha nằm trong thể tích nguyên tố dX là tỉ lệ với dX

Với H, là dấu ngoặc Poátxông Phương trình (1.2) thường được gọi

là phương trình chuyển động của tập hợp pha thống kê, nó đóng vai trò chủ đạo trong việc giải quyết các vấn đề của lý thuyết thống kê và các quá trình không cân bằng (hay vật lí thống kê không cân bằng) Người ta gọi phương trình (1.2) là phương trình Liouville

Trong trạng thái cân bằng nhiệt động, mật độ xác suất pha hay hàm phân bố thống kê  cần phải không phụ thuộc tường minh vào thời gian Nói một cách khác, đối với hệ cân bằng nhiệt động ta có

 

0,,

X t t

  , tức là mật độ phân bố của các điểm biểu

diễn pha của các hệ tại một chỗ đã cho trong không gian pha giữ nguyên không đổi với thời gian, có nghĩa là có bao nhiêu điểm biểu diễn pha “chảy” vào trong một thể tích nào đó sau một đơn vị thời gian thì cũng có bấy nhiêu điểm pha “chảy” ra khỏi thể tích đó sau cùng khoảng thời gian Vì vậy điểu kiện (1.3) còn được gọi là điều kiện cân bằng thống kê

Theo phương trình (1.2) và từ điều kiện (1.3) ta rút ra

H,0 (1.4) Trong cơ học lý thuyết ta biết rằng, mọi đại lượng thỏa mãn phương trình (1.4) phải là tích phân chuyển động của các phương trình Haminton hoặc là hàm của các tích phân chuyển động Đối với các hệ bảo toàn, nếu bỏ qua chuyển động tịnh tiến và chuyển động quay của toàn bộ hệ thì trong các tích

phân chuyển động ta chỉ cần chú ý đến năng lượng Do đó đối với hệ cân bằng nhiệt động ta có:

 X f H X 

Dễ dàng kiểm nghiệm lại rằng nếu thay (1.5) vào vế trái của (1.4) ta sẽ thu được giá trị bằng không, tức là phương trình (1.4) được nghiệm đúng Thực vậy ta có

a2,… và năng lượng” Nhưng điều đó chỉ thỏa mãn trong vật lí thống kê, trong trường hợp nếu như mật độ xác suất pha  chỉ phụ thuộc vào năng lượng và không phụ thuộc vào các tích phân chuyển động khác Như vậy việc chấp nhận giả thiết (1.5) là hoàn toàn hợp lí Hơn nữa lẽ dĩ nhiên hàm Haminton trong (1.5) phải phụ thuộc cả vào các thông số ngoại a1, a2,… mà ta viết tắt là a: H H X a , 

Tóm lại, ta có thể kết luận rằng đối với các hệ cân bằng nhiệt động, hàm phân bố thống kê có dạng

 X f H X a  ,  

Kết luận chương 1

Nội dung chương 1 chúng tôi đã trình bày về các khái niệm cơ bản của vật lí thống kê như: Xác suất nhiệt động, phương pháp Gipxơ, không gian pha, xác suất trạng thái và định lý về sự bảo toàn thể tích pha, đây là cơ sở để xây dựng lý thuyết thống kê nói chung

CHƯƠNG 2: HÀM PHÂN BỐ GIPXƠ

2.1 Phân bố vi chính tắc

* Xây dựng hàm phân bố chính tắc

Ta xét một hệ đoạn nhiệt, tức là một hệ không thể trao đổi năng lượng với các vật bên ngoài khi các thông số ngoại không thay đổi Đối với một hệ như vậy, hiển nhiên ta có [3]

H(X,a) = E = const, (2.1)

Và hàm phân bố f(ε) phải có dạng cực

đại nhọn, bởi vì năng lượng của hệ phải có

giá trị hoàn toàn xác định và sẽ không thay

đổi với thời gian Nói khác đi năng lượng

của hệ không thể sai lệch một cách đáng kể

với giá trị hoàn toàn xác định E, tức là

Biểu thức (2.2) được gọi là phân bố vi chính tắc Gipxơ

Tuy nhiên, do dạng đặc biệt của phân bố chính tắc nên việc sử dụng chúng gặp hàng loạt các khó khăn Vì vậy người ta thường sử dụng phân bố đối với hệ đẳng nhiệt

∆E

∆E

E → 0

2.2 Phân bố chính tắc Gipxơ

Xét với hệ đẳng nhiệt (là hệ tương tác với hệ điều nhiệt và có một nhiệt

độ cho trước hoàn toàn xác định) [1][3]

*Xây dựng phân bố chính tắc

Ta xét hệ đẳng nhiệt tức là một hệ nằm cân bằng với hệ điều nhiệt (tecmôxta) Theo quan điểm vi mô, hệ điều nhiệt hay tecmôxta cũng là một hệ

cơ học nhưng có số bậc tự do rất lớn, lớn hơn số bậc tự do của hệ mà ta muốn

khảo sát rất nhiều Giả sử hệ mà ta muốn khảo sát C 1 và hệ điều nhiệt C 2 có

các số hạt tương ứng là N 1 , N 2 và được diễn tả bằng các biến số chính tắc X 1

và X 2, đồng thời

N N

Ta có thể coi hệ chung, bao gồm hai hệ đó, là một hệ cô lập đoạn nhiệt,

và vì vậy, đối với hệ chung đó ta có phân bố vi chính tắc

trong đó hàm Hamiton của hệ chung bao gồm các hàm Hamiton của cả hai hệ

con cộng với năng lượng tương tác U 12:

+ Một là coi rằng năng lượng của các hệ C 1 và C 2 luôn luôn lớn hơn

năng lượng tương tác U 12 rất nhiều Giả thiết đó nó rất hợp lí đối với các hệ

nhiệt động thông thường nếu như các số hạt N 1 và N 2 là đủ lớn Thực vậy,