Các phân bố thống kê và nhiệt dung vật rắn

Hệ các phương trình Macxoen tổng quát Điện từ trường được đặc trưng bằng bốn vectơ : vectơ cường độ điện trường E  , vectơ cảm ứng điện D  ,vectơ cường độ từ trường H , véc tơ cảm ứn

PHẦN I: MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Như chúng ta đã biết tính chất cơ bản của Vật lý học là tính thực nghiệm Nhưng muốn trình bày những định luật định lượng của Vật lý học một cách chính xác, ta phải dùng phương pháp toán học Phương pháp toán học đã được áp dụng từ lâu trong Vật lý học, nhưng từ thế kỷ XIX nó được phát triển mạnh mẽ về bề rộng và bề sâu, hiệu lực nghiên cứu của nó lớn đến mức làm phát sinh một ngành mới, là Vật lý lý thuyết Vật lý lý thuyết có hai nhiệm vụ:

a) Diễn tả các quy luật vật lý dưới dạng các hệ thức định lượng và thành lập mối liên hệ nội tại giữa các sự kiên quan sát được trong thực nghiệm, xây dựng thuyết bao gồm và giải thích được một phạm vi rộng rãi nhiều hiện tượng vật lý

b)Dùng phương pháp toán học để tìm ra những quy luật mới giữa các hiện tượng vật lý mà thực nghiệm chưa quan sát được

Như vậy, vật lý lý thuyết có nội dung Vật lý và phương pháp toán học

Nó tìm ra được những quy luật tổng hợp nhất, phản ánh được bản chất Vật lý của nhiều hiện tượng xét một cách tổng quát

Điện động lực học là một môn của Vật lý lý thuyết, nên cũng có những nhiệm vụ và đặc điểm nói trên Trong đó nó đưa ra các đại lượng trung gian

đặc trưng cho điện từ trường : đó là thế véc tơ và thế vô hướng Đồng thời

cũng xây dựng được các phương trình của thế véctơ và thế vô hướng Từ đó

có thể xác định được điện từ trường của các hệ vật lý một cách dễ dàng

Để thực hiện được nhiệm vụ này, điện động lực học đã sử dụng những phương trình tổng quát nhất, được coi là cơ sở điện động lực học đó là các phương trình Macxoen Đặc biệt là từ hệ phương trình này, Macxoen đã tiên

đoán được sự tồn tại của điện từ trường tự do trong không gian dưới dạng sóng điện từ

Trên đây là tất cả những lý do khiến tôi lựa chọn và nghiên cứu đề tài:

“Thế véc tơ và thế vô hướng của trường điện từ”

2 Mục đích nghiên cứu của đề tài

- Tìm hiểu từ trường thông qua thế véc tơ và thế vô hướng

- Giải một số bài tập thuộc phương trình Poatxong, thông qua đó tìm hiểu thêm những kiến thức cơ bản của điện từ trường và những công cụ toán học để tiếp cận với những bài toán đã đề ra

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Từ hệ phương trình Macxoen đưa ra các đại lượng thế vectơ và thế vô hướng

- Lập các phương trình vi phân của thế vectơ và thế vô hướng

- Giải các bài tập về thế vectơ và thế vô hướng

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

- Đối tượng : thế vectơ và thế vô hướng của trường điện từ

- Phạm vi : điện động lực học vĩ mô

5 Phương pháp nghiên cứu

Các phương pháp nêu của vật lý lý thuyết

PHẦN II: NỘI DUNG

CHƯƠNG 1 TĨNH ĐIỆN TRƯỜNG 1.1 Hệ các phương trình Macxoen tổng quát

Điện từ trường được đặc trưng bằng bốn vectơ : vectơ cường độ điện trường E 

, vectơ cảm ứng điện D 

,vectơ cường độ từ trường H

, véc tơ cảm ứng điện trường B

Bốn vectơ trên không độc lập với nhau Đối với môi trường đẳng hướng, chúng liên hệ với nhau bằng những hệ thức:

t D rotH j

t divD

Điện từ trường có năng lượng được phân bố liên tục trong không gian

mà mật độ bằng w 12ED HB    

năng lượng tuân theo định luật bảo toàn năng lượng.Với một hệ cô lập chỉ có điện tích và điện từ trường tương tác với nhau, thì xung lượng của điện tích và điện từ trường là một lượng không đổi Trường tĩnh là những trường thỏa mãn điều kiện:

- Các đại lượng đặc trưng không biến đổi theo thời gian

- Các điện tích không chuyển động

Khi áp dụng các phương trình Macxoen cho các trường tĩnh, ta phải cho các đạo hàm theo thời gian của các đại lượng đặc trưng cho trường tĩnh bằng

(**) Vậy trường tĩnh điện là điện trường của các điện tích đứng yên

Trong môi trường đồng chất, các phương trình (*), (**) của tĩnh điện trường có thể viết thành :

l d E l

d E l

d E l

d E dl

E         

Hay : E d l E d l

C C

(1.2.2)

Vì Ed l

là công của điện trường để di chuyển một điện tích dương bằng đơn vị (e= +1C) trên nguyên tố đường d, nên vế trái và vế phải (I.2.2)biểu diễn công của tĩnh điện trường để di chuyển điên tích e= +1C từ A đến B theo các đường C1 và C2

Vậy : trong tĩnh điện trường công để di chuyển một điện tích từ điểm này đến điểm khác không phụ thuộc vào đường đi, chỉ phụ thuộc vào điểm đầu và điểm cuối Đó là tính chất của trường thế

trong tĩnh điện trường, và C1 và C2

là hai đường đi bất kỳ từ A đên B,

rot E 0

Hàm  được định nghĩa bằng (1.2.3) gọi là thế vô hướng của tĩnh điện

trường( thế tĩnh điện hay điện thế)

, ta không xác định được thế  một cách đơn giá

Nếu C là một hằng số tùy ý, ta luôn có :

Tức là : điện thế tại một điểm bất kỳ bằng công của điện trường để di chuyển một điện tích dương bằng đơn vị từ điểm đó đến vô cực (cũng bằng

công mà ta phải cung cấp để di chuyển một điện tích dương bằng đơn vị từ vô cực đến điểm đó )

1.3 Điện thế của một hệ điện tích

là bán kính vectơ của điểm quan sát khi lấy gốc tọa độ tại điện tích e,và r o

vì theo định nghĩa :E    grad 

Nên :  12 (1.3.3)

Điện thế của hệ bằng tổng các điện thế của từng điện tích

Mở rộng ra cho một hệ gồm n điện tích điểm , ta có :

i i

rilà khoảng cách từ điểm quan sát đến điện tích ei

Để thuận tiện hơn cho

các phép tính ta quy ước

chọn một điểm O bất kỳ làm

gốc, và R

gọi là bán kính

vectơ của điểm quan sát,r 

là bán kính vectơ của điện

n i

e R

- Nếu điện tích được phân bố liên tục trong một thể tích V bất kỳ, ta xét

một nguyên tố thể tích dV có mật độ điện tích khối bằng dV

- Đối với một hệ điện tích phân bố liên tục trên mặt S với mật độ điện tích mặt bằng  , ta có :

1

(1.3.6) trong đó r là khoảng cách từ điểm quan sát đến nguyên tố mặt dS

- Nếu hệ điện tích gồm cả điện tích khối và điện tích mặt phân bố liên tục, ta có :

S

dS r

1

(1.3.7)

P O

V dV

R

r r'

  4 1

S

dS R

Nếu gọi là l

bán kính vectơ từ điện tích –e đến điện

tích +e ( hình vẽ 3) ta định

nghĩa được mô men lưỡng cực

điện là : p   el  

Điện thế ở điểm quan sát

1 2 1

11

r r e r

2

r  r  r   r  r   r   rl  

 

314

1.4 Các phương trình vi phân của thế vô hướng

Trong phương trình Macxoen: divE 

Đó là phương trình Poatxong của thế vô hướng

Đối với một điểm không chứa điện tích thì phương trình Poatxong trở thành phương trình Laplaxơ:

2 0

Nghiệm của phương trình Poatxong cần thỏa mãn các điều kiện : là một hàm hữu hạn, liên tục và có tọa độ theo tọa độ hữu hạn để cho các phương trình có ý nghĩa vật lý

1.5 Bài tập chương 1

Tính điện thế và điện trường do một bản song song vô tận tích điện đều

Bề dày của bản bằng 2a, mật độ điện tích trong bản là  const Hằng số điện môi trong bản và ngoài bản đều bằng 

Bản vô tận chia không gian thành ba miền ( hình vẽ )

d

(2) Đối với miền 3 (z> +a):

23 0 hay 2 0

3 2

1  A 1z B1 (1a)

2 2

z Vì điện tích được phân bố

đối xứng với mặt trung bình của bản, nên điện thế và điện trường cũng đối xứng với mặt đó Bản

là vô tận nên vectơ điện trường

có phương song song với trục

Oz Chọn mặt trung bình là xOy Điện thế chỉ phụ thuộc một tọa

độ z

O

3  A3z B3 (3a)

Chúng ta phải xác định sáu hằng số tích phân A1,B1, A2,B ,2 A3,B3

Đặt 2  0khi z =0 ( điều kiện định cỡ) Từ phương trình (2a) ta rút ra :

1

B

a A

2 3

3

B

a A

z E

a E



k a E

k z E

k a E

1.6 Kết luận chương 1

Trong chương 1, em đã đi nghiên cứu về hiện tượng tĩnh điện và các hiện tượng từ của dòng điện không đổi.Áp dụng các phuơng pháp toán học và dựa trên nền tảng là các phương trình Macxoen, em đã tìm hiểu về thế vô hướng và sử dụng các phương trình Poatxong và Laplaxơ để tìm hiểu thế của trường một cách tổng quát Từ đó dẫn đến việc tính được điện trường tại một điểm bất kỳ Sau khi đã hệ thống lại các kết quả này, em đã vận dụng vào giải bài tập một cách đơn giản và dễ hiểu khi làm những bài tập có liên quan đến tĩnh điện trường

CHƯƠNG 2

TỪ TRƯỜNG DỪNG 2.1 Các phương trình của từ trường dừng

Từ trường dừng là từ trường do các dòng dừng gây ra, các dòng dừng là các dòng điện không biến đổi theo thời gian

Vì vậy các phương trình của từ trường dừng có dạng:

Xét phương trình :

A rot



dV r

j rot A

Vì A

là thế véc tơ của điểm quan sát, là hàm của nên rotA

phải lấy theo

tọa độ R

Tích phân ở vế phải lấy theo nguyên tố dV , là hàm của r 

Do đó phép lấy rot và phép lấy tích phân ở đây phải độc lập với nhau nên ta có:

Ta biến đổi được:

r j

là dạng tích phân của định luật Biô-xava

2.3 Thế véctơ và từ trường dòng nguyên tố

Dòng nguyên tố là một dòng khép kín chảy trong miền có kich thước rất nhỏ so với khoảng cách từ dòng đến điểm quan sát Như vậy bất kỳ một dòng khép kín nào cũng có thể được gọi là dòng nguyên tố

l d I

Chọn gốc O thuộc miền chứa dòng nguyên tố

Các véc tơ r R, 

vàr 

được xác định trên hình vẽ với r  R

 , 

2

I

M    r dr     (2.3.6) Khi đó:

,4

M R A

Vì điểm quan sát ở xa lưỡng cực và gốc O được chọn trong miền chứa

dòng nguyên tố nên ta có thể thay R

z

A r A r r

A r r r

d r r

A r r r

1 2

11

d r r

A r r r

2 2

11

dr

dA r dr

r j dr

d r

2 1

14

I e

2 R

Ir H

và các phương trình thế Các kết quả này đã giúp em tính điện trường tại một điểm bất kỳ thậtnhanh chóng Việc vận dụng để giải các bài tập đã được tiến hành một cách chặt chẽ và hiệu quả

CHƯƠNG 3TRƯỜNG CHUẨN DỪNG 3.1 Điều kiện chuẩn dừng

Trường chuẩn dừng là những trường biến thiên chậm theo thời gian, tức là thỏa mãn hai điều kiện sau đây:

- Điều kiện thứ nhất: dòng điện dịch rất nhỏ có thể bỏ qua được so với dòng điện dẫn:

max max

D

j t

3.2 Các phương trình của trường chuẩn dừng

Nếu bỏ qua dòng điện dịch so với dòng điện dẫn các phương trình Macxoen của trường chuẩn dừng có dạng:

Như vậy điện trường và từ trường có quan hệ với nhau không thể tách rời Nhưng mối quan hệ đó ở đây mới thể hiện một mặt, do hiện tượng cảm ứng điện từ Faradây

Từ phương trình:

rút ra được định nghĩa thế véc tơA

, giống như đối với từ trường dừng:

B   rotA 

(3.2.5)

định nghĩa bằng (3.2.7) là hàm của cả tọa độ

lẫn thời gian, và được gọi là thế vô hướng của điện từ trường

Sau khi đã định nghĩa được thế vô hướng và thế véc tơ ta cũng thành lập được phương trình của thế tương đương với các phương trình Macxoen Đưa phương trình:

(3.2.9) là phương trình Poatxong của thế véctơ

Các phương trình trên giống như phương trình của trường tĩnh và trường dừng là vì ta đã bỏ qua hiệu ứng trễ của sự truyền sóng điện từ

3.3 Bài tập chương 3

Bài 1 :

Một khung dây có diện tích bắng S và quay đều trong một từ trường đều

B số vòng quay trong một giây là N.Tính thế điện động cực đại trong khung dây

và viết dưới dạng tích phân, lấy tích phân dọc theo mạch điện từ bản này đến bản kia của tụ điện, tức là từ điểm 1 đến điểm 2

1 2

1 2

2 1

e C LI

và thế vô hướng của trường điện từ Và với các kết quả này khi vận dụng làm các bài tập liên quan đến môi trường phức tạp này em có thể đưa từ dạng phức tạp trở thành dạng đơn giản hơn Chính vì vậy quá trình tiến hành giải bài tập đã không còn khó khăn nữa

CHƯƠNG 4 SÓNG ĐIỆN TỪ- LÝ THUYẾT BỨC XẠ 4.1 Điện từ trường tự do – sóng điện từ trong môi trường đồng chất –sóng phẳng

4.1.1 Điện từ trường tự do

Điện từ trường tự do nói chung cũng do một hệ điện tích và dòng điện nào đó sinh ra Nhưng sau khi được hình thành, chúng tách rời khỏi hệ điện tích và dòng điện, và vận động theo những quy luật riêng của chúng, không phụ thuộc vào nguồn gốc sinh ra chúng nữa

Các phương trình Macxoen đã cho phép tiên đoán sự tồn tại của điện từ trường tự do ngay từ trước khi chúng ta tạo ra loại trường đó bằng thực nghiệm

Các phương trình của điện từ trường tự do là các phương trình Macxoen trong đó ta đặt điều kiện  0 và j 0

( chỉ có trường, không có điện tích

và dòng điện) Các phương trình này có thể thỏa mãn trong một điện môi đồng chất và vô hạn

4.1.2 Sóng điện từ trong môi trường đồng chất

Từ các phương trình Macxoen với các điều kiện  0và j  0

Hệ phương trình lúc này trở thành:

(4.1.4) Phối hợp với các phương trình:

divE  

(4.1.3.a)

(4.1.4.a) Qua các phương trình trên, ta thấy rằng đối với điện từ trường tự do, điện trường và từ trường không tách rời nhau Quan hệ giữa chúng chặt chẽ hơn so với trường chuẩn dừng và thể hiện ở hai mặt:

+ Do tác dụng của cảm ứng điện từ Faraday (4.1.1.a)

+ Do tác dụng của dòng điện dịch (4.1.2.a)

Vậy từ trường biến thiên sinh ra điện trường, và ngược lại từ trường biến thiên lại sinh ra từ trường Điện trường và từ trường ở đây đều là trường xoáy Muốn xét kỹ hơn tính chất của điện từ trường tự do, thực hiện một số phép biến đổi sau đây:

Lấy rot hai vế của phương trình(4.1.1.a), ta được:

H rotrotE rot

2

E rotrotE

0

E E

Lấy rot hai vế của phương trình (4.1.3.a) Ta được:

H H

nhau Phương trình đó là phương trình Dalambe hay phương trình sóng Điện

từ trường tự do tồn tại dưới dạng sóng điện từ và không có điện từ trường tự

do tĩnh

E E

H H

x t

B rotE

divD 

(4.2.3) divB   0

4.2.1 Thế véctơ và thế vô hướng

Đối với sóng điện từ, biểu thức của thế véc tơ và thế vô hướng giống như đối với trường chuẩn dừng:

B rotA

(4 2.5) A

-Đối với dòng điện từ, chọn điều kiện định cỡ Lorenxơ:

4.2.2 Các phương trình của thế véctơ và thế vô hướng

A rotrotA j grad

Đưa thế véctơ và thế vô hướng vào, ta có :

t (4.2.9)

Như vậy do cách chọn điều kiện định cỡ, chúng ta viết được những phương trình của thế véctơ và thế vô hướng (4.2.8) và (4.2.9) :

2 2

Hai phương trình trên có cùng một dạng toán học như nhau và mỗi phương trình chỉ chứa hoặc thế vô hướng hoặc thế véctơ

4.2.3 Nghiệm của các phương trình thế Thế trễ

Các phương trình (4.2.10) và (4.2.11) viết chung lại dưới dạng:

2 2

hoặc thế vô hướng 

Phương trình (4.2.12) là phương trình sóng Dalambe có vế phải

Nếu f r t, 0

trong toàn thể không gian, ta có phương trình Dalambe không có vế phải, đó là phương trình điện từ trường tự do mà ta đã xét ở trên Nếu f r t    ,   0

thì trong miền V hữu hạn nào đó của không gian, thì nghiệm của phương trình Đalambe với toàn bộ không gian có dạng :

,1

là bán kính véctơ của nguyên tố thể tích dV( chứa  j

hoặc

 ),r  R r   

là khoảng cách từ nguyên tố dV đến điểm quan sát và

là hàm biểu diễn trạng thái của nguồn gây ra điện từ trường

Xét nghiệm có dấu “-” trước r

v Ta có :

 

,,

,4

V

r

r t v

cho nên thế tại điểm quan sát được gọi là thế trễ Thế truyền đi từ nguồn theo

mọi phương của không gian

4.3 Bức xạ của lưỡng cực

Xét một hệ điện tích trung hòa nằm trong một miền không gian hữu hạn

V, trong đó mật độ điện tích và mật độ dòng điện ở từng điểm biến thiên theo thờì gian :

 

,,

Nhưng không có điện tích và dòng điện đi ra ngoài hoặc vào trong miền

V Một hệ như vậy là một nguồn bức xạ ra sóng điện từ Vì ta có thể coi hệ

như đó như một lưỡng cực biến thiên theo thời gian nên nó được gọi là lưỡng cực bức xạ

r R

r r

r R

o o