Các phân bố thống kê và nhiệt dung vật rắn

Từ đó có thể xác định được điện từ trường của các hệ vật lý một cách dễ dàng.. đoán được sự tồn tại của điện từ trường tự do trong không gian dưới dạng sóng điện từ.Trên đây là tất cả nh

Khoá luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội 2

a) Diễn tả các quy luật vật lý dưới dạng các hệ thức định lượng vàthành lập mối liên hệ nội tại giữa các sự kiên quan sát được trong thựcnghiệm, xây dựng thuyết bao gồm và giải thích được một phạm vi rộng rãinhiều hiện tượng vật lý

b)Dùng phương pháp toán học để tìm ra những quy luật mới giữa cáchiện tượng vật lý mà thực nghiệm chưa quan sát được

Như vậy, vật lý lý thuyết có nội dung Vật lý và phương pháp toán học

Nó tìm ra được những quy luật tổng hợp nhất, phản ánh được bản chất Vật lýcủa nhiều hiện tượng xét một cách tổng quát

Điện động lực học là một môn của Vật lý lý thuyết, nên cũng có nhữngnhiệm vụ và đặc điểm nói trên Trong đó nó đưa ra các đại lượng trung gian

đặc trưng cho điện từ trường : đó là thế véc tơ và thế vô hướng Đồng thời

cũng xây dựng được các phương trình của thế véctơ và thế vô hướng Từ đó

có thể xác định được điện từ trường của các hệ vật lý một cách dễ dàng

Để thực hiện được nhiệm vụ này, điện động lực học đã sử dụng nhữngphương trình tổng quát nhất, được coi là cơ sở điện động lực học đó là cácphương trình Macxoen Đặc biệt là từ hệ phương trình này, Macxoen đã tiên

đoán được sự tồn tại của điện từ trường tự do trong không gian dưới dạng sóng điện từ.

Trên đây là tất cả những lý do khiến tôi lựa chọn và nghiên cứu đề tài:

“Thế véc tơ và thế vô hướng của trường điện từ”

2 Mục đích nghiên cứu của đề tài

- Tìm hiểu từ trường thông qua thế véc tơ và thế vô hướng

- Giải một số bài tập thuộc phương trình Poatxong, thông qua đó tìmhiểu thêm những kiến thức cơ bản của điện từ trường và những công cụ toánhọc để tiếp cận với những bài toán đã đề ra

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Từ hệ phương trình Macxoen đưa ra các đại lượng thế vectơ và thế vôhướng

- Lập các phương trình vi phân của thế vectơ và thế vô hướng

- Giải các bài tập về thế vectơ và thế vô hướng

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

- Đối tượng : thế vectơ và thế vô hướng của trường điện từ

- Phạm vi : điện động lực học vĩ mô

5 Phương pháp nghiên cứu

Các phương pháp nêu của vật lý lý thuyết

PHẦN II: NỘI DUNG

CHƯƠNG 1 TĨNH ĐIỆN TRƯỜNG 1.1 Hệ các phương trình Macxoen tổng quát

Điện từ trường được đặc trưng bằng bốn vectơ : vectơ cường độ điện

trường

E , vectơ cảm ứng điện  D ,vectơ cường độ từ trường H , véc tơ cảm

ứng điện trường B Bốn vectơ trên không độc lập với nhau Đối với môitrường đẳng hướng, chúng liên hệ với nhau bằng những hệ thức:

Điện từ trường có năng lượng được phân bố liên tục trong không gian

mà mật độ bằng w  1  ED  HB 2 năng lượng tuân theo định luật bảo toàn

năng lượng.Với một hệ cô lập chỉ có điện tích và điện từ trường tương tác với nhau, thì xung lượng của điện tích và điện từ trường là một lượng không đổi.Trường tĩnh là những trường thỏa mãn điều kiện:

- Các đại lượng đặc trưng không biến đổi theo thời gian

- Các điện tích không chuyển động Khi áp dụng các phương trình Macxoen cho các trường tĩnh, ta phải cho các đạo hàm theo thời gian của các đại lượng đặc trưng cho trường tĩnh bằng

Trong môi trường đồng chất, các phương trình (*), (**) của tĩnh điện trường có thể viết thành :



1.2 Tĩnh điện trường trong môi trường đồng chất -thế vô hướng



Từ phương trình (***) rotE  0 , ta thấy rằng tĩnh điện trường là một

trường thế Dạng tích phân của (***) là:

 

 Edl  0 (1.2.1)D



C2

Xét hai điểm bất kỳ A, B

B

trong tĩnh điện trường, và C1 và C2

là hai đường đi bất kỳ từ A đên B,

Edl là công của điện trường để di chuyển một điện tích dương bằng

đơn vị (e= +1C) trên nguyên tố đường d, nên vế trái và vế phải (I.2.2)biểudiễn công của tĩnh điện trường để di chuyển điên tích e= +1C từ A đến B theocác đường C1 và C2

Vậy : trong tĩnh điện trường công để di chuyển một điện tích từ điểm này

đến điểm khác không phụ thuộc vào đường đi, chỉ phụ thuộc vào điểm đầu và điểm cuối Đó là tính chất của trường thế.

tức là thỏa mãn phương trình (***):

rot   0

Hàm  được định nghĩa bằng (1.2.3) gọi là thế vô hướng của tĩnh điện

trường( thế tĩnh điện hay điện thế)

Như vậy, nếu  xác định trường  thì   C cũng xác định trường 

đó Chính vì vậy ta cần định cỡ điện thế  Sau khi định cỡ, điện thế ở mọi điểm được xác định một cách đơn giá

Để thuận tiện cho các phép tính toán, tùy từng trường hợp cụ thể, ta có thể quy ước cho  tại mỗi điểm nào đó một giá trị xác định nào đó Cách làm

đó gọi là phép định cỡ điện thế Sau khi đã định cỡ, điện thế tại mỗi điểm được xác định một cách đơn giá

Trong vật lý lý thuyết, ta thường cho ở vô cực bằng 0

Tức là : điện thế tại một điểm bất kỳ bằng công của điện trường để di

chuyển một điện tích dương bằng đơn vị từ điểm đó đến vô cực (cũng bằng

công mà ta phải cung cấp để di chuyển một điện tích dương bằng đơn vị từ vôcực đến điểm đó )

1.3 Điện thế của một hệ điện tích

r'i ri



vì theo định nghĩa : E  grad 

Điện thế của hệ bằng tổng các điện thế của từng điện tích

Mở rộng ra cho một hệ gồm n điện tích điểm , ta có :

ri là khoảng cách từ điểm quan sát đến điện tích ei .

Để thuận tiện hơn cho

ei

các phép tính ta quy ước

chọn một điểm O bất kỳ làm

gốc, và  gọi là bán kính

vectơ của điểm quan sát, r  

- Nếu điện tích được phân bố liên tục trong một thể tích V bất kỳ, ta xét

một nguyên tố thể tích dV có mật độ điện tích khối bằng

 i

R



dV .

V dV

r'

r

P R

4 V r

trong đó r là khoảng cách từ điểm quan sát đến nguyên tố thể tích dV .

- Đối với một hệ điện tích phân bố liên tục trên mặt S với mật độ điện tích mặt bằng  , ta có :

4 S r

trong đó r là khoảng cách từ điểm quan sát đến nguyên tố mặt dS

- Nếu hệ điện tích gồm cả điện tích khối và điện tích mặt phân bố liên tục, ta có :

4 V  R  r (1.3.5a)

r 2  r 2   r  r  r  r   2rl (1.3.10)

Đó là phương trình Poatxong của thế vô hướng

Đối với một điểm không chứa điện tích thì phương trình Poatxong trởthành phương trình Laplaxơ:

 2

  0Nghiệm của phương trình Poatxong cần thỏa mãn các điều kiện : là mộthàm hữu hạn, liên tục và có tọa độ theo tọa độ hữu hạn để cho các phươngtrình có ý nghĩa vật lý

1.5 Bài tập chương 1

Tính điện thế và điện trường do một bản song song vô tận tích điện đều

Bề dày của bảnbằng 2a, mật

l

độ điện tích trong bản là điện môi trong bản và ngoài

Bản vô tận chia không gian thành ba miền ( hình vẽ )

Bài

đối xứng với mặt trung bình củabản, nên điện thế và điện trườngcũng đối xứng với mặt đó Bản

là vô tận nên vectơ điện trường

có phương song song với trục

Oz Chọn mặt trung bình là xOy.Điện thế chỉ phụ thuộc một tọa

z  a  z  a

Từ các phương trình (2a) và (3a), ta rút ra :



CHƯƠNG 2

TỪ TRƯỜNG DỪNG 2.1 Các phương trình của từ trường dừng

Từ trường dừng là từ trường do các dòng dừng gây ra, các dòng dừng là các dòng điện không biến đổi theo thời gian

Vì vậy các phương trình của từ trường dừng có dạng:

) là một hàm véctơ của tọa độ Hàm

  

rotH  rotrotA   j (2.2.3)

Mặt khác ta lại có:   

rotrotA  graddivA 2

A

Ta chọn điều kiện định cỡ cho thế vectơ A : div A =0 (2.2.4)

Phương trình (2.2.3) viết lại thành:

Trong trường hợp dòng điện mặt là dòng điện có mật độ là i

của phương trình có thể viết dưới dạng :

thì nghiệm

2

rdV

r  r 

là dạng tích phân của định luật Biô-xava

2.3 Thế véctơ và từ trường dòng nguyên tố

Dòng nguyên tố là một dòng khép kín chảy trong miền có kich thước rấtnhỏ so với khoảng cách từ dòng đến điểm quan sát Như vậy bất kỳ một dòngkhép kín nào cũng có thể được gọi là dòng nguyên tố

P Đối với dòng nguyên tố, thế

véc tơ tại điểm quan sát sẽ có dạng:

xác định trên hình vẽ với r   R .

  Khi đó

Số hạng đầu là vi phân toàn phần của một véctơ, tích phân theo đườngkín của nó bằng 0 Do đó :

  1     1   

A    rdr  R  3  □ r, drR

(2.3.5)Đặt :

4

  

Khi đó:

M  I 2

Trong hệ tọa độ trụ : A2 

0

(2)

 C3 ln r  C4

Khi r  0 thì ln r   thì C1  0

và các phương trình thế Các kết quả này đã giúp em tính điện trường tại mộtđiểm bất kỳ thật nhanh chóng Việc vận dụng để giải các bài tập đã được tiếnhành một cách chặt chẽ và hiệu quả

e

 D

t

CHƯƠNG 3 TRƯỜNG CHUẨN DỪNG 3.1 Điều kiện chuẩn dừng

Trường chuẩn dừng là những trường biến thiên chậm theo thời gian, tức là thỏa mãn hai điều kiện sau đây:

- Điều kiện thứ nhất: dòng điện dịch rất nhỏ có thể bỏ qua được so vớidòng điện dẫn:

3.2 Các phương trình của trường chuẩn dừng

Nếu bỏ qua dòng điện dịch so với dòng điện dẫn các phương trìnhMacxoen của trường chuẩn dừng có dạng:

ở đây : A  A  r ,t  hàm của cả tọa độ lẫn thời gian và được gọi là thế véctơ

của điện từ trường.

Điều kiện định cỡ cho thế véctơ A :

2   



divA  0 , ta có:

2

3.3 Bài tập chương 3

Bài 1 :

Một khung dây có diện tích bắng S và quay đều trong một từ trường đều

B số vòng quay trong một giây là N.Tính thế điện động cực đại trong khung dây

V  V 12

và viết dưới dạng tích phân, lấy tích phân dọc theo mạch điện từ bản này đếnbản kia của tụ điện, tức là từ điểm 1 đến điểm 2

Vì thế véctơ A là một hàm liên tục và khoảng cách giữa hai bản của tụ

điện là rất nhỏ so với độ dài của toàn mạch, vì vậy coi tích phân thứ 2 trong

vế phải của phương trình (2) là tích phân theo đường kín :

Nếu các lượng n , R, L,C là cho trước, ta giải phương trình (7) sẽ tìm

được cường độ dòng điện I trong mạch một cách đơn giá

3.4.Kết luận chương 3

Với trường tĩnh và trường dừng là những trường không biến thiên theothời gian, điện trường và từ trường độc lập với nhau, em đã hệ thống lại đượccác kết quả nghiên cứu về thế véctơ và thế vô hướng Còn với trường chuẩndừng là những trường biến thiên chậm theo thời gian, điện trường và từtrường biến thiên có mối quan hệ gắn bó với nhau, không thể khảo sát riêng rẽđược thì trong quá trình nghiên cứu, em vẫn dựa trên nền tảng là hệ phươngtrình Macxoen và áp dụng các phương pháp củaVật lý lý thuyết để tổng hợplại kết luận về các thế của trường này chính xác và tổng quát Đó là thế véctơ

và thế vô hướng của trường điện từ Và với các kết quả này khi vận dụng làmcác bài tập liên quan đến môi trường phức tạp này em có thể đưa từ dạngphức tạp trở thành dạng đơn giản hơn Chính vì vậy quá trình tiến hành giảibài tập đã không còn khó khăn nữa

 

CHƯƠNG 4 SÓNG ĐIỆN TỪ- LÝ THUYẾT BỨC XẠ 4.1 Điện từ trường tự do – sóng điện từ trong môi trường đồng chất – sóng phẳng

4.1.1 Điện từ trường tự do

Điện từ trường tự do nói chung cũng do một hệ điện tích và dòng điệnnào đó sinh ra Nhưng sau khi được hình thành, chúng tách rời khỏi hệ điệntích và dòng điện, và vận động theo những quy luật riêng của chúng, khôngphụ thuộc vào nguồn gốc sinh ra chúng nữa

Các phương trình Macxoen đã cho phép tiên đoán sự tồn tại của điện từtrường tự do ngay từ trước khi chúng ta tạo ra loại trường đó bằng thựcnghiệm

Các phương trình của điện từ trường tự do là các phương trình Macxoen



trong đó ta đặt điều kiện   0 và j  0 ( chỉ có trường, không có điện tích

và dòng điện) Các phương trình này có thể thỏa mãn trong một điện môi đồng chất và vô hạn

4.1.2 Sóng điện từ trong môi trường đồng chất

Từ các phương trình Macxoen với các điều kiện

(4.1.3)(4.1.4)

j

B

Qua các phương trình trên, ta thấy rằng đối với điện từ trường tự do, điệntrường và từ trường không tách rời nhau Quan hệ giữa chúng chặt chẽ hơn sovới trường chuẩn dừng và thể hiện ở hai mặt:

+ Do tác dụng của cảm ứng điện từ Faraday (4.1.1.a)

+ Do tác dụng của dòng điện dịch (4.1.2.a)

Vậy từ trường biến thiên sinh ra điện trường, và ngược lại từ trường biếnthiên lại sinh ra từ trường Điện trường và từ trường ở đây đều là trường xoáy.Muốn xét kỹ hơn tính chất của điện từ trường tự do, thực hiện một sốphép biến đổi sau đây:

Lấy rot hai vế của phương trình(4.1.1.a), ta được:

Tương tự như vậy:

Lấy rot hai vế của phương trình (4.1.3.a) Ta được:

Như vậy điện trường và từ trường cùng thỏa mãn một phương trình như

nhau Phương trình đó là phương trình Dalambe hay phương trình sóng Điện

từ trường tự do tồn tại dưới dạng sóng điện từ và không có điện từ trường tự

div   

div   0

(4.2.3)(4.2.4)

So sánh với các phương trình của trường chuẩn dừng ta thấy ở đây



 B

 0 .

t

4.2.1 Thế véctơ và thế vô hướng

Đối với sóng điện từ, biểu thức của thế véc tơ và thế vô hướng giống như đối với trường chuẩn dừng:



Đưa thế véctơ và thế vô hướng vào, ta có :

4.2.3 Nghiệm của các phương trình thế Thế trễ

Các phương trình (4.2.10) và (4.2.11) viết chung lại dưới dạng:

f r,t  là  j hoặc

 .

nghiệm của phương trình Đalambe với toàn bộ không gian có dạng :

r v Ta có :

j của nguồn vào thời điểm t  , tức là trước t một khoảng thời gian bằng

cho nên thế tại điểm quan sát được gọi là thế trễ Thế truyền đi từ nguồn theo

mọi phương của không gian

Xét một hệ điện tích trung hòa nằm trong một miền không gian hữu hạn

V, trong đó mật độ điện tích và mật độ dòng điện ở từng điểm biến thiên theothờì gian :

   r, t 

j  j r, t 

Nhưng không có điện tích và dòng điện đi ra ngoài hoặc vào trong miền

V Một hệ như vậy là một nguồn bức xạ ra sóng điện từ Vì ta có thể coi hệ

như đó như một lưỡng cực biến thiên theo thời gian nên nó được gọi là lưỡng

cực bức xạ

Chúng ta xét một điểm quan sát P

ở cách xa lưỡng cực và có gốc tọa độtrong miền V( hình vẽ ), ta có :

1

  o ,   0 , v  c 

Áp dụng công thức (4.2.14) và(4.2.15) để tính thế điện trường dolưỡng cực bức xạ gây ra

 

 

R  r

4.3.1 Thế vô hướng của lưỡng cực bức xạ

Theo phương trình (4.2.15) ta viết được :

4.3.2 Thế vô hướng của lưỡng cực bức xạ : bức xạ

Theo phương trình (4.2.15), ta viết được :

Ta được :

p*

  r *

dV

  aor  divj  j* grad  aor   div   aor  j *

Ở đây ta lấy ta phải đạo hàm theo r , nên :

  

B  i k A 

từ khi trước chúng ta tạo ra loại trường đó bằng thực nghiệm Cũng tương tựnhư các chương trước, trong chương này em đã hệ thống lại các thế củatrường, của lưỡng cực bức xạ và sử dụng các phương trình thế để tìm thế vôhướng và thế véctơ một cách tổng quát Mặc dù điện từ trường tự do là mộtmôi trường khá phức tạp và phải dùng rất nhiều các công cụ toán học để tìm

ra kết quả nhưng các kết quả về thế véctơ và thế vô hướng lại giúp em hiểusâu hơn các kiến thức cơ bản về các loại trường trong Vật lý

 

PHẦN III: KẾT LUẬN CHUNG

Thế vectơ và thế vô hướng là những đại lượng trung gian khi nghiêncứu điện từ trường Nhờ đó, chúng ta có thể biểu diễn toán học lý thuyết điện

từ trường một cách đẹp đẽ cũng như rút được những quy luật, những tính chấtcủa điện từ trường Bản luận văn của em đã trình bày một cách có hệ thống vềthế véctơ và thế vô hướng cũng như các phương trình Poatxong của thế vecto

và thế vô hướng Sau khi hoàn thành luận văn em đã hiểu rõ hơn về cácphương pháp tư duy của Vật lý lý thuyết, vai trò của toán học trong Vật lý lýthuyết, phương pháp nghiên cứu khoa học …điều này rất bổ ích cho việcgiảng dạy của em sau khi ra trường

Với thời gian nghiên cứu không nhiều và đây cũng chính là lần tập duợtđầu tiên của em trong công tác nghiên cứu khoa học, do vậy sẽ không tránhkhỏi những thiếu sót em rất mong được sự chỉ bảo góp ý của các bạn sinhviên trong khoa và trong trường

Cuối cùng em xin chân thành cảm ơn sự giúp đỡ của cô giáo hướng dẫn

TS Lưu Thị Kim Thanh , các thầy cô giáo và các bạn sinh viên trong khoa,

trong trường đã giúp đỡ em hoàn thành đề tài này

Hà Nội, tháng 5 năm 2009