phương trình lượng giác cơ bản, pt bậc nhất hàm lượng giác

1. Hàm số y x = sin • Tập xác định: D R = • Tập giác trị: 1;1 − , tức là −≤ ≤ ∀∈ 1 sin 1 x xR • Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng ( 2; 2) 2 2 π π −+ + k k π π , nghịch biến trên mỗi khoảng 3 ( 2; 2) 2 2 π π + + k k π π . • Hàm số y x = sin là hàm số lẻ nên đồ thị hàm số nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng. • Hàm số y x = sin là hàm số tuần hoàn với chu kì T = 2π . • Đồ thị hàm số y x

TỔNG ÔN TOÁN 11 CHỦ ĐỀ 3 PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN

PT BẬC NHẤT VỚI HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

c) sinu = −sinv ⇔ sinu =sin( )−v

d) sin cos sin sin

cosx x a== a Ñieàu kieän⇔ x = ±arccos− ≤ ≤a k+a 2 (π k Z∈ )

c) cosu = −cosv ⇔ cosu =cos(π−v)

d) cos sin cos cos

cosx = ± ⇔ 1 cos x= ⇔ 1 sin x = 0 ⇔ sinx = 0 ⇔ x k= π (k∈Z)

3 Phương trình tanx = tanα

a) tanx = tanα ⇔ x= +α kπ (k∈Z)

b) tanx = a ⇔ x =arctana k k Z+ π( ∈ )

c) tanu= −tanv ⇔ tanu =tan( )−v

d) tan cot tan tan

5 Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác

Có dạng at b+ =0 với a b, ∈, 0a≠ v ới t là một hàm số lượng giác nào đó

* Phương trình chứa cotx thì điều kiện: x k≠ π (k Z∈ )

* Phương trình chứa cả tanx và cotx thì điều kiện ( )

2

x k≠ π k Z∈

1 Kiểm tra trực tiếp bằng cách thay giá trị của x vào biểu thức điều kiện

2 Dùng đường tròn lượng giác để biểu diễn nghiệm

3 Giải các phương trình vô định

Học sinh không lệ thuộc vào việc sử dụng mtct để thử lại các đáp án trắc nghiệm

Học sinh cần nắm được mấu chốt của việc giải tự luận

Các câu hỏi hạn chế mtct chẳng hạn:

+ số nghiệm của phương trình trên một đoạn hay khoảng

+ số điểm biểu diễn trên đường tròn lượng giác

+ tổng của các nghiệm trên một đoạn hay khoảng

+ tổng, hiệu, tích…của các nghiệm dương hoặc âm nhỏ nhất (lớn nhất)…

24

106

29

106

29

106

29

106

106

29

106

29

106

29

106

26

2

23

Câu 37: Phương trình lượng giác: 2cosx+ 2= có nghiệm là 0

A

24

3

24

24

28

4 3

2 6

2 3

k k x

x

k k

5

23

5

46

Câu 52: Số nghiệm của phương trình cos 0

π

D 73π

Câu 56: Tìm số nghiệm nguyên dương của phương trình: cos (3 π − 3 2 + x x− 2 ) = − 1

x= +π kπ là nghiệm của phương trình nào sau đây:

A sinx=1 B sinx=0 C cos 2x=0 D cos 2x= −1

Câu 63: Cho phương trình: 3 cosx m+ − =1 0 Với giá trị nào của m thì phương trình có nghiệm

là họ nghiệm của phương trình nào sau đây ?

A 2 cosx− =1 0 B 2 cosx+ =1 0 C 2sinx+ =1 0 D 2sinx− 3=0

3

x= ± +π k π

là họ nghiệm của phương trình nào sau đây ?

A 2 cosx− 3=0 B 2 cosx− =1 0 C 2sinx+ =1 0 D 2sinx− 3=0

Câu 68: Nghiệm của phương trình sin 3x=cosx là:

π

C 478

π

D 4718π

Câu 72: Gọi X là tập nghiệm của phương trình cos 15 sin

Câu 74: Số nghiệm của phương trình sinx=cosx trong đoạn [−π π; ] là

Câu 85: Nghiệm của phương trình tanx=4là

Câu 89: Nghiệm của phương trình 3tan 3 0

4x − = trong nửa khoảng [0; 2π là )

Câu 96: Phương trình lượng giác: 3cotx− 3= có nghiệm là 0

2 6

C ,

2

Câu 106: Phương trình nào sau đây vô nghiệm

A tan 3x= B cotx=1 C cos 0x= D 4

PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ BẬC NHẤT VỚI MỘT HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC Câu 1: Phương trình (sinx+1 sin) ( x− 2)= có nghiệm là:0

34

C

2

23

Câu 12: Cho phương trình cos cos 7x x=cos 3 cos 5x x ( )1

Phương trình nào sau đây tương đương với phương trình ( )1

A sin 5x=0 B cos 4x=0 C sin 4x=0 D cos 3x=0

Câu 13: Số nghiệm của phương trình sin 3 0

− là

2 ,4

2 ,4

3

2 ,4

4 sin x+cos x +2 sin x+cos x = −8 4 cos 2x

Câu 19: Phương trình 2

tanx+tanx+π +tanx+ π =3 3

    tương đương với phương trình:

A cotx= 3 B cot 3x= 3 C tanx= 3 D tan 3x= 3

Câu 20: Giải phương trình : 4 4

Câu 28: Phương trình sin 3 cos 3 2

cos 2x +sin 2x =sin 3

x x x có nghiệm là:

Câu 32: Cho phương trình 2( 0) 2( 0) ( 0)

cos x−30 −sin x−30 =sin x+60 và các tập hợp số thực:

I x=300+k1200, k∈ II x=600+k1200, k∈

III x=300+k3600, k∈ IV x=600+k3600, k∈

Chọn trả lời đúng về nghiệm của phương trình

Câu 37: Để phương trình sin6 cos6

thỏa điều kiện:

PHẦN II: HƯỚNG DẪN GIẢI Câu 1: Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau

Đáp án đúng là A, các đáp án còn lại sai vì thiếu họ nghiệm hoặc sai họ nghiệm

Câu 4: Nghiệm của phương trình sinx= −1là:

Vì k∈  nên ta không chọn được giá trị k thỏa mãn

Vậy phương trình đã cho có nghiệm

6

x= π

Câu 10: Nghiệm phương trình

2sin 2

3

24

A

11

106

29

106

29

106

29

106

29

106

Mỗi họ nghiệm có 3 nghiệm thuộc (0;3π nên PT có ) 6 nghiệm thuộc (0;3π )

Câu 14: Nghiệm phương trình sin x 2 1

Vậy phương trình có 3 nghiệm trong [π π ;5 ]

Câu 17: Nghiệm của phương trình 2sin 4 – 1 0

23

Câu 21: Số nghiệm của phương trình sin 1

Vậy phương trình đã cho có một nghiệm duy nhất 9

29

106

29

106

29

106

29

106

x

k x

29

106

Với k =0 thì x=50 ,ο x=80ο

Với k= −1 thì x= −130 ,ο x= −100ο

Vậy có 4 nghiệm thuộc (−180 ;180ο ο) là 4

Câu 25: Tìm sô nghiệm nguyên dương của phương trình sau sin (3 9 2 16 80) 0

2 10

3 2

k x k x k

Kết hợp điều kiện, ta có x=4,x=12 là những giá trị cần tìm

Câu 26: Nghiệm của phương trình 2

Với mọi x∈, ta luôn có − ≤1 sinx≤1

Do đó, phương trình sin x=m có nghiệm khi và chỉ khi − ≤ ≤1 m 1

Câu 28: Phương trình 2sinx m− =0 vô nghiệm khi m là

m m

x= là:

A

26

5

26

2

23

A

24

3

24

24

28

Do các nghiệm của họ ( )1 và họ ( )2 không trùng nhau nên phương trình đã cho có hai nghiệm

Câu 42: Phương trình 2 cosx− 3=0 có họ nghiệm là

4 3

2 6

2 3

22

ππ

k k x

x

k k

5

23

5

46

212

,4

π

D 73π

Hướng dẫn giải:

Ch ọn A

Phương trình

21

3

x k x

Câu 57: Giải phương trình

cos 2

4

x=

V ới mọi x∈, ta luôn có − ≤1 cosx≤1

Do đó, phương trình cosx m= có nghi ệm khi và chỉ khi 1

1

m m

là nghiệm của phương trình nào sau đây:

A sinx=1 B sinx=0 C cos 2x=0 D cos 2x= −1

là họ nghiệm của phương trình nào sau đây ?

A 2 cosx− =1 0 B 2 cosx+ =1 0 C 2sinx+ =1 0 D 2sinx− 3=0

là họ nghiệm của phương trình nào sau đây ?

A 2 cosx− 3=0 B 2 cosx− =1 0 C 2sinx+ =1 0 D 2sinx− 3=0

cosx+sinx=0 2 sin 0 sin 0

π

C 478

π

D 4718π

2

526

Sử dụng công thức nghiệm tổng quát của phương trình tanx= ⇔ =α x arctanα+kπ,(k∈).

Câu 86: Họ nghiệm của phương trình tan 2x−tanx=0 là:

k x

Phương trình tan 2x−tanx=0⇔ tan 2x= tanx ⇔2x= +x kπ ⇔ =x kπ,k∈

Câu 87: Phương trình lượng giác: 3.tanx− = có nghiệm là 3 0

Câu 89: Nghiệm của phương trình 3tan 3 0

4x − = trong nửa khoảng [0; 2π là )

A

26

2 6

Điều kiện: cos 0

sin 0

x x

x x

Điều kiện: cos 4 0

sin 2 0

x x

Câu 106: Phương trình nào sau đây vô nghiệm

A tan 3x= B cotx=1 C cos 0x= D 4

PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ BẬC NHẤT VỚI MỘT HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC Câu 1: Phương trình (sinx+1 sin) ( x− 2)= có nghiệm là:0

34

k x x

4 sin cos cos 2 1 0 2sin2 cos2 1 sin4 1 ;

x x x+ = ⇔ x x= − ⇔ x= − ⇔ = − +x π kπ k

∈ Câu 5: Giải phương trình cos (2cosx x+ 3)=0

5

6cos

26

22sin

4

x x

ππ

3

24

24

5

24

x x

Phương trình nào sau đây tương đương với phương trình ( )1

A sin 5x=0 B cos 4x=0 C sin 4x=0 D cos 3x=0

⇔ = ( Do sin 4x=2 sin 2 cos 2x x )

Câu 13: Số nghiệm của phương trình sin 3 0

− là

2 ,4

2 ,4

3

2 ,4

Câu 15: Giải phương trình ( 6 6 ) ( 4 4 ) 2

4 sin x+cos x +2 sin x+cos x = −8 4 cos 2x

sinx cosx 1 sin 2x 0

⇔ + = ⇔ = (loại) Phương trình vô nghiệm

Câu 18: Số nghiệm thuộc ;69

    tương đương với phương trình:

A cotx= 3 B cot 3x= 3 C tanx= 3 D tan 3x= 3

Hướng dẫn giải:

Ch ọn C

Trước hết, ta lưu ý công thức nhân ba: 3

sin 3a=3sina−4 sin a; cos 3a=4 cos3a−3cosa;

3 2

2 22

k x

Câu 28: Phương trình sin 3 cos 3 2

cos 2x +sin 2x =sin 3

3

ππ

ππ

k

x

sin 3 sin 2 cos 2 cos 3 2

sin 2 cos 2 sin 3

x x ⇔sin 3 cosx x=sin 4x 1( )

sin 2 s in4 sin 42

3 3 2 2

sin cos sin cos cos sin 2sin 2

(sin cos )(1 sin cos ) sin cos (sin cos ) 2 sin 2

⇔ x+ x − x x + x x x+ x = x ⇔sinx+cosx= 2sin 2x

2 sin cos 2 sin cos

So sánh điều kiện ta có phương trình vô nghiệm

Câu 31: Cho phương trình cos 2 cosx x+sin cos 3x x=sin 2 sinx x−sin 3 cosx x và các họ số thực:

Chọn trả lời đúng: Nghiệm của phương trình là

Hướng dẫn giải:

Ch ọn C

cos 2 cosx x+sin cos 3x x=sin 2 sinx x−sin 3 cosx x

(cos 2 cosx x−sin 2 sinx x) (+ sin cos 3x x+sin 3 cosx x)= 0

cos 3 sin 4 0 sin 4 cos 3 sin 4 sin 3

14 7

k x

cos 3 sin 4 cos 3 cos 4

22

14 72

k x

Câu 32: Cho phương trình 2( 0) 2( 0) ( 0)

cos x−30 −sin x−30 =sin x+60 và các tập hợp số thực:

I x=300+k1200, k∈ II x=600+k1200, k∈

III x=300+k3600, k∈ IV x=600+k3600, k∈

Chọn trả lời đúng về nghiệm của phương trình

Phương trình đề bài ⇔cos (1 tan ).sin (1 cot ) 1x + x x + x =

(cosx sin )(sinx x cos ) 1x

⇔ + + = ⇔ sin 2x= 0 (vô nghiệm)

Câu 36: Trong nửa khoảng [0; 2π), phương trình sin 2x+sinx=0 có số nghiệm là:

k x

k x

m x

m m

thỏa điều kiện:

giải nhanh SOLVE của máy tính cầm tay

nhanh SOLVE của máy tính cầm tay Vậy đáp án B đúng

Câu 39: Để phương trình 2 2 sin2 2 2

(1) Phương trình đã cho tương đương: 22.cos2 2 sin2 2 2

a

Tài liệu này thuộc Series Tổng ôn Toán 11

DÀNH RIÊNG CHO THÀNH VIÊN VIP

Đăng kí VIP tại bit.ly/vipkys

 Nhận toàn bộ tài liệu tự động qua email

 Nhận toàn bộ các Series giải chi tiết 100%

 Được cung cấp khóa đề ĐỒNG HÀNH 2K

 Được nhận những tài liệu độc quyền dành riêng cho VIP

VIP

KYS