114 Bài 2: Hãy viết tiếp số cuối cùng trong từng dãy số sau đây: Phương pháp giải:... MỤC TIÊU: - Học sinh biết cách so sánh hai luỹ thừa, tính luỹ thừc tầng - Biết tìm chữ số tận cùng c
Trang 1IV./ NỘI DUNG Lớp 6 Chuyên đề I
Ngày soạn : 25/09/2004
Ngày dạy : 27/09/2004
Tháng 10
Phần I : Phương pháp giải toán số học.
- Tìm hiểu vấn đề.
- Đặt kế hoạch giải quyết vấn đề.
- Thực hiện từng bước kế hoạh đó.
- Rút kinh nghiệm và giải quyết vấn đề.
Phần II: Bài tập.
Bài 1 : Thực hiện các phép tính sau bằng cách hợp lý nhất.
Sử dụng tính chất giao hoán, kết hợp phân phối giữa phép nhân và phép cộng:
- a + b = b + a ; a.b = b.a
- (a + b) + c = a + (b + c); (a.b).c = a.(b.c)
- a(b + c) = ab + ac
- a + 0 = 0 + a = a ; a.1 = 1.a = a
- (a – b)c = ac – bc (ab) a) 38 + 41 + 117 +159 + 62
b) 73 + 86 + 968 + 914 + 3032 c) 341 67 + 341 16 + 659 83 d) 42 53 + 47 156 – 47 114
Bài 2: Hãy viết tiếp số cuối cùng trong từng dãy số sau đây:
Phương pháp giải:
Trang 2 Vận dụng các phép tính +, -, , : để phát hiện, tìm tòi quy tắc tạo thành số giữa các số liên tiếp trong dãy số đã cho
b) 10, 8, 11, 9, 12 e) 1, 5, 14, 33, 72 c) 2, 3, 4, 9, 16
Bài 3 :Aùp dụng tính.
a) 1 + 4 + 5 + 9 + 14 + + 60 + 97
1 4 7 10 49 52 55 58 410
Bài 4:
a) Tính tổng các số tự nhiên lẻ từ 1 đến 999 b) Viết liên tiếp các số tự nhiên từ 1 đến 999 thành một hàng ngang, ta được số
123456 .998999 : Tính tổng các chữ số của dãy đó
Chú ý : - Tập hợp số chẵn từ a đến b gồm : (b – a) : 2 + 1 (Phần tử)
- Tập hợp số lẻ từ m đến n gồm : (m – n) : 2 + 1 (Phần tử)
- Đếm số hạng của dãy mà 2 số hạng liên tiếp cảu dãy cách nhau 1 đơn vị :
Số số hạng = ( số cuối - số đầu) : ( K/c giữa hai số) + 1
- Tính tổng : Tổng = [( số đầu + số cuối ) Sốsố hạng] :2
Aùp dụng :Tính tổng sau:
a) 1 + 2 + 3 + 4 + 997 + 998 + 999 b) 12 + 15 + 18 + + 90
c) 8 + 12 + 16 + 20 + + 100
Bài 5: Tìm x biết:
a) (x + 74) – 318 = 200
Phương pháp giải:
- Tìm quy luật thành lập dãy
- Thành lập dãy
- Tính tổng các số hạng trong dãy
- Tính lần lượt số bị chia và số chia khi tính chú ý sử dụng linh hoạt sáng tạo các T/c và quy tắc tính nhanh
Phương pháp giải:
- Tìm cách đưa về dạng toán tìm
x quen thuộc mà ta đã được học
Phương pháp giải:
Trang 3b) 3636 : (12x – 91) = 36
c) (x : 23 + 45) 67 = 8911
d) x : [(1800 + 600) : 30] = 560 : (515 – 35)
e) [(250 – 25) : 15] :x = (450 – 60) : 130
Chuyên đề II
Ngày soạn : 25/09/2004 Ngày dạy : 27/09/2004
Tháng 11
I MỤC TIÊU:
- Học sinh biết cách so sánh hai luỹ thừa, tính luỹ thừc tầng
- Biết tìm chữ số tận cùng của một tích, một luỹ thừa
- Rèn luyện tính cẩn thẩn, chính xác trong tính toán
II NỘI DUNG :
1 So sánh hai luỹ thừa :
- Để so sánh hai luỹ thừa ta thường đưa về so sánh hai luỹ thừa cùng cơ số hoặc
cùng số mũ
+ Nếu m > n thì am > an (a > 1) + Nếu a > b thì a m > bm (n >0)
- Ngoài ra còn dùng tích chất bắc cầu, tính chất đơn điệu của phép
nhân
Bài 1: So sánh hai luỹ thừa.
a) 2711 và 818
b) 536 và 1124
c) 32n và 23n (n N* ) d) 523 và 6 522
e) 2115 và 275 498
f) 7245 – 7244 và 7244 - 7243
Bài 2 : Tính các lũy thừa tầng sau :
- am an = am + n (m, n N* )
- am : an = am - n (m, n N* ; m n )
- (a b)m = am bm
- (am)n = am n
- a m n a(m n)
- a1 = a
- a0 = 1 ( a 0)
Phương pháp giải
- Thực hiện phép nâng lên luỹ thừa từ trên xuống dưới
- Trong một luỹ thừa tầng nếu ở một tầng nào đó có số mũ là 1 thì tất cả các số ổ tầng trên có thể bỏ đi
(vì 1 n = 1) với nN *
Trang 4a) 2 3 b) 5 7 c) 6 1 d) 2 4
7
e)
3 0 2 2004
Bài 3 : Tìm x biết :
nếu
c) (7x – 11)3 = 25 52 + 200 nhau và ngược lại d) (2x + 15)5 = (2x – 15)3 am = an m = n
am = bm a = b
2 Chữ số tận cùng của một tích, một luỹ thừa:
a) Số tận cùng của một tích :
- Tích của các số lẻ là một số lẻ
- Đặc biệt : Tích của một số lẻ có tận cùng là 5 với bất kỳ số lẻ nào cũng
- Tích của số chẵn với bất kì một sốtự nhiên nào cũng là một số chẵn
- Đặc biệt: tích của một số chẵn có tận cùng là 0 với bất kì số tự nhiên
b) Tìm số tận cùng của một lũy thừa:
- Các số tự nhiên có tận cùng bằng 0, 1, 5, 6 khi nâng lên luỹ thừa bất kỳ( khác 0) vẫn giữ nguyên số tận cùng của nó
- Các số tự nhiên có tận cùng bằng 3, 7, 9 khi nâng lên luỹ thừa 4n (n 0)đều có tận cùng là 1
- Các số tự nhiên có tận cùng bằng 2, 4, 8 khi nâng lên luỹ thừa 4n (n 0)đều có tận cùng là 6
- Đặc biệt : Các số tự nhiên có tận cùng là 4, 9 khi nâng lên luỹ thừa lẻ đều có chữ số tận cùng bằng chính nó; nâng lên luỹ thừa chẵn có chữ số tận
cùng lần lượt là 6 và 1
Trang 5* Một số chính phương thì không có tận cùng bằng : 2, 3, 7, 8
Bài 1: Cho A = 51 n + 47102 (n N* )
Chứng tỏ rằng A 10
Bài 2 : Tìm số tận cùng của các số sau:
Bài 3 : Tìm hai chữ số tận cùng của 5n ( n > 1)
Chuyên đề III
Ngày soạn : 07/10/2004 Ngày dạy : 09/10/2004
Tháng 12
I MỤC TIÊU:
- Biết tìm chữ số tận cùng của một tích, một luỹ thừa
- HS hiểu được chứng minh chia hết của một số bài toán đơn giản
- HS biết thực hiện các phép tính theo thư` tự
- Rèn luyện tính cẩn thẩn, chính xác trong tính toán
II NỘI DUNG :
A Tìm số tận cùng – Chứng minh chia hết:
Bài 1 : Chứng tỏ các tổng các hiệu sau chia hết cho 10:
a) 98 96 94 92 – 91 93 95 97 b) 405n + 2405 + m2 ( m, n N; n 0)
Bài 2 :Tìm số tận cùng của các số sau :
5
6
579 c) 11115
100
12
1056
Bài 3 : Tính các số lẻ liên tiêp có số tận cùng là 7 hỏi tích đó có bao nhiêu chữ
số
Trang 6Bài 4 :Tích A = 2 22 23 210 x 52 56 514 tận cùng bằng bao nhiêu
B Thứ tự thực hiên phép tính :
1 Thứ tự thực hiên phép tính có dấu ngoặc :
Luỹ thừa Nhân chia Cộng trừ
2 Thứ tự thực hiện các phép tính trong biệu thức có các loại dấu ngoặc :
* Nâng cao
n! ( đọc là n giai thừa) n! = 1 2 3 4 5 n
- Nếu trong biểu thức có n! thì phải coi như có phép nhân 1 2 3 4 5 n
ta thực hiện các phép tính theo quy ước
Bài 1: Thực hiện phép tính :
a) 100 – [75 – (7 – 2)2 ] b) (23 94 + 93 45) : (92 10 – 92 ) c) (20 24 + 12 24 – 48 22 ) : 82
d) (75 54 + 175 54) : ( 20 25 125 – 625 75)
Bài 2 : Cho
a) A = 5 415 9 - 4 330 89 và B = 5 29 619 - 7 229 276
- Tính A : B b) C = 2181 729 + 234 81 27 và D = 32 92 234 + 18 324 + 723 729
- Tính C : D
Bài 3 : Tìm số tự nhiên x, biết :
a) 390 – ( x – 7) = 169 : 13 b) (x – 140) : 7 = 33 – 23 3
Trang 7c) x – 6 : 2 – (48 – 24 ) : 2 :6 – 3 d) x + 5 2 – (32 + 16 3 : 6 – 15) = 0
Bài 4: Tính.
a) (62 + 72 + 82 + 92 + 102 ) – ( 12 + 22 + 33 + 42 + 52) b) (1253 75 – 1755 : 5) : 20012002
c) 16 64 82 : (43 22 16)
Bài 5 :Tính giá trị của biểu thức :
a) (102 + 112 +122) :( 132 + 142) b) 9! – 8! – 7! 82
Chuyên đề IV
Ngày soạn : 14/10/2004 Ngày dạy : 16/10/2004
Tháng 1
I MỤC TIÊU:
- HS hiểu được tính chất chia hết của một tổng, của hiệu, của tích
- HS nắm được dấu hiệu chia hết cho 2, cho 5
- Rèn luyện tính cẩn thẩn, chính xác trong tính toán
II NỘI DUNG :
A Phần I : Kiến thức cơ bản:
1 Tính chất 1 : a m ; b m a + b m ; a – b m
2 Tính chất 2 : a m ; b m a + b ; a – b
3 Tính chất 3 : a m k a m ( k N)
4 Tính chất 4 : a m ; b n ab mn
* Đặc biệt: a m a n
b n
* Nâng cao :
1 Các tích chất 1 và 2 cũng đúng nếu tổng có nhiều số hạng.
Trang 82 a m ; b m k1 a = k2 b m
3 a m ; b m ; a + b + c m c m
a m ; b m ; a + b + c m c m
Dấu hiệu chia hết cho 2, cho 5:
1 Dấu hiệu chia hết cho 2:
a 2 a có chữ số tận cùng bằng 0, 2, 4, 8.
2 Dấu hiệu chia hết cho 5
a 5 a có chữ số tận cùng bằng 0, 5.
*chú ý : a 2 và a 5 a có chữ số tận cùng bằng 0
* Nâng cao :
1 a 4 ( hoặc 25) hai chữ số tận cùng của a tạo thành một số chia hết cho (4 hoặc 25)
2 a 8 ( hoặc 125) ba chữ số tận cùng của a tạo thành một số chia hết cho 8( hoặc1 25)
B Phấn II : Bài tập.
Bài 1: Chứng minh rằng với mọi n N thì 60n + 45 chia hết cho 15 nhưng không chia hết cho 30
Bài 2: Cho A = 2 4 6 10 12 + 40
Hỏi A chó chia hết cho 6, cho 8 cho 5 không ?
Bài 3 : Cho B = 23! + 19! – 15! Chứng minh rằng :
a) B 11
b) B 110
Bài 4 : Tìm n N để :
a) n + 4 n
b) 3n + 7 n
c) 27 – 5n n
Bài 5 : Chứng tỏ rằng :
a) 810 – 89 – 88
55 c) 817 – 279 – 913
45 b) 76 + 75 – 74
11 d) 109 + 108 + 107
555
Trang 9Bài 6 :Trong các số sau Số nào chia hết cho 2, cho 4, cho 5, cho 25, cho
125?
1010 ; 1067 ; 184 ; 2782 ; 3452 ; 5341 ; 6375 ; 7800
Bài 7 : Thay các chữ x, y bằng chữ số thích hợp để :
a) 3 46x ; 199y ; 20 1x chia hết cho 2 b) 16 5x ; 174x ; 53 6x chia hết cho 5 c) Số 275x chia hết cho 5, cho 25, cho 125 d) Số 9 4xy chia hết cho 2, cho 4 và cho 8
Bài 8 : ( Thực hành nhóm )
Với cùng cả 4 chữ số : 2 ; 5 ; 6 ; 7 viết tất cả các số:
Bài 9 : Chứng minh rằng :
a) 94260 – 35137 chia hết cho 5 b) 995 – 984 + 973 – 962 chia hết cho 2 và 5
Chuyên đề V
Ngày soạn : 21/10/2004 Ngày dạy : 23/10/2004
Tháng 1
I MỤC TIÊU:
- HS hiểu được tính chất của n số tự nhiên liên tiếp
- HS nắm được dấu hiệu chia hết cho 3,9
- Rèn luyện tính cẩn thẩn, chính xác trong tính toán
III NỘI DUNG :
A Phần I : Kiến thức cơ bản.
- Trong n ( n1) số tự nhiên liên tiếp có một và chỉ một số chia hết cho n
- Dấu hiệu chia hết cho 3 (hoặc 9)
+ a 3 (hoặc 9) Tổng các chữ số của a chia hết cho (3 hoặc 9).
+ số dư trong phép chia số a cho 3 ( hoặc 9) bằng số dư trong phép chia tổng các chữ số của a cho 3 ( hoặc 9).
* Nâng cao :
- Dấu hiệu chia hết cho 11
Trang 10a 11 Tổng các chữ số hàng lẻ trừ đi tổng các chữ số hàng chẵn ( hoăc ngược lại ) chia hết cho 11.
B: Phần II : Bài tập :
Bài 1 : Chứng minh rằng :
Bài 2 : Cho số 76 23a
a) Tìm chữ số a để cho 76 23a 9
b) Trong các giá trị vừa tìm được của a có giá trị nào là cho số 76 23a 11
không ?
Bài 3 :Thay dấu * bằng chữ số thích hợp để:
a) Số 35*8 chia hết cho 3 nhưng không chia hết cho 9 b) Số 468* chia hết cho 9 nhưng không chia hết cho 5 c) Số 123*43* chia hết cho 3 và 5
Bài 4 : ( Hoạt động nhóm)
Hãy tìm :
a) Số nhỏ nhất có 4 chữ số chia hết cho 2 và 3 b) Số nhỏ nhất có 4 chữ số chia hết cho 5 và 9 c) Số lớn nhất có 3 chữ số chia hết cho 9 và 11
Bài 5 : Chứng minh rằng với n N thì các số sau chia hết cho 9
a) 10n – 1 b) 10n +8
Bài 6 : Cho biểu thức A = 1494 1495 1496
Không thực hiện phép tính giải thích tại sao :
a) A 180
b) A 495
Bài 7 : Tìm hai số tự nhiên liên tiếp, trong đó có một số chia hết cho 9 biết rằng
tổng của hai số đó thoả mãn các điều kiện sau
a) Là số có ba chữ số
a) Tích hai số chẵn liên tiếp chia hết cho 8 b) Tích ba số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 6 c) Tích 5 số tự nhiên liên tiêp chia hết cho 120
Trang 11b) Là số chia hết cho 5.
c) Tổng các chữ số hàng trăm và chữ số hàng đơn vị là số chia hết cho 9
Tổng các chữ số hàng trăm và chữ số hàng chục là số chia hết cho 4
Trang 12Chuyên đề V
Ngày soạn : 21/10/2004 Ngày dạy : 23/10/2004
Tháng 2
Trong chương trình Toán THCS rất nhiều bài toán yêu cầu tính tổng nhiều số hạng, nhưng SGK cũng như các sách nâng cao ít đưa ra các phương pháp cụ thể để học sinh có thể biết và nhận dạng được phương pháp giải các bài toán đó Dưới đây là một vài phương pháp tính tổng thường gặp trong chương trình toán THCS:
I PHƯƠNG PHÁP DỰ ĐOÁN VÀ QUY NẠP
Bài toán: Tính tổng hữu hạn: Sn = a 1 + a 2 + a 3 + … + a n
Phương pháp : Khi gặp dạng toán này ta tìm cách dự đoán và chứng minh kết quả dự đoán đó là đúng thường bằng phương pháp quy nạp Để biết được kết quả dự đoán ta có thể làm như sau:
Ví dụ: Tính tổng: S n = 1 + 3 + 5 + … (2n - 1) (Nâng cao và phát triển toán lớp
6)
Thử trực tiếp ta thấy: S1 = 1 = 12
S2 = 4 = 22
S3 = 9 = 32
…
Dùng phương pháp quy nạp toán học ta có:
Với n = 1; 2; 3 ta thấy kết quả đúng
Giả sử n = k (k 1) ta có:
Sk = 1 + 3 + 5 + … (2k - 1) = k2 (*)
Ta cần chứng minh: Sk+1 = 1 + 3 + 5 + … (2k - 1) + (2k + 1) = (k+1)2
Thật vậy ta cộng hai vế của (*) với (2k + 1) ta có:
1 + 3 + 5 + … (2k - 1) + (2k + 1) = k2 + (2k + 1)
Vì k2 + (2k + 1) = (k + 1)2 nên ta có:
Sk+1 = 1 + 3 + 5 + … (2k - 1) + (2k + 1) = (k+1)2
Theo nguyên lí quy nạp ta đã chứng minh được bài toán
Bài tập: Tính tổng:
b Sn = 12 + 22 + … + n2 (Chuyên đề và nâng cao toán 6)
c Sn = 13 + 23 + … + n3 (Nâng cao và phát triển toán 6)
d Sn = 15 + 25 + … + n5 (Toán nâng cao đại số 7)
Trang 13Hướng dẫn: a Sn = n(n 1)2 (Có thể dùng phương pháp Gauss) b Sn = n(n 1)(2n 1)
6
c Sn =
2
n(n 1) 2
II PHƯƠNG PHÁP KHỬ LIÊN TIẾP
Bài toán: Tính tổng hữu hạn: Sn = a 1 + a 2 + a 3 + … + a n
Phương pháp: Khi gặp dạng toán này ta tìm cách biểu diễn các số hạng ai, i = 1;2;…;n qua hiệu củ ahi số hạng liên tiếp của dãy Giả sử:
a1 = b1 – b2
a2 = b2 – b3
…
an = bn – bn+1
Khi đó ta thấy ngay: Sn = (b1 – b2) + (b2 – b3) + … + (bn – bn) = b1 – bn+1
Ví dụ1: Tính tổng: S = 10.11 11.12 12.13 1 + 1 + 1 + + 99.100 1
Ta có: 10.11 10 111 1 1
11.12 11 12
…
99.100 99 100
Do đó ta có: S = 10 111 1 + 11 121 1 + … + 99 1001 1 = 10 100 991 1 1
Ví dụ 2: Tính tổng: S n = 1.2.3 2.3.4 2.3.4 1 + 1 + 1 + + n(n + 1)(n + 2) 1
Ta có: 1.2.3 2 1.2 2.31 1 1 1
2.3.4 2 2.3 3.4
…
n(n 1)(n 2) 2 n(n 1) (n 1)(n 2)
Trang 14Do đó ta có: Sn = 1 12 1.2 2.3 1
+ 1 12 2.3 3.4 1
+ … + 12 n(n 1) (n 1)(n 2) 1 1
Sn = 1 12 1.2 (n 1)(n 2) 1 4(n 1)(n 2)n(n 3)
Ví dụ 3: Tính tổng:
S n = 1! + 2.2! + 3.3! + … + n.n! với n! = 1.2.3…n
2.2! = 3! – 2!
… n.n! = (n+1)! – n!
Do đó ta có: Sn = (n+1)! – 1
Ví dụ 4: Tíng tổng:
(1.2) (2.3) n(n + 1)
Ta có:
i
i i +1 i(i+1)
1
III PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VỚI ẨN LÀ TỔNG CẦN TÍNH
Ví dụ 1: Tính tổng S = 1 + 2 + 2 2 + 2 3 + … + 2 100 (Nâng cao toán 7)
Ta viết lại S như sau: S = 1 + 2(1+ 2 + 22 + …+ 299)
S = 1 + 2(1+ 2 + 22 + …+ 299 + 2100 - 2100)
S = 1 + 2(S – 2100) Suy ra: S = 2101 – 1
Ví dụ 2: Tính tổng S n = 1 + p + p 2 + p 3 + … + p n , p 1
Ta viết Sndưới dạng sau: Sn = 1 + p(Sn – pn)
Suy ra: Sn =
n 1
p 1
Ví dụ 8: Tính tổng: S n = 1 + 2p + 3p 2 + … + (n+1)p n ; p 1
Ta có: p.Sn = Sn – (1 - p + … + pn) + (n + 1)pn+1
p.Sn = Sn –
n 1
p 1
+ (n + 1)pn+1
Trang 15Từ đósuy ra: Sn =
n 1 n 1
2
IV PHƯƠNG PHÁP TÍNH QUA CÁC TỔNG ĐÃ BIẾT
Trước hết ta làm quen với các ký hiệu sau:
n
i 1
Ta có các tính chất sau:
i 1 i 1
Ví dụ 1: Tính tổng S n = 1.2 + 2.3 + … + n(n+1)
i 1
n(n 1) i
2
n 2
i 1
n(n 1)(2n 1) i
6
Cho nên: Sn = n(n 1)(2n 1) 6 + n(n 1)2
Sn = n(n 1)(n 2) 3
Ví dụ 2: Tính tổngS n =
n
i=1 i(3i -1) ;
i=1 i=1
3 i - i
i 1
n(n 1) i
2
n 2
i 1
n(n 1)(2n 1) i
6
Từ đó ta có: Sn = n2(n+1)
Ví dụ 3: Tính tổng: S n = 1 3 + 3 3 + 5 3 + … + (2n + 1) 3
Ta có: Sn =1 + 3 + 5 + + (2n + 1) 3 3 3 3 – (2 + 4 + 6 + + (2n)3 3 3 3
= 1 + 3 + 5 + + (2n + 1) 3 3 3 3 – 8(1 + 2 + 3 + + n3 3 3 3
Sn = (n+1)2(2n2 + 4n + 1)
Trang 16Bài tập: Tính tổng:
a 1.2 2.31 1 n(n 1)1
b 1.3 3.52 2 (2n 1)(2n 1)2
c 2.5 5.83 3 (3n 1)(3n 2)3
d 1.2.3 2.3.42 2 n(n 1)(n 2)2