ôn thi tốt nghiệp 08 - 09

Mục Đớch yờu cầu: - Học sinh biết dựng cỏc biểu thức tọa độ của cỏc phộp toỏn trờn cỏc vectơ để tớnh tọa độ của vectơ và vận dụng nú để tớnh độ dài đoạn thẳng, tớnh gúc giữa hai vectơ, t

ễN THI TỐT NGHIỆP MễN TOÁN 08 – 09 GIÁP MINH ĐỨC

ph ơng pháp toạ độ trong không gian

I Mục Đớch yờu cầu:

- Học sinh biết dựng cỏc biểu thức tọa độ của cỏc phộp toỏn trờn cỏc vectơ để tớnh tọa độ của vectơ và vận dụng nú để tớnh độ dài đoạn thẳng, tớnh gúc giữa hai vectơ, tớnh diện tớch tam giỏc và diện tớch hỡnh bỡnh hành, tớnh thể tớch khối hộp và khối tứ diện

- Học sinh biết cỏch chứng minh ba điểm thẳng hàng, bốn điểm đồnphẳng, điều kiện để hai vectơ cựng phương hay vuụng gúc

- Xỏc định tọa độ tõm và bỏn kớnh của mặt cầu cú phương trỡnh cho trước Viết phương trỡnh mặt cầu khi biết một số dữ kiện xỏc định

- Xỏc định vectơ phỏp tuyến của mặt phẳng, xỏc định vectơ chỉ phương của đường thẳng Viết phương trỡnh mặt phẳng và đường thẳng xỏc định vị trớ tương đối của cỏc đường thẳng và cỏc mặt phẳng Tớnh khoảng cỏch từ một điểm đến một đường thẳng, tớnh gúc và khoảng cỏch giữa cỏc đường thẳng và mặt phẳng

II Phương phỏp – phương tiện:

1 phương phỏp:

2 Phương tiện:

III Nội Dung:

* Các dạng toán cần luyện tập: theo sỏch ụn thi TN

Bài 1: Dựng cỏc biểu thức tọa độ của phộp toỏn về vectơ để tớnh

Bài 2: Xỏc định tõm và bỏn kớnh mặt cầu, viết phương trỡnh mặt

Bài 3: Viết phương trỡnh mặt phẳng, tớnh gúc và khoảng cỏch cú

Bài 4: Viết phương trỡnh đường thẳng bài 3 tr.115

A CÁC KIẾN THỨC CẦN NHỚ:

1 Toạ độ của vectơ:

Cho hai vectơ

( ; ; )

a a a a

→

và

( ; ; )

b b b b

→

ta có:

1

→ →  =



= ⇔ =

 =



2 Vectơ

k a→= ka ka ka

→

5 Các cách viết pt mặt phẳng:

a phơng trình mp (P) đi qua M(x 0 ; y 0 ;

z 0 ) và có vtpt →n =( ; ; )A B C : A(x – x0) + B(y – y0) + C(z – z0) = 0

b 2 vectơ

( ; ; )

a a a a

→

,

( ; ; )

b b b b

→

có giá // hoặc nằm trên mp(P) Thì pt mp (P) có vtpt →n → →a , b 

( Sau đó đa bầi toán về dạng a.)

c phơng trình mặt phẳng (P) đi qua 3

ễN THI TỐT NGHIỆP MễN TOÁN 08 – 09 GIÁP MINH ĐỨC

3 Tổng và hiệu:

→ →

4 Tích vô hớng:

a b a b a b a b

→ →

5 Góc giữa hai vectơ: cos( , )a br r =

1 1 2 2 3 3

2 2 2 2 2 2

1 2 3 1 2 3

a b a b a b

*

→ →

2 Toạ độ của điểm:

Cho hai điểm A x y z( ;A A; )A và B x y z( ;B B; )B thỡ:

→

2 Khoảng cách từ A đến B:

AB = →AB = (x B−x A)2+(y B−y A)2+(z B−z A)2

3 Điểm M chia đoan AB theo tỉ số k:( k≠1)

k 1

OB K OA

OM

−

−

=

→

→

→

( k≠1)

A B A B A B

x kx y ky z kz M

A B A B A B

x x y y z z

M + + +

3 Tích có h ớng của hai vectơ:

Cho hai vectơ

( ; ; )

a a a a

→

và

( ; ; )

b b b b

→

không cùng phơng

→=→ →=

Được gọi là tớch cú hướng của 2 vt → →a , b

4 Ph ơng trình tổng quát mặt phẳng:

Pttq (P): Ax + By + Cz + D = 0 (A2 + B2 + C2

>0) Có vtpt →n =( ; ; )A B C .

Chú ý: + Mặt (xOy) có pt: z = 0.

+ Mặt (yOz) có pt: x = 0

+ Mặt (xOz) có pt: y = 0

điểm A, B, C Khi đó (P) đi qua A và có

vtpt →n : →n → →AB AC, 

Chú ý: 1 Khi viết phơng trình mặt

phẳng (P) thờng phải tìm một điểm M thuộc (P) và vtpt của (P)

6 Khoảng cách từ một điểm

( ; ; )

M x y z đến một mặt phẳng (P) :

Ax + By + Cz + D = 0

( ,( )) Ax Bx Cx D

d M P

+ + +

=

+ +

7 phơng trình đừơng thẳng đi qua

điểm M x y z( ; ; )0 0 0 và có vtcp

1 2 3

( ; ; )

a a a a

→

a Phơng trình tham số:

x x a t

y y a t t R

z z a t

= +





 = +



b Phơng trình chính tắc:

(Điều kiện

a1, a2, a3 đều khác 0)

8 ph ơng trình mặt cầu:

Dạng 1: phơng trình mặt cầu theo tâm

và bán kính (phơng trình chính tắc):

Phơng trình mặt cầu (S) tâm I(a; b; c) bán kính R:

( ) : (S x a− ) + −(y b) + −(z c) =R

Dạng 2: Phơng trình tổng quát của mặt cầu:

( ) :S x +y + −z 2ax−2by−2cz d+ =0

(Điều kiện a2 + b2 + c2 – d >0)

Có tâm I(a; b; c), bán kính R =

a + + −b c d

+ Nếu tâm I ≡O(0;0;0) thì (S):

x +y +z =R GV: Giáp Minh Đức

B BÀI TẬP

Bài toỏn 1: Xỏc định tọa độ của điểm, tọa độ của vộc tơ.

ƠN THI TỐT NGHIỆP MƠN TỐN 08 – 09 GIÁP MINH ĐỨC

Ví dụ 1 : Cho A(1;0;−2),B(2;1;−1) Tìm tọa độ điểm C sao cho AC 3= BC

* Giải:

Gọi tọa độ điểm C là: C(x;y;z), ta cĩ:

( 2; 1; 1)

2

; 0

; 1

+

−

−

=

+

−

−

=

z y x BC

z y x AC

Do đĩ: AC 3= BC



















−

=

=

=

⇔











+

= +

−

=

−

−

=

−

⇔

2 1 2 3 2 5

) 1 ( 3 2

) 1 ( 3 0

) 2 ( 3 1

z y x

z z

y y

x x









2

1

; 2

3

; 2

5

C

Ví dụ 2 : Xác định tọa độ của vectơ a biết: a=3i−4j+5k

* Giải:

Ta cĩ: a=3i−4j+5k ⇔a=(3;−4;5)

Ví dụ 3 : Cho a=(2;−5;3),b=(0;2;−1), c=(1;7;2) Hăy xác định tọa độ của vectơ d, biết

c b

a

3

1

* Giải:

Gọi tọa độ của vectơ d =(x;y;z) Ta cĩ



















=

=

=

⇔



















+

−

−

=

+

−

−

=

+

−

=

3 55 3 1 11

2 3 ) 1 ( 3

1

3

4

7 3 2 3

1 )

5

.(

4

1 3 0 3

1

2

4

z y x

z

y

x











=

3

55

; 3

1

; 11

d

Bài tập tự luyện: (Bài 1,2,6 trang 68 Ơn thi tốt nghiệp mơn tốn 2009)

Bài tốn 2: PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU

1 Phương trình mặt cầu :

* Định lư 1: Trong KG, hệ trục tọa độ Oxyz.Mặt cầu ( )S tâm I(a,b,c), bán kínhRcóPT:

(x−a) (2 + y−b) (2 + z−c)2 =R2 (1)

* Nếu I ≡O(0;0;0) th́ PT mặt cầu ( )S là : x2 +y2 +z2 =R2 (2)

Định lí 2: Trong KG, hệ trục tọa độ Oxyz

Phương tŕnh:

x +y + +z Ax+ By+ Cz D+ = với A2+B2+C2− >D 0 là phương tŕnh mặt cầu tâm

I − − −A B C và bán kính R= A2+B2+C2−D

ễN THI TỐT NGHIỆP MễN TOÁN 08 – 09 GIÁP MINH ĐỨC

Vớ du 1: Tỡm tõm và bỏn kớnh mặt cầu cú PT: x2 +y2 +z2 +4x−2y+6z+5=0

* Giải :

Ta cú:

và bỏn kớnh R= (−2)2 +12 +(−3)2 −5 =3 ,Tõm I(2;1;-3)

BÀI TẬP:

Bài 1: Xỏc định tõm và bỏn kớnh của mặt cầu.

1)x2+y2+ −z2 4x+6y− =5 0 KQ: 1)Tâm I(2 ;-3 ;0) và R=3 2

2)x2+y2+ − +z2 8x 2z+ =1 0 KQ: 2) Tâm I (4;0;-1) và R=4

Bài 2 : Lập phơng trình mặt cầu:

1) Tâm I(2;2;-3) và R=3

2) Qua A(3;1;0); B(5;5;0) và tâm I thuộc Ox

3) Qua 4 điểm A(1;4;0);B(-4;0;0); C(-2;-2;0) và D(1;1;6)

4) Đờng kính AB với A(1;-3;5); B(-3; 4; -3)

Giải:

1) Ta có phơng trình mặt cầu là (x- 2)2+(y- 2)2+(z+ 3)2 =9

2) Ta có tâm I(a ;0 ;0) Do Mc (S)

Di qua A và b nên ta có IA = IB = R =>IA2 = IB2

3) G/s Pt mặt cầu (S) là x2+y2+z2+ ax+by+cz+d=0 (a2+b2+c2³ 4d)

Do (S) đi qua A(1;4;0); B(-4;0;0); C(-2;-2;0) và D(1;1;6) nên ta có

a d

-ùù

ùù - +

=-ùớ

-ùù

ù + + +

=-ùợ

5 / 3

7 / 3

=> phương trình mặt cầu

77 / 9

28 / 3

a b c d

ỡ =-ùù

ùù =-ù

ị ớù = -ùù

ù =-ùợ

4)Ta có tâm I(-1;1

2;1) và R=1

2 => Pt mặt cầu là:

2

x+ +ổỗỗỗốy- ửữữữứ+ z- =

Bài toỏn 3: PHƯƠNG TRèNH TỔNG QUÁT CỦA MẶT PHẲNG

*Cỏc cỏch viết phương trỡnh mặt phẳng.

Dạng 1: Mặt phẳng qua 3 điểm A,B,C :

° Cặp vtcp: →

AB, →

AC °

( )

,

qua A hay B hay C

α  →   →  → 

=  

Dạng 5: Mpα chứa (d) và song song (d / )

 Điểm M ( chọn điểm M trờn (d))

 Mp(α) chứa (d) nờn

d

→ →

=

ÔN THI TỐT NGHIỆP MÔN TOÁN 08 – 09 GIÁP MINH ĐỨC

Dạng 2: Mặt phẳng trung trực đoạn AB :

° (P) là mp trung trực của AB: (P)

Dạng 3: Mặt phẳng α qua M và d (hoặc ⊥

AB)

°

vtpt nα u

α →=→

Dạng 4: Mp α qua M và // β : Ax + By + Cz

+ D = 0

° ( )

vtpt nα nβ

=

 Mpα song song (d/) nên

'

d

u uα

→ →

=

■ Vtpt →n → →u d ,u d'

Dạng 6 Mp(α ) qua M, N và ⊥ ( ) : β

■ Mpα qua M,N nên MN =aα

■ Mpα⊥ mpβ nên nβ =bα

°

] , [

β

α

n n

vtpt

N) (hay M qua

r

= MN

Dạng 7: Mp α chứa (d) và đi qua A

■ Mpα chứa d nên a d =aα

■ Mpα đi qua M∈(d)và A nên MA u

α

→ →

=

Vtpt của mp( α ): →nα → →u MA d , 

4) Các ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Viết PTTQ của mp( )α đi qua điểm M(1;−2;3) và song song với mặt phẳng( )β :

0 5 3

2x− y+z+ =

* Giải:

Vì mp( )α song song với mp( )β nên mp( )α có VTPT là: n=(2;−3;1)

0 11 3

2

0 3 2

3 1 2

=

− +

−

⇔

=

− + +

−

−

z y x

z y

x

Ví dụ 2: Cho hai điểm A(2;3;−4) (,B 4;−1;0) Viết PTTQ của mặt phẳng trung trực của AB.

* Giải:

Gọi I là t.điểm của đoạn AB, ta có I(3;1;−2)

Mặt phẳng trung trực của đoạn AB đi qua I và nhận vectơ AB=(2;−4;4) làm VTPT

0 3 2 2

0 2 4 1 4 3 2

= + +

−

⇔

= + +

−

−

−

z y x

z y

x

Ví dụ 3: Cho A(−1;2;3) (,B 2;−4;3) (,C 4;5;6).Viết PTTQ của mặt phẳng qua 3 điểm A,B,C.

* Giải:

Ta có AB=(3;−6;0),AC=(5;3;3) ⇒n=[AB;AC]=(−18;−9;39)=−3(6;3;−13)

ễN THI TỐT NGHIỆP MễN TOÁN 08 – 09 GIÁP MINH ĐỨC

Do đú mp(ABC) đi qua A(−1;2;3) nhận vectơ n1=(6;3;−13)làm VTPT nờn cú phương trỡnh:

0 39 13 3 6

0 3 13 2 3 1 6

= +

− +

⇔

=

−

−

− + +

z y x

z y

x

Vớ dụ 4: Viết PTTQ của mặt phẳng qua cỏc điểm là hỡnh chiếu của điểm M(2;−3;4) trờn cỏc trục tọa độ

Giải:

Gọi M1,M2,M3 lần lượt là hỡnh chiếu của điểm M(2;−3;4) trờn cỏc trục Ox, Oy, Oz thỡ:

3 2

OM

Do đú: M1(2;0;0),M2(0;−3;0),M4(0;0;4)

Vậy: phương trỡnh của mặt phẳng qua cỏc điểm là hỡnh chiếu của điểm M(2;−3;4) trờn cỏc trục tọa độ là :

0 12 3 4 6

1 4 3 2

=

− +

−

⇔

= +

−

z y x

z y x

Bài tập cựng dạng:

Bài 1: Lập phơng trình tổng quát của mặt phẳng (P):

a Đi qua A(1;3;-2) và nhận →n =(2;3;1) làm vtpt.

b Đi qua B(1;3;-2) và song song với (Q): x+2y+z+4=0

c Đi qua A(0; -1; 4) và song song với giá của các vectơ →n =(3; 2;1), →n = −( 3;0;1).

d Đi qua hai điểm A(4;-1;1), B(3;1;-1) và // trục ox

e (P) chứa Ox và đi qua điểm A (1; -2; 3)

g (P) đi qua ba điểm A(5;1;3), B(1;6;2), C(5;0;4)

h (P) đi qua A(1;0;1), B(2;1;2) và vuông góc với mp(Q): x+2y+3z+3=0

Bài 2: Lập phơng trình tổng quát của mặt phẳng (P) đi qua A(1;2;3), B(2;2;3) và vuông góc với

mp(Q): x+2y+3z+4=0

Bài 3: Cho tứ diện ABCD có A(5;1;3), B(1;6;2), C(5;0;4), D(4; 0;6)

a Viết pttq của các mp: (ABC), (ACD), (ABD) (BCD)

b Viết pttq của mp(P) chứa cạnh AB và // với CD

Bài 4: Cho hai điểm A(1;2;3) B(3;4;-1):

a Viết phơng trình mp(P) là trung trực của AB

b Viết phơng trình mp(Q) qua A và vuông góc với hai mặt phẳng (P) và (yOz)

c Viết phơng trình mp(R) qua A và song song với (P)

Bài 5: (ĐHL – 96) Cho tứ diện có bốn đỉnh A(1;1;1), B(-2;0;2), C(0;1;-3),D(4;-1;0) Tính độ

dài đờng cao của tứ diện hạ từ đỉnh D xuống mp(ABC)

Bài 6: (ĐHCĐ - 99) Viết pt mp trung trực của đoạn thẳng AB biết A(2;1;4), B(-1;-3;5).

Bài 7: (ĐHL – 99) Cho điểm A(-1;2;3) và hai mặt phẳng (P): x – 2 = 0, (Q): y – z – 1 = 0

Viết phơng trình mp(R) qua A ⊥ với cả hai mp (P) và (Q)

Bài 8: (ĐHD – 99) Cho tứ diện có bốn đỉnh A(2;3;1), B(4;1;-2), C(6;3;7), D(-5;-4;8) Tính độ

dài đờng cao của tứ diện hạ từ đỉnh D xuống mp(ABC)

Bài 9: Viết pttq của mp(P) chứa gốc toạ độ và ⊥ với hai mặt phẳng (Q): x-y+z-7=0 và (R): 3x+2y-12z+5=0

ÔN THI TỐT NGHIỆP MÔN TOÁN 08 – 09 GIÁP MINH ĐỨC

Bài toán 4: Phương trình tham số của đường thẳng:

1.Phương tŕnh tham số của đường thẳng (d) : Qua M(xo ;yo ;zo) có vtcp ar= (a1;a2;a3)

R t

; t a z

z

t a y

y

t a x

x

(d)

3 o

2 o

1 o

∈











+

=

+

=

+

=

:

2.Phương tŕnh chính tắc của (d):

3

z -z a

y y a

x x

1

3 Các dạng bài tập.

Dạng 1: : Đường thẳng (d) đi qua A,B







=AB a

Vtcp

hayB quaA

d

d

) (

)

(

Dạng 2: Đường thẳng (d) qua A và song song (∆ )

∆

=

∆ neân vtcp ad a (

//

(d)

Vì

qua

r r

A

d )

(

Dạng 3: Đường thẳng (d) qua A và vuông góc mp(α )

α

d a vtcp neân ( (d)

Vì

qua

r r

=

⊥

A

d )

(

Dạng4: PT d’ hình chiếu của d lên (α ) : d / = ( α ) ∩ ( β )

 Viết pt mp(β) chứa (d) và vuông góc mp(α)

( ) ( ) ( )















=

⇒

=

⇒

⊥

=

⇒

⊃

∈

]

; [

) ( )

(

) (

α β

β α

β α

β

β

β

n a n

b n

a a

d

d quaM

d

d

ª





 ) (

) ( ) ( /

β

α

d

Dạng 5: Đường thẳng (d) qua A và vuông góc (d 1 ),(d 2 )

] d a , d a a vtcp

qua

)

=

A d

Dạng 6: PT d vuông góc chung của d 1 và d 2 :

+ Tìm a d = [ard1, ard2]

+ Mpα chứa d1 , (d) ; mp(β) chứa d2 , (d)

⇒ d = (α) ∩ (β)

Dạng 7: PT qua A và d cắt d 1 ,d 2 : d = (α ) ∩ ( β )

với mp(α) = (A,d1) ; mp(β) = (A,d2)

4 Các ví dụ minh họa:

Qui ước:

Mẫu = 0 thì Tử

ễN THI TỐT NGHIỆP MễN TOÁN 08 – 09 GIÁP MINH ĐỨC

Vớ dụ 1: Viết PTTS, PTCT của đường thẳng ∆ qua A(2;0;−1)vaứ coựVTCPa=(−1;3;2)

* Giải:

PTTS của đường thẳng cần t́m là:

2

3 , , PTCT cuỷa laứ:

1 2



 = − +



Vớ dụ 2: Tỡm PTCT của đường thẳng ∆ biết ∆ qua điểmM(4;3;1) và song song với

đường thẳng d :







 +

=

−

=

+

=

t z

t y

t x

2 3 3

2 1

* Giải:

Vectơ chỉ phương của d là a=(2;−3;2).Vỡ ∆ // d nờn ∆ cũng cú một VTCP là a

Vậy PTCT của ∆ là

x− = y− = z+

5 Bài tập tự luyện:

Bài 1: Viết ptts của đừơng thẳng (d) biết:

a (d) đi qua M(5;4;1) và có vtcp →u =(2; 3;1)− .

b (d) đi qua A(2;-1;3) và ⊥ với mp(P): x-y+z-5=0

c (d) đi qua B(2; 0; - 3) và // (d’):

1 2

3 3 4

x t

= +



 = − +





d (d) đi qua hai điểm P(1;2;3) và Q(5;4;4)

Bài 2: Viết ptts của đừơng thẳng (d) biết:

a (d) đi qua M(1;2;-3) và có vtcp →u =(2;1; 1)− .

b (d) đi qua N(2;-3;1) và ⊥ với mp(P):x+2y-z+4=0

d (d) đi qua hai điểm A(1;3;5) và B(2;-1;3)

Bài toỏn 5: Khoảng cỏch và gúc

1 Gúc giữa hai vectơ:

Nếu ϕ là gúc giữa hai vectơ a=(x,y,z), b=(x,'y,'z') và a,b≠0 thỡ:

2 2 2 2 2

' ' '

cos

z y x z y x

zz yy xx b

a

b a

+ + +

+

+ +

=

=

ϕ

Vớ dụ: Cho a=(4;3;1), b=(−1;2;3)

Tớnh a+b =? và gúc ϕ giữa hai vectơ a; b

* Giải:

ÔN THI TỐT NGHIỆP MÔN TOÁN 08 – 09 GIÁP MINH ĐỨC

Ta có: a+b=(3;5;4) ⇒ a+b = 32+42+52 =5 2

và

182

91 5 3 2 1 1 3 4

3 1 2 3 ) 1 ( 4 cos

2 2 2 2 2

+ + +

+

+ +

−

=

ϕ

Vậy ( )a; b =ϕ với

182

91 5

2 Góc giữa hai đường thẳng :

Cho hai đường thẳng ∆1 và ∆2 lần lượt có PT:

2

2 2

2 2

2 1

2 1

2 1

2 1 2 1 2 1

cos

c b a c b a

c c b b a a

+ + +

+

+ +

= ϕ

* ∆1⊥ ∆2 ⇔ a1a2+b1b2+c1c2 = 0.

Ví dụ : Tính góc giữa hai đường thẳng: ,







 +

=

+

−

=

−

=

∆







 +

=

+

−

=

+

=

∆

t z

t y

t x t

z

t y

t x

2 4

3 1

2 : 4

3 1

2 1

1

Giải: VTCP của ∆1 là a1=(2;1;4)

VTCP của ∆2 là a2 =(−1;3;2).Do đó góc ϕ giữa ∆1 và ∆2 được tính:

294

9 2

3 ) 1 ( 4 1 2

2 4 3 1 ) 1 (

2 cos

2 2 2 2

2

+ +

− +

+

+ +

−

= ϕ

3 Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng :

Cho đường thẳng ∆ và mặt phẳng (α) có PT:

0 :

) (

= + + +

−

=

−

=

−

∆

D Cz By Ax

c

z z b

y y a

x x

α

Gọi ϕ là góc giữa đt ∆ và mp (α), ta có

2 2 2 2 2

sin

c b a C B A

Cc Bb Aa

+ + +

+

+ +

= ϕ

* ∆ // (α) hoặc ∆⊂ (α) ⇔ Aa + Bb + Cc = 0.

Ví dụ : Tính góc giữa đt ∆ và mp(α):

0 7 -z )

,

,

= +

−

+

= +

−

= +

=

∆

2 :

(

2 4 2

5 :

y x

t z

t y

t x

α

Giải: VTCP của ∆ là a =(1;1; 2) VTPT của (α) là n=(1;−1; 2).Do đó góc ϕ giữa ∆ và(α) được tính:

2

1 2 ) 1 ( 1 2 1 1

2 2 ) 1 (

1 1 1 sin

2 2 2

2 2 2

= +

− + +

+

+

− +

=

3 Góc giữa hai mặt phẳng :

Cho hai mặt phẳng (α) và (β) có PT:

ƠN THI TỐT NGHIỆP MƠN TỐN 08 – 09 GIÁP MINH ĐỨC

0 ' ' ' ' : ) (

0 :

) (

= + + +

= + + +

D z C y B x A

D Cz By Ax

β

α

Gọi ϕ là gĩc giữa (α) và (β), ta cĩ

' ' '

' ' ' cos

C B A C B A

CC BB AA

+ + +

+

+ +

= ϕ

Ví dụ : Tính gĩc giữa hai mp(α) và mp(β) : (α) :x+ 2y+ z + 4 = 0; (β) :x−y− 2z− 3 = 0

Giải: VTPT của (α) là n1 =(1;2;1)

VTPT của (β) là n2 =(1;−1;−2)

4 KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MỘT MP:

Định lí: Trong KG, với hệ tọa độ Oxyz Khoảng cách từ một điểm M0(x0;y0;z0) đến mặt phẳng

0;

C B A

D Cz By Ax M

d

+ +

+ + +

= α

5 Khoảng cách từ một điểm đến một đt:

Định lí: Trong KG, với hệ tọa độ Oxyz Cho đường thẳng ∆ đi qua M0 cóVTCPa và một điểm

1

M Khoảng cách từ điểm M1 đến đường thẳng ∆ được tính bằng cơng thức :

a

M M a M

d 1;∆ = ; 0 1

Ví dụ 2 :

Tính khoảng cách từ điểm M1(2;3;1) đến đường thẳng ∆ :

2

1 2

1 1

2

−

+

=

−

=

x

* Giải :

Đường thẳng ∆ qua M0(−2;1;−2) và cĩ VTCP

a=(1;2;−2) ⇒ M0M1 =(4;2;2)

Ta cĩ: [M0M1;a]=(−8;10;6)

3

2 10 )

2 ( 2 1

6 10 ) 8 (

;

;

2 2

2

2 2 2

1 0 1

=

− + +

+ +

−

=

=

∆

⇒

a

M M a M

d

6 Khoảng cách giữa hai đt chéo nhau:

Trong KG Oxyz, cho hai đường thẳng ∆1, ∆2 chéo nhau Đường thẳng ∆1 đi qua M1 cĩ VTCP a1

, đường thẳng ∆2 đi qua M2 và cĩ VTCP a2 Khoảng cách giữa ∆1 và ∆2 là:

[ ]1. 2

2 1 2 1 2

1

;

;

;

a a

M M a a

d ∆ ∆ =

Ví dụ 3 :

Tính khoảng cách giữa hai đt ∆1 và ∆2 :