Chuyên giới hạn của dãy số

Nguyễn Hữu Hiếu –sưu tầm-biên soạn Một số vấn đề cơ bản về dãy số và giới hạn của dãy 1 MỘT SỐ VẤN ĐỀ CƠ BẢN VỀ GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ A.. Sử dụng tiêu chuẩn Weierstrass để chứng minh dãy

Trang 1

Trường THPT Hùng Vương-Bình Phước GV Nguyễn Hữu Hiếu –sưu tầm-biên soạn

Một số vấn đề cơ bản về dãy số và giới hạn của dãy 1

MỘT SỐ VẤN ĐỀ CƠ BẢN VỀ GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ

A TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1 Định nghĩa 1

Dãy số  u n được gọi là dãy số tăng nếu với mọi n ta có u n u n1

Dãy số  u n được gọi là dãy số giảm nếu với mọi n ta có u n u n1

2 Định nghĩa 2

Dãy số  u n được gọi là dãy số bị chặn trên nếu tồn tại một số M sao cho

, *

n

Dãy số  u n được gọi là dãy số bị chặn dưới nếu tồn tại một số m sao cho

, *

n

Dãy số  u n được gọi là dãy số bị chặn nếu tồn tại một số M và một số m sao cho

n

mu M  n

3 Định lý 1

a Mọi dãy tăng và bị chặn trên thì hội tụ

b Mọi dãy giảm và bị chặn dưới thì hội tụ

4 Định lí 2

a Mọi dãy tăng và không bị chặn trên thì tiến tới 

b Mọi dãy giảm và không bị chặn dưới thì tiến tới 

5 Định lý 3

a Nếu một dãy  u n hội tụ đến a thì mọi dãy con trích từ  u n cũng hội tụ đến a

b  u n hội tụ đến a   u 2n và u2n1 hội tụ đến a

6 Định lý 4

a Nếu lim n 0

n u

  và u n   0, n thì lim 1

n n

u

b Nếu lim n

n u

   và u n   0, n thì lim 1 0

n n

u

7 Định lý 5.(Định lý kẹp giữa về giới hạn) Nếu với mọi nn0 ta luôn có u n x n v nvà

limu n limv n a thì limx n a

8 Sử dụng tiêu chuẩn Weierstrass để chứng minh dãy số có giới hạn

Bài toán Chứng minh dãy số  u n xác định bởi 1n  n 1 ; 2

u a

u f u  n





tìm giới hạn đó ( f x  là hàm số liên tục)

Phương pháp giải

a) Dãy  x n bị chặn Nếu f x  là hàm số tăng trên  a b; thì dãy  x n đơn điệu và hội

tụ đến L là nghiệm của phương trình f x x

Trang 2

b) Nếu f x  là hàm số nghịch biến thì các dãy con   x2n ; x2n1 của dãy  x n ngược chiều biến thiên

Nhận xét: Nếu dãy  x 2n hội tụ đến L, dãy x2n1 hội tụ đến K:

Với LK thì dãy  x n không có giới hạn;

Với LKthì dãy  x n có giới hạn là L

II BÀI TẬP

1 CHỨNG MINH DÃY SỐ CÓ GIỚI HẠN

Bài 1 Cho dãy số (u ) xác định bởi công thức n

1

*

3

n

u

Chứng minh

dãy số có giới hạn Tính limu ? n

Lời giải

Theo công thức xác định dãy ( )u , ta có n u n 0; n *

Áp dụng bất đẳng thức Côsi, ta có:

3

Do đó: u n 33 ; n *

Mặt khác:

3

0

n

u

Vậy ( )u là dãy số giảm và bị chặn dưới nên nó có giới hạn n

3 3

Kết luận limu n 33

Bài 2 Chứng minh dãy số có giới hạn và tìm giới hạn đó

Bài 3 Chứng minh dãy số

0

1

1 1

; 1, 2, 3

3

n

u

u 







có giới hạn và tìm giới hạn đó

,

n n

n

x

b) x n : x1 2;x n 1 2 x n

;

n

d) x n : x1 13;x n 1 12 x n

;

Trang 3

1

1 2

n n

n

u

1 1

1

0; 1

n n

x

h) x n :

1 1

1

13

20 , 1, 2

n

x

i) x n :

1 1

1

2

n

x

j) x n :

1

1 2 1

1

n n

n

x

u

l) x n : x1 0;x n 1 6 x n n; 1

3

n n

n

x

n) x n : x1 1;x2 2;x n 1 x n x n 1;n 2

2 n 2 n 2 n

, 0;1

f x x x x , f x' 0; x 0;1 từ đó suy ra f x tăng trên 0;1 Chứng minh u n 0;1 bằng quy nạp Do f x tăng nên f u n f u n 1 &u n u n 1 cùng dấu, và do

đó cùng dấu với 2 1 3

0 16

u u Từ đó suy ra u n là dãy giảm và bị chặn dưới

q) x n : x1 2;x n 1 2 x n n; 1 HD: Xét hàm số f x 2 x x; 0;2

1 2; 1 2 ;n 1

u n

x

4 3

n

x HD: Xét hàm số

1

; 0;1

4 3

Trang 4

n

x

MỘT SỐ BÀI TOÁN TÍNH GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ

Bài 1 Cho dãy số thực  u n xác định bởi: 1

2 1

1 2

, 1 (1)

u

 







Tìm giới hạn sau:

n





Lời giải

 Bằng phép quy nạp đơn giản ta thấy rằng: u n 1,  n 3

 Xét tính đơn điệu của  u n : Từ hệ thức (1) ta suy ra được

2

u  u u    u n tăng

Tính tổng:

2 1

1

( 1, 2, ) (*)

1

n



Thay n bởi 1,2,3, ,n vào (*) và cộng vế với vế các đẳng thức ta suy ra được:

 Do  u n là dãy tăng nên có hai khả năng sau xảy ra:

1) Dãy  u n bị chặn trên Theo tiêu chuẩn Weierstrass, do  u n tăng và bị chặn trên nên nó có giới hạn

Giả sử lim n

  thì a0.Chuyển qua giới hạn hệ thức (1) khi n  ta có: 2

0

aa   a a (vô lý) 2) Dãy  u n không bị chặn trên, do  u n tăng và không bị chặn trên nên:

1

n

u



Vì thế từ (2) ta suy ra:

 Vậy

n





Bài 2 Cho dãy số thực  u n xác định bởi: 1 2

1

2

1, 1 (1)

u







Trang 5

Tìm giới hạn sau:

1 1

n



Lời giải

 Bằng phép quy nạp đơn giản ta chứng minh được rằng: u n 2,  n 1

 Xét tính đơn điệu của  u n Từ hệ thức (1) ta suy ra được

 n ,  2

u  u  u   , vậy  u n tăng

 Tính tổng: Xuất phát từ hệ thức truy hồi (1) ta suy ra được

  1

1

1 1 1 ( 1, 2, )

n n

n

u

u n







1

u u  u  u 



Giả sử lim n

  thì a2.Chuyển qua giới hạn hệ thức (1) khi n  ta có:

2 2

aa   a a  a   a (vô lý) 2) Dãy  u n không bị chặn trên, do  u n tăng và không bị chặn trên nên:

 1 

1

n

u



1



 Vậy

1 1

n



Bài 3 Cho dãy số u n xác định bởi

1

2 1

3 1

4 , 1; 2;3

5

u







a) Chứng minh dãy số u n tăng nhưng không bị chặn trên ;

b) Đặt

1

1 , 1, 2,3

3

n

k k

u





Bài 4 (Đề kiểm tra đội dự tuyển Nam Định) Cho dãy số  x n xác định bởi

2

1 2012; n 1 n 5 n 9

x  x  x  x  với mọi n nguyên dương

a) Chứng minh  x n là dãy số tăng;

b) Chứng minh  x không có giới hạn hữu hạn; n

c) Xét dãy  y n xác định bởi

1

1 2

n n

k k

y

x





 Tìm limy n

Trang 6

Lời giải a) Xét hiệu:x n1x nx n25x n 9 x n (x n3)2 0

 Do x12012 3 nên x n1x n 0 suy ra dãy đã cho là dãy tăng

b) Giả sử dãy ( )x n có giới hạn hữu hạn, đặt limx n a a( 2012)

Từ công thức truy hồi 2

Lấy giới hạn 2 vế, ta được: a a 25a  9 a 3 (không thỏa mãn)

Do đó dãy đã cho không có giới hạn hữu hạn

c) Ta có:

1

Do đó, ta có:

n n

y



Mà limx n   nên 1

2009

n

Bài 5 Cho dãy số u n 1

1

; 1, 2,

u

n

1

n n

S

u Tìm nlim S n

Lời giải

Ta có u n 1 1 u u u n1 2 n ( 1);u n 1 u u u1 2 n 1; n 2 , suy ra

1

n

u

S

Kết hợp với giả thiết suy ra

1

1 2

1

n

S

u

Ta có

1

Mặt khác u n 1 u n 1 u u u u n 1 2 n 1 1 0 hay u n tăng nên

Bài 6 Cho dãy số x n :x1 1,x n 1 x x n n 1 x n 2 x n 3 1 Tính

1

1 lim

2

n n

i x i

Trang 7

Lời giải

Ta có x2 5 và x n 0 với mọi n1, 2,

Từ đó suy ra

1

2

1

Do đó

1

1 2

n n

i i

y

n

Ta dễ dàng chứng minh bằng quy nạp 3n 1

n

lim

2

n

n y (vì do (2) 1 3n

n

Ta có thể chứng minh limx n với cách khác:

Dễ thấy x n là dãy tăng, giả sử limx n a(a 1)

Nên ta có a a a( 1)(a 2)(a 3) 1

Suy ra a2 a a 1 a 2 a 3 1 hay a4 6a3 10a2 6a 1 0

Rõ ràng phương trình này không có nghiệm thỏa mãna1 Vậy limx n

Bài 7 Xét dãy số x n ; n 1, 2, 3, xác định bởi x1 2 và 1 1 2

2

1, 2, 3,

n

S

Lời giải

Ta có thể tổng quát hóa bài toán như sau:

Cho dãy u n thỏa mãn

1

( )

n

u

Ta chứng minh

n n

S

Thật vậy

Ta có

1

( )

n

u

2 1

n

Từ đó

1

Trang 8

Khai triển và ước lượng được

………

1

Do đó

n

S

Từ đó vận dụng vào bài toán trên với b =1, c = - 1 ta có

1

n

S

1 –

2

x x x > 0 n N* nên dãy x n là dãy tăng Giả sử lim n

> 2) Thì 2a a2 1 suy ra a = 1 Vô lý

Vậy lim n

Nhận xét Trong các bài toán tổng quát ta có thể thay các giá trị của a, b, c khác nhau để được các bài toán mới Chẳng hạn:

Bài 8 Cho dãy số x n được xác định bởi: x1 = 1;

2012 1

2012

n

x

dương Đặt

n n

n

u

Lời giải

Ta có

20 2 1

1

20

–

12

n

Suy ra

2011 1

2 1 2 1 (2 1)(2 1) 1006(2 1)

2011

i

x

Mặt khác: x n 1 – x n 0 nên dãy (xn) là dãy số tăng n 1 Nếu (xn) bị chặn thì limxn tồn tại

Trang 9

Đặt limx n a a 1 và

2012 ( 1) 2012

a

a a (vô lý) Suy ra x n không bị chặn trên

hay limx n suy ra lim

1

2x n 1=0 Suy ra

1006 lim

3

n

Bài 9 Cho dãy số thực  u n xác định bởi:

1

2 1

1

, 1 2012

n

u









n

u





Lời giải

 Bằng phép quy nạp đơn giản ta thấy rằng: u n 1,  n 1

 n ,

2

2012

n

u

u  u   , vậy  u n tăng

2

1

1 1

2012 2012

2012

2012 1 1 1, 2, (*)

n

u











1 2

2012 2012 1 1 (2)

n

u

 

Giả sử lim n

  thì a1.Chuyển qua giới hạn hệ thức (1) khi n  ta có:

2

0 2012

a

a   a a (vô lý) 2) Dãy  u n không bị chặn trên, do  u n tăng và không bị chặn trên nên:

1

n

u



 Vì thế từ (2) ta suy ra: 1 2

1

u

Trang 10

n

u





1 2 1

2 2011

, 1 (1) 2012

n

u







n n

n

u





Lời giải

 n ,  

1

1 0 2012

n n

u u

   , vậy  u n tăng

 Tính tổng: Từ hệ thức truy hồi (1) ta suy ra được

2

1

2011

2012

n



1

2012 1 1

n

u

 



  

Giả sử lim n

  thì a2.Chuyển qua giới hạn hệ thức (1) khi n  ta có: ( 1) ( 1) 0 0 1

2012

a a

a   a a a     a a

(vô lý) 2) Dãy  u n không bị chặn trên, do  u n tăng và không bị chặn trên nên:

 1 

1

n

u





1

n

u

n n

n

u





Trang 11

1 2

4

, 2 (1) 2

n

u

 







Tìm giới

n



Lời giải

0

Suy ra:  u n tăng

 Tính tổng:

  2

1

1 ( 1, 2, ) (*) 4

n

u



 Thay n bởi 1,2,3, ,n vào (*) và cộng vế với vế các đẳng thức ta suy ra được:

2 2 2 2

n

Do  u n là dãy tăng nên có hai khả năng sau xảy ra:

Giả sử lim n

  thì a0.Chuyển qua giới hạn hệ thức (1) khi n  ta có:

2 4

0 2

(vô lý) 2) Dãy  u n không bị chặn trên, do  u n tăng và không bị chặn trên nên:

lim n lim 1 0

n

u

     

 Vì thế từ (2) ta suy ra: 2 2 2

n



1

2012

2011 2013 1 0, 1 (1)

u







giới hạn sau:

n



Lời giải

Trang 12

 2

1

1 0 2010

n

u

     u n tăng

2 2

2 1

1

2011 1

2013

2011 1

1 1

2013

1

2013

n

u



1

(n=1,2, ) (*)

2012 2012 2012

n

Giả sử lim n

  thì a2012 Chuyển qua giới hạn hệ thức (1) khi n  ta có: 2

2011 2012 1 0 1

a  a a   a (vô lý) 2) Dãy  u n không bị chặn trên, do  u n tăng và không bị chặn trên nên:

 1 

1

n

u



 Vậy

n



2 1

1 2012

2012 , 1 (1)

u

 







Tìm giới hạn

n

u





Lời giải

Trang 13

u  u  u    u n tăng

2

1

2012

2012 (n=1,2, ) (*)

201

2

n

u u

u

u u





1

2012

n

u



Giả sử lim n

  thì a0.Chuyển qua giới hạn hệ thức (1) khi n  ta có: 2

a a   a a (vô lý) 2) Dãy  u n không bị chặn trên, do  u n tăng và không bị chặn trên nên:

1

n

u



2012

n

u

n

u





1 2 1

3

2009 2

, 1 2012

n

u







1

n n

n

u





Lời giải

2012

n

2012

Vì u1 = 3 nên 3 = u1< u2<u3<…< un, suy ra dãy {un} tăng

 Giả sử dãy {un}bị chặn trên  L : limun= L ( L > 3)

Suy ra limun 1= lim

2

2012

hay L =

2

2009 2 2012

 L2

-3L+2 = 0L = 1 hoặc L = 2 (vô lý vì L > 3)

Do đó {un} không bị chặn trên hay lim un= + hay lim 1 0

n n

u

Trang 14

 Biến đổi (1) (un-1)(un-2) = 2012(un1-un)



1

1 2

n n

u

u 



1 2

n

1 2

n

u   ) (*)

Sn=

1 1

1 2

n i

i i

u u



 = 2012 ( 1-

1

1 2

n

u   )

 Vậy lim Sn= 2012 

Bài 15 Cho dãy số (x n) xác định như sau x1 3 và

3

6

n n n

n n

x





  với n1, 2, Với

mỗi số nguyên dương n, đặt 2

1

1 4

n n

i i

y

x





 Tìm limy n

Lời giải

2

6

n

n n

x



 

Do x13 nên bằng qui nạp chứng minh được x n 2 với mọi n *

2

0 6

n

n n





   (x n) là dãy tăng (2)

Giả sử dãy (x n)bị chặn trên   a 3 để limx n a Khi đó 3

2 2

6

 

Do đó: limx n   (3)

1

 2

1

n n

y

Từ (3) và (4) suy ra : limy n 1

Bài 16 Cho dãy số (x n) xác định như sau

1

2017 2

9

2

x

 







Với mỗi số

nguyên dương n, đặt

1

1 1

n n

k k

u

x





 Tính limu n

Lời giải

 Xét hàm số ( ) 2 2 5 9

2

f x  x  x Khi đó f x( ) x 2 9

2

Vậy hàm số có một điểm bất động là 3

2

Từ đó suy ra

1

n

x





1

n



Định dạng
Số trang	20
Dung lượng	1,24 MB