Lý thuyết số phức và một số ứng dụng (tt)

TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUẢNG BÌNHKHOA KHOA HỌC TỰ NHIÊNKHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP LÍ THUYẾT SỐ PHỨC VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG Giảng viên hướng dẫn: ThS.. LỜI MỞ ĐẦUSố phức, đôi khi được gọi là "số ảo" nhưng

TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUẢNG BÌNHKHOA KHOA HỌC TỰ NHIÊN

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP

LÍ THUYẾT SỐ PHỨC VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG

Giảng viên hướng dẫn: ThS Trần Hồng Nga

Sinh viên: Nguyễn Thị HươngLớp: ĐHSP Toán Khóa 56

Quảng Bình - 2018

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan khóa luận này do chính bản thân tôi thực hiện, dưới sựhướng dẫn khoa học của ThS Trần Hồng Nga Các kết quả trích trong khóaluận là hoàn toàn trung thực

Tác giảNguyễn Thị Hương

LỜI CẢM ƠN

Khóa luận được hoàn thành dưới sự hướng dẫn nhiệt tình, nghiêm túc của

cô giáo ThS Trần Hồng Nga Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến cô,người đã dành nhiều thời gian để hướng dẫn, giải đáp thắc mắc và động viên

em trong quá trình làm khóa luận

Em xin chân thành cảm ơn các thầy cô Trường Đại học Quảng Bình, đặcbiệt là các thầy cô Khoa Khoa học Tự nhiên Cảm ơn các thầy cô cùng với trithức và tâm huyết của mình đã tận tình truyền đạt kiến thức, kinh nghiệmcho em trong suốt những năm em học tập tại trường.Với vốn kiến thức đượctiếp thu trong quá trình học tập, đó không chỉ là nền tảng khoa học cho quátrình làm khóa luận này mà còn là hành trang quý báu về sau cho em

Em cũng xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến gia đình, người thân và bạn bè.Cảm ơn mọi người đã luôn ở bên, quan tâm và giúp đỡ em trong suốt thờigian vừa qua Những tình cảm quí báu ấy là niềm động viên lớn lao dành cho

em, giúp em có thêm năng lượng, nhiệt huyết để hoàn thành nhiệm vụ này và

để bước tiếp con đường về sau

Một lần nữa, xin chân thành cảm ơn!

Mục lục

1.1 Định nghĩa số phức 5

1.2 Dạng đại số của số phức 7

1.2.1 Xây dựng số i 7

1.2.2 Dạng đại số của số phức 7

1.2.3 Các phép toán trên dạng đại số của số phức 8

1.2.4 Biểu diễn hình học của số phức 9

1.2.5 Số phức liên hợp Môđun của số phức 10

1.2.6 Căn bậc hai của số phức 12

1.3 Dạng lượng giác của số phức 13

1.3.1 Dạng lượng giác của số phức 13

1.3.2 Nhân số phức dưới dạng lượng giác 14

1.4 Căn bậc n của số phức 14

1.4.1 Căn bậc n của số phức 14

1.4.2 Căn bậc n của đơn vị 15

2 MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA SỐ PHỨC 17 2.1 Ứng dụng số phức trong giải hệ phương trình 17

2.2 Ứng dụng số phức trong các bài toán về đa thức 19

2.2.1 Bài toán xác định đa thức 19

2.2.2 Bài toán về phép chia đa thức 22

2.3 Ứng dụng số phức trong các bài toán tổ hợp 232.4 Ứng dụng số phức trong hình học phẳng 262.4.1 Ứng dụng số phức để biểu diễn một số khái niệm trong

hình học phẳng 262.4.2 Ứng dụng số phức để giải một số bài toán hình học phẳng 302.5 Bài tập đề nghị 34

LỜI MỞ ĐẦU

Số phức, đôi khi được gọi là "số ảo" nhưng kể từ khi ra đời đã tìm đượcrất nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực khác nhau của Toán học và trong đờisống thực tế của chúng ta Trong lịch sử phát triển của toán học, số phứcxuất hiện khá muộn từ thế kỷ XVI Lúc đó, khi nghiên cứu về các phươngtrình đại số, các nhà toán học Rafael Bobielli và Gerolamo Cardano đã đưa

kí hiệu căn bậc hai của số âm là nghiệm hình thức cho các phương trình bậchai, bậc ba và gọi chúng là đại lượng "ảo" Về sau, số phức được nhiều nhàtoán học nổi tiếng như: D’Alambert, Euler, Gauss, tiếp tục nghiên cứu vàhoàn thiện Việc mở rộng trường số phức là để giải những bài toán mà takhông thể giải trong trường số thực

Mặc dù ra đời sau nhưng số phức có rất nhiều ứng dụng trong các lĩnhvực của toán học như: đại số, giải tích, lượng giác, hình học, Trong nhiềubài toán, chỉ qua những phép biến đổi cơ bản của số phức, đã đưa ra nhữnglời giải ngắn gọn và đầy đủ Ngày nay, số phức còn được sử dụng trong nhiềulĩnh vực khoa học như: khoa học kĩ thuật, điện từ học, cơ học lượng tử,

Có thể nói sự ra đời của số phức đã đánh dấu một bước ngoặt quan trọngtrong lịch sử phát triển của khoa học nói chung và toán học nói riêng

Đối với học sinh bậc THPT nội dung số phức xuất hiện trong chươngtrình giải tích lớp12 với thời lượng không nhiều Do đó, học sinh mới chỉ biếtđược những kiến thức rất cơ bản của số phức, việc khai thác các ứng dụngcủa nó còn hạn chế và thiếu linh hoạt

Với mong muốn được tìm hiểu một cách đầy đủ và có hệ thống về sốphức cũng như các ứng dụng của nó trong giải toán, tác giả đã lựa chọn "Líthuyết số phức và một số ứng dụng" để làm đề tài khóa luận của mình Hivọng đây sẽ là một tài liệu bổ ích cho học sinh phổ thông, các bạn sinh viên,giáo viên trong quá trình học tập và giảng dạy

Khóa luận gồm có hai chương:

Chương I trình bày các kiến thức cơ bản liên quan đến số phức: cáchbiểu diễn số phức, căn bậc n của số phức,

Chương II trình bày một vài ứng dụng của số phức trong các bài toángiải hệ phương trình, xác định đa thức, tổ hợp, hình học.

Mặc dù đã cố gắng để hoàn thành khóa luận, tuy nhiên vẫn không thểtránh khỏi các thiếu sót và còn nhiều hạn chế Vì vậy, tác giả rất mong nhậnđược những ý kiến đóng góp của Quý thầy cô và bạn đọc

Xin chân thành cảm ơn!

Chương 1

LÍ THUYẾT SỐ PHỨC

Xét tập hợp R2 = R ×R = {(x, y)|x, y ∈R} Trên tập hợp R2, xácđịnh hai phép toán cộng và nhân như sau:

∀(x1, y1), (x2, y2) ∈R2:

((x1, y1) + (x2, y2) = (x1+ x2, y1+ y2)(x1, y1) × (x2, y2) = (x1x2− y1y2, x1y2+ y1x2) .Định nghĩa 1.1.1 Tập hợp R2 cùng với hai phép toán cộng và nhân đượcđịnh nghĩa như trên gọi là tập hợp số phức C, mỗi phần tử của C được gọi

ta có thể đồng nhất mỗi số phức (x, 0) với số thực x.

Đặt i = (0, 1), ta có: i2 = (0, 1)(0, 1) = (−1, 0) = −1 hay i là nghiệmcủa phương trình x2+ 1 = 0

Mệnh đề 1.2.1 Mỗi số phức có thể biểu diễn duy nhất dưới dạng z =

x + iy,trong đó : x, y ∈R; i2 = −1

Biểu thức x + iy được gọi là dạng đại số của số phức z = (x, y) Nhưvậy có thể viết:

C= {x + iy|x, y ∈ R, i2 = −1},trong đó:

• x = Rez được gọi là phần thực của số phức z

• y = Imz được gọi là phần ảo của số phức z

• i được gọi là đơn vị ảo

Nếu số phức có x = 0 thì gọi là số thuần ảo

Hai số phức (x1, y1), (x2, y2) gọi là bằng nhau khi và chỉ khi: x1 = x2 và

y1 = y2

Số phức z ∈ R khi và chỉ khi Imz = 0 và z ∈ C\R nếu Imz 6= 0

1.2.3 Các phép toán trên dạng đại số của số phức

Giả sử z1 = x1 + iy1, z2 = x2 + iy2 ∈ C, khi đó các phép toán về sốphức được thực hiện như sau:

• Phép cộng

z1+ z2 = (x1 + iy1) + (x2 + iy2) = (x1+ x2) + i(y1+ y2)

Dễ thấy tổng hai số phức là một số phức có phần thực là tổng các phầnthực, có phần ảo là tổng các phần ảo:

là tích của một số thực với một số phức.

• Phép chia

Giả sử z2 6= 0 có nghịch đảo là z2−1 Thương của phép chia z1

z2 là tíchcủa z1 với số phức nghịch đảo của z2, tức là:

z1

z2

= z1z2−1

1.2.4 Biểu diễn hình học của số phức

Như trên ta đã thấy, mỗi số phức z đều có dạng:

z = (x, y) = x + iy; x, y ∈ R, i2 = −1

Điều đó chứng tỏ rằng mỗi số phứcz hoàn toàn được xác định bởi một cặp sốthực(x, y) Mặt khác, trong mặt phẳng P, lấy một hệ tọa độ Descartes vuônggóc Oxy thì mỗi cặp số thực (x, y)được biểu diễn bởi một điểm M(x, y) trênmặt phẳng tọa độ đó Vậy mỗi số phức z = x + iy được biểu diễn bởi mộtđiểm M(x, y)trên một mặt phẳng tọa độ Khi đó số phức z cũng được gọi làtọa vị của điểm M và kí hiệu là M(z)

OM và được kí hiệu là |z|.Như vậy: |z| = |−−→OM | = √

8 |z1

z2| = |z1|

|z2|, (z2 6= 0).Chứng minh Các tính chất 1, 2, 3, 4 có thể suy ra trực tiếp từ định nghĩa

1.2.6 Căn bậc hai của số phức

Định nghĩa 1.2.4 Cho số phức z = a + bi, số phức w gọi là căn bậc haicủa số phức z nếu w2 = z, kí hiệu w = √

z.Như vậy, tìm căn bậc hai của số phức z là tìm tất cả các số phức wsao cho w2 = z Đặt w = x + iy, ta có w2 = (x + iy)2 = a + bi Suy ra

x2− y2+ 2xiy = a + bi Vậy cần tìm các số thực x, y thỏa mãn hệ phươngtrình:

b2

4y2 − y2 = a

Để ý rằng tích xy cùng dấu với b khi b 6= 0 nên:

• Nếu b > 0 thì x và y cùng dấu Khi đó ta được hai căn bậc hai của wlà:

1.3.1 Dạng lượng giác của số phức

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho số phức z = x + iy xác định bởivectơ −−→

OM Số thực r = √

x2+ y2 = |z| được gọi là bán kính cực của điểm

M, số đo θ ∈ (0, 2π] của góc lượng giác (−→

1.3.2 Nhân số phức dưới dạng lượng giác

Cho hai số phức z = |z|(cos ϕ + i sin ϕ) và w = |w|(cos θ + i sin θ), khiđó:

zw = |z||w|(cos ϕ + i sin ϕ)(cos θ + i sin θ)

= |z||w|(cos ϕ cos θ − sin ϕ sin θ) + i(sin ϕ cos θ + cos ϕ sin θ)

= |z||w|(cos(ϕ + θ) + sin(ϕ + θ))

Như vậy: |zw| = |z||w| và arg(zw) = argz +argw + k2π, k ∈ Z.

Nói cách khác, khi nhân hai số phức viết dưới dạng lượng giác, ta nhân haimôđun và cộng hai argument với nhau

Định lí 1.3.1 [DeM oivre] Cho z = |z|(cos θ + i sin θ), với n ∈ N, ta có:

zn = |z|n(cos nθ + i sin nθ).Chứng minh Định lí có thể được chứng minh bằng phương pháp qui nạptoán học

Chú ý : Công thức De Moivre vẫn đúng với n là số nguyên âm Ngoài ra

z = r(cos ϕ + i sin ϕ) còn được biểu diễn dưới dạng z = reiϕ gọi là biểu diễn

số phức dưới dạng mũ

1.4.1 Căn bậc n của số phức

Định nghĩa 1.4.1 Căn bậc n của số phức z là số phức w sao cho wn = z

Để khai căn bậc n của số phức z ta cần viết nó dưới dạng lượng giác, rồidùng công thức Moivre Giả sử:

z = r(cos ϕ + i sin ϕ); w = r1(cos θ + i sin θ)

Theo công thức Moivre, điều kiện wn = z cho ta:

√r(cos ϕ + k2π

n + i sin

ϕ + k2π

n ), k ∈ Z



1.4.2 Căn bậc n của đơn vị

Định nghĩa 1.4.2 Các nghiệm của phương trình zn− 1 = 0 gọi là căn bậc

tổ hợp và hình học phẳng.

Một phương trình với ẩn phức f (z) = 0 và với nghiệm z = x + iy , cóthể giải bằng cách tách phần thực và phần ảo ta luôn có thể đưa về dạng hệphương trình:

(h(x, y) = 0g(x, y) = 0 .Như thế, một số hệ phương trình có thể có "xuất xứ" từ các phương trìnhnghiệm phức Bằng cách đi ngược lại quá trình từ phương trình nghiệm phức

về hệ phương trình, tức là từ hệ phương trình đã cho ta biến đổi về phươngtrình nghiệm phức gốc Giải các phương trình nghiệm phức này, so sánh phầnthực và phần ảo, ta được nghiệm của hệ phương trình

Ví dụ 1 Giải hệ phương trình sau:

(

x2 + x − y2 = 5

Giải: Nhân hai vế phương trình thứ hai với i và cộng vào phương trình thứnhất ta được:

x = −6

y = −5Vậy (5, 5) và (−6, −5) là hai nghiệm của hệ (2.1)

Ví dụ 2 Giải hệ phương trình sau:

(4x − y + 3√

5x + y) = 3

√y(1 − 3

5x + y) = −1

(2.3)

2 + i.

Do u, v > 0 nên u =

√2

2.2.1 Bài toán xác định đa thức

Nghiệm của đa thức đóng vai trò quan trọng trong việc xác định một đathức Cụ thể nếu đa thức P (x) bậc n có n nghiệm x1, x2, , xn thì P (x)códạng:

P (x) = c(x − x1)(x − x2) (x − xn)

Tuy nhiên, nếu chỉ xét các nghiệm thực của đa thức thì trong nhiều trườnghợp sẽ không đủ số nghiệm, hơn nữa trong các bài toán phương trình hàm

đa thức, nếu chỉ xét các nghiệm thực thì lời giải sẽ không hoàn chỉnh Theođịnh lý cơ bản của đại số: "Một đa thức với hệ số phức luôn có ít nhất mộtnghiệm phức"[2], ta thấy số phức đóng một vai trò hết sức quan trọng trongcác bài toán xác định đa thức.

Ví dụ 4 Tìm tất cả các đa thức P (x) khác đa thức hằng sao cho:

P (x)P (x + 1) = P (x2+ x + 1) (2.4)Giải: Giả sử x0 là nghiệm của P (x) = 0, khi đó ta có:

P (x0) = 0 ⇒ P (x20+ x0+ 1) = 0nên x20+ x0+ 1 là nghiệm củaP (x) Thay

x bởi x − 1 trong (2.4) ta được: P (x − 1)P (x) = P (x2− x + 1)

Thế ngược trở lại vào (2.4) ta thấy Q(x) cũng thỏa mãn:

Q(x)Q(x + 1) = Q(x2 + x + 1).Nếu Q(x) = 0 có nghiệm thì lập luận tương tự suy ra nghiệm có môđunlớn nhất là ±i Điều này là vô lí vì Q(x) không chia hết cho x2 + 1

Như vậy Q(x) là đa thức hằng Giả sử Q(x) = c thay vào phương trình của

Q ta được c = 1

Vậy các đa thức thỏa mãn đề bài làP (x) = (x2+ 1)m, m nguyên dương

Ví dụ 5 Tìm tất cả các đa thức P (x) khác hằng sao cho:

P (x)P (x + 1) = P (x2) (2.5)Giải: Giả sử α là nghiệm của P (x) = 0 Khi đó từ phương trình suy ra

Lập luận tương tự ta cũng có: |(α − 1)2| = 0 hoặc (α − 1)2| = 1

Giả sử |α| = 1 và |(α − 1)2| = 1 Viết α = cos ϕ + i sin ϕ, ta có:

3 hoặc

5π

3 .Nếu ϕ = π

P (x) = c.xm.(1 − x)n, với c 6= 0; m, n là các số tự nhiên không đồng thờibằng không

Thay vào phương trình đã cho dễ dàng ta có: c = 1 và m = n

Vậy P (x) = xm.(1 − x)m, m ∈ N là các đa thức thỏa mãn đề bài.

2.2.2 Bài toán về phép chia đa thức

Ta biết rằng, nếu đa thứcP (x)chia hết cho đa thứcQ(x)thì mọi nghiệmcủaQ(x)đều là nghiệm của P (x) Tính chất đơn giản này giúp ta giải quyếtđược khá nhiều bài toán về sự chia hết của đa thức

Ví dụ 6 Với giá trị nào của n thì đa thức x2n+ xn+ 1 chia hết cho đa thức

P (x) chia hết cho Q(x) khi và chỉ khi x1, x2 là các nghiệm của P (x)

• Trường hợp 2: P (x2) = 0 ta cũng có kết quả như trên

Vậy với n 6= 3k, k ∈ Z thì P (x) chia hết cho Q(x)

Ví dụ 7 Tìm số dư trong phép chia x128+ x91 + x19 cho x2+ x + 1

Giải:

Vì số chia là một đa thức bậc hai nên số dư trong phép chia phải là đa

thức bậc nhất.

Khi đó ta có:

x128 + x91+ x19 = Q(x)(x2 + x + 1) + ax + b, (2.6)với Q(x) là đa thức không chia hết cho x2 + x + 1

Dễ thấy x = −1

2 + i

√3

2 )a + b = −

3

2 + i

√32

Vậy số dư cần tìm trong phép chia là x − 1

Một trong những ứng dụng của số phức vào tổ hợp đó là chứng minh mộtđẳng thức tổ hợp hay tính tổng của một dãy hữu hạn Phần này sẽ trình bàymột số ví dụ cho thấy số phức là một công cụ được sử dụng khá hiệu quảtrong dạng toán tổ hợp này

Từ đây suy ra: (1 − C2n+ C4n + · · · )2+ (C1n − C3

n + C5n + · · · )2 = 2n.Vậy đẳng thức được chứng minh

Nhận xét: Đẳng thức này cũng có thể chứng minh dựa vào kết quả ở ví dụ 7

30(1 + x)29 = C130+ 2xC230+ 3x2C330+ · · · + 28x27C2830+ 29x28C2930+ 30x29C3030.Cho x = i ta có:

Ví dụ 12 Chứng minh rằng:

C06cos6α − C26cos4α sin2α + C46cos2α sin4α − C66sin6α = cos 6α (2.9)

C16cos5α sin α − C36cos3α sin3α + C56cos α sin5α = sin 6α (2.10)Giải:

Xét số phức z = cos α + i sin α, ta có khai triển:

sẽ trình bày ứng dụng của số phức để mô tả một số khái niệm hình học phẳng

và chia sẻ một số ví dụ minh họa cho các ứng dụng này

2.4.1 Ứng dụng số phức để biểu diễn một số khái niệm trong

hình học phẳng

2.4.1.1 Biểu diễn điểm, vectơ

Nếu M có tọa vị z = a + ib thì cũng nói −−→

2.4.1.2 Khoảng cách giữa hai điểm

Giả sử các số phức z1, z2 có biểu diễn hình học lần lượt là các điểm

M1, M2 Khi đó khoảng cách giữa hai điểm M1, M2 được cho bởi công thức:

M1M2 = |z2− z1|

2.4.1.3 Tích vô hướng và tích lệch của hai vectơ

Cho hai vectơ −−→

Ta đã biết tích vô hướng của hai vectơ ~u, ~v là ~u.~v = |~u||~v| cos(~u, ~v) nếu

~u, ~v 6= ~0 và ~u.~v = 0 nếu ~u hay~v bằng~0

1 hz, zi = zz = |z|2, hz, wi = hw, zi;

• hiz, wi = [z, w];

• [iz, w] = − hz, wi

2.4.1.4 Đường thẳng

a Phương trình tham số của đường thẳng

Giả sử ∆ là đường thẳng đi qua điểm M0(z0), có vectơ chỉ phương ~u,

u ∈ C là tọa vị của ~u Đường thẳng ∆ là tập hợp các điểm M (z) sao cho:

−−−→

M M0 = t~u, t ∈ R:

M (z) ∈ ∆ ⇔ z − z0 = ut ⇔ z = z0+ ut, t ∈ R

Ta nói:

• Đường thẳng ∆ đi qua điểm M0(z0), có vectơ chỉ phương ~u(u), cóphương trình tham số là:

z = z0+ ut, với t ∈ R

• Đường thẳng ∆ đi qua hai điểm M1(z1), M2(z2) có phương trình tham

số là:

z = z1 + (z2− z1)t, với t ∈ RChú ý:

• Đoạn thẳng M1M2 là tập hợp các điểm M (z) sao cho

z = z1 + (z2− z1)t, với 0 ≤ t ≤ 1

• Tia M1M2, gốc là điểm M1(z1) là tập hợp tất cả các điểm M (z) saocho

z = z1 + (z2− z1)t, với 0 ≤ t

b Phương trình chính tắc của đường thẳng

Cho đường thẳng ∆ đi qua điểm M0(z0), có vectơ chỉ phương ~u(u) 6= ~0.Khi đó:

c Điều kiện song song và vuông góc của hai đường thẳng

Cho hai đường thẳngd1, d2có các vectơ chỉ phương tương ứng là~u(z), ~v(w)

• Điều kiện song song của hai đường thẳng d1, d2 là:

d1||d2 ⇔ ~u||~v ⇔ [z, w] = 0 ⇔ (zw − zw) = 0hoặc d1||d2 ⇔ z = kw, với k ∈ R

• Điều kiện vuông góc của hai đường thẳng d1, d2 là:

d1 ⊥ d2 ⇔ ~u ⊥ ~v ⇔ hw, zi = 0 ⇔ (zw + zw) = 0hoặc d1 ⊥ d2 ⇔ z = ikw, với k ∈ R