lý thuyết và bài tập đường tròn

Đường tròn A.Tóm tắt lí thuyết 1, Định nghĩa Trong hình học phẳng, đường tròn hoặc vòng tròn là quĩ tích của tất cả những điểm trên một mặt phẳng , cách đều một điểm cho trước bằng một

Đường tròn A.Tóm tắt lí thuyết

1, Định nghĩa

Trong hình học phẳng, đường tròn (hoặc vòng tròn) là quĩ tích của tất cả

những điểm trên một mặt phẳng , cách đều một điểm cho trước bằng một khoảng cách cho trước Điểm cho trước gọi là tâm của đường tròn, còn

khoảng cho trước gọi là bán kính của đường tròn.

2, Các định lí, tính chất cơ bản cần nhớ

a Qua 3 điếm không thẳng hàng, ta vẽ được một và chỉ một đường tròn

b Đường tròn là hình có tâm đối xứng, đó chính là tâm của đường tròn

c Đường tròn là hình có tâm đối xứng, bất kì đường kính nào cũng là trục đối xứng của đường tròn

d Quan hệ giữa đường kính và dây cung:

- Đường kính vuông góc với một dây thì đi qua trung điểm của dây ấy

- Đường kính đi qua trung điểm của một dây không đi qua tâmthì vuông góc với dây ấy

e Quan hệ giữa dây cung và khoảng cách đến tâm:

Trong một đường tròn hai dây cung bằng nhau khi và chỉ khi chúng cách đều tâm

Trong hai dây cung không bằng nhau của một đường tròn, dây cung lớn hơn khi và chỉ khi nó gần tâm hơn

f Tiếp tuyến của đường tròn

-Nếu một đường thẳng là tiếp tuyến của một đường tròn thì nó vuông

góc với bán kính đi qua tiếp điểm

-Nếu một đường thẳng đi qua một điểm của đường tròn và vuông gócvới bán kính đi qua điểm đó thì đường thẳng ấy là một tiếp tuyến của đườngtròn

- Nếu hai tiếp tuyến của một đường tròn cắt nhau tại một điểm thì: + Điểm đó cách đều hai tiếp điểm

+ Tia kẻ từ điểm đó đi qua tâm là phân giác của góc tạo bởi hai tiếptuyến

+ Tia kẻ từ tâm đi qua điểm đó là phân giác của góc tạo bởi hai bán kính qua 2 tiếp điểm

g.Nếu hai đường tròn cắt nhau thì đường nối tâm là trung trực của dâychung.

h.Nếu hai đường tròn tiếp xúc nhau thì tiếp điểm của chúng nằm trên đường nối tâm

* Nếua2 + b2 – c > 0 thì phương trình x2 + y2 - 2ax – 2by + c =0 là

phương tình của đường tròn tâm I(a,b), bán kình R =

trình x2 + y2 - 2ax – 2by + c =0

Chú ý: ta có

- Đường tròn tâm O bán kính R có phương trình x2 + y2 = R2

- Đường tròn đơn vị có phươnh trình x2 + y2 =1

4, Phương trình tiếp tuyến đường tròn

của đường tròn (C): (x –a)2 + (y – b)2 = R2

có phương trình: (x –a)(x0 - a) + (y –b)(y0 - b) = R2 (6)

Chú ý:

a, Phương trình (6) được gọi là phương trình phân đôi toạ độ theo qui tắc (x –a)2 = (x –a).(x –a) thay bằng (x –a)(x0 - a)

(y –b)2 = (y –b).(y –b) thay bằng (y –b)(y0 - b)

b, Nếu ( C) có phương trình tổng quát

( C) : x2 + y2 - 2ax – 2by + c =0 , với a2 + b2 – c ≥ 0

thì tiếp tuyến (d) có phương trình:

(d) : x.x0 + y.y0 – a(x + x0) – b(y + y0) + c = 0

y2 = y.y thay bằng y.y0

2ax = a( x + x) thay bằng a( x + x0)

2by = b( y + y) thay bằng b(y + y0)

c, Trong trường hợp tổng quát, đường thẳng (d) tiếp xúc ( là tiếp tuyến) với đường tròn ( C) có tâm I và bán kính R khi và chỉ khi:

- nếu m > 0 thì (2) là phương trình đường tròn tâm I(a,b) bán kính R =

* Các ví dụ :

Ví dụ 1: Trong các phương trình sau, phương trình nào niểu diễn

đường tròn? Xác định tâm và bán kính nếu có:

Vậy (1) không phải là phương trình đường tròn

c, phương trình đã cho không phải phương trình đường tròn vì hệ số của x2

a, Với giá trị nào của m thì (1) là phương trình đường tròn?

b, Nếu (1) là phương trình đường tròn hãy tìm toạ độ tâm và bán kính

- Viết phương trình (C) theo dạng (x –a)2 + (y – b)2 = R2

Từ điều kiện đề bài đ ưa đến hệ phương trình với ẩn số là a,b,c





5 9

5 9

5 9

5 9



5 3

5 3

5

9 6

5 2



 m m

Giải hệ phương trình tìm a, b, c thế vào (2) ta được phương trình đường tròn (C)

Ví dụ 1:Lập phương trình đường tròn (C) trong các trường hợp sau :

a, (C) có tâm I(-2 ; 3) và đi qua M(2 ; -3)

b, (C) có tâm I(-2 ; 3) và tiếp xúc đường thẳng d : x – 2y + 7 = 0

c, (C) có đường kính AB với A(1 ; 1) và B(7 ;5)

(C) đi qua điểm A(1 ;2), nên : 5 -2a -2b + c = 0 (1)





(C) đi qua điểm B(5 ;2) nên : 29 – 10a – 4b + c = 0 (2).

(C) đi qua điểm C(1 ;-3) nên : 10 – 2a + 6b + c = 0 (3)

Từ (1), (2) và (3) : a = 3 ; b = -1/2 ; c = -1

3, Lập phương trình tiếp tuyến đường tròn

Dạng 1: Tiếp tuyến tại một điểm M0(x0, y0) thuộc đường tròn

Ta dùng công thức tách đôi tọa độ

thì phương trình tiếp tuyến là: xx0 + yy0- a(x + x0) - b(y + y0) + c = 0

- Nếu phương trình đường tròn là: (x - a)2 + (y - b)2 = R2 thì phương trình tiếp tuyến là: (x - a)(x0- a) + (y - b)(y0- b) = R2

 Ghi chú: Ta luôn luôn tìm được hai đường tiếp tuyến.

· Dạng 3: Tiếp tuyến có phương cho trước.

– Viết phương trình của D có phương cho trước (phương trình chứa

- Giả sử (d) : Ax + By + C = 0, A2 + B2 > 0 là tiếp tuyến chung của (C)

a Tìm tâm và bán kính của đường tròn

b Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn tại A(-1 ;0)

c Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn vuông góc

d : 3x - 4y +5 = 0

Giải.

a, ta có : -2a = -4, -2b = 8 và c = -5

=> a = 2, b = -4 và c = -5

Tâm I(2, -4)

bán kính R = = 5

b, Phương trình tiếp tuyến của đường tròn tại A :

(x0 – a)(x – x0) + (y0 – b)(y – y0 ) = 0

| 3







Bài 1: Lập phương trình đường tròn trong các trường hợp sau:

a, Đường kính AB với A(1;1) và B(3;5)

b, Đi qua (3;4) và tâm là gốc toạ độ

(Đ/s: a, (C) : x2 + y2 – 2x – 6y + 8=0 b, (C) : x2 + y2 = 25)

Bài 2: lập phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác có 3 cạnh trên 3

đường thẳng sau: x – 5y – 2 = 0; x – y +2 = 0; x + y – 8 = 0

(Đ/s: x2 + y2 – 4x – 22 = 0)

Bài 3: cho 2 đường thẳng : (d1): 2x + y – 1 = 0; (d2) : 2x - y – 2

thuộc đường thẳng (d) : x – y -1 = 0

(Đ/s: (C1) : ( x - )2 + ( y - )2 = ; (C2) : (x + )2 + (y + )2 =

Bài 4: cho 2 điểm A(4;0) , B(0;3) lập phương trình đường tròn nội tiếp

(Đ/s: (x – 1)2 + ( y – 1)2 = 1

Bài 5: cho biết B(0;1), C(1;0) và trực tâm H(2;1) lập phương trình

đường tròn ngoại tiếp (Đ/s: x2 + y2 = 1)

Bài 6: Cho điểm M(-4;-6) và đường tròn (C) có phương trình :

Bài 8: cho đường tròn (C) c ó phương trình: (x – 1)2 + (y + 1)2 = 10

lập phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến tạo với : 2x + y – 4 = 0một góc 45 (Đ/s: d1: : x + 3y – 8 = 0; d2: : 3x - y – 14 = 0; d3: x + 3y +12 =0

d4: 3x - y+ 6 = 0

Bài 9: Viết phương trình đường tròn (C) qua A(-4;2) và tiếp xúc với hai trục

tọa độ (Đ/s: C1: (x + 2)2 + (y – 2)2 = 4 ; C2: (x + 10)2 + (y – 10)2 = 100

Bài 10: Cho đường tròn (C) : x2 y2  2x 4y  2 0 Viết phương trình đường

s: (C’) : (x - 5)2 + (y - 1)2 = 0 )

Bài 11: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C) có phương

(C’), bán kính R’ = 2 và tiếp xúc ngoài với (C) tại A

(C): x2 + y2 + 2(m – 1)x – 2(m – 3)y + 2 = 0 (1)

a) Tìm m để (1) là đường tròn tâm I(1; -3) Viết phương trình (C) tương ứng

Bài 2: Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC biết A(3;0) , đường cao từ

đỉnh B có phương trình x + y + 1 = 0 trung tuyến từ đỉnh (C) có phương trình 2x – y – 2 = 0 Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

Giải:

Bài 3: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C) :

thẳng d: 3x + y – 2 = 0 và cắt đường tròn theo 1 dây cung có độ dài bằng 6

Bài 4: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy Cho đường tròn (C) :

Bài 5: Cho đường tròn (C): 2 2

A

Bài 6: Cho đường tròn (A) có phương trình (x 1) 2  (y 2) 2  9(1) và điểm

Giải : Đường tròn (A) có tâm I(-1;2) và R=3

Thay M(2;3) vào (1) ta được 10 > 9 => M nằm ngoài đường tròn nên MP.MQ

= MI2 – R2 = 10 – 9 = 1

Bài 7: Cho hai đường thẳng d1 : 4x 3y 14 0,  d2 : 3x 4y 8 0  và điểm

theo dây cung AB = 8

a) Chứng minh rằng điểm A ở ngoài đường tròn.b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) từ đỉnh A.

Bài 9: Cho đường tròn có phương trình là 2 2

phương trình tiếp tuyến d của đường tròn trong các trường hợp sau:

a) Điểm tiếp xúc là M(2;1)

b) d đi qua A(3;6)

c) d song song với đường thẳng 3x – 4y – 2008 = 0

Bài 10: Cho đường tròn x2 y2  2x 2y  6 0và điểm M(2;4)

a) Viết phương trình đường thẳng đi qua M cắt đường tròn tại hai điểm A, B sao cho M là trung điểm của đoạn thẳng AB

b) Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn có hệ số góc k = -1

Bài 11: Cho đường tròn (C): x2 y2  2x 4y 4 0  và điểm A(2;5) Lập phương trình tiếp tuyến kẻ từ A tới đường tròn Giả sử tiếp xúc với đường tròn tại hai điểm M, N Hãy tính độ dài MN.

b,Xét A(8;6) Lập phương trình đường thẳng d tiếp xúc với (C) tại A.c,Nhận xét gì về các đường tròn (C)

b) nhận xét A(8;6) thuộc (C) với mọi M

phương trình tiếp tuyến với (C) tại A(8;6) là:

c) ( ) à(d)  v cố định đều đi qua A(8;6) và      d nên suy ra các đường tròn