Số phức và một số dạng toán hình học phẳng liên quan

Trong chương trình toán học ở trường phổ thông trung học hiện nay, số phức mới chỉ được giới thiệu về định nghĩa,các phép toán, dạng đại số, dạng lượng giác và một số tính chất cơ bản..

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

VŨ VĂN KIÊN

SỐ PHỨC VÀ MỘT SỐ DẠNG TOÁN HÌNH HỌC PHẲNG LIÊN QUAN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thái Nguyên - 2015

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

VŨ VĂN KIÊN

SỐ PHỨC VÀ MỘT SỐ DẠNG TOÁN HÌNH HỌC PHẲNG LIÊN QUAN

Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

TS NGÔ VĂN ĐỊNH

Thái Nguyên - 2015

Mục lục

1 Số phức và hình học trên mặt phẳng phức 3

1.1 Mặt phẳng phức 3

1.2 Tích thực của hai số phức 4

1.3 Tích phức của hai số phức 6

1.4 Phép quay 6

1.5 Diện tích tam giác 7

2 Áp dụng số phức vào giải một số bài toán tam giác 9 2.1 Tam giác đồng dạng và tam giác đều 9

2.1.1 Tam giác đồng dạng 9

2.1.2 Tam giác đều 12

2.2 Một số điểm quan trọng trong tam giác 18

2.3 Một số khoảng cách quan trọng trong tam giác 21

2.3.1 Bất biến cơ bản của một tam giác 21

2.3.2 Khoảng cách OI, ON, OH, OG 23

2.4 Một số bài toán về diện tích trong tam giác 26

3 Áp dụng số phức vào giải một số bài toán về đa giác nội tiếp, ngoại tiếp

3.1 Một số định lý 373.2 Hai tam giác cùng nội tiếp một đường tròn 433.3 Một số bài toán về đa giác đều 47

4 Bài toán dựng hình và bài toán quỹ tích 52

4.1 Một số bài toán dựng hình 524.2 Một số bài toán quỹ tích 55

Lời cảm ơn

Luận văn được thực hiện và hoàn thành tại Trường Đại học Khoa học - Đại họcThái Nguyên dưới sự hướng dẫn khoa học của TS Ngô Văn Định Qua đây em xinđược gửi lời cảm ơn sâu sắc đến thầy giáo, người hướng dẫn khoa học của mình, TS.Ngô Văn Định, người đã đưa ra đề tài và dành nhiều thời gian tận tình hướng dẫn, giảiđáp những thắc mắc của em trong suốt quá trình nghiên cứu Em xin bày tỏ lòng biết

ơn sâu sắc đến Thầy

Em xin trân trọng cảm ơn các Thầy Cô đã tham gia giảng dạy và Trường Đại họcKhoa học - Đại học Thái Nguyên đã tạo mọi điều kiện tốt nhất để em học tập vànghiên cứu Đồng thời tôi xin gửi lời cảm ơn tới tập thể lớp cao học K7B đã động viêngiúp đỡ tôi trong quá trình học tập và làm luận văn này

Tôi xin chân thành cảm ơn Sở Giáo dục và Đào tạo Hải Phòng, Ban Giám hiệu

và các đồng nghiệp Trường THPT Hùng Thắng - Huyện Tiên Lãng - Thành phố HảiPhòng đã tạo điều kiện cho tôi học tập và hoàn thành kế hoạch học tập

Tôi cảm ơn đại gia đình, bạn bè và các đồng nghiệp đã động viên giúp đỡ tôi trongsuốt quá trình học tập và làm luận văn

z · w tích thực của hai số phức z và w

z × w tích phức của hai số phức z và w

Mở đầu

Số phức là một tập hợp số quan trọng trong toán học Trong chương trình toán học

ở trường phổ thông trung học hiện nay, số phức mới chỉ được giới thiệu về định nghĩa,các phép toán, dạng đại số, dạng lượng giác và một số tính chất cơ bản Tuy nhiên, sốphức có rất nhiều ứng dụng trong giải toán Đặc biệt, trong giải toán sơ cấp, số phức

có thể được sử dụng để giải các bài toán thuộc các chuyên đề khác nhau như: hìnhhọc, đại số tổ hợp, tích phân, lượng giác,

Mục đích của luận văn là trình bày ứng dụng của số phức vào giải một số dạngtoán hình học phẳng, đặc biệt là các dạng toán giải tam giác (tức là các bài toán liênquan đến các vấn đề trong tam giác) Mỗi số phức được biểu diễn bởi một điểm trênmặt phẳng 2 chiều và ngược lại, mỗi điểm trong mặt phẳng hai chiều biểu diễn một

số phức Với tương ứng 1 − 1 này, ta có thể chuyển đổi các tính chất hình học trên mặtphẳng về các phép toán đối với các số phức Từ đó, ta chuyển được các bài toán hìnhhọc phẳng thành các bài toán đại số trên tập hợp số phức

Các bài toán giải tam giác thường được quan tâm rất nhiều trong chương trìnhhình học phẳng ở trường phổ thông Ngay từ khi học sinh được làm quen với hình họcphẳng thì tam giác là hình đa giác được giới thiệu rất kĩ lưỡng với nhiều yếu tố Cácbài toán về tam giác vô cùng phong phú Luận văn trình bày ứng dụng của số phứcvào giải một số bài toán về tam giác đồng dạng, tam giác đều, diện tích tam giác, cácđiểm đặc biệt và các khoảng cách đặc biệt trong tam giác Ngoài ra, luận văn còn trìnhbày một số bài toán về đa giác nội, ngoại tiếp đường tròn và một số bài toán quỹ tích

và dựng hình

Cấu trúc luận văn

Nội dung chính của luận văn được trình bày thành 4 chương:

•Chương 1: Số phức và hình học trên mặt phẳng phức Trong chương này, chúngtôi trình bày một cách sơ lược về số phức và một số phép toán số phức liên quan đếngiải tích trên mặt phẳng mà sẽ được sử dụng trong các chương tiếp theo

•Chương 2: Áp dụng số phức vào giải một số bài toán tam giác Chương này trìnhbày về ứng dụng của số phức vào giải một số bài toán về tam giác Đầu chương chúngtôi trình bày về điều kiện cần và đủ của hai tam giác đồng dạng và tam giác đều Đồngthời, chúng tôi trình bày thêm một số bài tập áp dụng các tính chất này Trong mục 2.2chúng tôi trình bày công thức tổng quát xác định tọa độ của các điểm đặc biệt trongtam giác, như: trọng tâm, trực tâm, điểm Gergonne, điểm Nagel, Trong các mụctiếp theo, chúng tôi trình bày về áp dụng số phức trong tính toán khoảng cách và diệntích trong tam giác

•Chương 3: Áp dụng số phức vào giải một số bài toán về đa giác nội tiếp, ngoạitiếp đường tròn Trong chương này, chúng tôi trình bày về một số tính chất của đườngtròn ngoại tiếp tam giác như: tam giác pedal, đường Simson-Wallance, tính trực giaocực của hai tam giác cùng nội tiếp một đường tròn Cuối chương, chúng tôi trình bày

áp dụng của số phức vào một số bài toán về đa giác đều

• Chương 4: Áp dụng số phức vào giải một số bài toán dựng hình và một số bàitoán quỹ tích

Do khối lượng kiến thức lớn và thời gian nghiên cứu chưa đủ dài, chắc chắn luậnvăn không thể tránh khỏi những thiếu sót, tác giả rất mong muốn nhận được sự góp ýcủa các thầy cô và bạn bè đồng nghiệp

Thái Nguyên, ngày 10 tháng 4 năm 2015

Vũ Văn Kiên

Email: kien78thptht@gmail.com

Chương 1

Số phức và hình học trên mặt phẳng phức

Trong chương đầu tiên này, chúng tôi trình bày sơ lược về số phức và một số phéptoán của số phức liên quan đến hình học phẳng sẽ được sử dụng cho các chương tiếptheo Ở đây, chúng tôi không trình bày lại định nghĩa về số phức và các phép toáncộng, trừ, nhân và chia số phức thông thường Chúng tôi chủ yếu trình bày trongchương này khái niệm về tích thực và tích phức của hai số phức, Ngoài ra, chúng tôi

có trình bày thêm mối liên hệ giữa phép nhân số phức với một số phức có môđun bằng

1và phép quay trên mặt phẳng Phần cuối chương, chúng tôi trình bày một số côngthức tính diện tích tam giác dựa vào các tọa độ phức của các đỉnh

1.1 Mặt phẳng phức

Ta biết rằng mỗi số phức được biểu diễn bởi một điểm trên mặt phẳng 2 chiều Oxy

và mỗi điểm trên mặt phẳng Oxy là biểu diễn hình học của một số phức duy nhất.Nếu M là điểm trên mặt phẳng biểu diễn số phức m thì ta nói số phức m là tọa vịcủa điểm M và viết M(m) Trong suốt luận văn này, trừ những chỗ ghi cụ thể, chúngtôi quy ước sử dụng kí hiệu chữ cái in hoa cho điểm nằm trên mặt phẳng và chữ cáithường tương ứng là tọa vị phức của điểm đó

1.2 Tích thực của hai số phức

Định nghĩa 1.1 Cho a và b là hai số phức Tích thực của hai số phức a và b là số, kí

hiệu a · b, được xác định bởi công thức sau

a · b = 1

2 ab + ab
Theo định nghĩa, ta có

a · b = 1

2 ab + ab
= a · b

Do đó a · b là một số thực, điều đó giải thích cho tên gọi của phép toán này

Giả sử a và b lần lượt có dạng đại số là:

a = x1+ y1i, b = x2+ y2i,với x1, x2, y1, y2 ∈ R Khi đó, ta có a · b = x1x2+ y1y2 Gọi A và B lần lượt là cácđiểm trong mặt phẳng biểu diễn các số phức a và b Xét mặt phẳng với hệ trục tọa độDescartes vuông góc Oxy ta dễ thấy rằng tích thực a · b chính là tích vô hướng của haivéc tơ−→OAvà−OB Với nhận xét này, chúng ta dễ dàng có được các tính chất dưới đây→của tích thực

Định lí 1.1 Cho các số phức a, b, c, z ta có các mối quan hệ sau

(1) a · a = |a|2

.

(2) a · b = b · a.

(3) a · (b + c) = a · b + a · c.

(4) (αa) · b = α (a · b) = a · (αb) với mọi α ∈ R.

(5) a · b = 0 khi và chỉ khi OA ⊥ OB.

(6) (az) · (bz) = |z|2

(a · b).

Chứng minh. Các tính chất (1), (2), (3), (4), (5) được suy ra trực tiếp từ tính chất củatích vô hướng Tính chất (6) dễ dàng có được từ định nghĩa của tích thực

Định lí 1.2 Giả sử A(a), B(b), C(c) và D(d) là bốn điểm phân biệt trên mặt phẳng

phức Các phát biểu sau là tương đương:

Nhận xét: Nếu xét mặt phẳng phức với hệ trục tọa độ Descartes vuông góc thì số

phức b − a và d − c lần lượt là tọa vị của các véc tơ−→AB và−CD−→ Do đó, ta cũng dễdàng thấy được (1) tương đương với (2)

Định lí 1.3 Cho tam giác ABC có tâm đường tròn ngoại tiếp là gốc tọa độ trong mặt

phẳng phức Nếu a, b, c là tọa vị của A, B, C thì trực tâm H có tọa vị là h = a+b+c.

Chứng minh. Sử dụng tích thực của số phức, các phương trình đường cao AA0, BB

và CC0của tam giác ABC là

a × b + a × b = 1

2 ab − ab
+ 1

2 ab − ab
= 0

Tức là Re(a × b) = 0 hay tích phức của hai số phức là một số thuần ảo Từ định nghĩa

ta dễ dàng chứng minh được các khẳng định trong định lý sau:

Định lí 1.4 Giả sử a, b, c là các số phức Khi đó

(1) a × b = 0 khi và chỉ khi hoặc a = 0 hoặc b = 0 hoặc a = λb, với λ là số thực (2) a × b = −b × a (tích phức không có tính chất giao hoán).

(3) a × (b + c) = a × b + a × c.

(4) α (a × b) = (αa) × b = a × (αb) với mọi α ∈ R.

Nhận xét: Từ khẳng định (1) của định lý 1.4 ta thấy rằng, nếu A(a), B(b) là các điểm

riêng biệt thì a × b = 0 khi và chỉ khi ba điểm O, A, B thẳng hàng

1.4 Phép quay

Cho số phức ε = cos α + i sin α Xét phép biến đổi rε : C → C, rε(z) = εz Nếu

z = p(cos t + i sin t)thì

rε(z) = εz = p [cos (t + α) + i sin (t + α)] Trên mặt phẳng phức, điểm M0(rε(z)) chính là ảnh của điểm M(z) qua phép quaytâm O và góc quay α

Tổng quát hơn, mệnh đề sau đây cho chúng ta biểu thức tọa vị phức xác định phépquay góc α với tâm quay là một điểm A bất kỳ

Hình 1.1.

Mệnh đề 1.1 Giả sử điểm C là ảnh của B qua phép quay tâm A góc quay α Nếu

a, b, c là tọa vị của A, B, C phân biệt thì c = a + (b − a)ε với ε = cos α + i sin α.

Chứng minh. Tịnh tiến gốc tọa độ về điểm A Khi đó các điểm B và C có tọa vị mớilần lượt là b − a và c − a Do điểm C là ảnh của B qua phép quay góc α tâm A nên

ta có

c − a = (b − a)ε

Từ đó suy ra điều phải chứng minh

1.5 Diện tích tam giác

Trong mục này chúng tôi giới thiệu một số công thức tính diện tích của tam giácthông qua tọa vị phức của các đỉnh

Định lí 1.5 Diện tích tam giác ABC trong mặt phẳng phức bằng môđun của số phức

i4

a a 1

b b 1

c c 1

a × b b × c 2i.SABC

Tương tự, ta có

2i.SP2OP3 =

... dụng số phức vào giải số< /b>

bài toán tam giác

Trong chương này, chúng tơi trình bày việc sử dụng số phức vào giải số bàitoán tam giác: số toán tam giác đồng dạng, ... trùng với gốc tọa độ mặt

phẳng phức Gọi zI, zH tọa vị điểm I H Sử dụng tích phức ta có

2.3 Một số khoảng cách quan trọng tam giác

2.3.1... vị phức quan hệ đồng dạng hai tam giác

Mệnh đề 2.1 Hai tam giác A1A2A3và B1B2B3đồng dạng