THANH CHỊU LỰC PHỨC TẠP

Định nghĩa: Thanh chịu lực phức tạp khi trên các mặt cắt ngang có nhiều thành phần nội lực tác dụng như lực dọc Nz , mômen uốn Mx, My, mômen xoắn Mz (H.10.1). Khi một thanh chịu lực phức tạp, ảnh hưởng của lực cắt đến sự chịu lực của thanh rất nhỏ so với các thành phần nội lực khác nên trong tính toán không xét đến lực cắt.Định nghĩa: Thanh chịu lực phức tạp khi trên các mặt cắt ngang có nhiều thành phần nội lực tác dụng như lực dọc Nz , mômen uốn Mx, My, mômen xoắn Mz (H.10.1). Khi một thanh chịu lực phức tạp, ảnh hưởng của lực cắt đến sự chịu lực của thanh rất nhỏ so với các thành phần nội lực khác nên trong tính toán không xét đến lực cắt.Định nghĩa: Thanh chịu lực phức tạp khi trên các mặt cắt ngang có nhiều thành phần nội lực tác dụng như lực dọc Nz , mômen uốn Mx, My, mômen xoắn Mz (H.10.1). Khi một thanh chịu lực phức tạp, ảnh hưởng của lực cắt đến sự chịu lực của thanh rất nhỏ so với các thành phần nội lực khác nên trong tính toán không xét đến lực cắt.

Chương 10

I KHÁI NIỆM

 Định nghĩa: Thanh chịu lực phức tạp khi trên các mặt

cắt ngang có nhiều thành phần nội lực tác dụng như lực dọc

Nz, mômen uốn Mx, My, mômen xoắn Mz (H.10.1)

Khi một thanh chịu lực phức tạp, ảnh hưởng của lực cắt

đến sự chịu lực của thanh rất nhỏ so với các thành phần nội

lực khác nên trong tính toán không xét đến lực cắt

 Cách tính toán thanh chịu lực phức tạp

Áp dụng Nguyên lý cộng tác dụng:

“Một đại lượng do nhiều nguyên nhân đồng thời gây ra

sẽ bằng tổng các đại lượng của từng nguyên nhân riêng lẽ gây ra“(Chương 1)

Thí dụ các dạng sơ đồ chịu lực như sau:

Nhắc lại: Mx là momen xoay quanh trục x,lực tác dụng trong mp(yoz)

My là momen xoay quanh trục y lực tác dụng trong mp(xoz)

Mz là momen xoay quanh trục z lực tác dụng trong mp(xoy)

Chú ý khi vẽ các biểu đố nội lực: Momen uốn luôn vẽ về phía chịu kéo của thanh

II THANH CHỊU UỐN XIÊN

1) Định nghĩa - Nội lực

Thanh chịu uốn xiên khi trên mọi mặt cắt ngang có hai thành

phần nội lực là mômen uốn Mx (tác dụng trong các mặt phẳng

yoz) và mômen uốn My (tác dụng trong các mặt phẳng xoz) (Hình

10.2)

Dấu của M x , M y (hệ trục được mặc định như hình vẽ)

Mx  0 khi căng (kéo) phía dương của trục y

My  0 khi căng (kéo) phía dương của trục x

q

A

L

B P=qL

z

y

A

l

B

P=ql

C P=ql

l

A

P

z

y

x

2P 2l

B

C

D

q

A

L

B

P=qL

C

Mx

My

z

y

x

0

Mz

Nz

H.10.1

Mx

My

z

y

x

0

H.10.2

Chương 10: Thanh chịu lực phức tạp GV Lê đức Thanh T.06/2016 2

Theo Cơ học lý thuyết, ta có thể biểu diễn mômen Mx và My bằng các véctơ mômen Mx

và My (nằm trên hai trục theo qui tắc vặn nút chai của bàn

tay phải (H.10.2); Hợp hai véctơ mômen Mx và My nầy có

vectơ mômen tổng Mu.Chuyển vectơ Mu thành momen Mu

nằm trong mặt phẳng v chứa trục z, và thẳng góc với

phương u (H.10.3)

Mặt phẳng tải trọng là mặt phẳng chứa Mu

Giao tuyến của mặt phẳng tải trọng với mặt cắt ngang là

Đường tải trọng

Ký hiệu  : Góc hợp bởi trục x và đường tải trọng;

Ta có: M u  M x2  M2y và

y

x M

M



 tan (10.1)

Định nghĩa khác của uốn xiên: Thanh chịu uốn xiên khi trên các mặt cắt ngang chỉ

có một mômen uốn M u tác dụng trong mặt phẳng chứa trục mà không trùng với mặt

phẳng quán tính chính trung tâm yoz hay xoz

Đặc biệt, đối với thanh tiết diện tròn, mọi đường kính đều là trục chính trung tâm

(trục đối xứng), nên bất kỳ mặt phẳng chứa trục thanh nào cũng là mặt phẳng quán tính

chính trung tâm Do đó, mặt cắt ngang thanh tròn chỉ chịu uốn phẳng

2- Ứng suất pháp trên mặt cắt ngang

Theo nguyên lý cộng tác dụng, tại một điểm C(x,y) bất kỳ trên

tiết diện, ứng suất do hai mômen Mx , My gây ra tính theo công

thức sau (H10.4)

x

I

M y I

M

y

y x

x

z  

 (10.2)

Trong (10.2), số hạng thứ nhất là ứng suất pháp do Mx gây ra,

số hạng thứ hai là ứng suất pháp do My gây ra

Công thức (10.2) các mômen uốn Mx, My có dấu theo tọa độ

điểm C(x,y)

Trong tính toán thực hành, dùng công thức kỹ thuật như sau:

M x

y

y

x x

Mx

z

z

x

y

My

z

M x tác động trong mp(yoz) My tác động trong mp(xoz)

Mu

My

z

y

x

0

Mx

Mu

C(x,y)

Mx

My

z

y

x

0

H.10.4

.

Hinh10.3

x

I

M y I

M

y

y x

x

 (10.3)

Lấy dấu (+) khi điểm tính ứng suất nằm ở miền chịu kéo

Lấy dấu (–) khi điểm tính ứng suất nằm ở miền chịu nén

H.10.5 biểu diển các miền kéo, nén trên mặt cắt do các mômen

uốn Mx (+) ,(- ) và My

Thí dụ1

Tiết diện chữ nhật bxh =2040cm2 chịu uốn xiên (H.10.6), Tính

ứng suất tại B Cho

Mx = 8kNm và My = 5kNm Chiều hệ trục chọn như vẽ

Ứng suất pháp tại B (xB =+10 cm; yB = - 20 cm)

+ Tính theo (10.2) như sau:

2 3

12

) 20 ( 40

500 )

20 ( 12

) 40 ( 20

800

cm kN

+ Tính theo (10.3) công thức kỹ thuật như sau:

Mx gây kéo những điểm nằm dưới 0y và gây nén những điểm

trên oy;

My gây kéo những điểm bên phải 0x và gây nén những điểm

bên trái 0x

Biểu diễn vùng kéo bằng dấu (+) và vùng nén bằng dấu

(–) trên tiết diện (H.10.4a) ta có thể thấy, tại điểm B; Mx gây

3

12

) 20 ( 40

500 20

12

) 40 ( 20

800

cm kN



3- Đường trung hòa và biểu đồ ứng suất

Công thức(10.3) là một hàm hai biến, đồ thị là một mặt phẳng trong hệ trục Oxyz Nếu

biểu diễn giá trị ứng suất pháp z

cho ở (10.3) bằng các đoạn thẳng

đại số theo trục z định hướng

dương ra ngoài mặt cắt và ngược

lại.(H.10.7)Ta được một mặt phẳng

chứa đầu mút các véctơ ứng suất

pháp tại mọi điểm trên tiết diện,

gọi là mặt ứng suất

Gọi giao tuyến của mặt ứng suất và

mặt cắt ngang là đường trung hòa,

vì vậy:

+ _

+ +

_

_

+

+

_ _

x

y H.10.5

C(x,y)

Mx

My

z

y

x

0

H.10.6

B

Mặt phẳng ứng suất

Đường trung hòa

Biểu đồ ứng suất phẳng

+

-

max



M y

min



My

x 0

y

y

x 0

H.10.7

Chương 10: Thanh chịu lực phức tạp GV Lê đức Thanh T.06/2016 4

Cho biểu thức z = 0, ta được phương trình đường trung hòa: đường trung hòa là

một đường thẳng và là quỹ tích của những điểm trên mặt cắt ngang có trị số ứng suất pháp bằng không

x I

I M

M y

x I

M y I

M

y

x x

y y

y x

x

z   0 ( )

Phương trình (10.4) có dạng y = ax,

Đường trung hòa là một đường thẳng qua gốc tọa độ,

và hệ số góc tính theo công thức:

y

x x

y I

I M

M

tg  (Mx, My mang dấu đại số)

Nhận xét:

- Đường trung hòa chia tiết diện làm hai miền: miền chịu kéo và miền chịu nén

-Những điểm nằm trên những đường thẳng song song với đường trung hòa có cùng giá trị ứng suất

- Càng xa đường trung hòa, trị số ứng suất của các điểm trên một đường thẳng vuông

góc đường trung hòa tăng theo luật bậc nhất

Dựa trên các tính chất nầy, có thể biểu diễn sự phân bố bằng biểu đồ ứng suất phẳng như sau

Kéo dài đường trung hòa, vẽ đường chuẩn vuông góc với đường trung hòa tại K, ứng suất tại mọi điểm trên đường trung hòa (z = 0) biểu diễn bằng điểm K trên đường

chuẩn.Sử dụng phép chiếu thẳng góc, điểm nào có chân hình chiếu xa K nhất là những

điểm chịu ứng suất pháp lớn nhất

- Điểm xa nhất thuộc miền kéo chịu ứng suất kéo lớn nhất, gọi là max

- Điểm xa nhất thuộc miền nén chịu ứng suất nén lớn nhất, gọi là min

Tính max, min và biểu diễn bằng hai đoạn thẳng về hai phía của đường chuẩn rồi nối lại bằng đường thẳng, đó là biểu đồ ứng suất phẳng, trị số ứng suất tại mọi điểm của tiết diện trên đường thẳng song song với đường trung hòa chính là một tung độ trên biểu đồ

ứng suất xác định như ở (H.10.7)

4- Ứng suất pháp cực trị và điều kiện bền

- Ứng suất pháp cực trị:

Gọi (xkmax, ykmax) và (xnmax, ynmax) là hai điểm xa đường trung hòa nhất về phía chịu kéo

và chịu nén, công thức (10.4) cho:

y

x

M M

y

y k

x x

k y y

k x

x

W

M W

M

x I M

y I

M











max max

min max max

n n

x y

Đặt:

k y k k y

x k

x

x

M y

M

max max

n

y n

y n

x n

x

x

M y

M

max max



Trường hợp thường dùng:

†Đối với thanh có tiết diện chữ nhật bxh (hay nội tiếp trong hình chữ nhật) điểm xa

đường trung hòa nhất luôn luôn là các điểm góc của tiết diện, trục x,trục y đối xứng

khi đó:

xkmax= xnmax =

2

b

;  ykmax = ynmax = 2h

y

y x

x W

M W

M





y

y x

x

W

M W

M







min (10,5)

với:

6 2 /

; 6 2 /

2 2

hb b

I W bh h

I

y x

† Đối với thanh có tiết diện tròn, khi tiết diện chịu tác dụng của hai mômen uốn

M x , M y trong hai mặt phẳng vuông góc yOz, xOz, mômen tổng là M u tác dụng trong mặt

phẳng vOz cũng là mặt phẳng quán tính chính trung tâm , Như vậy tiết diện tròn: chỉ

chịu uốn phẳng, do đó:

3

3 2

2 min

32

;

W

M

x u y x

u u



 Điều kiện bền: trên mặt cắt ngang của thanh chịu uốn xiên chỉ có ứng suất pháp,

không có ứng suất tiếp, đó là trạng thái ứng suất đơn, hai điểm nguy hiểm là hai điểm

chịu max, min, tiết diện bền khi hai điểm nguy hiểm thỏa điều kiện bền:

Đối với vật liệu dòn: [ ] k # [ ] n

n min

k max  [  ] ;   [  ]



Đối với vật liệu dẻo: [ ] k = [ ] n = [ ], điều kiện bền được thỏa khi:

max max, min  [  ]

Thí dụ2

Một dầm tiết diện chữ nhật (12x20) cm chịu lực như trên H.10.8.a

a) Vẽ biểu đồ nội lực,

b) Vẽ hình chỉ rõ nội lực tại mặt cắt ngàm

c) Xác định đường trung hòa và tính ứng suất max, min tại tiết diện ngàm

Chương 10: Thanh chịu lực phức tạp GV Lê đức Thanh T.06/2016 6

Cho: P =5,0kN(tác dụng trong mp(xoy) , L= 2m ,  =300

Giải

Phân tích lực P thành 2 thành phần trên hai trục x:mp(xoz) và y:mp(yoz), (chọn như

hình vẽ)và tính mômen đối với ngàm ta được:

Py = P.cos300  Mx = Py.L = 8,66kNm

Px = P.sin300  My = Px.L = 5kNm

Xét thanh chịu lực trong từng mặt phẳng riêng lẻ

Trong mặt phẳng (yOz), thanh chịu lực P y , vẽ biểu đồ mômen M x ; Tương tự, trong

mặt phẳng (xOz), thanh chịu lực P x ,vẽ biểu đồ mômen M y ; Biểu đồ mômen uốn vẽ

chung trên H.10.8.b

Phương trình đường trung hòa: x

I

I M

M y

y

x x

y



Tại tiết diện ngàm: Mx  = 8,66 kNm ; My= 5,0kNm

Chiều Mx và My biểu diễn ở H.10.8.b, nếu chọn chiều dương của trục x và y như trên H.10.9.a thì trong (a), mômen uốn Mx có dấu - và My có dấu +

x

x

12 / 12 20

12 / 20 12 866

500

3

3









Suy ra  = 580

H.10.9

x

y z

Mx

M y

a)

b) +, - do M x

do M y +

+

+

-+ +

y

+

-+ +

y

x

c)Đường trung hòa

A

B

x

y z

Mx

MY

x

y

P y

Px

Mx

My

H.10.8b

5, 0kNm L=2m

H.10.8a

x

y

12cm

20cm

8,66kNm

Đường trung hòa vẽ trên H10.9.c

Điểm chịu kéo lớn nhất là điểm có (x A=6cm,y A=10cm), điểm chịu nén nhiều nhất

là điểm đối xứng qua trọng tâm mặt cắt

Áp dụng công thức (10.6), ta có:

2

kN ,342

0

6

12 20 500

6

20 12

866

2







x x



2

kN ,342

0





 

B

Nếu thay tiết diện chữ nhật bằng hình tròn d=10cm Tính lại max,min

2 2

2 3

2 2 3 min

10 32

32

1

cm kN M

M d W

M

y x u











Thí dụ3

Cho dầm có gối tựa đơn bằng gỗ, tiết diện tròn đường kính D =20cm, chịu lưc như

hình vẽ Xác định trị số [q] theo điều kiện bền

Cho L = 4m, [ ] =2kN/cm2

Giải

Tại mặt cắt B: Mx = và My= 2

4

ql

0,161

M  M M  qL

Vậy mặt cắt nguy hiểm tại B có : max min 3 2  

0,161

20 32

u

W



Thí dụ 4

Một dầm tiết diện chữ nhật chịu lực như hình vẽ

2

8

qL

4 ql

4

x

P L

2

8

qL

+

y

x x

P=2ql

D x

P=2ql A

B

C

q

Hinh 10.10

z

y

x q

4

y

P L

Chương 10: Thanh chịu lực phức tạp GV Lê đức Thanh T.06/2016 8

a) Vẽ biểu đồ nội lực

b) Tìm  b theo điều kiện bền, Cho [ ] =16kN/cm2, P=20kN

c) Biễu diễn nội lực, tính và vẽ đường trung hòa tại mặt cắt nguy hiểm

Giải

2 2

2 3

x y

P l l

l l





2 2 3

y x

P l l

l l





Phân tích lực P theo hai phương x,y và biểu đồ momen như hình trên

Điều kiện bền:

max

y x

M M

2 3

2 3

Pl tg

PL

      

Thí dụ 5 : Tìm D, d Cho [ ]=16kN/cm2, P= 10kN,   0 , 9

D

d



C

B

D

d

y

P

x

P

P

P

PL

1,5PL 1,5PL

2P

A

l=1m

y

2l

2P

x

300

y

b

2b

H.1

Mx

z

y

x

0

My

3

4PL

y

x

III THANH CHỊU UỐN CỘNG KÉO ( HAY NÉN )

1- Định nghĩa

Thanh chịu uốn cộng kéo (hay nén) đồng thời khi trên

các mặt cắt ngang có các thành phần nội lực là mômen

uốn M u và lực dọc Nz

Mu là mômen uốn tác dụng trong mặt phẳng chứa trục z,

luôn luôn có thể phân thành hai mômen uốn M x và M y trong

mặt phẳng đối xứng yoz và xoz (H.10.13)

Dấu Mx và My qui ước giống uốn xiên

Nz > 0 gây kéo (hướng ra ngoài mặt cắt)

Nz < 0 gây nén (hướng vào mặt cắt)

2- Công thức ứng suất pháp

Áp dụng nguyên lý cộng tác dụng, ta thấy bài toán đang

xét là tổ hợp của thanh chịu uốn xiên và kéo (hay nén) đúng

tâm Do đó, tại một điểm bất kỳ trên mặt cắt ngang có tọa độ

(x,y) chịu tác dụng của ứng suất pháp

tính theo công thức sau: x

I

M y I

M A

N

y

y x

x z

Các số hạng trong công thức (10.7) là số đại số, ứng suất do N z

lấy (+) khi lực dọc là kéo và ngược lại lực nén lấy dấu (-)

Ứng suất do Mx, My lấy dấu như trong công thức (10.1) của

uốn xiên,

Khi tính toán thực hành, ta cũng có công thức kỹ thuật:

x I

M y I

M A

N

y

y x

x z

Trong công thức trên ứng với mỗi số hạng Mx, My ta lấy dấu (+) nếu đại lượng đó gây kéo và ngược lại Còn Nz > 0 (+) khi kéo, Nz< 0 (-) khi nén

Thí dụ 7:

Cho cột chịu lực như hình vẽ P1=120kN, P2=20kN

a) Vẽ hình chỉ rõ nội lực tại chân cột

b) Tính ứng suất tại các điểm K,B,C

(Bỏ qua trọng lượng bản thân cột)

Giải

 z

.

C(x,y)

Mx

My

z

y

x

0

Nz

H.10.13

+

-

+

Mx

z

y

x

0

-

-My

+

+

H.10.4

Do M y

Do Mx

Do N z

+ -+ -

-Chương 10: Thanh chịu lực phức tạp GV Lê đức Thanh T.06/2016 10

P1 = nén , P2 tạo ra momen uốn Mx ,q tạo ra momen uốn My, tại chân cột

Nz = P1 = 120 kN (nén)

Mx = P2.H = 20.4 =80kNm

My = q

2

2

H

= 2.8 =16kNm

Mx(+,-) My Nz (-)

Để áp dụng công thức (10.12), có thể biểu diễn tác

dụng gây kéo, nén của các thành phần nội lực như ở

hình vẽ với điểm K,B,C có:

 xK  =7,5cm,  yK =10cm

x

I

M y I

M A

N

y

y x

x z



2

3 3

kN/cm 73

, 9 13 , 2 8

4

,

0

) 5 , 7 (

12

15 20

1600 )

10 (

12

20 15

8000 15

.

20

120

























c

c





,

2

3 3

kN/cm 53

, 10 13 , 2 8 4 , 0

) 5 , 7 (

12

15 20

1600 )

10 (

12

20 15

8000 15

20 120

























K

K





2

3 3

kN/cm 27

, 6 13 , 2 8 4 , 0

) 5 , 7 ( 12

15 20

1600 )

10 ( 12

20 15

8000 40

20 120

























B

B





3- Đường trung hòa và biểu đồ ứng suất pháp

Tương tự như trong uốn xiên, có thể thấy rằng phương trình (10.7) là một hàm hai

biến z = f(x,y), nếu biểu diễn trong hệ trục Oxyz, với O là tâm mặt cắt ngang và z định

hướng dương ra ngòai mặt cắt, thì hàm (10.11) biểu diễn một mặt phẳng, gọi là mặt ứng

suất, giao tuyến của nó với mặt cắt ngang là đường trung hòa Dễ thấy rằng, đường trung hòa là một đường thẳng chứa tất cả những điểm trên mặt cắt ngang có ứng suất pháp bằng không Từ đó, cho z = 0, ta có phương trình đường trung hòa:

Mx

x

y

z

o

C

My

Nz

+ _ _

+

+

_

+ x

y

_

+ _

z

P 1

=1 00 kN

y

x

q = 2kN/m

H =4m

b =15cm h=20cm

C

0

P 2

=1 00 kN

x z y

x x

y

M

I A

N x I

I M

M

Phương trình (10.13) có dạng y = ax + b, đó là một đường thẳng không qua gốc tọa

độ, cắt trục y tại tung độ

x

x z M A

I N b

.

.



Mặt khác, do tính chất mặt phẳng ứng suất, những điểm nằm trên những đường song

song đường trung hòa có cùng giá trị ứng suất, những điểm xa đường trung hòa nhất có

giá trị ứng suất lớn nhất, ứng suất trên một đường vuông góc với đường trung hòa thay đổi theo quy luật bậc

nhất

- Đường trung hòa

chia tiết diện thành hai

miền, miền chịu ứng

suất kéo và miền chịu

ứng suất nén.Nhờ các

tính chất nầy, có thể

biểu diễn sự phân bố

của ứng suất pháp trên

mặt cắt ngang bằng

biểu đồ ứng suất

phẳng như sau

-Kéo dài đường trung hòa ra ngòai tiết diện, vẽ đường chuẩn vuông góc với đường kéo dài tại điểm O, đó cũng là điểm biểu diễn giá trị ứng suất pháp tại mọi điểm trên đường trung hòa Sử dụng phép chiếu thẳng góc, chiếu mọi điểm trên những đường song song

đường trung hòa lên đường chuẩn, điểm có chân hình chiếu xa O nhất chịu ứng suất

pháp lớn nhất

-Điểm xa nhất về miền kéo chịu ứng suất kéo lớn nhất, gọi là max,

-Điểm xa nhất về miền nén chịu ứng suất nén lớn nhất, gọi là min

Biểu diễn giá trị max, min bằng các tung độ về hai phía đường chuẩn rồi nối chúng lại

bằng đường thẳng, ta được biểu đồ ứng suất phẳng (H.10.14)

4 Ứng suất pháp cực trị và điều kiện bền

Gọi K

xmax ,và K

ymaxlà điểm chịu kéo xa đường trung hòa nhất

Và N

xmax và N

ymaxlà điểm chịu nén xa đường trung hòa nhất

Theo (10.14), ta nhận xét, khi ứng suất có lực dọc trái dấu với ứng suất do M x , M y

và trị số lực dọc lớn hơn tổng trị số tuyệt đối các ứng suất do M x , M y, lúc đó đường trung hồ nằm ngoài mặt cắt, trên mặt cắt ngang chỉ có ứng suất một dấu (chỉ chịu kéo hoặc chỉ chịu nén)

- Với thanh có tiết diện chữ nhật, các điểm nguy hiểm luôn luôn là các điểm góc

z

Mặt phẳng ứng suất

y

x

0

H.10.14

N/A

Đường trung hồa

Biểu đồ ứng suất phẳng

+

-

max



min



M y

x 0

y