Kẻ đường phân giác trong AD của góc vuông cắt cạnh huyền tại D, rồi kẻ đường song song BE với AD E thuộc đường thẳng AC a.. Góc tạo bởi đường cao và đường trung tuyến kẻ từ một đỉnh của
Trang 1149 BÀI TẬP ÔN TẬP VỀ CÁC DẠNG TOÁN TRONG
Trang 2Cho hình chữ nhật ABCD, AB = 2BC Trên cạnh BC lấy điểm E, tia AE cắt đường thẳng CD tại F Chứng minh rằng 1 2 1 2 1 2
Cho tam giác ABC vuông tại A, trong đó AB = 6 cm, AC = 8 cm Tính các tỷ số lượng giác của góc
B, từ đó suy ra các tỷ số lượng giác của góc C
Bài 13:
Tam giác ABC có Aˆ 105 ,0 Bˆ 45 ,0 BC 4cm. Tính độ dài các cạnh AB, AC (Kết quả lấy hai
số sau dấu phẩy)
Trang 3b Tính tỉ số diện tích tam giác DBC và diện tích hình thang ABCD
c Tính tỉ số diện tích tam giác ABC và diện tích tam giác DBC
Bài 19:
Cho tam giác ABC có Bˆ 120 ;0 BC 12cm AB; 6cm Đường phân giác của góc B cắt AC tại D
a Tính độ dài đường phân giác BD
b Gọi M là trung điểm của BC Chứng minh AM BD
Bài 20:
AD DC DAC AXB AD cm AX cm BX cm
a Tính AC (Kết quả lấy hai số sau dấu phẩy)
b Gọi Y là điểm trên AX sao cho DY//BX Hãy tính XY (Kết quả lấy hai số sau dấu phẩy)
Trang 5Bài 29:
Cho hình vẽ: AB AC 7(cm CD); 5 cm BAC;20 ;0 CAD 400 Tính
a BC (Kết quả lấy sau dấu phẩy hai chữ số)
b
(Kết quả lấy sau dấu phẩy hai chữ số)
c Khoảng cách từ điểm B đến AD (Kết quả lấy sau dấu phẩy hai chữ số)
Bài 30:
Một chiếc diều ABCD như hình vẽ: AB BC AD; DC AB; 12 cm ADC; 40 ;0 ABC900
a Chứng minh D, B và trung điểm của AC thẳng hàng
b Tính chiều dài cạnh AD (Kết quả lấy sau dấu phẩy hai chữ số)
Trang 6Tam giác ABC có Aˆ 20 ;0 Bˆ 30 ;0 AB 60cm Đường vuông góc kẻ từ C đến AB cắt AB tại P Hãy tính AP, BP, CP (Kết quả lấy sau dấu phẩy 3 số)
Bài 32:
Cho tam giác ABC cân tại A Trên cạnh BC kéo dài về phía C, lấy một điểm M Một đường thẳng d
đi qua điểm M cắt cạnh CA, AB tại N và P CMR:BM CM
BP CN không đổi khi M và d thay đổi
Bài 33:
Cho tam giác ABC biết AB = 21cm; AC = 28 cm; BC = 35 cm
a Chứng minh rằng tam giác ABC là tam giác vuông
b Tính sinB, sinC
c Hạ đường cao AH (H thuộc BC) tính độ dài AH
Bài 34:
Cho tam giác ABC vuông ở A, AB = 6cm; AC = 8cm
a Tính BC, ˆ ˆB C (Kết quả lấy sau dấu phẩy 1 số) ;
b Phân giác của góc A cắt BC tại D Tính BD, CD (Kết quả lấy sau dấu phẩy 1 số)
c Từ D kẻ DE và DF lần lượt vuông góc với AB và AC Tứ giác AEDF là hình gì? Tính chu vi và diện tích của tứ giác AEDF (Kết quả lấy sau dấu phẩy 1 số)
Bài 35:
Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = c, AC = b Kẻ đường phân giác trong AD của góc vuông cắt cạnh huyền tại D, rồi kẻ đường song song BE với AD (E thuộc đường thẳng AC)
a Chứng minh rằng AE = AB Tính BE
b Tính độ dài đường phân giác AD
c Tính diện tích hình thang ADBE và diện tích tam giác ADC
Bài 36:
Cho tam giác ABC vuông tại A và có độ dài hai cạnh góc vuông AB = 24cm, AC = 18cm Từ trung điểm M trên cạnh huyền BC kẻ đường vuông góc với cạnh huyền cắt AC tại D và AB tại E
a Tính độ dài MC
Trang 7b Chứng minh rằng DMC đồng dạng với tam giác ABC và tính độ dài các cạnh của tam giác DMC
c Tính độ dài BE (Kết quả lấy sau dấu phẩy 2 số)
Bài 37:
Dùng bảng lượng giác hoặc máy tính bỏ túi để tính:
a Chiều cao ứng với cạnh 40cm của một tam giác biết góc kề của cạnh này là 40 và 0 50 (Kết quả 0
lấy sau dấu phẩy 2 số)
b Góc tạo bởi đường cao và đường trung tuyến kẻ từ một đỉnh của tam giác, biết các góc của hai đỉnh kia bằng 60 và 0 80 (Kết quả lấy sau dấu phẩy 2 số) 0
Bài 38:
Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH chia cạnh huyền BC thành hai đoạn BH, CH có độ dài lần lượt là 4cm và 9cm Gọi D và E lần lượt là hình chiếu của H trên AB và AC
a Tính độ dài đoạn DE
b Các đường thẳng vuông góc với DE tại D và tại E lần lượt cắt BC tại M và N Chứng minh M là trung điểm của BH và N là trung điểm của CH
c Tính diện tích của tứ giác DENM
Trang 8Tam giác ABC vuông tại A, đường phân giác BD Tia phân giác của góc A cắt BD tại I Biết
Cho tam giác ABC
a Có Aˆ 120 ; 0 AB 3cm AC; 6cm Tính độ dài đường phân giác AD
b Có đường phân giác AD thỏa mãn 1 1 1
AD AB AC Tính
Bài 49:
ABC
có ˆA B ˆ 2Cˆ và độ dài ba cạnh là ba số tự nhiên liên tiếp
a Tính độ dài các cạnh của tam giác
Trang 9b Tính số đo của các góc trong ABC (Kết quả lấy sau dấu phẩy 1 số)
Bài 50:
Cho tam giác nhọn ABC Hai đường cao BD và CE Chứng minh rằng:
a S ADE S ABC.cos A2
b S BCDE S ABC.sin2A
Cho đường tròn (O ; R) và dây cung AB ( không phải đường kính ) Kéo dài AB về phía B lấy điểm
C sao cho BC = R Chứng minh rằng 0
Bài 58:
Cho ba điểm A, B, C bất kì và đường tròn (O) bán kính bằng 1 Chứng minh rằng tồn tại một điểm
M nằm trên đường tròn (O) sao cho MA MB MC 3
Trang 10Cho đường tròn (O ; R) và một dây BC cố định Trên đường tròn lấy một điểm A (A không trùng với
B và C) Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC Chứng minh rằng khi A di động trên đường tròn (O) thì điểm G di động trên một đường tròn cố định
Bài 60:
Cho đường tròn đường kính AB và điểm M (M không trùng với A và B) Chứng minh rằng :
a Nếu điểm M thuộc đường tròn thì AMB900
b Đảo lại, nếu 0
Cho đường tròn tâm O bán kính OA = 11cm Điểm M thuộc bán kính OA của đường tròn và cách O
là 7cm Qua M kẻ dây CD có độ dài 18cm Tính các độ dài MC, MD (biết CD < MD )
Bài 66:
Cho đường tròn (O), hai dây AB, CD của đường tròn kéo dài cắt nhau tại điểm M nằm ngoài (O) Gọi H, E là trung điểm của AB và CD Chứng minh rằng AB < CD MH < ME
Trang 11Bài 67:
Cho tam giác ABC vuông tại A Vẽ các nửa đường tròn đường kính AB và AC ở ngoài tam giác ABC Qua A kẻ đường thẳng (d) cắt nửa đường tròn nói trên lần lượt tại D và E Xác định vị trí của (d) để chu vi tứ giác BCDE đạt giá trị lớn nhất
Cho đường tròn (O ; 13cm) và một điểm M cách O là 5cm
a Tính độ dài dây dài nhất và dây ngắn nhất đi qua M
b Có bao nhiêu dây có độ dài là một số tự nhiên đi qua M
Bài 70:
Cho đường tròn (O) có hai dây AB, CD bằng nhau và vuông góc với nhau tại E, CE = 4cm, DE= 28cm
a Tính khoảng cách từ tâm O đến mỗi dây
b Vẽ đường kính DF của (O) So sánh hai khoảng cách từ tâm O đến hai dây cung CF và AB
Trang 12Tiếp tuyến của đường tròn tại M cắt đường thẳng OA tại E Tính độ dài IE theo R
Bài 75:
Cho tam giác ABC vuông tại A và đường cao AH Đường tròn tâm I đường kính BH cắt AB tại M Đường tròn tâm K đường kính HC cắt AC tại N Gọi O là giao điểm của AH và MN Chứng minh rằng MN là tiếp tuyến của (I) tại M, là tiếp tuyển của (K) tại N
Bài 78:
Cho đường tròn (O) đường kính AB = 2R Hai tiếp tuyến Ax và By nằm cùng một nửa mặt phẳng bờ AB; Qua điểm M nằm trên đường tròn, kẻ tiếp tuyến cắt Ax và By tại D và E với DE không song song với AB Vẽ đường tròn tâm I đường kính DE Chứng minh rằng AB là tiếp tuyến của (I)
Bài 79:
Cho đường tròn tâm O có đường kính AB = 2R Gọi d là tiếp tuyến của đường tròn, A là tiếp điểm Gọi M là điểm bất kì thuộc d Qua O kẻ đường thẳng vuông góc với BM, cắt d tại N Xác định vị trí của M sao cho độ dài MN là nhỏ nhất
Bài 80:
Cho nửa đường tròn đường kính AB và tia tiếp tuyến Ax cùng phía với nửa đường tròn đối với AB
Từ điểm M trên tia Ax kẻ tiếp tuyến thứ hai MC với nửa đường tròn, kẻ CH vuông góc với AB Chứng minh rằng MB đi qua trung điểm của CH
Bài 81:
Cho điểm O cách đường thẳng (d) là 4cm Vẽ đường tròn (O ; 5cm)
a Chứng minh rằng đường tròn (O) có hai giao điểm với đường thẳng (d)
b Gọi hai giao điểm nói trên là B và C, tính độ dài BC
Bài 82:
Cho điểm M ở ngoài (O ; R), qua M ta kẻ cát tuyến MAB qua tâm O và cát tuyến MCD Kẻ tiếp tuyến MT Chứng minh rằng:
Trang 13a Chứng minh rằng tam giác BEC cân
b Gọi I là hình chiếu của A lên BE Chứng minh rằng AI = AH
c Chứng minh rằng BE là tiếp tuyến của (A ; AH)
d Chứng minh rằng BE = BH + DE
Bài 84:
Cho tam giác ABC cân tại A, I là giao điểm của các đường phân giác
a Hãy xác định vị trí tương đối của đường thẳng AC với đường tròn (O) ngoại tiếp tam giác BIC
b Gọi H là trung điểm của BC, IK là đường kính của (O) Hãy chứng minh AI HI
Cho đường tròn tâm O Điểm K nằm bên ngoài (O) Kẻ các tiếp tuyến KA, KB với đường tròn (A và
B là hai tiếp điểm) Kẻ đường kính AC của (O) Tiếp tuyến của (O) tại C cắt AB tại E Chứng minh rằng:
a Tam giác KBC và tam giác OBE đồng dạng với nhau
b CK OE
Bài 87:
Cho hai đường tròn (O) và (O') tiếp xúc trong với nhau tại A Qua A vẽ một cát tuyến cắt hai đường tròn (O) và (O') lần lượt tại B và C Kẻ các tiếp tuyến Bx của đường tròn (O) và Cy của đường tròn (O') Chứng minh rằng Bx // Cy
Trang 14Cho hai đường tròn (O) và (O') cắt nhau tại A và B sao cho hai điểm O và O' cùng thuộc một nửa mặt phẳng bờ AB Biết OA = 30cm, O'A = 26cm, AB = 48cm Tính độ dài OO'
Bài 94:
Cho đường tròn (O) bán kính OA và đường tròn (O') đường kính OA
a Hãy xác định vị trí tương đối của hai đường tròn (O) và (O')
b Dây AN của đường tròn lớn cắt đường tròn nhỏ tại M Chứng minh rằng AM = MN
Bài 95:
Cho hai đường tròn (O) và (O') tiếp xúc ngoài với nhau tại A Qua A vẽ hai đường thẳng cắt (O) và (O') lần lượt tại B và C (BC không song song với OO')
a Chứng minh OB và O'C song song với nhau
b Vẽ đường kính BD của đường tròn (O), đường kính CE của đường tròn (O') Chứng minh rằng AB.CE = AC.BD
Bài 96:
Trang 15Cho hai đường tròn (O) và (O') ở ngoài nhau Kẻ các tiếp tuyến chung ngoài AB và CD của hai đường tròn, trong đó A và C thuộc (O); B và D thuộc (O') Tiếp tuyến chung của hai đường tròn là
GH cắt AB và CD theo thứ tự ở E và F; G thuộc (O), H thuộc (O') Chứng minh rằng:
Cho ABC ngoại tiếp đường tròn (O) Gọi D, E, F theo thứ tự là tiếp điểm trên các cạnh BC, AB,
AC Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ D đến EF Chứng minh rằng: BHECHF
Bài 105:
Trang 16kính theo thứ tự là AB, AC, CB Đường vuông góc với AB tại C cắt nửa đường tròn lớn tại D DA,
DB cắt nửa đường tròn có đường kính AC, CB theo thứ tự tại M, N
a Tứ giác DMCN là hình gì?
b Chứng minh hệ thức DM DA DN DB
c Chứng minh rằng MN là tiếp tuyến chung của các đường tròn có đường kính AC và CB
d Điểm C ở vị trí nào trên AB thì MN có độ dài lớn nhất?
Bài 106:
Cho đường tròn (O) và điểm A cố định trên đường tròn Gọi xy là tiếp tuyến với đường tròn tại A
Từ một điểm M nằm trên xy, vẽ tiếp tuyến MB với đường tròn Gọi H là trực tâm của tam giác MAB
a Chứng minh rằng tứ giác BDCE là hình thoi
b Gọi I là giao điểm của EC và đường tròn (O') Chứng minh rằng 3 điểm D, A, I thẳng hàng
c Chứng minh rằng KI là tiếp tuyến của đường tròn (O')
Bài 108:
Cho nửa đường tròn tâm O có đường kính AB Gọi M là điểm bất kỳ thuộc nửa đường tròn H là chân đường vuông góc kẻ từ M tới AB, vẽ đường tròn (M; MH) Kẻ các tiếp tuyến AC, BD với đường tròn M (C và D là các tiếp điểm khác H)
a Chứng minh rằng C, M, D thẳng hàng và CD là tiếp tuyến của đường tròn (O)
b Chứng minh rằng khi điểm M di chuyển trên nửa đường tròn (O) thì tổng AC + BD không đổi
c Giả sử CD và AB cắt nhau tại I Chứng minh rằng tích OH.OI không đổi
Trang 17a Chứng minh BEC cân
b Gọi I là hình chiếu của A trên BE Chứng minh rằng AI AH
c Chứng minh rằng BE là tiếp tuyến của đường tròn ( ;A AH )
d Chứng minh rằng BE BH DE
Bài 111:
Cho ABC cân tại A Gọi I là giao điểm của các đường phân giác
a Hãy xác định vị trí tương đối của đường thẳng AC với đường tròn (O) ngoại tiếp BIC
b Gọi H là trung điểm của BC, IK là đường kính của đường tròn (O) Chứng minh rằng
AI HI
AK HK
Bài 112:
Cho ABC vuông tại A (AB < AC) nội tiếp đường tròn (O) đường kính BC Kẻ dây AD BC tại
I Gọi E là giao điểm của DB và CA Qua E kẻ đường thẳng vuông góc với BC, cắt BC tại H, cắt AB
ở F Chứng minh rằng:
a EBF là tam giác cân
b HAF là tam giác cân
c HA là tiếp tuyến của đường tròn (O)
Bài 113:
Cho hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài tại A Kẻ tiếp tuyến chung ngoài DE,
;
D O E O Kẻ tiếp tuyến chung trong tại A, cắt DE ở I Gọi M là giao điểm của OI và AD,
N là giao điểm của O’I và AE
a Tứ giác AMIN là hình gì? vì sao?
b Chứng minh hệ thức IM IO IN IO
c Chứng minh rằng OO’ là tiếp tuyến của đường tròn có đường kính là DE
Trang 18Bài 114:
Cho đường tròn (O) đường kính AB, điểm M thuộc đường tròn Vẽ điểm N đối xứng với A qua M
BN cắt đường tròn ở C Gọi E là giao điểm của AC và BM
a Chứng minh rằng NE AB
b Gọi F là điểm đối xứng với E qua M Chứng minh rằng FA là tiếp tuyến của đường tròn (O)
c Chứng minh rằng FN là tiếp tuyến của đường tròn ( ;B BA )
a Chứng minh rằng đường thẳng AC tiếp xúc với đường tròn (N)
b Đường thẳng AC cắt đường tròn (O) tại D và E Tính độ dài DE
Bài 117:
Cho đường tròn ( ; )O R và một điểm A ở ngoài đường tròn Từ một điểm M di động trên đường thẳng d OA tại A, vẽ các tiếp tuyến MB, MC với đường tròn (B, C là các tiếp điểm) Dây BC cắt
OM và OA lần lượt tại H và K
a Chứng minh rằng OA.OK không đổi, từ đó suy ra BC luôn đi qua một điểm cố định
b Chứng minh rằng H di động trên một đường tròn cố định
c Cho biết OA2R, hãy xác định vị trí của điểm M để diện tích tứ giác MBOC là nhỏ nhất Tính giá trị nhỏ nhất đó
Bài 118:
Trang 19Cho đường tròn (O) và (O’) ở ngoài nhau Gọi AB và CD là các tiếp tuyến chung ngoài trong đó
A C O B D O Đường thẳng AD cắt (O) và (O’) lần lượt tại E và F Chứng minh rằng:
a Bốn điểm A, B, C, D cùng thuộc một đường tròn
b AE DF
Bài 119:
Cho ABC nhọn nội tiếp đường tròn ( ; )O R Gọi M là trung điểm của BC Giả sử O nằm trong
AMC
hoặc O nằm giữa A và M Gọi I là trung điểm của AC Chứng minh rằng:
a Chu vi của IMC lớn hơn 2R
b Chu vi của ABC lớn hơn 4R
b Chứng minh: A, D, E, M cùng thuộc một đường tròn
c Xác định tâm của đường tròn đi qua 3 điểm B, D, E
Trang 20Bài 123:
Cho tam giác ABC cân tại A nội tiếp đường tròn (O) Gọi D là trung điểm của AC, tiếp tuyến của đường tròn (O) tại A cắt tia BD tại E Tia CE cắt (O) tại điểm thứ hai là F
a Chứng minh BC // AE
b Chứng minh tứ giác ABCE là hình bình hành
c Gọi I là trung điểm của CF và G là giao điểm của các tia BC và OI Tính tỉ số
BAC BGO
a BA là tia phân giác của OBH
b Các đường tròn ( ;B BH và ( ;) C CK tiếp xúc ngoài với nhau )
c BC là tiếp tuyến của đường tròn ( ;A AH )
d Chứng minh các đường tròn ( ;B BH ; ( ;) C CK và ( ;) A AH cùng đi qua một điểm )
Trang 21b PQ là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (O) và (O’)
Cho hai đường tròn (O; R) và (O’; r) tiếp xúc ngoài nhau tại A, kẻ tiếp tuyến chung ngoài BC, trong
đó B O C; O OI cắt AB tại K, IO’ cắt AC tại H
a Tứ giác IKAH là hình gì?
b Tứ giác OBCO’ là hình gì? Tính chu vi của tứ giác OBCO’
c Gọi D là giao điểm của CA với đường tròn (O) ( D A) , chứng minh rằng ba điểm B, O, D thẳng hàng
Bài 129:
Cho hai đường tròn (O) và (O’) ở ngoài nhau, kẻ các tiếp tuyến chung ngoài AB và CD (A, C thuộc (O); B, D thuộc (O’)) Kẻ tiếp tuyến chung trong GH (G thuộc (O); H thuộc (O’)) GH cắt AB, CD theo thứ tự tại E và F Chứng minh rằng:
Cho ABC vuông tại A, đường cao AH, vẽ ( ;A AH và tiếp tuyến BD, CE với ( ;) A AH , các điểm )
D, E là tiếp điểm Đường thẳng BC cắt đường thẳng DE tại K Chứng minh rằng:
Trang 22b Ba điểm D, A, E thẳng hàng
c DE là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp ABC
d CK BH BK CH
Bài 132:
Cho đường tròn (O), đường kính AB và điểm I nằm giữa A và O Qua I kẻ dây cung CD rồi kẻ AH,
OE, BK vuông góc với CD Đường thẳng OE cắt BH ở F Chứng minh:
a F là trung điểm của HB
Bài 136:
Gọi R và r theo thứ tự là bán kính của các đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp một tam giác vuông có diện tích S Chứng minh rằng: R r 2S