Lược đồ xấp xỉ phương trình toán tử và một số ứng dụng

Trong quá trình nghiên cứu, tôi đã kế thừa thành quá khoa học của các nhà khoa học và tham khảo các tài liệu, đặc biệt là tài liệu “ Phương trình sai phân và một số ứng dụng” của nhóm tá

TRUONG DAI HOC SU PHAM HA NOI 2

NGUYEN VAN THUONG

LUQC DO XAP XỈ PHƯƠNG TRÌNH

TOAN TU VA MOT SO UNG DUNG

Chuyên ngành: Toán Giải Tích

Mãsô: 6046 01 02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: TS NGUYÊN VĂN KHÁI

LOI CAM ON

Luận văn được hoàn thành tại Trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội 2 dưới

sự hướng dẫn của TS Nguyễn Văn Khải

Tác giả xin trân trọng cảm ơn Ban giám hiệu Trường Đại Học Sư Phạm

Hà Nội 2, Phòng Sau đại học, các thầy cô giáo trong nhà trường, các thầy cô

giáo dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích đã tạo mọi điều kiện thuận lợi

cho tác giả kết thúc tốt đẹp chương trình cao học và hoàn thành luận văn tốt nghiệp

Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn tới thầy giáo TS Nguyễn Văn Khải,

người đã luôn quan tâm, động viên, tận tình hướng dẫn trong suốt quá trình

làm luận văn

Tác giả trân trọng cảm ơn Sở Giáo dục và đào tạo Hưng Yên, Trường

THPT Yên Mỹ, gia đình, bạn bẻ cùng học đã tạo mọi điều kiện giúp đỡ tác

giả hoàn thành tốt luận văn

Hà Nội, tháng 12 năm 2012

Tác giả

Nguyễn Văn Thường

LOI CAM DOAN

Tôi xin cam đoan luận văn này là công trình nghiên cứu của riêng tôi

dưới sự hướng dẫn của TS Nguyễn Văn Khải

Trong quá trình nghiên cứu, tôi đã kế thừa thành quá khoa học của các

nhà khoa học và tham khảo các tài liệu, đặc biệt là tài liệu “ Phương trình sai

phân và một số ứng dụng” của nhóm tác giả Lê Đình Thịnh, Đặng Đình Châu,

Phan Văn Hạp với sự trân trọng biết ơn

Hà Nội, tháng 12 năm 2012

Tác giả

Nguyễn Văn Thường

MUC LUC

Lời cảm ơn -.- ‹ cc cc nọ nọ ni Ki nh E8 2 Lời cam đoan - cc cm nh cn 3

1.1 Không gian Banach -c se cà sàn 7

2.1 Một số khái niệm cơ bản che 43

2.2 Sự hội tụ của lược đồ xấp xi 2 222222212111 se 50

MO DAU

1 Lý do chọn đề tài

Phương pháp sai phân là một phương pháp cơ bản của toán học, được

nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu và có nhiều ứng dụng rộng rãi trong

nhiều lĩnh vực của toán học Bản chất phương pháp này là đưa bài toán cần nghiên cứu ( thường là phức tạp) về một dãy các bài toán rời rạc ( thường là đơn giản hơn)

Trong quá trình sai phân hoá (rời rạc hoá) bài toán liên tục, một số vấn

đề nảy sinh có ý nghĩa sâu sắc: điều kiện xấp xi, điều kiện ổn định và khái

Hệ thống hoá một số vấn đề xấp xi phương trình toán tử

Nêu được một số ứng dụng với phần mềm chạy trên Maple

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Nghiên cứu lược đồ xấp xỉ phương trình toán tử, điều kiện đủ để bảo đảm cho một lược đồ xắp xi phương trình toán tử hội tụ và bài toán ứng dụng

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Phương pháp sai phân, hệ phương trình sai phân, lược đồ xấp xỉ các phương trình toán tử và ứng dụng của nó

5 Phương pháp nghiên cứu

Phương pháp nghiên cứu chính là phương pháp của giải tích hàm và phương pháp sai phân

Nêu ứng dụng của xấp xỉ phương trình toán tử và phần mềm Maple trong bài toán biên của phương trình vi phân cấp 2.

d: X x X —R thỏa mãn các điều kiện:

a) d(x,y) >0 Vx,y eX;

b) đ(x, y) =0 © x=y;

co) đ(x y) = d(y,x) Vx,yeX;

d) d(x, y) S d(x, z) + d(z, y) Vx, y,z EX

Khi đó tập hop X cung voi d la một khéng gian metric va ky hiéu la

(X, d) hoặc đơn giản X nếu không sợ nhằm; và ánh xạ d được gọi là hàm khoảng cách

Định nghĩa 1.2 Cho không gian metric X và dãy các phân tử x„ e X Khi đó

x* được goi la gidi han cua day { Xn }nen nếu lim đ(x„, x*) = 0 và kí hiệu

n->%

lim x„ = x*

Dinh nghia 1.3 Day { x, } —X được gọi là dãy Cauchy nếu V£> Ú, Nụ sao

cho Vn, m >Ng thì đ( X„ X„ ) < £

Định nghĩa 1.4 Không gian metric X thỏa mãn điều kiện mỗi dãy Cauehy đều

có một điểm giới hạn ae Ä được goi là không gian metric đủ

Định nghĩa 1.5 Cho tập hợp X 5Ø cùng với phép toán hai ngôi viết theo lỗi cộng (+) và một ánh xạ p: R x X ->X với mỗi k e R và mỗi x EX thi phan

tử @(k, x) được gọi là tích ngoài của số k với phân tử x và được kỉ hiệu là k x

Giả sứ rằng các điều kiện sau được thỏa mẫn:

1, (X, +) là một nhóm Abel với phần tử trung hòa 6 nghĩa là:

4)x+(y+z)=(x+y)+ z Vx,y,zeX;

c) Trong X ton tai phân tử Ø sao cho x+ 0 =O+x=x Vx EX:

d) Với mỗi phần tử x e X, tôn tại phan tứ đối (- x) sao cho

Định nghĩa 1.6 Giá sứ X là một không gian tuyến tính trên R Ảnh xạ

||| : XR xac dinh trén X, lấy giá trị trên tập số thực | x | ER Vx EX thoa mãn các điều kiện:

a) II 20 Vx EX;

b) ||x|=0 ex =0;

ø Jx+z|<lzl*l»|L vx» =%:

4 |^x[F|A||x|[L y4 <R vx ex:

được gọi là một chuẩn trên X

Không gian tuyến tính X cùng với chuẩn | : | được gọi là một không gian

tuyến tính định chuẩn

Trong không gian tuyến tính định chuẩn X ta có thể định nghĩa hàm

khoảng cách đ như sau:

d(x, y)=|x-y|]

Khi đó X là một không gian metric với khoảng cách đ nêu trên

Nếu với metric đó, X là không gian đủ thì X được gọi là không gian Banach

Ví dụ 1.1: Xét C;;¡; các ham số liên tục trên đoạn /0, 7J Với x), vy) € Cor

va k e R ta định nghĩa:

& +) =x() ty) Vt eƒ0, 1];

(x)Œ) =k.x(0) Vt e0, Ij

Khi đó Cụ, cùng với hai phép toán trên là một không gian tuyến tính

trên R Với x e C„„;, dat |x|] = max | x()|_ thì |.| là một chuẩn trên Cø„;

và có thể chứng minh rằng C;,¡; cùng với chuẩn nêu trên là một không gian

Banach

1.1.2 Toán tử tuyễn tính trong không gian Banach

Định nghĩa 1.7 Cho hai không gian vecto bat ky X và Y trên R Một ánh xạ A: XY goi la m6t anh xạ tuyến tính hay toán tử tuyến tính nếu:

a) A(x; + Xx) = Áxịi † Áx; với mọi xị, X; 6€ X;

b) A(œx) = œAx với mọi x e X với mọi 86 a

Ở đây ta viết 4 x thay cho A(x) dé chi phan tt ứng với x trong ánh xạ 4 Nếu Y = X thì ta cũng nói 4 là một toán tử tuyến tính trong X

Định nghĩa 1.8 Giá sử X, Y là hai không gian định chuẩn Toán tử A từ X vào

Y gọi là liên tục nếu xạ —>xo luôn luôn kéo theo Á x„ >A Xo

Toán tử 4 từ X vào Y gọi là bị chặn (giới nội) nếu có một hằng số

K> 0sao cho

|Ax|<K|x vx ex

Chuẩn bên trái bất đẳng thức là chuẩn trong Y, còn chuẩn bên phải là chuẩn

trong X

Dinh lý 1.1 M6t todn tir tuyén tinh A tir X vao Y là liên tục khi và chỉ khi nó

Dat x,’ = 7 thi x,’ 0 va | 4x, _|| 4%,

n

Vậy 4 x' không tiến tới phần tử Ø e Y trái với giả thiết 44 liên tục

Từ đó tồn tại số K với tính chất trên

Vậy A liên tục tại xọ

Định nghĩa 1.9 Số K > 0 nhỏ nhất thỏa mãn điều kiện trên được gọi là chuẩn

của toán tử A được ký hiệu || 4 |

tính định chuẩn Toán tử 4 có nghịch dao khi va chi khi KerA= {6}, ttre là

phương trình 4 x= 9 chỉ có một nghiệm duy nhất x = 9

Định lí 1.2 Nếu một toán tử tuyến tính liên tục A: X-> Y có nghịch đáo A'

liên tục thì

với mọi số ms ay ngược lại nếu có m > 0 nghiệm đúng (1.1) thi A! ton

tại, liên tục và có | A! | < +

Chứng mình Nếu 4ˆ tồn tại, liên tục thì nó có chuẩn | 4" | và

| A! y| < | A! |.» | với mọi y e Im A, hay || x | < a" | Ax | voi Vx EX,

cho nén ta co (1.1) với mọi <

J1

Ngược lại, nếu có (1.1) với m > 0 thì 4 x = 0 kéo theo 0 > m|| x || tức là

x= 0 Cho nên 4” tồn tại và khi ấy (1.1) có thể viết YyeImA | y||> ml" y|

hay |4"' y| < —l||- Chimg t6 4 bi chin do đó nó liên tục đồng thời

I2'|<z m

1.1.3 Một số chuẩn thường gặp

Định nghĩa 1.10 Giả sử X là một không gian tuyến tính trên R và |.|, |.|, là

hai chuẩn cùng xác định trên X Khi đó 2 chuẩn này được gọi là tương đương

nếu tôn tại hai số m, M > 0 sao cho

m||x|,<|x;[<w|x|, vex,

Voi méix ER", x = (X1, X2, , x„) ta xác định ham chuẩn theo công thức:

IIS

Dễ thấy hàm chuẩn thỏa mãn các tiên đề về chuẩn

Thật vậy: Nếu x#0 thì 3x, # 0, khi đó || x ||>0, nếu x= 0 thì

Từ đó suy ra | x+y | Š | x |*|| y |: Chuẩn trên gọi là chuan Euclid trong R”

Ngoài chuẩn Euclid trên không gian vecto ®”, trong luận văn này còn dùng hai chuẩn sau:

1

Isl {dor

| x | = max |x, | 6 l<i<n

Cac |le||, val|\ ||, goi la chuan hép va chuan cau

Định lí 1.3 Hơi chuẩn tùy ý trên R" là tương đương

Chứng minh Ta chứng minh rằng một chuẩn bắt kì P trên R” tương đương với

Gọi S=[xeÑ”:||x||=1} đặt # = inŸ p(x) ta chứng minh ơ > 0

Thật vậy, theo định nghĩa của cận dưới đúng, tồn tại một dãy { xX, } C Ssao cho lim p(Œ%,)= # Rõ ràng { xX, 1, là bi chan trong R”, do đó tồn tại một

day con { X;, \ của day { X, } sao cho la, } hội tụ theo chuẩn || đến phần

tử a € R" Do tính liên tục của chuẩn | 4, |-I a | (— ®) vì | Xp, | =1 voi moi / nén ||z||= 1 tức là ae S Mặt khác ta có

Vậy chuẩn P tương đương với chuẩn Euclid ||.|

1.1.4 Sự hội tụ trong không gian Banach

Định lí 1.4 Trong không gian Banach X mọi chuỗi hội tụ tuyệt đối đều hội tụ

Sau đây ta quan tâm đến các phương trình (1.3) có thể giải được đối với y”:

trong đó ƒ là hàm của các biến x, y, y”

1.2.1 Sự tồn tại và duy nhất nghiệm

Cho phương trình: y” =f(x, y, y’)

Nếu f(x, y, y’) lién tuc trong miền Ð nào đó trong ®” và néu (xp, yo, y’o) 1a một

điểm thuộc D thi trong một lân cận nào đó của điểm x = xạ tồn tại ít nhất một

nghiệm y = y(x) của phương trình (1.4) thỏa mãn các điều kiện:

wa x,y,y'), aye *; y› y") cũng liên tục thì nghiệm ấy là duy nhất 1.2.2 Nghiệm tổng quát, nghiệm riêng

Nghiệm tổng quát của phương trình (1.4) là hàm số y=øØ(+, C¿, C;) trong

đó C¿, C; là những hằng số tùy ý thỏa mãn (1.4) Với mọi (ø, yø y2) e Ð ở

đó các điều kiện về tồn tại và duy nhất nghiệm được thỏa mãn có thê tìm được các giá trị xác định C; = C,’, Œ; = Cc,’ sao cho ham s6

y = x, C/’, C;”) thỏa mãn điều kiện:

Viy=x, = Yo *Ìy=y, =y?

Nghiệm riêng của (1.4) là hàm số y = ø(x, C;', C;”) mà ta có được bằng

cách cho C¿, C; trong nghiệm tổng quát hai giá trị C¡', C;” thỏa mãn điều kiện (1.5)

Đôi khi ta không tìm được nghiệm tổng quát của phương trình (1.4) dưới

dang tuong minh y = g(x, C;, C;) mà tìm được một hệ thức có dạng

D(x, v,C;, C;) = 0 thỏa mãn phương trình đã cho Hệ thức +, y, C;, C;) = 0

xác định nghiệm tổng quát của phương trình (1.4) đưới dạng ân được gọi là

tích phân tổng quát của nó Khi đó Ø, y,C¡', C;”) = 0 xác định nghiệm riêng

của phương trình và hệ thức đó được gọi là tích phân riêng, trong đó C? và

C? thỏa mãn điều kiện ban đầu

Viyaxy =xy YOY lynx, YO

1.3 Phương trình vi phân tuyến tinh cấp 2

Định nghĩa 1.12 Phương trình vi phân tuyến tinh cấp 2 là phương trình vi phân có dạng

trong do p(x), q(x), f (x) là những hàm số liên tục cho trước, y là hàm phải tìm, Nếu ƒ{x) = 0 phương trình được gọi là thuẫn nhất, f(x)z0 phương trình

được gọi là không thuẫn nhất

Ví dụ 1.2:y” + (2x + Dy’ + (x + 1)y = x- 5 là phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 với px) = 2x + 1, q&) =x” + 1,ƒ() =x - 5

1.3.1 Phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 thuần nhất

Phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 thuần nhất có đạng

y”+ p(%)y` + q()y = 0 (1.7)

Dinh li 1.5 Neu y;)(x) va yo(x) la hai nghiém cua phiong trinh (1.7) thi

y=C¡ y6) + C y›(x) trong đó C¡ và C; là hai hằng số cũng là nghiệm của phương trình đó

Chứng mình Vì y¡(x) và y; (x) là hai nghiệm của phương trình (1.7) nên

y+ pay’ + q(x) =0

+”; †p(%)y5 + q6) = 0

Nhân phương trình trên với C¡, nhân phương trình dưới với C; rồi cộng lại ta được

(C¡ yị + C; y2)” + p(X)(C¡ vị + C; y2)” + q4)(C¡ yị + C2 yz) = 0

Vậy Œ, y¡ + C; y; là nghiệm của phương trình (1.7)

Dinh nghia 1.13 Hai hàm số y,(x), y›(x) được gọi là độc lập tuyến tính

: ;¿ J2 \X 5 l

trên đoạn [a, b] néu ti sd 50) khác hàng số trên đoạn đó Trong trường

1

hợp trải lại, hai hàm số ấy được gọi là phụ thuộc tuyến tính

Vi du 1.3: Hai ham sé sin x và cos x độc lập tuyến tính trên # vì

Hai hàm sô 2£` và 7e' phụ thuộc tuyên tính vì: 7a T7

Định lý 1.6 Néu y,(%) và y›(x) là 2 nghiệm độc lập tuyến tính của phương

trình vi phân tuyến tinh thuần nhất (1.7) thì y = C, y)(x) + Cr y2(x) là nghiệm

tổng quát của phương trình với Cụ, C; là hai hằng số tùy ÿ

Ví dụ 1.4: Phương trình y” + y = 0 có hai nghiém riéng y, = cos x, y) = sin x

là hai nghiệm độc lập tuyến tính Vậy nghiệm tổng quát của phương trình là

y =C, cos x + C; sin x với C¡, C; là hai hằng số tùy ý

Định lí sau đây cho ta cách tìm nghiệm tổng quát của phương trình tuyến

tính thuần nhất với hệ số biến thiên nếu biết một nghiệm riêng khác không của

nó

Định lí 1.7 Néu đã biết một nghiệm riêng y¡()Z°0 của phương trình vi phân tuyển tính thuần nhất (1.7) ta có thể tìm được một nghiệm riêng y›(x) của phương trình đó độc lập tuyến tính với y;(x) có dạng y›(x) = y¡(x).u@

Chứng mình Đặt y = y)(x).u(x) Ta can tim u(x) sao cho y thoa man phuong

trinh (1.7) ta co:

yayrutyu;

y”=y”;u+2yu + yị¡u”

Thế vào phương trình (1.7) ta được

vị” + (2y + pyi) tị + (y”¡ + py + qyi) = 0.

Nhưng y”, + py’; + gy: = 0, vi y; 1a một nghiệm của (1.7)

Vậy ta được phương trình cấp 2 đối với 1, khuyết uv:

yiu” + (2y) † pyj)M`= 0,

Đặt ° = v ta được phương trình cấp 1 đối với v

yịv°+(2y + py¡) ` = 0

hay

dv

w_—_2V¡ yy, TP de

Lấy tích phân 2 về ta được:

Iniy| = -2In| yi) = | peedde = -2 nl ys | + ø69 + lại ¡|

yv=[CGX) + Cr}y1 = Cry) GX) + Cry)

Chon CŒ; = 0, Œ; = 7 ta được y› = y;G(x) đó là một nghiệm của (1.7) độc lập

em tuyến tính với y;, vì ( ye =Ớf(x) =g@) = vi 0

Thé vao phuong trinh da cho ta duge

(1-x)(2w°+ xu”)+2x(u+xu)-2xu =0 hay

Chon K> = 0 taduge u =x + x vay y=xu=x +1

Hai nghiém y, =x, y) =x’ + / la déc lập tuyến tính nên nghiệm tổng quát của phương trình là:

yH=C)xt+ C(x t+)

trong d6 C;, C; là hai hằng số tùy ý

1.3.2 Phương trình vi phân tuyến tỉnh cấp 2 không thuần nhất

Phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 không thuần nhất có dạng

Định lí 1.8 Nghiệm tổng quát của phương trình không thuần nhất (1.8) bang

tổng của nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất tương ứng (1.8) với một nghiệm riêng nào đó của phương trình không thuần nhất

Chứng mình Thật vậy, gọi y la nghiém téng quat cua phuong trinh (1.7) Yla một nghiệm riêng nào đó cua phương trình (1.8)

Đặty= y + Ytac6y'= ÿy '+Y, yrayrt Y”

Thế vào phương trình (1.8) ta được:

y”+p@)y'+ q6 y= y”+Y” +p@)(y '+*Ÿ) +4@)(y +)

=[¥ "+ p(x) ¥ "+ q6)y] + [Y” + pO@Y’ + q@)¥]

Theo giả thiết:

”+p(@)y "+ g(x)y =0;

Y" + pQ@Y’ + q)¥ = f(x)

Vậy y = y+Ƒ cũng là nghiệm của phương trinh (1.8) Vi y phu thudc

hai hằng số tùy ý nên y =y+ Y cũng phụ thuộc hai hằng số tùy ý, do đó nó là

nghiệm tổng quát phương trình (1.8)

Dinh lí 1.9 ( Nguyên lý chẳng chất nghiệm)

Cho phương trình: y” + p(x)y' + q(y =/@) + Ø9) Nếu }¡(*) là một

nghiệm riêng của phương trình y”+ p()y` + q(x)y = fi(); y›() là một nghiệm riêng của phương trình y’’+ p(x)y’ + qQ)y = fox) thì y = yi(x) + y2(x)

là một nghiệm riêng của phương trình đã cho

1.3.3.Phương trình vỉ phân tuyến tính cấp 2 có hệ số không đổi

Cách giải: Để tìm nghiệm tổng quát của nó ta tìm 2 nghiệm riêng độc lập

tuyến tính Ta tìm nghiệm riêng của nó đưới dạng

trong đó & là một hằng số nào đó

Ta có y' = ke", y” = k”e*, thế vào phương trình (1.9) được

e S8 + pk + q) = Ú

Vậy nếu & thỏa mãn phương trình (1.11) thi ham sé y = e* 1a mét nghiém

riêng của phương trình (1.9) Phương trình (1.11) được gọi là phương trình đặc trưng của phương trình vi phân (1.9)

Xét ba trường hợp sau:

Truong hop |: Phương trình đặc trưng (1.11) có hai nghiệm thực phân biệt k;

và k; khi ấy phương trình (1.9) có hai nghiệm

Vị — „kr&)x khác hằng số Do đó

2

Hai nghiệm này độc lập tuyến tính vì

nghiệm tổng quát của phương trình (1.9) la y = C, e+ C; e’, trong đó C¡,

C; là hai hằng số tùy ý

Trường hợp 2: Phương trình đặc trưng (1.1 1) có hai nghiệm thực trùng nhau

k k¡ = k; một nghiệm riêng của phương trình (1.9) là y; = e ø

Ta sẽ tìm nghiệm riêng y; độc lập tuyến tính với y¡ dưới dạng

ee [u” + (2k, + p)u’ + (ky + pk; + qu] = 0

Vik, la nghiém kép của phương trình đặc trưng nên ta có

ki + pki +q = 0, ky =~ 5 hay 2k + p = 0

Do đó e ˆ w” = 0 hay #” = 0 suy ra = 4x + B trong đó 4, 8 là những hăng

số tùy ý Chọn 4 =1, B8 = 0 ta được ¡ =x vay

Trường hợp 3: #¡, k; là các số phức.Giả sử

kị =ữŒ+i1Ø k;=ø-¡i8

các nghiệm riêng tương ứng của phương trình (1.9) là:

vị = e8 ụ, = g/910X

Đó là những hàm số phức với đối số thực Đề tìm những nghiệm riêng là hàm

số thực ta viết chúng như sau:

y, =e” cosBx + ie™ sinB x;

yo = e™ cosBx - ie sinB x

Các hàm số thực cos x, ‘yp =e% sin x cũng là những nghiệm riêng

của phương trình (1.9)

Mặt khác, dễ thấy rằng các hàm số e” eosx và e“” sinx độc lập tuyến

tính với nhau trên toàn trục số Do đó nghiệm tổng quát của phương trình vi

phân (1.9) là:

y=Ce” cos8x + C; e” sin8x

Vi du 1.6 : Tìm nghiệm của phương trình y”+ 2y” - 3 y = 0 thỏa mãn các điều

kiện

y|:=ø =9, y†c=o = 1

Phương trình đặc trưng của phương trình đã cho là: #“ + 2& - 3 = 0 phương

trình có hai nghiệm phân biệt k¡ = 7, k; = -3

Vậy nghiệm tông quát của phương trình đã cho là:

Giải hệ trên ta được C= 4 C2 =~ Vay nghiém riêng phải tìm là

Ty 1 x

y= „rác

Ví dụ 1.7: Giải phương trình : y” + 2y” + 4y = 0

Giải: Phương trình đặc trưng #Ý + 2k + 4 = 0 có nghiệm kép k = -2

Vậy nghiệm tổng quát là: y = £“(C; + Œ; x) với C;, C; la hai hang sé tùy ý

1.3.3.2 Phương trình không thuần nhất

Định nghĩa 1.15 Phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 có hệ số không đối không thuần nhất là phương trình có dạng :

trong do p, q là những hệ số hằng số

Cách giải: Nghiệm tổng quát của (1.12) bằng nghiệm tổng quát của phương

trình thuần nhất tương ứng (1.9) cộng với nghiệm riêng của (1.12)

Trong phần này ta chỉ nghiên cứu cách tìm nghiệm riêng của phương trình

(1.12) trong trường hợp:

trong đó ;(+) là một đa thức bậc ø của x và ø là một hằng SỐ

Tìm một nghiệm riêng của (1.12) dưới dạng:

Thé y, y’, y” vao (1.12) và rút gọn lại ta được

a’ O, (x)e** +2aQ', (x)e” +Ø", (x)e” +pơO, (x)e” + pQ', (x)e” +

+qe"O (x)=e” P (x)

> & [0",(x) + (2a+ p) Ox) + (0 + pat q) On x)] =e Pr x)

> 0", (x) + 2a p)Q'(x) + (ob + pat VOn(x) =P, x) (1.15)

Nếu ø không phải là nghiệm của phương trình đặc trưng ( bao gồm cả trường hợp phương trình đặc trưng vô nghiệm) thì ø” + pø + ạ #0 Do đó về trái của (1.15) cũng là một đa thức bậc ø cùng với đa thức ở về phải Đồng

nhất các hệ số của lũy thừa cùng bậc của x ở hai về của (1.15) ta tìm được các

hệ số của đa thức O,(x) (n + 7 hệ số từ ú + 7 phương trình)

Phương pháp xác định hệ số của Ø„(x) như trên được gọi là phương pháp

hệ số bắt định

- Nếu ø là một nghiệm đơn của phương trình đặc trưng thì

đ`+pơz+q= 0 và 2z+p Z0

Trong trường hợp này đa thức ở về trái có bậc (ø - ï)

- Nếu ø là nghiệm kép của phương trình đặc trưng thì

3 +pz+q=0 và 2œ+p=0

Trong trường hợp này đa thức ở về trái có bậc là (ø - 2)

Muốn cho hàm ở đạng ( 1.14) nghiệm đúng phương trình (1.12) thì ta

phải nâng bậc của đa thức Ó„(x) lên một hay hai bậc tủy theo ø là nghiệm đơn

hay nghiệm kép của phương trình đặc trưng

+ Trường hợp 1: Nếu ø là nghiệm đơn của phương trình đặc trưng thì nghiệm riêng phải tìm của ( 1.12) có dạng:

y=xe™ 0,(x)

+ Trường hợp 2: Nếu ø là nghiệm kép của phương trình đặc trưng thì nghiệm

riêng của (1.12) có dạng:

Vậy nghiệm riêng cua phuong trinh da cho la y = 2x + 5

Vi dụ 1.10: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình

Mặt khác ø = 7 là nghiệm đơn của phương trình đặc trưng nên một nghiệm

riêng của phương trình đã cho có dạng

y =x &(Ax + B) = &(Ax’ + Bx)

=> y’ =e (Ax? + Bx) + 26 (2Ax + B) + 2A

Thế vào phương trình đã cho và rút gon ta được:

e/Ax” + (B + 4A)x + 2(B + A)] - 3£/Ax” + (B + 2A)x + BỊ + 2£'(Ax”+Bx) =

Nghiệm tông quát của phương trình đã cho là:

y = Cie" + Coe - Bx + 7x je

1.4 Phương trình sai phân

1.4.1 Phương trình sai phân tuyến tính

Định nghĩa 1.16 Phương trình sai phân tuyến tính của hàm x„ là một biểu

thức tuyến tính giữa các giá tri cua ham x, tai các điểm khác nhau

Li Xh =A0 Xnvk + Ai Anse + et AEX = fre (1.16) Trong d6 L, la ki hiéu toan tir tuyén tính tác dụng lên hàm x„, xác định trên lưới có bước lưới h: ao, a, , Ar VOI ag #0, a #0 la cac hang số hoặc các

hàm số của ø, được gọi là các hệ số của phương trình sai phan; f, la ham sé

của 7, được gọi là về phải; x„ là giá trị cần tìm được gọi là an

Phương trình (1.16) được gọi là phương trình sai phan tuyén tinh cap &

(còn gọi là bậc #) vì để tính được tất cả các giá trị x„ ta phải cho trước k giá trị

liên tiếp của x„ theo công thức truy hồi (1.16).

Định nghia 1.17 Néu f, = 0 thì (1.16) được gọi là phương trình sai phân

xác định được duy nhất các tham số Cy, C¿ , Œ để nghiệm trở thành

nghiệm riéng cua (1.17) tức là vừa thỏa mãn (1.17) vua thỏa mãn

Ấg =Xg;Xi EM Key =H,

1.4.2 Tuyến tính hóa

Trong thực tế ta có thé gặp rất nhiều phương trình sai phân không tuyến

tính, tuy nhiên để thuận lợi trong việc tìm công thức nghiệm thì một số

phương trình sai phân không tuyến tính, ta có thê biến đôi về phương trình sai phân tuyến tính, được gọi là tuyến tính hóa

Giả sử phương trình sai phân x„ = Ø( X;-¡ X„.z , X„+ ) VỚI Các giá trị ban

dau x)= @), x; = đ„ , x„ = œ„ là tuyến tính hóa được, khi đó điều kiện cần là

tồn tại các số a„, d„ , da để x„ = ai „+ đa X„ + đyXyk

Dé tim a), a2, , ay trước hệt ta tính x;.;, X;.2, , x;, theo GQ, Q2, , An

Xeet = D(A, Ut yo, GH)

Xpe2 = O(Xtr Ay, )

Xe = P(r ty X22 y 00, Ak)

thay x), X2, , x¿ Và các giá trỊ X¿:;, X;:;, , xz„ vừa tìm được vào biêu thức x„

ta được hệ phương trình đại số tuyến tính

Xp) = AX, +4,X,_) + +, X,

Xp =X, 4, FOX, + 4 A,X,

Xyp =AXy, 1 FAX, 4 H+ AX,

Nếu hệ trên có nghiệm duy nhất thì

Xn = Ap Xn-1 Ð dạ Xu; đ Tay Xa

là đạng tuyến tính hóa của phương trình

Xn= OP (Xn Xp-2 00 Xa-k )

1.4.3 Dạng chính tắc của phương trình sai phân tuyến tinh

Xét phương trình sai phân tuyến tính cấp & ( k> 3)

Xuik = đị Xa T đạ Xaska + + AX + fh (1.18) trong d6 ay, đ›, , a¿ là các hệ SỐ x„ X„.z, , X„:; là ân cùng với các giá trị ban đầu x;, x¿, , Xự¿

f 1h Xn sks

Dat cac vecto a

với yạ cho trước Phương trình (1.19) được gọi là dạng chính tắc của phương

Vi du 1.11: Viét phương trình sai phân sau đây dưới dạng chính tắc

Viết phương trình sai phân dưới dạng chính tắc có nhiều thuận lợi trong

x "

1.5 Một số kiến thức về lập trình trong Maple

1.5.1 Giới thiệu

Maple là một ngôn ngữ lập trình hướng chu trình (procedure) Chung ta

có thể làm việc với Maple bằng hai chế độ khác nhau: Chế độ tương tác trực

tiếp thông qua việc nhập từng lệnh đơn lẻ ngay tại dấu nhắc lệnh của Maple

và nhận được ngay kết quả của lệnh đó Chế d6 chu trinh được thực hiện bang

cách đóng gói một dãy các lệnh xử lí cùng một công việc vào trong một chu

trình (procedure) duy nhất, sau đó ta chi cần gọi chu trình này và Maple tự

động thực hiện các lệnh có trong chu trình đó một cách tuần tự và sau đó trả

lại kết quả cuối cùng

Maple chứa một lượng rất lớn các hàm tạo sẵn đáp ứng cho những yêu cầu tính toán khác nhau trong nhiều lĩnh vực Các hàm này được lưu trữ trong

các gói chu trình (pzckage) và người sử dụng có thê dễ dàng gọi đến mỗi khi

cần thiết Tuy nhiên, người dùng Maple có thể tự tạo cho riêng mình những gói chu trình cũng như có thể trao đổi dùng chung những gói chu trình nào

đây, phục vụ cho công việc mang tính đặc thù riêng của mình

Các khái niệm cơ bản cần phải nắm vững để tạo ra một chu trình

(procedure) là:

Cấu trúc proe( end; cùng với các khai báo trong cấu trúc này (global, local, option, )

Các cấu trúc dữ liệu và các hàm có lién quan (day-sequence, tap hop-set, danh

sach-list, mang-array, bang-table)

Các hàm lập trình cơ bản (đã nêu ở trên) và các hàm liên quan đến việc xử lí

dit liéu (eval, evalf, subs, map, convert, )

1.5.2 Khai báo chu trình

Lời gọi khai bảo một chu trình:

procedure_name:= proc(parameter_sequence)

Giải thích các khai báo:

parameter_name: Là một dãy các kí hiệu, ngăn cách nhau bởi các dấu

phẩy, chứa tên các tham biến truyền cho chu trình

local_sequence: Là một dãy các tên được khai báo là biến cục bộ trong

chu trình, nó chỉ có giá trị sử dụng trong phạm vi chu trình đang xét (/ocal được sử dụng đề khai báo cho các biến chỉ sử dụng bên trong một chu trình)

global_sequen: Dãy các tên biến toàn cục có giá trị sử dụng ngay cả bên ngoài chu trình

options_sequence: Day cac tuy chon cho một chu trình

statements_sequence: Day cac cau lệnh do người lập trình đưa vào

1.5.3 Tham biến

Tham bién (parameter) la cdc biến được đặt giữa hai dấu ngoặc trong

biểu thức proe( ) Tham biến được dùng đề nhận dữ liệu truyền cho chu trình

khi gọi chu trình đó Ví dụ ta có thể khai báo chu trình tính tổng của 2 số

[tong:=proc(x,y) x+y; end.] thi khi gọi chu trình này để tính tổng của hai số

10 và 5 ta phải truyền các dữ liệu này cho các tham biến (cho x nhận giá trị là

10, y nhận giá trị là 5), tức là tại dấu nhắc lệnh ta phải viết #ong(10, 5); và sau

khi thực hiện chu trình trả lại kết quả là 15

Tham biến có tính cục bộ: chúng chỉ được sử dụng bên trong chu trình đã

được khai báo, bên ngoài chu trình này chúng không mang ý nghĩa gì

Kiểu của tham biến có thê được khai báo trực tiếp

1.5.4 Pham vi céc bién (biến toàn cục, biển cục bộ và tham biến)

Biến toàn cục:

Biến toàn cục được khai báo su £ừ khoá global trong khai báo chu trình

Biến toàn cục được khai báo bên trong một chu trình, nhưng có phạm vi

giá trị trong toàn bộ chương trình, tức là bên ngoài phạm vi của chu trình mà

nó được khai báo trong đó

Cũng giống như biến cục bộ, các tham biến chỉ cô giá trị bên trong phạm

vi của chu trình mà nó được khai báo Sau khi chu trình kết thúc, chúng không

còn gia tri

Tham biến còn được sử dụng để trả lại kết quả, như các ngôn ngữ lập

trình truyền thống Ngoài ra, do Maple có những hàm có khả năng trả lại

nhiều hơn một giá trị Ta có thé gdp các giá trị này vào một danh sách để trả lại như một phần tử

1.5.5 Định giá trên các biễn

Định giá tên hàm và tham biến:

Như đã đề cập trước đây, các tên biến trong một biểu thức được Maple

định giá trước khi thực hiện các phép tính trên chúng Đối với việc thực hiện

các hàm cũng tương tự như vậy Trước tiên là tên chu trình được định giá Sau

đó lần lượt đến các đối số trong danh sách các đối số truyền cho chu trình

(được định giá từ trái sang phải) Nếu tên chu trình được định giá trỏ đến một chu trình, thì chu trình ấy được thực thi trên các đối số đã được định giá Tuy

nhiên vẫn có một số chu trình ngoại lệ: đó là các hàm eval, assigned, seq

Định giá biến cục bộ và biến toàn cục:

Các biến cục bộ và tham biến truyền cho chu trình được định giá một cấp

(định giá một lần), còn các biến toàn cục thì được định giá hoàn toàn

(iHl evaluation) Hàm eval( ) được dùng đề ép định giá hoàn toàn cho biến

cục bộ và tham biến, và định giá một mức cho các biến toàn cục

1.5.6 Các chức năng khác

+Ì Muốn in ra màn hình các "vòng lệnh ẩn" ta sử dụng biến printlevel

Đây là cách đơn giản nhất để xem xét các quá trình thực hiện lệnh Khi

printlevel được gán giá trị âm thì không hiện gì cả, nếu được gán giá trị 0 thì chỉ có kết quả của các câu lệnh được hiện ra

-*| Dò từng lệnh trong chu trình:

trace(f)

trace(f,g,h, )

Tham số: Các hàm ƒ, ø, Ù, là các hàm cần chạy từng bước

Lénh trace cho in cách thức hiện từng lệnh của một chu trình ra màn

hình

Lệnh dò trace() hoạt động tương tự như khi ta gán cho biến printlevel

một số đủ lớn đề có thể hiện ra màn hình tất cả các câu lệnh cũng như điểm

vào và điển ra của hàm mà ta đang thực hiện

Trong suốt quá trình thực hiện, các điểm vào, các kết quả của các câu lệnh, các điểm ra của hàm cần dò được hiện ra màn hình Các tham biến được hiện ra ở điểm vào chu trình, giá trị trả lại của hàm được hiện ra ở điểm cuối chu trình

Chú ý: Không thể đò từng bước một số hàm có quy tắc định giá đặc biệt,

bao gồm: øssigned, eval, evalhƒ, evalƒ, evaÌn, traperror, seq, userinfo

Xem mã nguồn một chu trình:

showstat(procName)