Hai phân số đều nhỏ hơn đơn vị, nếu phân số phần bù đến đơn vị của phân số nào lớn hơn thì phân số đó nhỏ hơn (hai phân số phần bù đến đơn vị có tử số bằng nhau)... 3).[r]
Trang 1Phần III: PHÂN SỐ
I Các khái niệm cơ bản:
*
a
lµ ph©n sè víi a lµ tö sè, b lµ mÉu sè (a, b N, b 0)
Các số tự nhiên đều có thể coi là phân số có mẫu số bằng 1
*
a
lµ ph©n sè tèi gi¶n nÕu a, b nguyªn tè cïng nha
Các phân số khi chưa tối giản đều có một phân số tối giản bằng nó
II Tính chất cơ bản:
= = (m, n 0)
b b.m b.n Ta áp dụng t/c cơ bản này để rút gọn phân số
a : n a
=
b : n b với n có thể là UCLN của a và b (rút gọn một lần để được phân số tối giản) hoặc n có thể là một trong các ước của a và b (rút gọn nhiều lần)
III Các cách so sánh hai phân số:
1) Qui đồng tử hay mẫu số:
a Nếu hai phân số có cùng tử số, phân số nào có mẫu số ớn hơn thì phân
số đó nhỏ hơn
b Nếu hai phân số có cùng mẫu số, phân số nào có tử số lớn hơn thì phân
số đó lớn hơn
2) Phân số phần bù đến đơn vị:
Hai phân số đều nhỏ hơn đơn vị, nếu phân số phần bù đến đơn vị của phân số nào lớn hơn thì phân số đó nhỏ hơn (hai phân số phần bù đến đơn vị có tử số bằng nhau)
3) Phân số trung gian thứ 3: Thông thường có hai cách sau:
a Chọn một phân số trung gian thứ ba có cùng tử số với một trong hai phân số đã cho, cùng mẫu số với phân số còn lại
b Chọn một phân số trung gian thứ ba thể hiện mối quan hệ giữa tử số và mẫu số của hai phân số
IV Bài tập áp dụng:
1 So sánh hai phân số sau:
vµ
Trang 2Ta chọn phõn số
làm phân số trung gian, ta có: (1)
Ta lại cú:
(2) nên từ (1) và (2) ta suy ra
2 So sỏnh hai phõn số:
và
Giải:
Ta thấy 59 gấp gần 4 lần 15; 97 gấp hơn 4 lần 24
Ta cú:
(1); (2)
59 604 97 96 4
Từ (1) và (2)
15 24
59 97
3 Cho phõn số
a (a < b)
b Cựng thờm m đơn vị vào tử số và mẫu số thỡ phõn số mới lớn hơn hay bộ hơn
a
b ? Giải:
Cỏch 1: Nếu a < b thỡ:
a b - a
1 (phần bù đến đơn vị)
b b
Khi đú :
1
Vậy:
Cỏch 2: Qui đồng mẫu số: MSC là b(b + m)
Trang 3ab + am ab + bm
Nếu a < b thì ab + am < ab + bm
Cỏch 3: Nếu a < b thỡ am < bm
=> ab + am < ab + bm
=> a(b + m) < b(a + m)
=>
………
4 Tỡm tất cả cỏc số tự nhiờn n > 0 để
n + 19
là phân số tối giản
n - 2
Giải:
Vỡ n là số cần tỡm cú cả ở tử số và mẫu số nờn cần biến đổi
n +19
phõn số sao cho n chỉ cũn ở tử hoặc mẫu số
1
Muốn
là phân số tối giản thì phải là phân số tối giản
là nguyờn tố cựng nhau, mà 21 chia hết cho 3 và 7 nờn (n – 2) khụng chia hết cho 3 và 7
Vậy nếu n
n + 19
N -2
………
4 Với giỏ trị nào của số tự nhiờn a thỡ:
5a - 11
có giá trị lớn nhất, giá trị đó là bao nhiêu?
4a - 13
Giải:
Biết rằng
a
b cú giỏ trị lớn nhất khi tử số a khụng đổi, mẫu số b là nhỏ nhất Vậy cần biến đổi
5a - 11
sao cho a chỉ có ở mẫu số
4a - 13
Trang 45a - 11 4(5a - 11) 20a - 44 5(4a - 13) + 21 5 21
Muốn
5a - 11 4a - 13 cú giỏ trị lớn nhất thỡ ta cần tỡm với giỏ trị nào của a để
21
4(4a - 13) cú giỏ trị lớn nhất
21
4(4a - 13)
Giỏ trị nhỏ nhất của a để phộp trừ 4a – 13 thực hiện được là a = 4 Khi đú
3, đó là giá trị lớn nhất của
………
6 Tớnh giỏ trị của phõn số:
Giải:
Ta thấy rằng tử và mẫu của mỗi phõn số đều là tổng của bốn số hạng, mỗi số hạng đều
là tớch của ba thừa số Ta cú:
1.2.4 1.2.4.2.2.2 1.2.4.4.4.4 1.2.4.8.8.8 1.3.4 1.3.4.2.2.2 1.3.4.4.4.4 1.3.4.8.8.8
=
3 3 3
3 3 8
………
7 Tỡm phõn số tối giản biết giỏ trị của nú khụng thay đổi khi cộng tử số với 6 và mẫu số với 8
Giải:
Gọi phõn số cần tỡm là
a
b Theo đầu bài ta cú:
Suy ra:
A(b + 8) = b(a + 6) => ab + 8a = ab + 6b => 8a = 6b =>
Vậy phõn số đó cho là
3
4
………
Trang 58 Cho phân số
tèi gi¶n, h·y gi¶i thÝch còng tèi gi¶n
Giải:
Giả sử
a + b kh«ng tèi gi¶n th× a + b vµ b cã UCLN = d > 1
chia hết cho d và b chia hết cho d nên (a + b) – b chia hết cho d do đó a chia hết cho d Điều đó có nghĩa là a và b cùng có UC là d khác 1, tức là phân số
a
kh«ng tèi gi¶n (®iÒu nµy tr¸i víi ®Çu bµi)
b
Vậy
a + b
lµ ph©n sè tèi gi¶n
b
………
9 Chứng minh rằng phân số sau tối giản với n là số tự nhiên lớn hơn 0:
8n + 5 6n + 4
Giải:
Giả sử a là một số tự nhiên bất kỳ lớn hơn 0, phân số
8n + 5 6n + 4 không tối giản thì ƯCLN (8n + 5, 6n +4) = d > 1 Suy ra (8n + 5) d và (6n + 4) d Do đó [4(6n + 4) – 3(8n + 5)] d, mà [4(6n + 4) – 3(8n + 5)] = 1 d vô lý
Vậy
8n + 5
lµ ph©n sè tèi gi¶n
6n + 4
………
10 Tìm tất cả các số tự nhiên n lớn hơn 0, để
4n + 5 5n + 4 có thể rút gọn được?
Giải:
4n + 5
Õu cã thÓ rót gän ® îc th× 4n + 5 vµ 5n + 1
5n + 4
N
có ƯCLN là d > 1, ta được (4n +5) d và (5n + 4) d, do đó (20n + 25) d (1)
và (20n + 16) d (2)
Từ (1) và(2) ta được 9 d, vậy nếu phân số rút gọn được thì tử số và mẫu số chia hết cho 3 Vì (5n + 4) và (4n + 5) chia hết cho 3 nên (n – 1) 3 hay n = 3k + 1 (k 0)
Trang 611 Tỡm tất cả cỏc số tự nhiờn n để:
3 2
là số tự nhiên
n - 2
Giải:
2
2
n n - 2
Muốn
3
n - 2 là số tự nhiờn thỡ n – 2 phải là ước của 3, do đú n – 2 = 1 hoặc
n – 2 = 3 Vậy n = 3 hoặc n = 5
………
12 Hóy chứng tỏ rằng:
4142 43 7980 12 Giải:
Ta thấy từ
đến có 40 phân số
41 80 Tất cả cỏc phõn số trờn đều cú tử số là 1
Ta cú thể nhúm cỏc phõn số thành một nhúm rồi dựa vào kiến thức so sỏnh cỏc phõn số
cú tử số giống nhau
Vậy:
4142 43 7980
=
Vỡ
và (2)
4160 6180
Ta lại cú:
=
(3)
Từ (1), (2), (3) ta được:
4142 43 79 80 12
………
13 Tớnh giỏ trị của biểu thức:
Trang 7S =
1.2.3.42.3.4.5 n(n + 1)(n + 2)(n + 3)
Giải:
Biến đổi ở phân số dạng tổng quát ta có:
n(n + 1)(n + 2)(n + 3) 3n(n + 1)(n + 2)(n + 3)
3 + n - n 3n(n + 1)(n + 2)(n + 3)
3 n(n + 1)(n + 2)(n + 3) n(n + 1)(n + 2)(n + 3)
3 n(n + 1)(n + 2) (n + 1)(n + 2)(n + 3)
Áp dụng kết quả này vào bài tập đã cho ta có:
1.2.3.4 3 1.2.3 2.3.4
2.3.4.5 3 2.3.4 3.4.5
n(n + 1)(n + 2)(n + 3) 3 n(n + 1)(n + 2) (n + 1)(n + 2)(n + 3)
Cộng từng vế ta được:
S =
3 1.2.3 (n + 1)(n + 2)(n + 3)
14 Cho hai phân số
4 4 4
4 4
vµ H·y chøng tá r»ng:
Giải:
Tõ ta cã
b d c d c - d Vì
a b a - b
c d c - d nên mỗi phân số nhân với chính bản thân nó 4 lần ta được:
Trang 8
4 4
4 4
= =
d c - d
c
Mà
4 4 4 4
4 4 4 4
= =
d c + d
c
(2)
Từ (1) và (2) ta có
4 4 4
4 4
a - b a b
c - d c d
15 Hãy chứng tỏ rằng nếu
2 2
2 2
th×
b c b c c Giải:
Từ
Từ
2
suy ra b ac
Từ
2 2 2
2
2 2 2
a + b b
, thay b a.c vµo ta cã:
2 2
2 2 2
a + b a.c a
b c c c
………