2 Px≤ x− Bài II 2,0 điểm Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình: Một ôtô tải khởi hành từ A để đi đến B trên quãng đường AB dài 270 km.. Sau đó 45 phút, một ôt
Trang 1UBND QUẬN HOÀN KIẾM
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
Đề thi lớp 9
Bài I (2,0 điểm) Cho hai biểu thức A 2 x
x
+
x B
− − + với x>0 và 4
≠
x
1) Tính giá trị của A khi 1
4
x=
2) Rút gọn B.
3) Cho P A
B
= Tìm các giá trị nguyên của x để 3( 1)
2
Px≤ x−
Bài II (2,0 điểm) Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình:
Một ôtô tải khởi hành từ A để đi đến B trên quãng đường AB dài 270 km Sau đó 45 phút, một ôtô con cũng khởi hành từ A để đi đến B trên cùng quãng đường Hai ôtô đến
B cùng một lúc Biết vận tốc của ôtô tải nhỏ hơn vận tốc ôtô con là 5 km/h Tính vận tốc của mỗi xe
Bài III (2,0 điểm)
1) Giải hệ phương trình
5
3
3
3
y x
y x
2) Cho parabol 2
( ) :P y x và đường thẳng = d y mx m: = + +1 (với m là tham số) trong mặt phẳng tọa độ Oxy
a) Với giá trị nào củam thì d tiếp xúc với (P)? Khi đó hãy tìm tọa độ tiếp điểm.
b) Tìm các giá trị của m để d cắt (P) tại hai điểm phân biệt nằm khác phía đối với trục
tung, có hoành độ x x thỏa mãn điều kiện 1, 2 2x1−3x2 =5
Bài IV(3,5 điểm) Cho tam giác nhọn ABC (AB AC< ) có các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H.
1) Chứng minh tứ giác DHEC nội tiếp và xác định tâm O của đường tròn ngoại tiếp tứ giác này 2) Trên cung nhỏ EC của (O), lấy điểm I sao cho IC>IE, DI cắt CE tại N Chứng minh
NI ND NE NC=
3) Gọi M là giao điểm của EF với IC Chứng minh MN song song AB.
4) Đường thẳng HM cắt (O) tại K, KN cắt (O) tại G (khác K), MN cắt BC tại T Chứng minh H, T, G thẳng hàng.
Bài V (0,5 điểm) Cho ba số thực không âm a, b, c và a b c+ + =3 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức K = 3a+ +1 3b+ +1 3c+1
HẾT
-Ghi chú:
- Học sinh không sử dụng tài liệu, không trao đổi khi làm bài;
- Giáo viên trông kiểm tra không giải thích gì thêm
Họ tên học sinh: Lớp ……… Trường THCS: ………
Chúc các em học sinh làm bài kiểm tra đạt kết quả tốt!
HƯỚNG DẪN CHẤM
ĐỀ CHÍNH THỨC
Trang 2ĐỀ ĐỀ KIỂM TRA KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG TOÁN 9
QUẬN HOÀN KIẾM, NĂM HỌC 2017-2018
Bài I
(2,0 điểm)
4
x= (TMĐK x>0 và x≠4) vào A, ta được
1 2
4 1 4
A
+
B
=
Tìm được
2
x B
x
=
Tìm được P x 4
x
−
=
2
Px≤ x− ⇔ x− x− ≤
0,25
Suy ra được 0 25
4
< ≤x
Kết luận hợp điều kiện thu được x∈{1; 2;3;5;6 }
0,25
Bài II
(2,0 điểm)
Gọi vận tốc của ôtô tải là x (km/h, x>0) 0,5
Thời gian ôtô tải đi từ A đến B là 270
Thời gian ôtô con đi từ A đến B là 270
5
Ô tô con khởi hành sau 45 phút nhưng hai xe đến B cùng một lúc nên
ta có phương trình:
x −x = +
0,25
Giải phương trình ta được x=40 và kết luận 0,5
Bài III
(2,0 điểm)
2
−
a b
a b
+ =
+ =
Giải ra ta được 1, 1
2
Từ đó tìm được các nghiệm của hệ là (25;1) và (25;0) 0,25
Trang 32) Đường thẳng và parabol 1,0
Phương trình hoành độ giao điểm của d và (P):
2− − − =1 0 (1)
x mx m
Ta có ∆ =(m+2) 2
Từ đó tìm được d tiếp xúc (P) ⇔ = −m 2
0,25
Tìm được x= −1 và kết luận tọa độ tiếp điểm A( 1;1).− 0,25
Chỉ ra được (1) luôn có một nghiệm x= −1, một nghiệm x m= +1 Điều kiện để hai giao điểm nằm khác phía trục tung là m> −1. 0,25
Trường hợp 1: Với 1
2
1 , 1
= −
= +
x
x m tìm được
10 3
m= − (loại)
Trường hợp 2: Với 1
2
1 , 1
= +
= −
x tìm được m=0 (TMĐK) và kết luận
0,25
Bài IV
(3,5 điểm)
Vẽ hình đúng 0,25
Tứ giác DHEC có:
HEC HDC= = ° 0,25 Lập luận suy ra
DHEC là tứ giác
nội tiếp
0,25
Chỉ ra được tâm O
là trung điểm HC.
0,25
Chỉ ra được ·END INC=· và ·DEN CIN=· . 0,5
Suy ra hai tam giác END và INC đồng dạng với nhau. 0,25
Thiết lập được tỉ số NE NI NI ND NE EC
Chứng minh được tứ giác BFEC và DEIC nội tiếp. 0,25
Chứng minh được MENI là tứ giác nội tiếp, tức là · DIE EMN= · . 0,25
Từ đó ta có ·AFE EMN= · mà hai góc này nằm ở vị trí so le trong nên
Chỉ ra được ·HGN =HCK· =·KMN. (1) 0,25
Chứng minh được hai tam giác TGN và KMN đồng dạng với nhau, 0,25
Trang 4tức là ·KMN TGN=· . (2)
Từ (1) và (2) suy ra ·HGN TGN=· và kết luận
Câu V
(0,5 điểm)
Áp dụng Bất đẳng thức Cauchy:
Tương tự ta có 3 1 3 5
4
b
b+ ≤ +
và 3 1 3 5
4
c
c+ ≤ +
4
+ + +
Tìm được Kmax ⇔ = = =a b c 1
0,25
Cách 1 Không mất tính tổng quát, giả sử a b c≥ ≥
Do a b c+ + =3 nên a≥1
Ta có ( 3b+ +1 3c+1)2 =3(b c+ + +) 2 2 (3b+1)(3c+1) 3(3≥ − + = −a) 4 13 3a (do ,b c≥0)
Khi đó K ≥ 3a+ +1 13 3− a 2
14 2 (3 1)(13 3 )
Chứng minh được (3a+1)(13 3 ) 40− a ≥ với 1≤ ≤a 3
2 14 4 10
K
Dấu “=” xảy ra ⇔ =a 3,b c= =0 Vậy Kmin = +2 10 ⇔ =a 3,b c= =0 và các hoán vị
Cách 2 Ta có 3 1 10 1 1
3
a+ ≥ − a+
Thật vậy, bất đẳng thức trên tương đương a(3− ≥a) 0 (luôn đúng)
3
3
c+ ≥ − c+
3
K ≥ − a b c+ + + = +
Vậy Kmin = +2 10 ⇔ =a 3,b c= =0 và các hoán vị
0,25
Lưu ý:
- Học sinh có các cách làm khác nếu đúng vẫn cho điểm tối đa
- Bài IV: Học sinh vẽ sai hình trong phạm vi câu nào thì không tính điểm câu đó
- Tổng điểm bài kiểm tra làm tròn đến 0,5
- Giáo viên cần chữa bài kiểm tra cho học sinh đồng thời hướng dẫn học sinh cách suy nghĩ làm các câu khó