Đề thi HSG lớp 10 THPT hoàn kiếm – hà nội, năm học 2014 – 2015

Chứng minh rằng tam giác ABC vuông.. b Cho tam giác ABC, O là trọng tâm của tam giác.. Chứng minh rằng đường thẳng OM đi qua trọng tâm của tam giác DEF Câu 5.. 3 điểm a Trong mặt phẳng v

(Đề thi HSG lớp 10 THPT Hoàn Kiếm – Hà Nội, năm học 2014 – 2015)

Thời gian làm bài: 150 phút Câu 1 (4 điểm)

Cho hàm số 2

2

y x  x a) Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho

b) Tìm m để đường thẳng : y x m   cắt đồ thị của hàm số đã cho tại hai điểm phân biệt A, B thỏa mãn độ dài đoạn thẳng AB bằng khoảng cách từ O đến ∆

Câu 2 (6 điểm)

a) Giải hệ phương trình:    

2 2

10 10 81

10 10 18 0





 b) Giải phương trình: 2    

2 x  5x7 3 x1 x 4  8 c) Tìm m để phương trình: 4 x 4 x2 16 x2  có nghiệm duy nhất.m

Câu 3 (4 điểm)

a) Cho các số dương a, b, c Chứng minh rằng:

4

ab ac bc ba ca cb a b b c c a

 

b) Cho các số thực x, y, z thỏa mãn x + y + z = 0, x2 + y2 + z2 = 8 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

S x  y  z

Câu 4 (3 điểm)

a) Cho tam giác ABC có diện tích S và các cạnh BC = a, CA = b thỏa mãn điều kiện

cotA + cotB=

2 2

2

S

 Chứng minh rằng tam giác ABC vuông

b) Cho tam giác ABC, O là trọng tâm của tam giác M là một điểm nằm trong tam giác M khác O.Gọi

D E F lần lượt là hình chiếu vuông góc của m lên các cạnh BC, CA, AB Chứng minh rằng đường thẳng OM đi qua trọng tâm của tam giác DEF

Câu 5 (3 điểm)

a) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, Cho tam giác ABC Gọi a b lần lượt là đường trung tuyến

và đường phân giác trong của tam giác các đường thẳng AD lần lượt có phương trình là

x - y - 2 = 0, y = 0 Giả sử B(1;3), Viết phương trình đường thẳng AC và xác định tọa độ điểm C b) Trong mặt phẳng với tọa độ Oxy, cho tam giác ABC, BE và CD là các đường cao của tam giác.Giả sử D(2;0), E(1;3) và đường thẳng bc có phương trình 2 x + y - 1 = 0 Tìm tọa độ của điểm B biết B có hoành độ dương

Đáp Án Câu 1

a) Tập xác định của hàm số là R a = 1 > 0 , 1, 9

b

   

Hàm số nghịch biến trên ;1

2

 

  đồng biến trên 1;

2



b) Phương trình hoành độ giao điểm x2 x 2 x m x2 2x m  2 0

Đường thẳng cắt đồ thị tại hai điểm phân biệt   ' 0 m 3

2

m

A x x m B x x m

     

2

2

2

m

8 4 7

m

   (thỏa mãn điều kiện)

Câu 2 a)



 



10 , 10

u x  x vy  y Ta có u v81,u v 18

,

u v

Hệ đã cho tương đương với hệ phương trình sau:

  

Hệ đã cho có 4 nghiệm 1;1 , 1;9 , 9;1 , 9;9       

b) Đặt t x2 5x7,t0

x1 x 4 t2 3

Phương trình trở thành 2t3t2 38

2 3 3 8 3 2 1 0

1

1

3

      



  

1

3

t không thỏa mãn điều kiện

Với t = 1, ta có x2 5x7 1  x2 5x  6 0 x hoặc 2 x 3

Vậy phương trình có tập nghiệm là 2;3 

c) 4 x 4 x2 16 x2  (điều kiện 4m   x 4)

Điều kiện cần Giả sử hệ có nghiệm duy nhất là x 0

4x  4 x 2 16 x  m

4 x  4 x 2 16 x m

0

x

  là một nghiệm của phương trình

Vì phương trinh duy nhất nên x0 x0  x0  0 m12

Điều kiện đủ: Xét m = 12 phương trình đã cho trở thành

2

2

Đẳng thức xảy ra  x0 Phương trình có nghiệm duy nhất x = 0, vậy m = 12

Câu 3 a)

BĐT            

4

a b c

4

bc ca ab

a b c

              

Áp dụng BĐT CoSi, ta có: bc ca 2 ,c ca ab 2 ,a ab bc 2 ,b

a  b  b  c  c  a 

 

bc ca ab

a b c

bc ca ab

a b c

a b c

ab ac bc ba ca cb a b b c c a

 

Đẳng thức xảy ra khi a = b = c

b)

2

2

Áp dụng bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối ta có

y  z  y z   x x  x y  z z

Chứng minh tương tự y z  xy z x2,   yz2

Vì vậy S2 2x2y2z2

Thay 2 2 2 2

x y z   S   S

Dấu bằng có thể xảy ra, khi x y z , ,  2; 2;0  hoặc các hoán vị, ta có S = 4

Vậy min S = 4

Câu 4.a)

2

cot cot

2

c

S



    tam giác ABC vuông tại C

b)

Ta chứng minh

3 2

MD ME MF   MO

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

Qua M kẻ đường thẳng song song với BC lần lượt cắt AB, AC tại A1,

A2; kẻ đường thẳng song song với AC lần lượt cắt BC, AB tại B1, B2;

kẻ đường thẳng song song với AB lần lượt cắt BC, AC tại C1, C2

Các tam giác MB1C1, MA2C2, MA1B2 đều,

 

1

2

,

1 2

(1)

  

     

   

Gọi G là trọng tâm của tam giác DEF Ta có MD ME MF     3MG

Từ (1), (2) ta có 3 3 2

2MO MG MO MG

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

 M, O, G thẳng hàng Vậy OM đi qua trọng tâm của tam giác DEF

Câu 5 a)

0

2 0

y

x y









  



Gọi E là điểm đối xứng của B qua AD: y = 0, ta có E ∈ AC, E(1;-3)

Phương trình đường thẳng AC 2 0 3 6 0

1 2 3 0

x y

  

1 3 3

;3 6 , ;

1 3 3

b) Gọi M là trung điểm của BC, ta có MD = ME

Gọi M m ; 2 m1, ta có MD ME nên

5m 8m 5 5m 10m 5 m 0 M 0;1 ,

Ta có B b ; 2 b1 , b0.MB b 02  2b 1 12  5b2

2

MB MD   b  b  b  B 