BTL xac suat thong ke OK

PHẦN I: LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN Bài 1 Gieo xúc xắc liên tiếp n lần, tìm xác suất để tổng số chấm xuất hiện ở n lần gieo chia hết cho 6: Lời giải: Các biến có thể xả

PHẦN I: LÝ THUYẾT XÁC SUẤT

VÀ QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN Bài 1

Gieo xúc xắc liên tiếp n lần, tìm xác suất để tổng số chấm xuất hiện ở n lần gieo chia hết cho 6:

Lời giải:

Các biến có thể xảy ra của tổng số chấm xuất hiện ở n lần gieo xúc xắc là:

Vậy có tất cả 6 biến cố có cùng khả năng xuất hiện Theo định nghĩa thì xác xuất để tổng số chấm sau n lần gieo chia hết cho 6 là 1/6

Bài 2

Một tập 10 vé trong đó có 3 vé có thưởng Chọn ngẫu nhiên 5 vé, tìm xác suất để trong đó có đúng 2 vé có thưởng

Lời giải:

Gọi A là biến cố chọn ngẫu nhiên 5 vé có đúng 2 vé thưởng Để có A ta cần:

Do A1, A2 là 2 biến cố độc lập nên ta có:

P(A) = P(A1.A1.A1.A2) = P(A1). P(A1). P(A1). P(A2) = 0.253.0.75= 0.01172

Bài 4

A và B chơi một trò chơi như sau: A gieo đồng thời 2 xúc xắc Nếu tổng bằng 7 hoặc

11 thì A thắng cuộc Nếu tổng bằng 2 , 3 hoặc 12 thì A thua cuộc Các trường hợp còn lại thì A lặp lại trò chơi cho đến khi có thắng, người thua Tìm xác suất để A thắng

Lời giải:

( 3)

1/ 6 2

G A

G

P P

A A

y=x

y=2/x

Các hộp được đánh số 1,2 ,N và hộp mang số k chứa bi đỏ, N-k bi trắng

(k=1,2, ,N) Chọn ngẫu nhiên một hộp và từ hộp này chọn ngẫu nhiên một viên bi Tìm xác suất để viên bi được chọn là viên bi đỏ

Lời giải:

Vậy xác suất để chọn được viên bi đỏ là:

Tìm luật phân bố luật xác xuất số câu giải đúng Gọi A là số câu giải đúng

y d

.

2 ) (ln 2

z d

2 )

(arcsin 2



0 nếu z  [0, 1]

Bài 9

X và Y là hai đại lượng ngẫu nhiên độc lập, phân bố đều trên đoạn [0,1] Hãy tính hàm mật

độ của X+Y và 2X+Y Hãy kì vọng và phương sai của chúng

2

x

= 0,5 Tương tự : EY = 0,5

* Tính hàm mật độ của 2X+Y :

Đặt Z=2X+Y

 G(z) = P(Z<z) = P(2x+y <z) = P(2x<z -y) = F((z-y)/2)

Các giá trị(x,y) thuộc hình vuông OABC, còn giá trị 2X+Y rơi vào miền (S) xem hình bên

S

dxdy y f x

2

x

= 1/2 Tương tự : EY = 1/2

nếu -2 < z < 0

8

) 2 ( 1

4

) 2 ( z 2

e dy e

. e dy

2 2

dy e

Bài 12

Biết hàm mật độ đồng thời của X và Y có dạng:

CSinxCosy nếu (x,y)  (0,/4) x (0,/4) h(x,y) =

4 /

0

4 /

dy SinxCosydx C

4 /

2 2

4 /

2 2

) ( ) /

y g

xy h y x

) ( ) (

) ( ) /

x f

xy h x y

c/ Tính xác suất P(2Y<X):

x y

dxdy y x h

2

) ,

4 /

0

2 /

0

cos sin 1 2

2



ydxdy x

x

8 ( ).

1 2 ( 3

( 11

xf( ) =   

1

0

) 3

1 2

( 11

12 2

dx x x

1 2

( 11

12 2

dx x x

y x

dxdy y x

 1

0 1

0

) y2 xy x2 ( 11

) 1 ( 2

) 1 ( 1) - x2(x ( 11

12

dx x

x x

c1/ X và Y có độc lập không :

Tương tự ta có hàm mật độ của Y :

( 11

Xét hàm mật độ phân xấc suất có điều kiện f(x/y):

Vậy X và Y không độc lập với nhau

c2/ Tính Cov(X,Y) : Cov(X,Y) = E(XY) - EX.EY

xf( ) =   

1

0

) 3

1 2

( 11

12 2

dx x x

yg( ) =   

1

0

) 3

1 2

( 11

12 2

dy y y

Cov(X,Y) = E(XY) - EX.EY = 53/144 = 0.368

c3 Hệ số tương quan của (XY) :

) , ( ) /

y g

y x h y x

578 0 )

(

11 7 144 53

XY Cov

) ( 2

2

1 ) 0

2

Z R e

d Nếu hôm nay là mưa để tính thời gian trung bình để có nắng ta coi nắng là trạng

thái hút ta có xích Markov mới

T M N

T M N

0 2 / 1 2 / 1

0 0 1

0 2 / 1 2 / 1 0

0 2 / 1 1 0

0 1 ) (I Q

0 2 ) (I Q 1N

T

M E

1 2 0

0 2

Vậy thời gian trung bình chuyển từ Mưa Nắng mất 2 ngày

 Nếu hôm nay trời mưa trung bình phải đợi hai ngày để có nắng

Bài 16

a) Trị riêng : 1, 3/4, -1/4

Vectơ riêng: u1 = (1,1,1) ; u2 = (0,1,1); u3 = (0,-3, 1)

4 / 3 4 / 1 1

0 0 1

0

0 4 / 3 0

0 0 1

0 )

4 / 3 ( 0

0 0

n n n n n

n n n

n n n n n

1 1

1 1

1 1

1 1

4 ) 1 ( ) 3

4 ( 4

3 4 ) 1 ( ) 4

3 ( 1

4 ) 1 (

3 ) 3

4 ( 4 3 4 ) 1 (

3 ) 4

3 ( 1

0 0

1

b) Limn =

3 2 1

0 0 1

0 0 1

0 0 1

4 / 3 1

2 / 1 4 / 1

4 / 3 0 1 0

0 1

5 / 12 5 / 8

3

2 4

4 1

1 5 /

PHẦN II: THỐNG KÊ TOÁN VÀ HỒI QUY BỘI

Câu 1

Giả thiết trọng lượng của các gói đường là ĐLNN có phân bố chuẩn với độ lệch chuẩn là

0,98 Tìm khoảng tin cậy cho trọng lượng trung bình của các gói đường với độ tin cậy 95%

u - phân vị chuẩn mức  của u : P(u>u) = ,

2 2



i

i X X S

) 1 20 (

- Mức ý nghĩa:  = 1- 0,98 = 0,02

Vậy khoảng tin cậy được xác định như sau:



n

S X m

Mẫu có phân bố chuẩn như bảng sau,

(a) Với độ tin cậy 94%, tìm khoảng tin cậy cho kỳ vọng EX của ĐLNN đó, biết rằng phương sai đã cho  =1

(b) Trường hợp phương sai chưa biết, cũng độ tin cậy 94%, tìm khoảng tin cậy cho EX

Vậy khoảng tin cậy được xác định bằng:

2 2 2

) 1 40 (

Vậy khoảng tin cậy được xác định như sau:



n

S X m

t

n

S

Câu 4 : Trước ngày bầu cử, một cuộc thăm dò dư luận qua 500 cử tri cho thấy số người ủng

hộ ứng cử viên A là 245 Tìm khoảng tin cậy cho tỷ lệ phiếu bầu cho ứng cử viên A với độ tin cậy 90%

) 1 ( ˆ

) 1 (

n

u p p p p n

 Khoảng tin cậy : m  (0,4532 ; 0,527)

Câu 5: Sở giáo dục nọ báo cáo : tỉ lệ học sinh tốt nghiệp phổ thông trung học của tỉnh là

88% Kiểm tra ngẫu nhiên 400 học sinh, trong đó có 340 em đỗ tốt nghiệp Với mức ý nghĩa 5% hãy kiểm định báo cáo của họ có quá cao không

K : p < 0,88

Ta có :

p p

p p

) 1 (

ˆ

0 0

88 , 0 400 340

là K: m<1,9 Mức ý nghĩa của kiểm định  = 0,05

=-1,644854

3 , 0

9 , 1 695 , 1

4 , 4 907 , 3

Đo chiều cao của một giống cây 2 tuổi, kết quả cho dưới bảng sau

Excel như sau:

- Các khoảng mẫu cách nhau 0,5, ta có kỳ vọng mẫu là:

- Phương sai mẫu:

Số liệu đầu bài :

np

np n Q

1

2 2

'

) ' (

17 > 2 Vậy, bác bỏ giả thiết (H)

Bài 10 : Nghiên cứu mối quan hệ giữa huyết áp (HA) và trọng lượng (TL) cơ thể trẻ em lứa

tuổi 14, người ta phân ra hai loại :

50kg

Phân chia huyết áp thành 4 loại :

n n n

j i

j i ij

j

2 0 0 6

Y là điểm trung bình chung của học sinh cuối năm thứ nhất

x 1 : là điểm thi tốt nghiệp phổ thông của học sinh;

x 2 : là điểm thi đại học;

x 3 : là điểm thi môn toán kỳ I của học sinh

a) Viết phương trình mặt phẳng hồi quy Y theo x 1 , x 2 , x 3

b) Tính hệ số xác định và sai số chuẩn cuả hồi qui

c) Tính hệ số tương quan bội và hệ số tương quan riêng giữa điểm trung bình chung năm thứ nhất và điểm thi tốt nghiệp PTTH

d) Tính khoảng tin cậy 2 với độ tin cậy 90%

e) Dự báo điểm trung bình chung cuối năm cho học sinh nếu x 1 =55; x 2 =29; x 3 =9

(kết quả phù hợp với tính toán ở trên)

4 Tính khoảng tin cậy cho 2 với độ tin cậy 90%

* Tính phân bố Student: T với n-k-1 = 13 bậc tự do:

* Khoảng tin cậy 2là: