Sử dụng phương pháp biến phân để tìm năng lượng và hàm sóng trong một số bài toán cơ học lượng tử

LỜI CẢM ƠN Luận văn thạc sĩ khoa học chuyên ngành Vật lí lí thuyết và Vật lí toán với đề tài “Sử dụng phương pháp biến phân để tìm năng lượng và hàm sóng trong một số bài toán cơ học lượ

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

LỜI CẢM ƠN

Luận văn thạc sĩ khoa học chuyên ngành Vật lí lí thuyết và Vật lí toán

với đề tài “Sử dụng phương pháp biến phân để tìm năng lượng và hàm sóng trong một số bài toán cơ học lượng tử” là kết quả của quá trình cố

gắng không ngừng của bản thân và được sự giúp đỡ, động viên khích lệ của các thầy cô, bạn bè đồng nghiệp và người thân Vì vậy qua trang viết này em xin gửi gửi lời cảm ơn tới những người đã giúp đỡ em trong thời gian học tập

- nghiên cứu khoa học vừa qua

Em xin tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc đối với T.S Trần Thái Hoa

đã trực tiếp tận tình hướng dẫn cũng như cung cấp tài liệu thông tin khoa học cần thiết cho luận văn này

Xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo trong khoa Vật lí trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 đã tận tình truyền đạt kiến thức trong suốt thời gian em học tập ở trường Em xin chân thành cảm ơn lãnh đạo trường Đại học sư phạm Hà Nội 2, khoa Vật lí trường Đại học sư phạm Hà nội 2 và đặc biệt thầy trưởng khoa Vật lí T.S Nguyễn Văn Thụ tạo điều kiện thuận lợi tối đa cho em hoàn thành tốt công việc nghiên cứu khoa học của mình

Cuối cùng em xin chân thành cảm ơn gia đình, cảm ơn lãnh đạo và các đồng nghiệp trường THPT Triệu Thái, cùng các bạn học viên lớp cao học K19 Vật lí lí thuyết và Vật lí toán đã luôn động viên giúp đỡ tạo điều kiện cho em trong quá trình học tập và thực hiện Luận văn

Hà Nội, ngày 16 tháng 05 năm 2017

TÁC GIẢ

Đặng Thị Huệ

LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan luận văn thạc sĩ với đề tài “Sử dụng phương pháp biến phân để tìm năng lượng và hàm sóng trong một số bài toán cơ học lượng tử” là công trình của cá nhân tôi, không sao chép của bất cứ ai

Mọi sự giúp đỡ cho việc thực hiện luận văn này đã được cảm ơn và các thông tin trích dẫn trong luận văn đều có nguồn gốc rõ ràng

Tôi xin chịu mọi trách nhiệm về nghiên cứu của mình !

Hà Nội, ngày 16 tháng 05 năm 2017

Người cam đoan

Đặng Thị Huệ

MỤC LỤC

PHẦN I MỞ ĐẦU 1

1 Lý do chọn đề tài 1

2 Mục đích nghiên cứu 2

3 Nhiệm vụ nghiên cứu 2

4 Đối tượng nghiên cứu và phạm vi nghiên cứu 2

5 Phương pháp nghiên cứu 2

6 Cấu trúc của luận văn 3

PHẦN II NỘI DUNG 3

CHƯƠNG 1: GIỚI THIỆU TỔNG QUAN VỀ PHÉP TÍNH BIẾN PHÂN 4

1.1 Phương pháp biến phân trong các bài toán với biên gắn chặt 4

1.1.1 Mở đầu 4

1.1.2 Các tính chất của biến phân 5

1.1.3 Phương trình Euler 6

1.1.4 Những phiếm hàm dạng 1 0 1 2 1 2 ( , , , , , ' , ' , , ' )

x n n x F x y y y y y y dx  11

1.1.5 Những phiếm hàm phụ thuộc vào các đạo hàm cấp cao hơn 13

1.1.6 Những phiếm hàm phụ thuộc vào hàm của nhiều biến độc lập 15

1.2 Các bài toán biến phân với biên động 18

1.2.1 Bài toán đơn giản nhất với biên động 18

1.2.2 Bài toán với biên động đối với phiếm hàm dạng 21

1.3 Các điều kiện đủ của cực trị 25

1.3.1 Trường các đường cong cực trị 25

1.3.2 Hàm E (x, y, p, y’) 26

1.3.3 Biến đổi phương trình Euler về dạng chính tắc 29

1.4 Các bài toán biến phân về cực trị vướng 31

1.4.1 Ràng buộc dạng ( ,x y y1, 2, ,y n)0 31

1.4.2 Ràng buộc dạng ( ,x y1, ,y y n, ' , , ' )1 y n 0 35

CHƯƠNG 2: GIỚI THIỆU VỀ CÁC PHƯƠNG PHÁP GẦN ĐÚNG 39

2.1 Lý thuyết nhiễu loạn 39

2.1.1 Nhiễu loạn dừng khi không có suy biến 39

2.1.2 Nhiễu loạn khi có suy biến 43

2.2 Phương pháp các phép biến đổi chính tắc 45

2.3 Phương pháp Ritz 49

CHƯƠNG 3: SỬ DỤNG CÁC PHƯƠNG PHÁP GẦN ĐÚNG ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN LƯỢNG TỬ 53

Bài 1 53

Bài 2 55

Bài 3 59

PHẦN III KẾT LUẬN 69

TÀI LIỆU THAM KHẢO 70

Ta đã biết trạng thái của hệ lượng tử có thể được mô tả bởi nghiệm của phương trình

Ở đây, H là toán tử Hamilton (không phụ thuộc thời gian) và E là năng

lượng của hệ Nghiệm chính xác của phương trình chỉ có thể tìm được trong một số tương đối nhỏ các trường hợp đơn giản nhất (trường Coulomb, trường đàn hồi, trường điện từ đều… ) tương ứng với các hệ lí tưởng hóa phương trình (1.1) có thể cho Sự phức tạp của việc giải phương trình này phụ thuộc vào dạng của thế năng và số chiều không gian trong bài toán cần giải

Phần lớn các bài toán của cơ học lượng tử dẫn tới những phương trình rất phức tạp về dạng toán học và không thể giải được nghiệm chính xác Do

đó, khi nghiên cứu các hệ thực, nói chung phương trình (1.1) không cho nghiệm chính xác

Bởi vậy phải ứng dụng những phương pháp gần đúng để giải bài toán

Do đó, người ta đi tìm nghiệm của phương trình Schrodinger bằng các phương pháp gần đúng, các hàm riêng và trị riêng, lí thuyết nhiễu loạn…

Trong đó việc sử dụng phương pháp biến phân giúp ích rất nhiều trong việc giải một số bài toán cơ học lượng tử

Phép tính biến phân bắt đầu phát triển từ năm 1696 và trở thành một ngành toán học độc lập, có những phương pháp nghiên cứu riêng, sau sự ra đời của các tác phẩm nghiên cứu cơ bản của Euler Đã có rất nhiều công trình,

đề tài khoa học nghiên cứu về vấn đề này và đã thu được những kết quả rất tốt

Trong luận văn này, tôi nghiên cứu ứng dụng phép tính biến phân vào việc tìm năng lượng và hàm sóng trong một số bài toán lượng tử Và đây

chính là lí do tôi chọn đề tài “Sử dụng phương pháp biến phân để tìm năng

lượng và hàm sóng trong một số bài toán cơ học lượng tử” làm luận văn tốt

nghiệp của mình

2 Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu khai thác và sử dụng phép tính biến phân vào việc tìm năng lượng và hàm sóng trong một số bài toán lượng tử

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Nghiên cứu một số cơ sở lý thuyết về phép tính biến phân

Nghiên cứu về ứng dụng phép tính biến phân trong Vật lý và trong cơ học lượng tử

4 Đối tượng nghiên cứu và phạm vi nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu: Môn cơ học lượng tử và các ứng dụng của phép tính biến phân trong việc giải một số bài toán lượng tử

Phạm vi nghiên cứu: Một số bài toán cơ học lượng tử về việc tìm năng lượng và hàm sóng của hạt

5 Phương pháp nghiên cứu

Vật lý lý thuyết và Vật lý toán

Các ứng dụng toán để giải các bài toán cơ học lượng tử

6 Cấu trúc của luận văn

Đề tài “Sử dụng phương pháp biến phân để tìm năng lượng và hàm

sóng trong một số bài toán cơ học lượng tử” có kết cấu gồm 3 phần: phần

thứ nhất là phần mở đầu, phần thứ hai là phần nội dung và phần thứ ba là phần kết luận

Trong đó thì phần nội dung được chia làm 3 chương, nội dung của từng chương như sau:

Chương 1 Giới thiệu tổng quan về phép tính biến phân

Chương 2 Giới thiệu về các phương pháp gần đúng

Chương 3 Sử dụng các phương pháp gần đúng để giải một số bài toán lượng

tử

PHẦN II NỘI DUNG Chương 1 Giới thiệu tổng quan về phép tính biến phân

1.1 Phương pháp biến phân trong các bài toán với biên gắn chặt

1.2 Các bài toán biến phân với biên động và một vài bài toán khác

1.3 Các điều kiện đủ của cực trị

1.4 Các bài toán biến phân về cực trị vướng

Chương 2 Giới thiệu về các phương pháp gần đúng

2.1 Lý thuyết nhiễu loạn

2.2 Phương pháp các phép biến đổi chính tắc

2.3 Phương pháp Ritz

Chương 3 Sử dụng các phương pháp gần đúng để giải một số bài toán lượng tử

CHƯƠNG 1 GIỚI THIỆU TỔNG QUAN VỀ PHÉP TÍNH BIẾN PHÂN

1.1 Phương pháp biến phân trong các bài toán với biên gắn chặt

1.1.1 Mở đầu

Bên cạnh các bài toán cần thiết phải xác định các cực trị, cực đại và cực

tiểu của hàm số z = f(x) nào đó, trong nhiều bài toán vật lý thường phải tìm

giá trị cực đại và cực tiểu của một loại đại lượng đặc biệt gọi là các phiếm hàm

Người ta gọi là phiếm hàm những đại lượng biến thiên mà các giá trị của nó được xác định phụ thuộc vào một hay một vài hàm số Chẳng hạn, độ

dài l của một cung của đường cong nối hai điểm cho trước, diện tích S của

một mặt nào đó là một phiếm hàm Momen quán tính, momen tĩnh học, các tọa độ của trọng tâm của một mặt hay của đường cong thuần nhất nào đó là các phiếm hàm

Trong tất cả các ví dụ trên, chúng ta thấy đặc trưng của phiếm hàm là

quan hệ tương ứng giữa hàm số với số, trong khi đó hàm số z = f(x) cho quan

hệ tương ứng giữa số với số

Phép tính biến phân nghiên cứu các phương pháp tìm các giá trị cực đại

và cực tiểu của các phiếm hàm Những bài toán đòi hỏi nghiên cứu các phiếm hàm về mặt cực đại hay cực tiểu được gọi là các bài toán biến phân

Nhiều quy luật cơ học và Vật lý học dẫn tới điều khẳng định là: Một phiếm hàm nào đó trong quá trình khảo sát cần phải đạt cực đại hay cực tiểu Những quy luật đó thường được gọi là những nguyên lý biến phân của cơ học hay vật lý học Nguyên lý tác dụng tối thiểu, định luật bảo toàn năng lượng, định luật bảo toàn xung lượng, định luật bảo toàn khối lượng, nguyên lý Fecma về quang học… là những nguyên lý biến phân hoặc những hệ quả đơn giản nhất của chúng

Ảnh hưởng lớn đến sự phát triển của phép tính biến phân là các bài toán sau đây: Bài toán về đường đoản thời, bài toán về đường trắc địa, bài toán cùng chu vi

1.1.2 Các tính chất của biến phân

a, Ta có định nghĩa về phiếm hàm phụ thuộc vào nhiều hàm số và phiếm hàm phụ thuộc vào hàm nhiều biến độc lập

Ta gọi số gia hay biến phân y của đối thức y(x) của phiếm hàm

[ ( )]

v y x là hiệu giữa hai hàm: y = y (x) – y 1 (x) Trong đó giả thiết rằng hàm y(x) thay đổi tùy ý trong một lớp hàm nào đó

b, Phiếm hàm [ ( )] v y x liên tục tại y = y0 (x) theo nghĩa lân cận cấp k

nếu với mọi số dương  bất kì luôn tìm được số  0 sao cho:

0

[ ( )] [ ( )

v y x v y x  Khi:

0

0

( ) ( ) ,( ) ( ) ,

c, Phiếm hàm L [y(x)] được gọi là phiếm hàm tuyến tính nếu nó thỏa

mãn điều kiện: L c y x    c L y x  (c là hằng số tùy ý) và điều kiện:

Ở đây [ ( ),L y x y] là phiếm hàm tuyến tính đối với y, maxy là giá trị lớn nhất của y và ( ( ), y x y)0 khi maxy  0, thì phần tuyến tính của số gia của phiếm hàm đối với y, tức là [ ( ),L y x y], gọi là biến phân của phiếm hàm và kí hiệu là v

Như vậy, biến phân của phiếm hàm là phần chính tuyến tính của số gia của phiếm hàm đối với y

e, Biến phân của phiếm hàm [ ( )]v y x bằng: v y x[ ( ) y] 0

y  y x nếu giá trị của phiếm hàm [ ( )]v y x trên đường cong lân cận bất kì

của y  y0 x không lớn hơn so với v y x[ ( )]0 , tức là

0

[ ( )] - [ ( )] 0

vv y x v y x  Nếu v0, đồng thời v0 chỉ khi y x   y0 x thì ta nói rằng phiếm hàm đạt cực đại chặt trên đường cong y  y0 x

Tương tự có định nghĩa về sự đạt cực tiểu của phiếm hàm trên đường congy  y0 x Trong trường hợp này v0trên mọi đường cong lân cận của đường cong y  y0 x

f, Định lý: Nếu phiếm hàm [ ( )]v y x có biến phân đạt cực đại hay cực tiểu khi y  y0 x , ở đây y0 (x) là điểm trong của miền xác định của phiếm

trong đó, các điểm biên của các đường cong có thể nhận bị gắn chặt:

Ta giả thiết rằng phiêm hàm đạt cực trị trên đường cong hai lần khả vi

Biến phân yy x  – y x  là một hàm số của x, hàm này có thể lấy

vi phân một lần hay một vài lần, đồng thời phần ( y )’ = 'y (x) – y’(x) = y', tức là đạo hàm của biến phân bằng biến phân của đạo hàm Như vậy chúng ta

xét họ y = y (x,), ở đây y (x,) = y (x) +y, khi  = 0 sẽ là đường cong trên đó phiếm hàm đạt cực trị, còn khi  = 1 là đường cong lân cận có thể nhận nào đó, hay thường gọi là đường cong so sánh

Nếu xét các giá trị của phiếm hàm:

chỉ trên các đường cong của họ y = y (x,) thì phiếm hàm sẽ trở thành hàm của 

v [y (x,)] =  ()

Vì giá trị của tham số  xác định đường cong của họ y = y (x,) và do

đó xác định giá trị của phiếm hàm v [y (x,)] Hàm số  () này đạt cực đại khi  = 0, vì khi  = 0 ta nhận được y = y (x) và phiêm hàm theo giả thiết đạt

cực trị so với các đường cong lân cận có thể nhận bất kì và nói riêng, so với

các đường cong lân cận thuộc họ y = y (x,) Như đã biết, điều kiện cần của cực trị của hàm  () khi  = 0 là đạo hàm của nó bằng 0 khi  = 0:

Như chúng ta đã biết, '(0) gọi là biến phân của phiếm hàm và kí hiệu

là v Điều kiện cần của cực trị của phiếm hàm v chính là biến phân của nó

bằng 0, v = 0 Đối với phiếm hàm

0 0

x x

Đồng thời, nhân tử thứ nhất: F y d F y'

dx

 là hàm liên tục cho trước trên

đường cong y(x) mà phiếm hàm đạt cực trị, còn nhân tử thứ hai y , do sự lựa

chọn tùy ý đường cong so sánh y = ( ) y x , sẽ là một hàm tùy ý thỏa mãn các điều kiện chung là: bằng không ở điểm biên x = x0 và x = x1, liên tục và khả

vi một hay một vài lần, y và y' nhỏ về giá trị tuyệt đối

Để đơn giản điều kiện trên, ta sử dụng bổ đề sau:

Bổ đề cơ bản của phép tính biến phân: Nếu với mỗi hàm liên tục ( ) x có:

Ở đây ( ) x là hàm liên tục trên đoạn [x0, x1] thì ( ) x = 0 cũng trên đoạn đó

Bây giờ ta sử dụng bổ đề cơ bản để đơn giản điều kiện cần nêu trên của cực trị của phiếm hàm đơn giản [ ( )]v y x :

  = 0 trên đường cong y = y(x), nơi phiếm hàm khảo sát đạt cực

trị, tức là y = y(x) là nghiệm của phương trình vi phân cấp hai:

Phương trình này gọi là phương trình Euler Đường cong tích phân của phương trình Euler y  y x C , 1 , C2 được gọi là đường cong cực trị Phiếm hàm:

hai hằng số tùy ý chứa trong nghiệm tổng quát của phương trình này từ điều

kiện biên: y(x0) = y0, y(x1) = y1 Phiếm hàm chỉ có thể đạt cực trị trên các đường cong cưc trị thỏa mãn các điều kiện này Song để phân tích xem chúng

có thực sự là cực trị hay không, đồng thời là cực đại hay cực tiểu, cần phải sử dụng các điều kiện đủ của cực trị [12]

mà ta đã xét trong 1.1.2 Như vậy, hàm số mà trên đó phiếm hàm đạt cực trị luôn luôn thỏa mãn phương trình Euler:

Vì lí luận đó ứng dụng cho bất kì hàm số yi (i = 1, 2,…, n) nào nên ta sẽ

nhận được một hệ thống phương trình vi phân cấp hai:

Nói riêng, nếu phiếm hàm chỉ phụ thuộc vào hai hàm số y(x) và z(x):

 ,  

y  y x z  z x

Khi đó nếu cố định z(x) và chỉ đổi dạng hàm y(x) chúng ta sẽ biến đổi đường cong của chúng ta sao cho hình chiếu của nó trên mặt xOz không thay

đổi, tức là, đường cong luôn giữ nguyên trên mặt trụ chiếu z  z x 

Tương tự cố định y(x) và biến đổi z(x) chúng ta sẽ đổi dạng đường cong

sao cho nó luôn nằm trên mặt trụ chiếu y  y x  Khi đó ta nhận được hệ hai phương trình Euler:

1.1.5 Những phiếm hàm phụ thuộc vào các đạo hàm cấp cao hơn

Chúng ta nghiên cứu cực trị của phiếm hàm

(x1) = y1(n-1), tức là ở các điểm biên không những chỉ cho các giá trị của hàm số mà cả giá

trị của các đạo hàm đến cấp n – 1 của nó Giả sử cực trị của phiếm hàm đạt trên đường cong y = y(x) khả vi 2n lần và giả sử y  y x( ) là phương trình của

đường cong so sánh nào đó cũng khả vi 2n lần

Ta xét họ một tham số:

( , ) ( ) [ ( ) ( )]

y x   y x  y x  y x hay ( , )y x   y x( )y

Khi = 0 thì ( , )y x   y x( )và khi = 1 thì ( , )y x  y x( )

Nếu chỉ xét các giá trị của phiếm hàm v y x   trên các đường cong

của họ y(x) = ( , ) y x thì phiếm hàm sẽ trở thành hàm của tham số  và đạt

Với hàm y chọn tùy ý và vi phân nhân tử thứ nhất dưới dấu tích phân

là hàm liên tục của x cũng trên đường cong y  y x  đó, nên theo bổ đề cơ bản, nhân tử thứ nhất phải đồng nhất bằng không:

( ) 2

n n

v y x F x y x y x y x dx đạt cực trị trên đường cong y  y x  thì y(x) phải là nghiệm của phương trình:

( ) 2

n n

Phương trình vi phân cấp 2n này mang tên là phương trình Euler –

Poisson, còn các đường cong tích phân của nó gọi là các đường cong cực trị của bài toán biến phân đang xét Nghiệm tổng quát của phương trình này chứa

2n hằng số tùy ý, mà nói chung có thể xác định từ 2n điều kiện biên:

1.1.6 Những phiếm hàm phụ thuộc vào hàm của nhiều biến độc lập

Chúng ta nghiên cứu cực trị của phiếm hàm:

Để đơn giản ta kí hiệu: z p, z q

  và coi như hàm F ba lần khả vi

Mặt z  z x y ,  trên đó phiếm hàm đạt cực trị, sẽ giả thiết là hai lần khả vi

Ta lại xét một họ mặt một tham số:

zz x y  z x y z

Ở đây: z z x y( , )z x y( , ) Đặc biệt, khi  0 ta có mặt z = z (x, y),

trên đó phiếm hàm đạt cực trị, khi  1 ta có mặt có thể nhận nào đó: ( , )

zz x y Trên các hàm của họ ( , , )z x y  phiếm hàm v trở thành hàm của 

phải đạt cực trị khi  0; vì vậy, đạo hàm của v z x y ( , , )  theo  khi  0gọi là biến phân của phiếm hàm và kí hiệu nó là v ta sẽ có:

 là đạo hàm riêng toàn phần theo x Khi tính nó ta xem y

là cố định, nhưng vẫn tính đến sự phụ thuộc của z, p, q vào x:

Tích phân này bằng 0 bởi vì trên chu tuyến C biến phân z0 do tất

cả các mặt có thể nhận đều chỉ đi qua một chu tuyến không gian C Vì vậy:

Vì biến phân zlà tùy ý, còn nhân tử thứ nhất là hàm liên tục, nên theo

bổ đề cơ bản, trên mặt z  z x y ,  mà phiếm hàm đạt cực trị, ta có:

1.2 Các bài toán biến phân với biên động

1.2.1 Bài toán đơn giản nhất với biên động

Khi nghiên cứu phiếm hàm

xê dịch

Vì vậy, nếu cực trị trong bài toán với điểm biên xê dịch đạt trên đường cong y  y x  nào đó thì cực trị càng phải đạt trên lớp hẹp hơn bao gồm các đường cong có các điểm biên chung với đường cong y  y x  và vì vậy, nó

cần phải thực hiện điều kiện cơ bản, cần thiết để đạt cực trị là: hàm y(x) phải

là nghiệm của phương trình Euler:

y x  y vày x 1  y1 Trong bài toán với biên động, một hay cả hai điều kiện này không có nên để nhận được các hằng số tùy ý trong nghiệm tổng quát của phương trình Euler ta xuất phát từ điều kiện cần cơ bản của cực trị là v = 0

Vì trong bài toán với biên động, cực trị chỉ đạt trên các nghiệm y = y(x,

C1, C2) của phương trình Euler, nên sau này, có thể chỉ xét giá trị của phiếm hàm trên các hàm của họ này Khi đó phiếm hàm v y x C C  , , 1 2 trở thành

hàm của các tham số C1 và C2, của các cận tích phân x0, x1 và biến phân của phiếm hàm trùng với vi phân của hàm này Để đơn giản ta sẽ coi rằng một

trong những điểm biên, ví dụ (x0, y0) được gắn chặt, còn điểm biên (x1, y1) có thể dịch chuyển và đi qua điểm(x1 x y1, 1 y1), hay như thường kí hiệu trong phép tính biến phân:

(x x y, y)

Các đường cong có thể nhận y = y(x) và y = y(x) + y sẽ coi là lân cận

nhau nếu môđun của biến phân y và y' và môđun của số gia x1 và y1 là nhỏ

Các đường cong cực trị đi qua điểm (x0, y0) lập nên một chùm đường

cong cực trị y = y(x, C1) Phiếm hàm v y x C  , 1 trên các đường cong của chùm này trở thành hàm của C1 và x1 Nếu những đường cong của chùm y = y(x, C1) ở lân cận các đường cong cực trị, không cắt nhau thì v y x C  , 1 có

thể xem như hàm đơn của x1 và y1, bởi vì cho x1 và y1 là xác định được đường cong cực trị của chùm, hơn nữa, xác định được giá trị của phiếm hàm

Chúng ta tính biến phân của phiếm hàm v y x C  , 1 trên các đường

cong cực trị của chùm y = y(x, C1) khi dịch chuyển các điểm biên từ vị trí (x1,

y1) đến vị trí(x1x y1, 1y1) Vì phiếm hàm v trên các đường cong của chùm trở thành hàm của x1 và y1 nên biến phân của nó trùng với vi phân của hàm này Ta tách phần chính tuyến tính theo x1 và y1từ số gia v :

x x x

1 1

0 0

x x

các giá trị của v trên tất cả các đường cong lân cận có thể có, bao gồm các

đường cong có hoặc không có điểm biên chung với đường cong C, thì khi đó, hiển nhiên, phiếm hàm sẽ đạt cực trị trên đường cong C so với lớp hẹp hơn các đường cong lân cận có các điểm biên chung với đường cong C

Bởi vậy trên đường cong C phiếm hàm phải thỏa mãn các điều kiện cần của cực trị trong bài toán với biên gắn chặt, nói riêng, đường cong C phải là

đường cong tích phân của hệ phương trình Euler

Nghiệm tổng quát của phương trình Euler chứa bốn hằng số tùy ý Khi

biết các tọa độ của điểm biên gắn chặt A (x0, y0, z0), nói chung, có thể khử bớt hai hằng số tùy ý Để xác định hai hằng số tùy ý còn lại cần phải có hai phương trình nữa Các phương trình này sẽ nhận được từ điều kiện v0, đồng thời, khi tính biến phân, chúng ta sẽ coi rằng phiếm hàm chỉ cho trên các nghiệm của hệ phương trình Euler, vì chỉ trên chúng phiếm hàm mới có thể

đạt cực trị Khi đó phiếm hàm v biến thành hàm ( ,x y z1 1, )1 của các tọa độ

x x

Sử dụng định lí giá trị trung bình đối với tích phân thứ nhất và sử dụng

tính liên tục của hàm F, còn trong tích phân thứ hai ta tách phần chính tuyến

tính nhờ công thức Taylor, sau khi biến đổi, có:

Nếu điểm biên B x y z 1 , 1 , 1 dọc theo đường cong y1( );x1 z( )x1

thìy1'( )x1 x1 còn z1 '( )x1 x1và điều kiện v0, hay

Nếu điểm biên B x y z 1 , 1 , 1có thể dịch chuyển trên mặt z1 ( )x1 nào

Nếu điểm biên A x y z( ,0 0, 0) dịch chuyển thì hoàn toàn như trên ta thu được các điều kiện tương tự ở điểm này

( , , , , n)

B x y y y trong trường hợp điểm này dịch chuyển, điều kiện:

Nếu trên mặt phẳng (x, y), qua mỗi điểm của một miền D nào đó có

một và chỉ một đường cong của họ y  y x C ,  đi qua thì ta nói rằng họ các đường cong này lập nên một trường, hay chính xác hơn, một trường riêng

trong miền D Hệ số góc của tiếp tuyến p x y ,  của mỗi đường cong của họ

y  y x C đi qua điểm (x, y) gọi là độ nghiêng của trường ở điểm (x, y)

Nếu tất cả các đường cong của họ y  y x C ,  đi qua một điểm (x0,

y0) nào đó, tức là lập nên một chùm đường cong thì chúng sẽ không lập nên

một trường riêng trong miền D nếu tâm của chùm nằm trong miền D Song các đường cong của chùm phủ lên tất cả miền D và không cắt nhau trong

miền này, trừ tâm của chùm, tức là ở tất cả các điểm khác với tâm của chùm các yêu cầu của định nghĩa trường được thực hiện, thì ta nói rằng họ

y  y x C cũng lập nên một trường, nhưng để phân biệt với trường riêng

đã xét, ta gọi là trường có tâm

Nếu một trường riêng hay có tâm lập nên bởi một họ các đường cong cực trị của một bài toán biến phân nào đó thì nó được gọi là trường của các đường cong cực trị

Khái niệm trường hầu như không thay đổi khi chuyển sang không gian với số chiều bất kì Họ y i  y x C i , 1 ,  , C n (i = 1, 2,…, n) lập nên một trường trong miền D của không gian x, y1,…,yn nếu qua mỗi điểm của miền D

có một và chỉ một đường cong của họ y i  y x C i , 1 ,  , C n Các đạo hàm riêng của các hàm y x C i , 1 ,  , C n theo x tại điểm x y, , , 1 y2  , y n được

gọi là hàm độ nghiêng p x y i , , , 1 y2  , y n của trường Vì vậy, để có

trong biểu thức của nó bằng các tọa độx y, , , 1 y2  , y n Ta có thể làm tương

tự như vậy đối với trường có tâm

Giả sử đường cong y  y x  là đường cong cực trị của bài toán biến phân đối với phiếm hàm đơn giản nhất dạng:

này không nằm trên biên của miền D, mà trong đó họ y  y x C ,  lập nên trường Nếu chùm đường cong cực trị có tâm ở điểm Ax0 , y0 nằm trong lân cận của đường cong cực trị y  y x  cũng đi qua điểm này, lập nên trường, thì ta tìm được một trường có tâm chứa đường cong cực trị y  y x  này Tham số của họ đường cong trong trường hợp này có thể lấy là hệ số góc của tiếp tuyến với các đường cong của chùm ở điểm Ax0 , y0 [7]

điều kiện Jacobi được thực hiện và vì vậy, đường cong cực trị C đi qua điểm

A x , y và Bx1 , y1có thể được chứa trong trường có tâm mà độ nghiêng bằng p x y ,  Để xác định dấu của số gia v của phiếm hàm v khi dịch chuyển từ đường cong cực trị C tới một đường cong lân cận có thể nhận C

nào đó, ta biến đổi gia số:

( , , ') ( , , ') ,

C C

là tích phân của một vi phân hoàn chỉnh

Như vậy tích phân ( , , )  '  p

Khi đó nếu bất đẳng thức E 0 (hay E 0 ) được thực hiện với các giá

trị x, y lân cận giá trị x, y trên đường cong cực trị C đang xét và với giá trị y’

lân cận p x y ,  cũng trên đường cong cực trị này, thì phiếm hàm sẽ đạt cực

tiểu yếu Còn đối với các cực tiểu mạnh cũng đòi hỏi đẳng thức đúng với các

giá trị x, y như vậy, nhưng với y’ bất kì

Bởi vậy, các điều kiện đủ để phiếm hàm v đạt cực trị trên đường cong

C là:

Đối với cực trị yếu:

1 Đường cong C là đường cong cực trị thỏa mãn các điều kiện biên

2 Đường cong C thuộc trường các đường cong cực trị Điều kiện này

có thể thay bằng điều kiện Jacôbi

3 Hàm E x y p y, , , ’ không đổi dấu ở tất cả các điểm (x, y) lân cận đường cong C và giá trị y’ lân cận với p x y ,  Trong trường hợp cực tiểu E

0

 , trong trường hợp cực đại E 0

Đối với cực trị mạnh:

1 Đường cong C là đường cong cực trị thỏa mãn các điều kiện biên

2 Đường cong C thuộc trường các đường cong cực trị Điều kiện này

có thể thay bằng điều kiện Jacôbi

3 Hàm E x y p y, , , ’ không đổi dấu ở tất cả các điểm (x, y) lân cận đường cong C và giá trị y’ tùy ý Trong trường hợp cực tiểu E 0 , trong

Ta giải hệ phương trình (1.3.2) theo y’k

Để có thể giải phương trình này ta giả thiết:

Chú ý rằng nếu hàm F y y( ,1 2, ,y y n, ' , ' , , ' )1 y2 y n không phụ thuộc vào

x thì hệ (1.3.6) có tích phân đầu H = C Thực vậy, trong trường hợp này

1.4 Các bài toán biến phân về cực trị vướng

1.4.1 Ràng buộc dạng ( ,x y y1, 2, ,y n)0

Các bài toán, trong đó yêu cầu tìm cực trị của phiếm hàm v, đồng thời

các đối thức bị những ràng buộc nào đó được gọi là các bài toán biến phân về cực trị có điều kiện hay cực trị vướng Ví dụ, yêu cầu nghiên cứu cực trị của phiếm hàm:

1 1 1 2

( , , , ),( , , , ),

chỉ phụ thuộc vào n – m đối thức

Tuy nhiên cũng như đối với hàm số, đối với các phiếm hàm có phương pháp giải khác, thường thuận tiện hơn, gọi là phương pháp thừa số bất định Phương pháp này giữ nguyên sự bình đẳng hoàn toàn của các biến Như đã biết khi nghiên cứu cực trị của hàm số z f x x( ,1 2, ,x n)với điều kiện ràng buộc i( ,x x1 2, ,x n)0 (i  1, 2,, m), phương pháp thừa số bất định tiến hành như sau:



ở đây i là các thừa số hằng số nào đó và nghiên cứu cực trị không điều kiện

của hàm z*, tức là thiết lập hệ phương trình:

*

0

j

z x

 ( j  1, 2,, n)

Kết hợp thêm với các phương trình ràng buộc: