Nghiên cứu sức căng mặt ngoài của ngưng tụ bose einstein một thành phần trong thống kê chính tắc (2018)

NGHIÊN CỨU SỨC CĂNG MẶT NGOÀI CỦA NGƯNG TỤ BOSE-EINSTEIN MỘT THÀNH PHẦN TRONG THỐNG KÊ CHÍNH TẮC Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC HÀ NỘI, 2018... NGHIÊN C

NGHIÊN CỨU SỨC CĂNG MẶT NGOÀI CỦA NGƯNG

TỤ BOSE-EINSTEIN MỘT THÀNH PHẦN TRONG

THỐNG KÊ CHÍNH TẮC

  Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết

  KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

HÀ NỘI, 2018

NGHIÊN CỨU SỨC CĂNG MẶT NGOÀI CỦA NGƯNG

TỤ BOSE-EINSTEIN MỘT THÀNH PHẦN TRONG

THỐNG KÊ CHÍNH TẮC

  Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết

  KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

    Người hướng dẫn khoa học

PGS.TS Nguyễn Văn Thụ  

HÀ NỘI, 2018

LỜI CẢM ƠN

Trước khi trình bày nội dung chính của luận văn, tôi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới PGS.TS. Nguyễn Văn Thụ người đã định hướng chọn đề tài và tận tình giúp đỡ, hướng dẫn để tôi có thể hoàn thành khóa luận này. 

Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới các thầy cô giáo giảng dạy chuyên ngành vật lý lý thuyết khoa vật lý, trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã nhiệt tình giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và làm khóa luận. 

Hà Nội, tháng 5 năm 2018. 

Tác giả luận văn 

 Nguyễn Thị Thanh

LỜI CAM ĐOAN

Dưới sự giúp đỡ và hướng dẫn của PGS.TS. Nguyễn Văn Thụ luận văn chuyên ngành Vật lý lý thuyết với đề tài “Nghiên cứu sức căng mặt ngoài của ngưng  tụ  Bose-Einstein  một  thành  phần  trong  thống  kê  chính  tắc”  và  được hoàn  thành bởi  chính  sự  nghiên  cứu  tìm  hiểu  của  bản  thân, không  trùng  lặp với bất cứ luận văn nào khác. 

Trong quá trình nghiên cứu, tôi đã kế thừa những thành tựu của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn. 

Hà Nội, tháng 5 năm 2018. 

Tác giả luận văn 

Nguyễn Thị Thanh

MỤC LỤC

Trang

MỞ ĐẦU   1 

1. Lý do chọn đề tài.   1 

2. Mục đích nghiên cứu.   1 

3. Nhiệm vụ nghiên cứu.   2 

4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu.   2 

5. Những đóng góp mới của đề tài.   2 

6. Phương pháp nghiên cứu.   2 

NỘI DUNG   3 

CHƯƠNG 1: LÝ THUYẾT CHUNG CỦA NGƯNG TỤ BOSE-EINSTEIN  3  1.1.  Tổng quan về ngưng tụ Bose-Einstein.   3 

1.1.1. Tổng quan nghiên cứu lý thuyết về ngưng tụ Bose-Einstein   3 

1.1.2. Tổng quan nghiên cứu thực nghiệm về ngưng tụ Bose-Einstein   4 

1.1.2.1.  Ngưng tụ Bose-Einstein đầu tiên của nguyên tố Erbium   4 

1.1.2.2.  Lần đầu tiên quan sát thấy hiệu ứng Hall ở một BEC   5 

1.2.  Lý thuyết trường trung bình   6 

1.2.1. Thế tương tác   6 

1.2.2. Phương trình Gross-Pitaevskii.   10 

1.3. Phương pháp gần đúng parabol kép (Double parabola approximation-DPA).   12 

KẾT LUẬN CHƯƠNG 1   14 

CHƯƠNG 2: SỨC CĂNG MẶT NGOÀI CỦA NGƯNG TỤ BOSE-EINSTEIN MỘT THÀNH PHẦN TRONG THỐNG KÊ CHÍNH TẮC   15 

2.1.  Các hệ thống kê.   15 

2.1.1. Hệ hạt đồng nhất.   15 

2.1.2. Hệ vi chính tắc   16 

2.1.3. Hệ chính tắc   19 

2.2.  Trạng thái cơ bản trong gần đúng Parabol kép.   25 

2.3.  Khái niệm sức căng mặt ngoài.   27 

2.4. Sức căng mặt ngoài trong hệ chính tắc.   31 

KẾT LUẬN CHƯƠNG 2   33 

KẾT LUẬN   34 

TÀI LIỆU THAM KHẢO   35 

KÍ HIỆU VIẾT TẮT

BEC  (Bose-Einstein condensate): Ngưng tụ Bose- Einstein GPE  (Gross-Pitaevskii equation): Phương trình Gross-Pitaevskii DPA  (Double-parabola approximation): Gần đúng parabol kép 

CE  (Canoical ensemble): Chính tắc 

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Ngưng tụ Bose-Einstein (BEC) là trạng thái vật chất được tạo thành khi làm lạnh khí boson, tới gần độ không kenvin (0K). Ở nhiệt độ này, một lượng lớn  các  boson  nằm  ở trạng  thái  lượng  tử thấp  nhất,  khi  đó  ở  mức  vĩ  mô  các hiệu ứng lượng tử trở lên rõ nhất và được gọi là hiện tượng lượng tử mức vĩ 

mô. 

Năm  1924,  Albert  Einstein  và  Satyendra  Nath  Bose  đã  dự  đoán  là  có trạng  thái  “Ngưng  tụ  Bose-Einstein”,  hay  còn  gọi  là  trạng  thái  thứ  năm  của vật chất. Trong trạng thái BEC này, thì vật chất không còn hoạt động độc lập với nhau nữa mà chúng rơi vào một trạng thái mà được diễn tả với cùng một hàm sóng duy nhất. 

Ở  thể  khí,  Ngưng  tụ  Bose-Einstein  là  một  lý  thuyết  bị  nghi  ngờ  trong suốt một thời gian dài. Năm 1995, một đội nghiên cứu đến từ trường đại học Colorado ở Bouder lần đầu tiên đã tạo ra thành công được trạng thái này bằng thực nghiệm.  

Việc phát hiện ra trạng thái ngưng tụ Bose-Einstein đã mang lại những phát  minh quan  trọng  và mở  đường  cho sự  phát triển  của  khoa học  và công nghệ hiện đại. 

Trong  các  nghiên  cứu  về  ngưng  tụ  Bose-Einstein  thì  nghiên  cứu  sức căng  mặt  ngoài  của  nó  có  ý  nghĩa  quan  trọng,  đặc  biệt  trong  việc  tìm  hiểu chuyển  pha  ướt  của  hệ.  Đây  là  vấn  đề  được  đưa  vào  vận  dụng  nhiều  trong công  nghệ  ngày  nay.  Vì  lí  do  trên  mà  tôi  lựa  chọn  đề  tài  “Nghiên cứu sức căng mặt ngoài của ngưng tụ Bose-Einstein một thành phần trong thống

kê chính tắc” làm đề tài nghiên cứu của mình. 

2 Mục đích nghiên cứu

Nghiên  cứu  sức  căng  mặt  ngoài  của  ngưng  tụ  Bose-Einstein  một  thành phần trong thống kê chính tắc. 

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Xây  dựng  phương  trình  Gross-Pitaevskii  và  phương  pháp  gần  đúng parabol kép

Nghiên  cứu  sức  căng  mặt  ngoài  của  ngưng  tụ  Bose-Einstein  một  thành phần trong thống kê chính tắc

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Hệ ngưng tụ Bose-Einstein một thành phần trong thống kê chính tắc, tức 

là hệ cô lập với số hạt không đổi. 

5 Những đóng góp mới của đề tài

Nghiên  cứu  sức  căng  mặt  ngoài  của  ngưng  tụ  Bose-Einstein  một  thành phần trong thống kê chính tắc có những đóng góp quan trọng trong lý thuyết lượng tử và vật lý thống kê nói riêng, trong vật lý lý thuyết nói chung.  

6 Phương pháp nghiên cứu

- Sử dụng gần đúng trường trung bình. 

- Sử dụng gần đúng parabol kép. 

- Sử dụng thống kê chính tắc. 

- Tính toán và vẽ hình dựa vào phần mềm Mathematical. 

NỘI DUNG CHƯƠNG 1

LÝ THUYẾT CHUNG CỦA NGƯNG TỤ BOSE-EINSTEIN

1.1 Tổng quan về ngưng tụ Bose-Einstein

1.1.1 Tổng quan nghiên cứu lý thuyết về ngưng tụ Bose-Einstein

Ngưng tụ Bose-Einstein (BEC) là trạng thái vật chất được tạo thành khi làm lạnh khí boson, tới gần độ không kenvin (0K). Ở nhiệt độ này, một lượng lớn  các  boson  nằm  ở trạng  thái  lượng  tử thấp  nhất,  khi  đó  ở  mức  vĩ  mô  các hiệu ứng lượng tử trở lên rõ nhất và được gọi là hiện tượng lượng tử mức vĩ 

mô. Einstein đã đưa ra dự đoán này vào năm 1925 với các nguyên tử có spin nguyên. Tiếp đó Einstein đã cải tiến quan điểm của Bose cho một hệ các hạt. 

Sự cố gắng của hai nhà khoa học đã đưa ra lý thuyết về khí bose trong phạm 

vi  của  thống  kê  Bose-Einstein.  Einstein  giải  thích  được  nếu  các  nguyên  tử boson được làm lạnh đến độ không tuyệt đối thì hệ này sẽ bị tụ lại trong một trạng thái lượng tử thấp nhất có thể sau đó vật chất hình thành lên một trạng thái mới. 

Hiện nay, người ta đã ngưng tụ được tổng cộng 13 nguyên tố. Trong đó mười  nguyên  tố  được  tìm  ra  bởi  mười  nhóm  nghiên  cứu  khác  nhau  trên  thế giới [4]. 

Năm 1995, khí đầu tiên đã được ngưng tụ thành công bởi hai nhà khoa học Eric Cornell và Carl Wieman, đó là nguyên tử Rubidi được làm lạnh tới nhiệt độ 170 nanokelvin (nK). Cùng thời điểm, nhà vật lý Wolfgang Ketterle 

đã ngưng tụ thành công nguyên tử Natri để tạo ngưng tụ Bose-Einstein. Sau 

đó Cornell, Wieman, Ketterle đã được trao giải Nobel Vật lý năm 2001.  Trong  vật  lý  có  hai  lớp  hạt  cơ  bản:  lớp  hạt  boson  và  lớp  hạt  fermion. Boson  bao  gồm  các  hạt  với  “spin  nguyên”  (photon,  -meson,  K-meson, ); fermion  bao  gồm  hạt  với  “spin  bán  nguyên”  (electron,  các  nucleon, ).  Các 

hạt  boson  tuân  theo  thống  kê  Bose-Einstein,  còn  các  hạt  fermion  tuân  theo thống kê Fermi-Dirac. Bên cạnh đó các hạt fermion còn tuân theo nguyên lí loại  trừ  Pauli,  đó  là:  “Nếu  có  một  bộ  bốn  đại  lượng  động  lực ( , , , ) bất kì đủ để đặc trưng cho trạng thái của một hạt, thì trong hệ fermion  không  thể  có  hai  hạt  có  trạng  thái  được  đặc  trưng  bởi  bốn  số ( , , , ) giống nhau” [2]. 

Ở điều kiện bình thường khí fermi và boson tạo ra các biến đổi như nhau 

và tuân theo gần đúng thống kê Maxwell-Boltzman (vì từ thống kê Maxwell- Boltzman  có  thể  suy  ra  thống  kê  Bose-Einstein  và  thống  kê  Fermi-Dirac). Một quan điểm được đưa ra đó là khí bose và khí fermi khác nhau về tính chất khi  ở  nhiệt  độ  thấp.  Đúng  thế,  do  các  hạt  boson  không  bị  ảnh  hưởng  bởi nguyên lý cấm Pauli nên ở nhiệt độ thấp năng lượng của các hạt đạt cực tiểu 

= 0,  vì  vậy  tất  cả  các  chất  khí  đều  ở  trạng  thái  cơ  bản  và  có  năng  lượng 

= 0 . Ngược lại, đối với khí fermi khi ở độ không tuyệt đối các hạt có các mức năng lượng lần lượt từ 0 đến mức fermi, từ đó năng lượng của cả hệ khác không ( ≠ 0). 

Dựa trên quan điểm vĩ mô ngưng tụ Bose-Einstein gồm các hạt có spin nguyên ở trạng thái cơ bản có nhiệt độ thấp và mật độ cao. Chứa khí nguyên 

tử lạnh và vật lý chất rắn chuẩn hạt. Nhưng phổ biến nhất vẫn là khí boson. 1.1.2 Tổng quan nghiên cứu thực nghiệm về ngưng tụ Bose-Einstein 1.1.2.1 Ngưng tụ Bose-Einstein đầu tiên của nguyên tố Erbium

Nhờ  các  đặc  trưng  quan  trọng  của  chất  khí  lượng  tử  siêu  lạnh  đã  giúp cho  việc tìm  hiểu  các  hiện tượng  Vật lý  trở  nên dễ dàng hơn. Nhóm  nghiên cứu của Francesca Ferlaino đã quyết định tìm hiểu nguyên tố Erbium, đó là vì những tính chất đặc biệt của nó giúp giải quyết những nghi ngờ trong lĩnh vực Vật lý cơ bản. 

Theo Ferlaino, “Erbium tương đối nặng và có từ tính mạnh. Những tính chất này dẫn tới một trạng thái lưỡng cực cực độ của các hệ lượng tử”. 

Bà và các cộng sự đã dựa vào kĩ thuật làm lạnh bay hơi và phương tiện laser  đã  ngưng  tụ  thành  công  các  nguyên  tố  phức  tạp.  Ở  nhiệt  độ  gần  độ không  kenvil  (0K),  một  ngưng  tụ  Bose-Einstein  từ  tính  được  tạo  ta  từ  một đám mây chứa một lượng lớn các hạt erbium. Ở trạng thái này, tính chất đơn 

lẻ của các hạt bị mất đi và đồng bộ hóa thành trạng thái của chúng.  

Ba nguyên tố hóa học đó là Strontium, Cesium và Erbium đã được các nhà nghiên cứu ở Innsbruck ngưng tụ thành công trong những năm trở lại đây. Một bước tiến quan trọng mà Rudolf Grimm cùng nhóm đồng nghiệp của ông 

đã  thực hiện hồi năm 2002, đó là Cesium đã được ngưng tụ thành công, đã đem lại hàng loạt những thành tựu cho khoa học trong những năm tiếp theo. Florian Schreck, một thành viên thuộc nhóm nghiên cứu của Rudolf Grimm, 

là người đầu tiên hiện thực hóa một ngưng tụ của Strontium hồi năm 2009. Và nay Francesca Ferlaino lập tiếp kì công này với nguyên tố Erbium. 

1.1.2.2 Lần đầu tiên quan sát thấy hiệu ứng Hall ở một BEC

Hiệu ứng Hall được tạo thành từ sự tương tác của dòng điện và từ trường phổ  biến  với  kim  loại  và  chất  bán  dẫn.  Hiệu  ứng  Hall  được  thay  đổi  và  cải tiến để ứng dụng rất nhiều trong kĩ thuật và trong vật lý từ những hệ thống tự đánh  lửa  tự  động  cho  đến  những  phép  đo  cơ  bản  của  điện  học.  Những  phát hiện mới này làm cho các nhà vật lý hiểu được tường minh hơn về cơ sở vật 

lý của các hiện tượng lượng tử như hiệu ứng Hall lượng tử. 

Hiệu  ứng  Hall  do  Edwin  Hall  tìm  ra  vào  năm  1879,  để  hiểu  một  cách đơn giản ta hãy xét một chất dẫn điện hình chữ nhật ví dụ một tấm đồng hình chữ nhật và dọc theo chiều dài của tấm đồng ta cho một dòng điện đi qua nó. Khi  đó  ta  đặt  vuông  góc  miếng  đồng  vào  trong  một  từ  trường,  thì  dưới  tác dụng của một lực vuông góc với mặt phẳng chứa dòng điện và từ trường làm 

cho đường đi của các hạt mang điện bị lệch. Dưới tác dụng của từ trường các hạt  mang  điện  bị  dồn  một  bên  của  tấm  đồng  từ đó hình  thành  nên  một  hiệu điện thế gọi là hiệu điện thế Hall. Hiệu điện thế này có thể dùng để xác định những đặc tính bên trong các hệ thống điện như nồng độ hạt mang điện. 

“Các  hệ  nguyên  tử  lạnh  là  một  nền tảng quan  trọng  để  nghiên cứu  nền Vật lý phức tạp vì chúng gần như không có tạp chất gây cản trở, các nguyên 

tử chuyển động chậm hơn nhiều so với các electron trong chất rắn, và các hệ cũng đơn giản hơn nhiều”, nhà nghiên cứu NIST Lindsay LeBlanc nói. 

Dựa vào công trình NIST làm cơ sở việc xác định hiệu ứng Hall ở một ngưng tụ Bose-Einstein được thực hiện để hình thành nên điện từ trường nhân tạo.  Trước  hết,  họ  sử  dụng  laser  gắn  kết  năng  lượng  của  các  nguyên  tử  với xung  lượng  của  chúng,  tức  là  nhóm  hai  trạng  thái  bên  trong  thành  một  liên kết.  Dẫn  đến  những  nguyên  tử  trung  hòa  về  điện  tác  dụng  như  thể  chúng mang điện. Từ một đám mây chứa một lượng lớn các nguyên tử, các nhà khoa học cho lực bắt giữ biến thiên tuần hoàn - đẩy các nguyên tử trong đám mây lại gần nhau rồi lại hút chúng ra xa - để diễn tả sự di chuyển của các hạt tích điện. Kết quả, về mặt toán học các nguyên tử bắt đầu chuyển động giống với cách  chuyển  động  của  các  hạt  mang  điện  dưới  tác  dụng  của  hiệu  ứng  Hall, nghĩa là vuông góc với mặt phẳng của từ trường và dòng điện. 

1.2 Lý thuyết trường trung bình

1.2.1 Thế tương tác

Xét hệ ngưng tụ Bose-Einstein một thành phần được hình thành từ trạng thái cơ bản của hệ hạt có spin nguyên (hệ boson) ở điều kiện độ không tuyệt đối.  Để  tìm  hiểu  một  hệ  khí  nào  đó,  ta  đi  nghiên  cứu  năng  lượng  của  hệ  ở trạng thái cơ bản. Phương trình Hamilton dạng tổng quát cho hệ có dạng 

  Với toán tử Hamilton  ˆH  và hàm sóng y  năng lượng có dạng 

 

ˆ

H E

các hạt trong hệ. Nhưng để giải được của bài toán chúng ta phải dùng phương pháp  gần  đúng  trường  trung  bình.  Tức  là  bỏ  qua  tất  cả  các  chỉ  số  của  hàm sóng. 

Bằng  phương  pháp  này,  năng  lượng  tự  do  cần  được  cực  tiểu  hóa  trong không  gian  hàm  sóng  có  dạng   y y y , trong  đó    là  tích tenxơ và do đó   là tích tenxơ của N hàm sóng của các hạt trong hệ; ta đang 

khảo sát bài toán với điều kiện chuẩn hóa    1.  

Việc giải bài toán từ đây tương đương với việc tìm giá trị nhỏ nhất của năng lượng tự do F    Hˆ     Xét từng số hạng trong biểu thức.  

Xét động năng của hệ  

1

.2

đó chúng ta xem như y  và y* độc lập với các biến số. Từ đây ta có đạo hàm  

     

2 2

*

*

ˆ2

a  biểu thị tương tác hút, nếu a 0 biểu thị tương tác đẩy. Do đó ta có kết 

,2

2

3 2

Đưa  phương  trình  (1.19)  về  dạng  không  thứ  nguyên  bằng  cách  đưa  ra một số đại lượng sau 

0 0 ,

N n d       (1.23) Phương  trình  (1.22)  chính  là  phương  trình  Gross-Pitaevskii  không  phụ thuộc vào thời gian. 

g

V   y  y        (1.24) Đưa về dạng không thứ nguyên như (1.20), ta có 

2 2 4

0 0 0

4

2 2 0

4 2 2

Hình 1.1: Thế tương tác theo tham số trật tự  Trên hình 1.1 là đồ thị biểu diễn thế tương tác theo tham số trật tự , với đường nét liền biểu diễn thế GP, đường nét đứt biểu diễn thế DPA. Vì V GPcó hai giá trị nhỏ nhất và khi thay vào phương trình Gross-Pitaevskii thì không thể giải trực tiếp. Vì vậy thế GP được thay thế bởi hai đường parabol ghép lại với nhau nên được gọi là gần đúng parabol kép. 

0.4 0.2 0.0 0.2 0.4

KẾT LUẬN CHƯƠNG 1

Trong  chương  này,  chúng  tôi  đã  nêu  được  tổng  quan  về  nghiên  cứu  lý thuyết  và  thực  nghiệm  của  trạng  thái  ngưng  tụ  Bose-Einstein.  Đưa  ra  được phương trình Gross-Pitaevskii không phụ thuộc vào thời gian và phương trình Gross-Pitaevskii phụ thuộc vào thời gian, phép gần đúng parabol kép và trạng thái cơ bản trong gần đúng parabol kép. Sử dụng phần mềm Mathematical để 

vẽ đồ thị biểu diễn thế tương tác theo tham số trật tự 