Một số bài toán cơ bản trên đồ thị (2018)

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2... TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2... ç thà câ thº ph¥n bi»t c¡c hñp ch§t hâahåc húu cì kh¡c nhau vîi còng cæng thùc ph¥n tû nh÷ng kh¡c nhau v·c§u tróc ph

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

LÍI CƒM ÌN

Tr÷îc khi tr¼nh b y nëi dung ch½nh cõa khâa luªn, em xin b y tä lángc£m ìn tîi c¡c th¦y cæ khoa To¡n, tr÷íng ¤i håc s÷ ph¤m H  Nëi 2, c¡cth¦y cæ trong tê bë mæn To¡n ùng döng công nh÷ c¡c th¦y cæ tham giagi£ng d¤y ¢ tªn t¼nh truy·n ¤t nhúng tri thùc quþ b¡u v  t¤o i·u ki»nthuªn lñi º em ho n th nh tèt nhi»m vö khâa håc v  khâa luªn

°c bi»t, em xin b y tä sü k½nh trång v  láng bi¸t ìn s¥u s­c tîi TS.Tr¦n V¾nh ùc, ng÷íi ¢ trüc ti¸p h÷îng d¨n, ch¿ b£o tªn t¼nh gióp ï º

em câ thº ho n th nh khâa luªn n y

Do thíi gian, n«ng lüc v  i·u ki»n b£n th¥n cán h¤n ch¸ n¶n b£n khâaluªn khæng thº tr¡nh khäi nhúng sai sât V¼ vªy, em r§t mong nhªn ÷ñcnhúng þ ki¸n gâp þ quþ b¡u cõa c¡c th¦y cæ v  c¡c b¤n

1

LÍI CAM OAN

T¶n em l : é Thà Hçng Thóy

Sinh vi¶n lîp: K40A - To¡n, khoa To¡n, tr÷íng ¤i håc s÷ ph¤m H Nëi 2

Em xin cam oan:

1 · t i "Mët sè b i to¡n cì b£n tr¶n ç thà" l  sü nghi¶n cùu cõari¶ng em, d÷îi sü h÷îng d¨n cõa th¦y gi¡o TS Tr¦n V¾nh ùc

2 Khâa luªn ho n to n khæng sao ch²p cõa t¡c gi£ n o kh¡c

N¸u sai em xin ho n to n chàu tr¡ch nhi»m

Trong khi thüc hi»n · t i em ¢ sû döng v  tham kh£o c¡c th nh tüucõa c¡c nh  khoa håc vîi láng bi¸t ìn tr¥n trång

2

Möc löc

1 KHI NI›M CÌ BƒN V— Ç THÀ 1

1.1 C¡c ành ngh¾a cì b£n 1

1.1.1 ç thà væ h÷îng 1

1.1.2 Trång ç 3

1.1.3 Bªc ç thà 4

1.1.4 C¡c ph²p to¡n tr¶n ç thà 5

1.1.5 H nh tr¼nh, ÷íng, chu tr¼nh, v¸t v  m¤ch 5

1.2 Mët sè d¤ng ç thà °c bi»t 8

1.2.1 ç thà li¶n thæng 8

1.2.2 ç thà ¦y õ 8

1.2.3 ç thà hai ph¦n 10

3

2 B€I TON TÆ M€U Ç THÀ 11

2.1 Tæ m u ¿nh cõa ç thà 11

2.1.1 Ùng döng 14

2.1.2 V½ dö v· b i to¡n tæ m u ¿nh ç thà 15

2.2 Tæ m u c¤nh ç thà 17

2.2.1 Ùng döng 20

2.2.2 V½ dö v· b i to¡n tæ m u c¤nh ç thà 20

3 B€I TON XC ÀNH SÜ TÇN T„I CÕA CHU TRœNH HAMILTON TRONG Ç THÀ 22 3.1 ç thà Hamilton 22

3.1.1 ç thà nûa Hamilton 22

3.1.2 ç thà Hamilton 23

3.1.3 Mët sè i·u ki»n õ èi vîi bªc cõa ¿nh 23

3.2 Ùng döng 24

3.3 V½ dö v· b i to¡n x¡c ành sü tçn t¤i cõa chu tr¼nh Hamilton trong ç thà 26

4 B€I TON C…Y BAO TRÒM NHÄ NH‡T 27 4.1 C¥y v  c¡c t½nh ch§t cõa c¥y 27

4.2 B i to¡n c¥y bao tròm nhä nh§t 29

4.3 Ùng döng 30

T€I LI›U THAM KHƒO 33

LÍI NÂI †U

1 Lþ do chån · t i

Lþ thuy¸t ç thà l  mët l¾nh vüc nghi¶n cùu ¢ câ tø l¥u íi Nhúng t÷t÷ðng cì b£n cõa lþ thuy¸t ç thà ÷ñc · xu§t tø nhúng n«m ¦u cõa th¸k¿ 18 bði nh  to¡n håc léi l¤c ng÷íi Thöy S¾ Leonhard Euler Ch½nh æng

l  ng÷íi ¢ sû döng ç thà º gi£i b i to¡n nêi ti¸ng v· c¡i c¦u ð th nhphè Konigsberg

ç thà ÷ñc sû döng º gi£i quy¸t c¡c b i to¡n trong nhi·u l¾nh vückh¡c nhau Ch¯ng h¤n, ç thà câ thº sû döng º x¡c ành c¡c m¤ch vángtrong v§n · gi£i t½ch m¤ch i»n ç thà câ thº ph¥n bi»t c¡c hñp ch§t hâahåc húu cì kh¡c nhau vîi còng cæng thùc ph¥n tû nh÷ng kh¡c nhau v·c§u tróc ph¥n tû hay x¡c ành xem hai m¡y t½nh trong m¤ng câ thº trao

êi thæng tin ÷ñc vîi nhau khæng ç thà câ trång sè tr¶n c¡c c¤nh câ thº

sû döng º gi£i c¡c b i to¡n nh÷: t¼m ÷íng i ng­n nh§t giúa hai th nhphè trong còng mët m¤ng giao thæng ç thà cán ÷ñc sû döng º gi£i c¡c

b i to¡n v· lªp làch, thíi khâa biºu v  ph¥n bè t¦n sè cho c¡c tr¤m ph¡tthanh truy·n h¼nh

Khâa luªn giîi thi»u c¡c b i to¡n cì b£n tr¶n ç thà v  còng vîi â l 

5

c¡c chùng minh cõa ành lþ Ore v· chu tr¼nh Hamilton, ành lþ Brook v·

tæ m u ¿nh, v  ành lþ Vizing v· tæ m u c¤nh Nhúng chùng minh n y,m°c dò khæng kh¡c bi»t ho n to n vîi nhúng chùng minh hi»n câ, nh÷ng

câ l³ ìn gi£n v  tü nhi¶n hìn

Xu§t ph¡t tø t½nh thüc ti¹n â em xin chån · t i: "Mët sè b i to¡n

cì b£n tr¶n ç thà"

2 Möc ½ch chån · t i

Möc ½ch nghi¶n cùu · t i n y l  t¼m hiºu, giîi thi»u mët sè b i to¡n

cì b£n tr¶n ç thà v  c¡c ph²p chùng minh ng­n cõa c¡c ành lþ cê iºntrong lþ thuy¸t ç thà nh÷: ành lþ Ore, ành lþ Brook, ành lþ Vizingmët c¡ch tü nhi¶n v  d¹ hiºu hìn

3 Nhi»m vö, y¶u c¦u

· t i cõa khâa luªn: "Mët sè b i to¡n cì b£n tr¶n ç thà" ÷ñc °t

ra vîi nhi»m vö, y¶u c¦u:

- Nghi¶n cùu c¡c kh¡i ni»m cì b£n nh§t cõa ç thà

- T¼m hiºu c¡c b i to¡n tæ m u tr¶n ç thà, cö thº l  b i to¡n tæ m u

¿nh ç thà vîi ành lþ Brook, b i to¡n tæ m u c¤nh ç thà vîi ành

lþ Vizing v  ùng döng thüc t¸ cõa c¡c b i to¡n

- T¼m hiºu v· ç thà Hamilton v  b i to¡n x¡c ành sü tçn t¤i cõa chutr¼nh Hamilton trong ç thà

- T¼m hiºu c¡c kh¡i ni»m, t½nh ch§t cì b£n cõa c¥y v  b i to¡n c¥y baotròm nhä nh§t

4 Ph÷ìng ph¡p nghi¶n cùu

- Nghi¶n cùu qua vi»c åc s¡ch, b i b¡o v  c¡c t i li»u li¶n quan nh¬mx¥y düng cì sð lþ thuy¸t cõa · t i v  c¡c bi»n ph¡p c¦n thi¸t º gi£iquy¸t c¡c v§n · cõa · t i

- Tham kh£o þ ki¸n cõa chuy¶n gia º câ thº thi¸t k¸ ch÷ìng tr¼nh mëtc¡ch phò hñp

5 Þ ngh¾a khoa håc v  thüc ti¹n cõa · t i

· t i h÷îng ¸n vi»c giîi thi»u c¡c b i to¡n cì b£n tr¶n ç thà v  c¡cùng döng thüc t¸ cõa c¡c b i to¡n â Ngo i ra · t i cán ìn gi£n hâac¡c ph²p chùng minh cõa c¡c ành lþ cê iºn trong lþ thuy¸t ç thà Tø

â, gióp cho ng÷íi åc câ thº sû döng º nghi¶n cùu t½nh ùng döng cõa

lþ thuy¸t ç thà, mët l¾nh vüc v¨n cán kh¡ mîi ð Vi»t Nam mët c¡ch tünhi¶n hìn

6 C§u tróc cõa khâa luªn

Ch÷ìng 1 "Kh¡i ni»m cì b£n v· ç thà" nh­c l¤i c¡c kh¡i ni»m cì b£nv· ç thà, °c bi»t l  ç thà væ h÷îng, còng vîi â l  c¡c d¤ng ç thà °cbi»t

Ch÷ìng 2 "B i to¡n tæ m u ç thà" · cªp tîi v§n · tæ m u c¡c ¿nh,c¤nh v  cõa mët ç thà Tr¼nh b y c¡c k¸t qu£ v· tæ m u ¿nh, tæ m uc¤nh v  ùng döng thüc t¸ cõa c¡c b i to¡n tæ m u

Ch÷ìng 3 "B i to¡n x¡c ành sü tçn t¤i cõa chu tr¼nh Hamilton trong

Danh s¡ch h¼nh v³

1.1 V½ dö v· mët ç thà væ h÷îng 2

1.2 V½ dö mët trång ç câ h÷îng 4

1.3 ç thà minh håa chu tr¼nh 6

1.4 ç thà Peteren 7

1.5 ç thà li¶n thæng 9

1.6 V½ dö v· ç thà ¦y õ 9

1.7 ç thà hai ph¦n 10

1.8 ç thà hai ph¦n ¦y õ 10

2.1 Dòng cho V½ dö 16

3.1 Mæ t£ b i to¡n (Nguçn Wikipedia) 25

4.1 C¥y 27

4.2 V½ dö v· ç thà li¶n thæng câ c¥y bao tròm 29

9

Ch֓ng 1

KHI NI›M CÌ BƒN V— Ç THÀ

Ch÷ìng n y tr¼nh b y c¡c ki¸n thùc cì sð v· lþ thuy¸t ç thà Kh¡ini»m ç thà xu§t hi»n tø nhi·u l¾nh vüc kh¡c nhau trong cuëc sèng Trongméi l¾nh vüc ri¶ng cõa m¼nh ng÷íi ta c¦n tîi mët kiºu ç thà n o â V¼vªy m  công xu§t hi»n nhi·u lo¤i ç thà kh¡c nhau Möc 1.1 n¶u c¡c ànhngh¾a, kh¡i ni»m trong lþ thuy¸t ç thà v  c¡c ph²p to¡n tr¶n ç thà Möc1.2 mæ t£ c¡c d¤ng ç thà th÷íng g°p Trong ch÷ìng d¨n ra nhi·u v½ döminh håa Nëi dung cõa ch÷ìng ÷ñc tham kh£o chõ y¸u tø c¡c t i li»u([1])

E = {{a, a}, {a, b}, {b, d}, {b, c}, {c, d}}.

Khi â G l  mët ç thà væ h÷îng v  ÷ñc biºu di¹n b¬ng H¼nh 1.1

ành ngh¾a 1.1.2 Hai ¿nh x v  y gåi l  k· nhau (hay h ng xâm) n¸u

{x, y} l  mët c¤nh cõa ç thà

Ta biºu di¹n ç thà G = (V, E) bði danh s¡ch k·, trong â méi ¿nh v

giú mët danh s¡ch c¡c ¿nh k· vîi v

V½ dö 1.1.2 X²t ç thà G = (V, E)

÷ñc x¡c ành, ð ¥y WV v  WE l  c¡c tªp n o §y C¡c ph¦n tû cõa WV

v  WE câ thº ìn thu¦n l  c¡c dú li»u nh÷ng th÷íng th¼ câ mët þ ngh¾a

ành l÷ñng n o §y Gi¡ trà f (v) cho v ∈ V ÷ñc gåi l  trång l÷ñng cõa

¿nh V, cán gi¡ trà g(e) cho e ∈ E ÷ñc gåi l  trång l÷ñng cõa cung hayc¤nh e

Ng÷íi ta th÷íng kþ hi»u trång ç b¬ngG = (V, E, f )hayG = (V, E, g)

hay G = (V, E, f, g) tòy thuëc v o ch¿ mët h m f, ch¿ mët h m g hay c£hai h m f v  g ÷ñc x¡c ành

V½ dö 1.1.3 Cho G = (V, E, g) vîi V = {a, b, c.d},E = {(a, b), (a, c),(b, e), (e, d), (b, d), (c, e)} v  g : E −→ N ÷ñc x¡c ành nh÷ sau:

g(a, b) = g(b, e) = g(c, e) = 5,

g(a, c) = 4,

N¸u δ(G) = ∆(G) = k, th¼ måi ¿nh cõa G ·u câ bªc b¬ng k v  G

÷ñc gåi l  ç thà ch½nh qui bªc k hay ng­n gån l  k-ch½nh qui

ành ngh¾a 1.1.5 Mët ç thà væ h÷îng ÷ñc gåi l  ch½nh qui n¸u nâ l 

k- ch½nh qui vîi mët k n o §y ç thà væ h÷îng k- ch½nh qui công ÷ñcgåi l  ç thà bªc k

l  ç thà con cõa G = (V, E) c£m sinh bði tªp ¿nh V0 hay công ÷ñc gåi

l  ç thà con c£m sinh bði G = (V, E) tr¶n tªp ¿nh V0 Khi â G0 công

Ch÷ìng 1 KHI NI›M CÌ BƒN V— Ç THÀ 6

i = 0, 1, , n − 1, công ÷ñc gåi l  c¡c c¤nh cõa h nh tr¼nh v0v1v2 vn.Khi â n công ÷ñc gåi l  ë d i, ¿nh v0 ÷ñc gåi l  ¿nh ¦u, cán l¤i

¿nh vn ÷ñc gåi l  ¿nh cuèi cõa h nh tr¼nh væ h÷îng tr¶n

Mët h nh tr¼nh ÷ñc gåi l  kh²p k½n n¸u ¿nh ¦u v  ¿nh cuèi cõa nâtròng nhau

Mët h nh tr¼nh ÷ñc gåi l  mët ÷íng n¸u c¡c ¿nh cõa h nh tr¼nh â

H¼nh 1.3: ç thà minh håa chu tr¼nh

V½ dö 1.1.4 Gi£ sû g = (V, E) l  ç thà câ h÷îng nh÷ ð H¼nh 1.3 Khi

â:

V½ dö 1.1.5 Cho ç thà G = (V, E) nh÷ H¼nh 1.9 ç thà n y ÷ñc gåi

l  ç thà Petersen Khi â,

(a) abcde l  mët ÷íng;

(b) abcdea l  mët chu tr¼nh;

(c) abcdea0c0e0e l  mët v¸t

ành ngh¾a 1.2.2 ç thà con li¶n thæng G0 = (V0, E0) cõa mët ç thà

væ h÷îng G = (V, E) ÷ñc gåi l  mët th nh ph¦n li¶n thæng cõa G, n¸u

G0 = G0[V0] v  vîi måi V00 ⊆ V, m  thüc sü chùa V0, ç thà G[V00] l khæng li¶n thæng

Quy ֔c:

- ¿nh cæ lªp (¿nh bªc 0) công ÷ñc xem l  th nh ph¦n li¶n thæng

- C¤nh e ∈ E ÷ñc gåi l  c¤nh c¦u n¸u G − e câ nhi·u th nh ph¦n li¶nthæng hìn G

- ¿nh v ∈ V ÷ñc gåi l  ¿nh c­t n¸u G − v câ nhi·u th nh ph¦n hìn

G

1.2.2 ç thà ¦y õ

ành ngh¾a 1.2.3 ç thà ¦y õ gçm n ¿nh, kþ hi»u l  Kn l  ç thà câ

óng mët c¤nh nèi méi c°p ¿nh ph¥n bi»t

Ch÷ìng 1 KHI NI›M CÌ BƒN V— Ç THÀ 9

H¼nh 1.5: ç thà li¶n thæng

H¼nh 1.6: V½ dö v· ç thà ¦y õ

Ch÷ìng 1 KHI NI›M CÌ BƒN V— Ç THÀ 10

1.2.3 ç thà hai ph¦n

ành ngh¾a 1.2.4 Mët ç thà ÷ñc gåi l  hai ph¦n n¸u tªp ¿nh V câthº ph¥n ho¤ch th nh hai tªp V1 v  V2 sao cho méi c¤nh cõa ç thà nèimët ¿nh cõa V1 tîi mët ¿nh cõa V2

ành ngh¾a 1.2.5 ç thà hai ph¦n ¦y õ Km,n l  ç thà câ tªp ¿nh

÷ñc ph¥n ho¤ch th nh hai tªp con t÷ìng ùng câ m ¿nh v  n ¿nh v  câmët c¤nh nèi hai ¿nh n¸u câ mët ¿nh thuëc tªp n y v  mët ¿nh thuëctªp kia

H¼nh 1.7: ç thà hai ph¦n

H¼nh 1.8: ç thà hai ph¦n ¦y õ

Ch֓ng 2

B€I TON TÆ M€U Ç THÀ

Trong Lþ thuy¸t ç thà, tæ m u ç thà l  tr÷íng hñp °c bi»t cõa g¡nnh¢n ç thà, m  trong â méi ¿nh hay méi c¤nh hay méi mi·n cõa ç thà

câ thº ÷ñc g¡n bði mët m u hay mët tªp hñp c¡c m u n o â

Tæ m u ç thà v  sü têng qu¡t cõa nâ l  cæng cö húu döng trong vi»c

mæ h¼nh hâa r§t nhi·u b i to¡n kh¡c nhau trong v§n · x¸p làch, x¥y düngch÷ìng tr¼nh v  v§n · ph¥n cæng cæng vi»c B i to¡n tæ m u ç thà baogçm nhi·u lo¤i: tæ m u ¿nh ç thà, tæ m u c¤nh ç thà

thäa m¢n t½nh ch§t: N¸u {x, y} ∈ E th¼ c(x) 6= c(y)

N¸u sè m u kh¡c nhau, m  ta dòng º tæ trong mët tæ m u cõa ç thà,

11

Ch÷ìng 2 B€I TON TÆ M€U Ç THÀ 12

nhä hìn ho°c b¬ng k th¼ tæ m u â công ÷ñc gåi l  k-tæ m u

ành ngh¾a 2.1.2 S­c sè cõa mët ç thà G, kþ hi»u l  χ(G), l  sè tünhi¶n k nhä nh§t º G câ mët k-tæ m u

ç thà G ÷ñc gåi l  ç thà k-tæ m u ÷ñc n¸u χ(G) ≤ k v  ÷ñc gåi

l  k-s­c n¸u χ(G) = k

M»nh ·: Cho G l  mët ç thà li¶n thæng vîi méi c¥y t¼m ki¸m chi·us¥u ¦u ti¶n l  mët ÷íng Hamilton Khi â G l  mët chu tr¼nh, mët çthà ¦y õ, ho°c mët ç thà 2 ph¦n ¦y õ Kn,n

Chùng minh Cho P l  mët ÷íng Hamilton cõa G, vîi iºm gèc x.V¼ ÷íng P − x k²o d i tîi ÷íng Hamilton cõa G , ÷íng P k²o d i tîimët chu tr¼nh Hamilton C cõa G N¸u C khæng câ cung, G = C l  mëtchu tr¼nh V¼ vªy, cho xy l  mët cung cõa C Do x+y+ công l  mët cung(trong â x+ k½ hi»u l  ¿nh k· vîi x tr¶n C, y+ k½ hi»u l  ¿nh k· vîi y

tr¶nC), v¼x+CyxC−1y+ l  mët ÷íng Hamilton cõaG; t÷ìng tü,x−y− l mët cung cõaC V  n¸u ë d i cõa xCy nhä hìn 4, x++y v  x+y− công l c¡c cung cõa C, trong d¤ng cõa ÷íng Hamilton x++Cy−x−C−1y+x+xy

v  thüc t¸ r¬ng x+y− = (x++−)y−

N¸uC câ mët cung xz ë d i l  2, cho y := x+(= z−) Sau â yz+ ∈ E.Hìn núa, n¸u yz+i ∈ E, th¼ yz+(i+1) trong d¤ng cõa ÷íng Hamilton

z+(i+1)CxzCz+iy Theo â y l  l¥n cªn vîi måi ¿nh cõa G Nh÷ng do G

l  ç thà ¦y õ, v¼ x+iz+i l  mët cung ë d i 2 vîi måi i N¸u C khæng

câ cung ë d i 2, måi cung cõaC ·u l  l´, hìn núa, måi cung l´ c¦n ÷ñcbiºu di¹n Do â G = Kn,n, t¤i υ(G) = 2n

Ch÷ìng 2 B€I TON TÆ M€U Ç THÀ 13

Thuªt to¡n tham lam:

S­p x¸p c¡c ¿nh cõa ç thà G theo thù tü n o â: v1, v2, , vn Ð méib÷îc ta s³ l¦n l÷ñt duy»t trong danh s¡ch c¡c ¿nh ¢ s­p x¸p, tø ¿nh câbªc nhä ¸n ¿nh câ bªc lîn G¡n m u hñp l» nhä nh§t cho vi

ành lþ Brook N¸u G l  mët ç thà li¶n thæng, khæng ph£i l  mët çthà chu tr¼nh bªc l´ công khæng ph£i l  mët ç thà ¦y õ th¼ χ ≤ ∆.Chùng minh ¦u ti¶n gi£ sû r¬ng G l  mët ç thà khæng ¦y õ Cho

x l  mët ¿nh cõa bªc δ v  cho T l  mët c¥y t¼m ki¸m cõa gèc G t¤i x.Chóng ta tæ m u ¿nh vîi c¡c m u 1,2 ,∆ theo ph÷ìng ph¡p tham lam,chån ð méi b÷îc mët chi¸c l¡ cõa c¥y con cõa T ÷ñc t¤o ra bði c¡c ¿nhkhæng ÷ñc tæ m u, g¡n cho nâ m u câ s®n nhä nh§t, v  k¸t thóc vîi gèc

x cõa T Khi méi ¿nh v kh¡c vîi x ÷ñc tæ m u, nâ l¥n cªn (trong T)vîi ½t nh§t mët ¿nh khæng ÷ñc tæ m u, v  do â l¥n cªn nhi·u nh§t vîi

d(v) − 1 ≤ ∆ − 1 c¡c ¿nh ÷ñc tæ m u V¼ vªy nâ ÷ñc tæ mët trong c¡c

m u 1,2, ,∆ Thüc t¸, khi x ÷ñc tæ m u, nâ công ÷ñc tæ mët trong c¡c

m u 1,2, ,∆, bði v¼ d(x) = δ ≤ ∆ − 1 V¼ vªy ph÷ìng ph¡p tham lamt¤o ra mët ∆- tæ m u cõa G

B¥y gií gi£ sû r¬ngGl  mët ç thà l  ¦y õ N¸u ç thàGcâ mët ¿nhc­t x, do G = G1 ∪ G2, ð â G1 v  G2 ·u li¶n thæng v  G1 ∩ G2 = {x}.Bði v¼ bªc cõaxtrong Gi nhä hìn∆(G), c£ ç thà con Gi l  ¦y õ, v¼ vªy

χ(Gi) ≤ ∆(Gi) = ∆(G),i= 1,2, v  χ(G) = max{χ(G1), χ(G2)} 6 ∆(G).V¼ vªy chóng ta câ thº gi£ ành r¬ng G l  2-li¶n thæng

N¸u méi c¥y t¼m ki¸m chi·u s¥u ¦u ti¶n cõa ç thà G l  mët ÷íngHamilton, Gl  mët chu tr¼nh, mët ç thà ¦y õ, ho°c mët ç thà 2- ph¦n

Ch÷ìng 2 B€I TON TÆ M€U Ç THÀ 14

¦y õ Kn,n, theo M»nh · V¼, theo gi£ thi¸t, G khæng ph£i l  mët chutr¼nh l´ công khæng ph£i l  mët ç thà ¦y õ, χ(G) = 2 ≤ ∆(G) Dâ â,gi£ sû r¬ng T l  mët c¥y t¼m ki¸m chi·u s¥u ¦u ti¶n cõa ç thà G, nh÷ngkhæng l  ÷íng Cho x l  mët ¿nh cõa T vîi ½t nh§t 2 ¿nh con, y v  z.V¼G l  ç thà 2-li¶n thæng, c£ G − y v G − z ·u li¶n thæng Do â chóng

l  ç thà con phò hñp cõa y v  z, méi c¡i trong sè â ÷ñc nèi vîi ç thàcõa x, v  theo r¬ng G0 := G − {y, z} l  li¶n thæng X²t mët c¥y t¼m ki¸m

T0 vîi gèc x trong G0 B¬ng c¡ch tæ m u y v  z vîi m u 1, v  do c¡c ¿nhcõa T0 theo c¡ch tæ m u nh÷ tr¶n, k¸t thóc vîi gèc x, chóng tæi thu ÷ñc

∆-tæ m u cõa G

2.1.2 Ùng döng

Ð ¥y tæi xin ÷a ra mët v½ dö cö thº l  b i to¡n lªp thíi khâa biºu:h¢y lªp thíi khâa biºu trong mët tr÷íng ¤i håc sao cho khæng câ sinhvi¶n n o håc hai mæn còng mët lóc

- C¡ch lªp làch s³ t÷ìng ùng vîi b i to¡n tæ m u cõa ç thà n y: sè c¡c

m u ÷ñc tæ l  sè ti¸t håc, c¡c ¿nh câ còng m u s³ còng mët ti¸thåc

Ch÷ìng 2 B€I TON TÆ M€U Ç THÀ 15

2.1.3 V½ dö v· b i to¡n tæ m u ¿nh ç thà

V½ dö 2.1.1 Mët tr÷íng ¤i håc muèn x¸p gií håc cho s¡u mæn håc

v1, v2, v3, v4, v5, v6 bi¸t r¬ng câ mët v i sinh vi¶n håc c¡c mæn: v1 v  v2, v1

v  v4, v3 v  v5, v2 v  v6, v4 v  v5, v5 v  v6, v1 v  v6

º x¸p ÷ñc thíi khâa biºu cho c¡c mæn håc, ta v³ mët ç thà 6 ¿nh

- Ta t¼m c¡ch ph¥n ho¤ch tªp ¿nh th nh 4 ph¦n sao cho khæng ph¦n

n o chùa c°p ¿nh k· nhau

- Mët c¡ch h¼nh thùc, ¥y l  mët h m

c : {v1, v2, v3, v4, v5, v6} −→ {1, 2, 3, 4}

g¡n méi ¿nh vîi mët håc

- Khæng m§t t½nh têng qu¡t ta dòng sè nguy¶n d÷ìng cho c¡c m u

Khi â, ta câ c¡ch x¸p làch nh÷ sau:

Ti¸t 1: v1 v  v3

Ti¸t 2: v2 v  v4