Định lý Roth Định lý Bertrand và Một vài ứng dụng Vũ Thị Liễu ĐH Thái Nguyên ĐHKH Ngày 16 tháng 04 năm 2015 Mục lục 1 Định đề Betrand 5 1 1 Số nguyên tố 5 1 2 Một vài cách biểu diễn số tự nhiên 7 1 3[.]
Trang 1Định lý Bertrand
và Một vài ứng dụng
Vũ Thị Liễu
ĐH Thái Nguyên-ĐHKH
Ngày 16 tháng 04 năm 2015
Trang 21 Định đề Betrand 5
1.1 Số nguyên tố 5
1.2 Một vài cách biểu diễn số tự nhiên 7
1.3 Định đề Bertrand 21
2 Số Liouville và Định lý Roth 26 2.1 Số siêu việt Liouviile 26
2.1.1 Tập đếm được, không đếm được 26
2.1.2 Tập các số siêu việt 29
2.1.3 Xấp xỉ Diophante 31
2.1.4 Số Liouville 32
2.2 Số siêu việt không là số Liouville 37
2.2.1 Tính siêu việt của số e 37
2.2.2 Tính siêu việt của số π 39
2.3 Giới thiệu Định lý Roth và vận dụng 40
2.3.1 Giới thiệu Định lý Roth 40
2.3.2 Vận dụng Định lý Roth vào giải Toán sơ cấp 42 2.4 Một vài vận dụng vào giải Toán sơ cấp 43
1
Trang 3Cho đa thức f (x) = adxd + ad−1xd−1 + · · · + a1x + a0 ∈ Z[x] với
ad > 0 và (ad, , a1, a0) = 1 Giả sử số hữu tỷ a
b ∈ Q với b > 0.Khi đó ta có biểu diễn dưới đây:
d+ ad−1
ab
d−1+ · · · + a1
ab
+ a0 = m
bd, m ∈ Z
Dễ dàng thấy ngay hoặc f
ab
= 0 hoặc f
ab
= m
bd với |m| > 1.Như vậy, khi fa
b
6= 0 ta luôn có
fab
>
1
bd thỏa mãn chomọi số hữu tỷ a
b với b > 0 và d = deg f (x) Một câu hỏi đầu tiên
có thể đặt ra: Liệu có thể thay thế số d bằng một số tự nhiêndương s nào đó để với mỗi số hữu tỷ a
b với b > 0 và f
ab
6= 0 taluôn có
f
ab
... bày lại số kết sốLiouville, định lý Bertrand định lý Roth
Luận văn gồm chương Chương dành để trình bày Định đ? ?Bertrand Chương giới thiệu Định lý Roth số ứng dụng. Chương thứ gồm mục Mục... đưa chứng minh bằnggiải tích cho định đề Năm 1932, Paul Erd˝os đưa mộtchứng minh đẹp cho Định đề Bertrand dùng kiến thứcToán sơ cấp, ơng 19 tuổi Tư tưởng Erd˝ostrong việc chứng minh Định đề Bertrand. ..
bn Năm 1844, Liouville chứng minh sốLiouville tồn số siêu việt Kết Liouville làxuất phát điểm cho định lý Roth hay định lý Thue-Siegel-Roth .Định lý Roth phát biểu với số đại số α /∈