Các định luật bảo toàn trong cơ lí thuyết và một số bài toán ứng dụng

Nhiệm vụ nghiên cứu - Nghiên cứu định luật bảo toàn xung lượng, định luật bảo toàn mô men xung lượng, định luật bảo toàn cơ năng và vận dụng các định luật bảo toàn đó để giải một số bài

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Người hướng dẫn khoa học

PGS.TS.NGUYỄN THỊ HÀ LOAN

HÀ NỘI, 2017

Cuối cùng, tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến gia đình, bạn bè đã luôn sát cánh bên tôi, động viên giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu để hoàn thành khóa luận này

Hà Nội, ngày 18 tháng 04 năm 2017

Sinh viên

Trần Thị Trà My

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đề tài “ Các định luật bảo toàn trong cơ lý thuyết

và một số bài toán ứng dụng ” được hoàn thành do sự nỗ lực của bản thân cùng sự hướng dẫn, giúp đỡ tận tình của cô giáo PGS.TS Nguyễn Thị Hà Loan Tôi cũng xin cam đoan rằng kết quả này không trùng với kết quả của

bất kì khóa luận tốt nghiệp khác Nếu có gì không trung thực trong khóa luận tôi xin hoàn toàn chịu trách nhiệm

Hà Nội, ngày 18 tháng 04 năm 2017

Sinh viên

Trần Thị Trà My

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 5

1 Lý do chọn đề tài 1

2 Mục đích nghiên cứu 2

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu 2

4 Nhiệm vụ nghiên cứu 2

5 Phương pháp nghiên cứu 2

6 Nội dung nghiên cứu 2

7 Đóng góp đề tài 2

NỘI DUNG 3

CHƯƠNG 1: ĐỊNH LUẬT BẢO TOÀN XUNG LƯỢNG VÀ MỘT SỐ BÀI TẬP ỨNG DỤNG 3

1.1 Định luật bảo toàn xung lượng của chất điểm 3

1.1.1 Định luật biến thiên xung lượng của chất điểm 3

1.1.2 Định luật bảo toàn xung lượng của chất điểm 4

1.2 Định luật bảo toàn xung lượng của hệ chất điểm 5

1.2.1 Định luật biến thiên xung lượng của hệ chất điểm 5

1.2.2 Định luật bảo toàn xung lượng của hệ chất điểm 7

1.3 Một số bài toán ứng dụng 8

CHƯƠNG 2: ĐỊNH LUẬT BẢO TOÀN MÔ MEN XUNG LƯỢNG VÀ MỘT SỐ BÀI TOÁN ỨNG DỤNG 13

2.1 Định luật bảo toàn mô men xung lượng của chất điểm 13

2.1.1 Định luật biến thiên mô men xung lượng của chất điểm 13

2.1.2 Định luật bảo toàn mô men xung lượng của chất điểm 14

2.2 Định luật bảo toàn mômen xung lượng của hệ chất điểm 15

2.2.1 Định luật biến thiên mômen xung lượng của hệ chất điểm 15

2.2.2 Định luật bảo toàn mômen xung lượng của hệ chất điểm 18

2.3 Một số bài toán ứng dụng 18

CHƯƠNG 3: ĐỊNH LUẬT BẢO TOÀN CƠ NĂNG VÀ MỘT SỐ BÀI TOÁN ỨNG DỤNG 27

3.1 Định luật bảo toàn cơ năng của chất điểm 27

3.1.1 Định luật biến thiên động năng của chất điểm 27

3.1.2 Định luật bảo toàn cơ năng của chất điểm 28

3.2 Định luật bảo toàn cơ năng của hệ chất điểm 30

3.2.1 Định lí biến thiên động năng của hệ chất điểm: 30

3.2.2 Định luật bảo toàn cơ năng của hệ chất điểm 32

3.3 Một số bài toán ứng dụng 34

KẾT LUẬN 42

TÀI LIỆU THAM KHẢO 43

đề của kĩ thuật nói riêng và thế giới tự nhiên nói chung Vì vậy cho đến hiện nay nó vẫn là một trong các cơ sở của khoa học tự nhiên và xã hội

Động lực học là một phần của cơ học lý thuyết trong đó nghiên cứu một cách toàn diện các quy luật chuyển động cơ học của vật thể dưới tác dụng của các lực Lý thuyết động lực học được xây dựng trên những định luật cơ bản của động lực học Chúng là kết quả của hàng loạt các thí nghiệm và quan sát đã được kiểm nghiệm qua thực tiễn Các định lý này phản ánh mối liên hệ

cụ thể khác nhau giữa lực với chuyển động Trong giai đoạn phát triển hiện nay của Vật lý học, các định luật bảo toàn cho phép ta hiểu được sâu sắc thêm nhiều thông tin về chuyển động của vật thể và vận dụng có hiệu quả trong việc giải các bài toán cơ học phức tạp

Trong động lực học,việc sử dụng phương pháp của phần động học trong các bài toán hệ vật là việc làm hết sức phức tạp Hơn nữa trong phần lớn các bài toán động lực học của hệ, vấn đề chính không phải là khảo sát một cách chi tiết toàn bộ chuyển động của chất điểm thuộc hệ mà chỉ nghiên cứu các hiện tượng theo từng mặt riêng biệt Để giải quyết các bài toán như vậy, việc sử dụng các định luật bảo toàn sẽ làm cho quá trình giải đơn giản và nhanh chóng hơn

Chính vì vậy, tôi đã chọn đề tài “ Các định luật bảo toàn trong cơ lý thuyết và một số bài toán ứng dụng ”

2

2 Mục đích nghiên cứu

- Nghiên cứu các định luật bảo toàn trong cơ lý thuyết

- Sử dụng các định luật bảo toàn trong cơ lý thuyết để giải một số bài tập cơ lý thuyết

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

- Các định luật bảo toàn xung lượng, định luật bảo toàn mô men xung

lượng và định luật bảo toàn cơ năng

- Áp dụng các định luật bảo toàn xung lượng, định luật bảo toàn mô men xung lượng và định luật bào toàn cơ năng để giải một số bài tập cơ lý thuyết

4 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Nghiên cứu định luật bảo toàn xung lượng, định luật bảo toàn mô men xung lượng, định luật bảo toàn cơ năng và vận dụng các định luật bảo toàn đó

để giải một số bài tập cơ lý thuyết

5 Phương pháp nghiên cứu

- Phương pháp vật lý lý thuyết

- Phương pháp giải tích

6 Nội dung nghiên cứu

Chương 1: Định luật bảo toàn xung lượng và một số bài tập ứng dụng Chương 2: Định luật bảo toàn mô men xung lượng và một số bài tập ứng dụng

Chương 3: Định luật bảo toàn cơ năng và một số bài tập ứng dụng

3

NỘI DUNG CHƯƠNG 1 ĐỊNH LUẬT BẢO TOÀN XUNG LƯỢNG VÀ MỘT SỐ BÀI

TOÁN ỨNG DỤNG

1.1 Định luật bảo toàn xung lượng của chất điểm

1.1.1 Định luật biến thiên xung lượng của chất điểm

a Xung lượng của chất điểm

Tích giữa khối lượng m của chất điểm và vận tốc v⃗ của nó được gọi là xung lượng P⃗⃗ của chất điểm

P

⃗⃗ = mv⃗ (1.1)

b Định luật biến thiên xung lượng của chất điểm

Khối lượng của chất điểm không thay đổi trong quá trình chuyển động nên đạo hàm hai vế của (1.1) theo thời gian t, ta được:

F⃗ là lực tác dụng lên chất điểm

4

1.1.2 Định luật bảo toàn xung lượng của chất điểm

Nếu chất điểm là cô lập ( không có lực tác dụng ) hoặc tổng hợp lực tác dụng lên chất điểm bằng 0, nghĩa là F→ = 0

Biểu thức P→̇ = F→ trở thành:

P

⃗⃗ ̇ = 0 Hay P⃗⃗ = P⃗⃗⃗ = const0 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

Khi đó xung lượng của chất điểm được bảo toàn

Nếu thành phần của lực trên một trục cố định nào đó bằng không tại mọi thời điểm thì thành phần của xung lượng trên trục đó được bảo toàn Ví dụ: Nếu Fz = 0 thì Pz bảo toàn Pz = Pz0 = const

Chú ý: Nếu thành phần của lực trên một trục di động bằng 0 thì chưa thể suy ra thành phần xung lượng trên trục đó bảo toàn

Ví dụ: Giả sử thành phần của lực trên trục ρ trong hệ toạ độ cực bằng 0 nhưng thành phần của xung lượng trên trục đó lại không bảo toàn Thật vậy:

mωρ = Fρm(ρ̈ − ρφ̇2) = Fρ (1.3)

Ta biết Pρ = mρ̇ là thành phần xung lượng trên trục ρ Do đó (1.3) có thể viết dưới dạng:

Ṗρ− mρφ̇2 = FρNhư vậy, nếu Fρ = 0 thì Ṗρ = mρφ̇2 nghĩa là Pρ vẫn không bảo toàn

Định luật bảo toàn xung lượng của chất điểm được phát biểu như sau:

“ Nếu chất điểm là cô lập ( không có lực tác dụng ) hoặc tổng hợp lực tác dụng lên chất điểm bằng 0 thì xung lượng của chất điểm được bảo toàn ”

P

⃗⃗ ̇ = 0 hay P⃗⃗ = P⃗⃗⃗ = const0 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (1.4)

5

1.2 Định luật bảo toàn xung lượng của hệ chất điểm

1.2.1 Định luật biến thiên xung lượng của hệ chất điểm

Xét hệ chất điểm gồm N chất điểm M1, M2, … , MN

Lực tác dụng lên chất điểm của hệ chia thành nội lực và ngoại lực

a) Nội lực: là lực do các chất điểm của hệ tương tác với nhau

Tổng nội lực tác dụng lên các chất điểm của hệ là :

Trong đó F⃗ iin là nội lực tác dụng lên chất điểm thứ i

b) Ngoại lực: là lực do các vật thể ở ngoài hệ tương tác lên các chất điểm trong hệ

Tổng ngoại lực tác dụng lên các chất điểm của hệ là :

Trong đó F⃗ ie là ngoại lực tác dụng lên chất điểm thứ i

Ký hiệu xung lượng của hệ chất điểm là P⃗⃗ thì theo định nghĩa:

i=1

N

j=1 j<i

N

i=1

N

j=1 j<i

i=1

dP⃗⃗

dt = F⃗

e

7

Hay P⃗⃗ ̇ = F⃗ e (1.5) Biểu thức (1.5) biểu diễn định luật biến thiên xung lượng của hệ chất điểm được phát biểu như sau:

“ Đạo hàm véc tơ xung lượng của hệ chất điểm theo thời gian bằng tổng ngoại lực tác dụng lên các chất điểm của hệ.”

P

⃗⃗ ̇ = F⃗ e

Trong đó: P⃗⃗ là xung lượng của hệ chất điểm

Fe là tổng ngoại lực tác dụng lên hệ chất điểm

Ý nghĩa: định luật biến thiên xung lượng cho ta biết mối liên hệ giữa gia tốc, lực và thời gian Nó giúp ta xác định được một trong ba đại lượng khi biết hai đại lượng còn lại

Định luật biến thiên xung lượng còn được áp dụng trong nghiên cứu lý thuyết va chạm

1.2.2 Định luật bảo toàn xung lượng của hệ chất điểm

Nếu thành phần của tổng ngoại lực tác dụng lên hệ trên một trục cố định nào đó bằng không tại mọi thời điểm thì thành phần của xung lượng của

hệ trên trục đó bảo toàn

Ví dụ: Nếu Fze = 0 thìPz = Pz0 = const với Pz0 là thành phần của Pz ở thời điểm ban đầu

Trong trường hợp cơ hệ kín là hệ mà trong đó các chất điểm của hệ không chịu một ngoại lực nào tác dụng lên chúng hay F⃗ e = 0 Từ (1.5) suy ra:

dP⃗⃗

dt = F⃗

e = 0 P

⃗⃗ = P⃗⃗ 0 = const⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

Như vậy, đối với hệ kín thì xung lượng của hệ được bảo toàn

Định luật bảo toàn xung lượng của hệ chất điểm được phát biểu như sau:

“ Đối với hệ kín, xung lượng của hệ được bảo toàn ”

8

P

⃗⃗ = P⃗⃗ 0 = const⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (1.6)

1.3 Một số bài toán ứng dụng

Bài 1: Hãy tìm vận tốc sau va chạm đàn hồi tuyệt đối của hai quả cầu giống

nhau, chuyển động gặp nhau với vận tốc v1 và v2

Giải:

Chọn trục Ox ( như hình vẽ )

Giả sử sau va chạm vận tốc của hai quả cầu là v⃗⃗⃗ và v1′ ⃗⃗⃗⃗ 2′

Áp dụng định luật bảo toàn xung lượng cho hai quả cầu :

Bài 2: Hai quả cầu đàn hồi tuyệt đối giống nhau va chạm với các vận tốc v

bằng nhau về độ lớn Trước khi va chạm quả cầu bên trái có vận tốc hướng về bên phải theo đường nối tâm hai quả cầu, còn quả cầu bên phải có vận tốc hợp với đường nối tâm một góc α ( hình 1.2 ) Hãy tìm vận tốc của các quả cầu sau khi va chạm

v2y′ = vsinα

Từ (4):

→ 2v2 = v′1x2 + v′2x2 + v2sin2α

→ v′1x2 + v′2x2 = 2v2 − v2sin2α (5) Kết hợp với (2) → v1x′ = v − vcosα − v2x′ , thay vào (5), ta được phương trình:

v′2x2 − v(1 + cosα)v2x′ − v2 cosα = 0 Suy ra:

11

v2x′ = −vcosα < 0 (loại)

v2x′ = v (thỏa mãn)

v1x′ = v − vcosα − v = −vcosα Vậy vận tốc của hai quả cầu sau va chạm là:

v′12 = v′1x2 + v′1y2 = v2cos2α → v1′ = vcosα v′22 = v′2x2 + v′2y2 = v2+ v2sin2α → v′2 = v√1 + sin2α

12

Kết luận chương 1

Các định luật bảo toàn mà chúng ta nhận được trong chương này đều xuất phát từ phương trình chuyển động của Niu Tơn Vì thế các định luật đó liên hệ chặt chẽ với các tính chất của thời gian và không gian trong cơ học cổ điển Định luật bảo toàn xung lượng liên hệ với tính đồng nhất của không gian, do tính chất này mà các tính chất cơ học của một hệ kín không thay đổi với mọi dịch chuyển song song của hệ trong toàn bộ

Đối với một số bài tập cơ học thỏa mãn định luật bảo toàn thì có thể giải bằng các định luật bảo toàn và cũng có thể giải bằng phương trình tổng quát của động lực học nhưng giải bằng các định luật bảo toàn sẽ đưa kết quả nhanh chóng hơn

Khi áp dụng định luật bảo toàn xung lượng và định luật biến thiên xung lượng của cơ hệ, ta lần lượt làm theo thứ tự sau:

- Xác định trạng thái của cơ hệ khảo sát ( hệ kín hay hệ không kín ),

từ đó xác định hướng giải của bài toán sẽ áp dụng định luật bảo toàn xung lượng hay định luật biến thiên xung lượng của hệ

- Xác định các ngoại lực tác dụng lên cơ hệ Chọn hệ trục tọa độ tương ứng

- Xác định xung lượng của cơ hệ

- Áp dụng biểu thức của định luật, từ đó giải các phương trình vi phân

để tìm các đại lượng cần thiết theo yêu cầu của đề bài

13

CHƯƠNG 2 ĐỊNH LUẬT BẢO TOÀN MÔ MEN XUNG LƯỢNG VÀ MỘT

SỐ BÀI TOÁN ỨNG DỤNG

2.1 Định luật bảo toàn mô men xung lượng của chất điểm

2.1.1 Định luật biến thiên mô men xung lượng của chất điểm

Xét một chất điểm tự do có khối lượng m chuyển động dưới tác dụng của lực F→ Theo định luật II Niu tơn, ta có:

m ω⃗⃗ = F⃗ ( ω⃗⃗ : gia tốc của chất điểm )

→ m.dv⃗

dt = F⃗ Nhân hữu hướng với r về bên trái, ta được:

[r m.dv⃗

dt] = [r F⃗ ] Tích hữu hướng [r F⃗ ] được gọi là mô men lực của chất điểm, ký hiệu là L⃗

Biểu thức ( 2.2 ) biểu diễn định luật biến thiên mô men xung lượng của chất điểm được phát biểu như sau:

“ Đạo hàm véc tơ của mô men xung lượng của chất điểm theo thời gian bằng mô men lực tác dụng lên chất điểm đó ”

14

M

⃗⃗⃗ ̇ = L⃗

Trong đó: M⃗⃗⃗ = [r m v⃗ ] = [r P⃗⃗ ]: mô men xung lượng của chất điểm

L⃗ = [r F⃗ ] : mô men lực của chất điểm

2.1.2 Định luật bảo toàn mô men xung lượng của chất điểm

Nếu thành phần mô men lực trên một trục cố định nào đó tại mọi thời điểm bằng 0 thì thành phần của mômen xung lượng của chất điểm trên trục đó được bảo toàn

Ví dụ: Nếu Lz = 0 thì Mz bảo toàn

Mz = Mz0 = const (2.3) Nhận xét: Mô men lực (hay các thành phần của nó trên các trục nào đó) bằng không khi lực tác dụng lên chất điểm bằng không Nhưng cũng có thể xẩy ra trường hợp, lực tác dụng lên chất điểm khác không mà mô men lực lại bằng không

Ví dụ 1: Cho trước lực tác dụng lên chất điểm có hướng luôn cố định, ta chọn

trục Oz thế nào để nó cộng tuyến với hướng của lực đó Từ đây, ta có (hình 2.1a)

15

Ví dụ 2: Lực xuyên tâm, đó là lực có đường tác dụng luôn đi qua một

điểm cố định – tâm của lực (đường tác dụng của lực là đường thẳng mà vectơ lực nằm trên đó) Trong trường hợp này mô men lực bằng không Thật vậy:

Chọn điểm cố định O làm gốc toạ độ (Hình 2.1 b) khi đó:

F

⃗ = Fγnγ ; L⃗ = 0 M

⃗⃗⃗ = m[r v⃗ ] = M⃗⃗⃗ 0 (2.5) Nghĩa là mô men xung lượng của chất điểm đối với tâm của lực bảo toàn

Định luật bảo toàn mô men xung lượng của chất điểm được phát biểu như sau:

“ Trong hệ quy chiếu quán tính mà tổng hợp lực tác dụng lên chất điểm bằng

0 hoặc lực tổng hợp cộng tuyến với bán kính vectơ xác định vị trí của chất điểm thì mô men xung lượng của chất điểm bảo toàn ”

M

⃗⃗⃗ = M⃗⃗⃗ 0 = const⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (2.6) Trong đó: M⃗⃗⃗ = [r m v⃗ ]: mô men xung lượng của chất điểm

M0: mô men xung lượng ban đầu của chất điểm

2.2 Định luật bảo toàn mômen xung lượng của hệ chất điểm

2.2.1 Định luật biến thiên mômen xung lượng của hệ chất điểm

Phương trình chuyển động của chất điểm thứ i của hệ chất điểm có dạng:

mi ω⃗⃗ i = F⃗ iin + F⃗ ie

↔ mi.dv⃗ i

dt = F⃗ i

in+ F⃗ ie ( i = 1, N̅̅̅̅̅ ) Nhân hữu hướng với r i về bên trái:

[r i mi.dv⃗ i

dt] = [r i F⃗ i

in] + [r i F⃗ ie]

Lei = [r i F⃗ ie]: mômen ngoại lực của chất điểm thứ i

Mi = [r i mi v⃗ i] = [r i P⃗⃗ i]: mômen xung lượng của chất điểm thứ i Lấy tổng biểu thức (2.7) theo tất cả các chất điểm trong hệ, ta nhận được:

∑ L⃗ ini

N

i=1

= 0 (2.9) Bởi vì : [r i F⃗ ji] + [r j F⃗ ij] = [(r⃗⃗ − r i j) F⃗ ij] = 0

( vì Fij cộng tuyến với r ji = r i− r j )

Do đó tổng mô men nội lực tác dụng lên chấtđiểm của hệ bằng 0

Từ biểu thức (2.8) và (2.9), ta nhận được biểu thức của định luật biến thiên mô men xung lượng của hệ chất điểm:

M

⃗⃗⃗ ̇ = L⃗ e (2.10) Trong đó L⃗ e là tổng mô men ngoại lực tác dụng lên các chất điểm của hệ:

18

2.2.2 Định luật bảo toàn mômen xung lượng của hệ chất điểm

Nếu thành phần của tổng mô men ngoại lực trên một trục cố định nào

đó bằng không tại mọi thời điểm thì thành phần của mô men xung lượng của

hệ trên trục đó được bảo toàn

→ Mômen xung lượng trên Oz được bảo toàn

Trong trường hợp cơ hệ kín, tất cả các lực F⃗ ie = 0 ( i = 1,2, … , N) nên:

2.3 Một số bài toán ứng dụng

Bài 1: Một dây treo vật nặng có trọng lượng P1 quấn trên một tang quay hình trụ tròn đồng chất có trọng lượng P2 và bán kính R Bỏ qua khối lượng của dây và ma sát, hãy xác định vận tốc của vật nặng rơi xuống theo phương thẳng đứng

19

Giải:

Hệ khảo sát gồm tang quay, vật nặng và dây

Các ngoại lực tác dụng lên cơ hệ là trọng lực P⃗⃗ 1 của vật A, trọng lượng P2 của tang quay, phản lực R⃗⃗ của ổ đỡ

Trục quay được chọn là trục Oz hướng ra phía sau của mặt giấy và vuông góc với tang quay

Áp dụng định lý biến thiên mô men xung lượng của hệ đối với trục Oz, ta có:

dMz

dt = Lz = Lz(P⃗⃗ 1) + Lz(P⃗⃗ 2) + Lz(R⃗⃗ ) Trong đó:

𝑅⃗

𝑃⃗ 2

R (B)