BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOĐẠI HỌC HUẾ TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM PHẠM THỊ THANH THỦY KHÔNG GIAN METRIC NÓN VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁ
Trang 1BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐẠI HỌC HUẾ TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
PHẠM THỊ THANH THỦY
KHÔNG GIAN METRIC NÓN
VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG
Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số: 60 46 01 02
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Người hướng dẫn khoa học : PGS TS LÊ VĂN HẠP
Demo Version - Select.Pdf SDK
Trang 2LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi, các số liệu và kết quả nghiên cứu ghi trong luận văn là trung thực, được các đồng tác giả cho phép
sử dụng và chưa từng được công bố trong bất kỳ công trình nào khác
Họ tên tác giả
Phạm Thị Thanh Thủy
ii
Demo Version - Select.Pdf SDK
Trang 3LỜI CẢM ƠN
Trước khi trình bày nội dung chính của luận văn, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS TS Lê Văn Hạp, người đã tận tình hướng dẫn để em có thể hoàn thành luận văn này
Em cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới toàn thể các thầy cô giáo trong khoa Toán trường Đại học sư phạm Huế, Đại Học Huế đã dạy bảo em tận tình trong suốt quá trình học tập
Nhân dịp này em cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè
đã luôn bên em, cổ vũ, động viên, giúp đỡ em trong suốt quá trình học tập và thực hiện luận văn này
Đồng Nai, tháng 05 năm 2014
Học viên
Phạm Thị Thanh Thủy
Demo Version - Select.Pdf SDK
Trang 4Mục lục
Trang phụ bìa i
Lời cam đoan ii
Lời cảm ơn iii
Mục lục 1
MỞ ĐẦU 3
Chương 1 Tổng quan về không gian metric nón 5
1.1.Các khái niệm cơ bản 5
1.1.1 Nón trong không gian vecto trên trường số thực 5
1.1.2 Không gian vecto topo thứ tự 7
1.1.3 Nón trong không gian Banach thứ tự 8
1.2.Không gian metric nón 11
1.3.Không gian symmetric 14
Chương 2 Ánh xạ co trong không gian metric nón với nón chuẩn tắc và không chuẩn tắc 16
2.1.Điểm bất động trong không gian mertic nón chuẩn tắc 16
2.2.Điểm bất động trong không gian metric nón không chuẩn tắc 23 Chương 3 Ánh xạ co dạng tích phân trong không gian metric nón 30
3.1.Tích phân trên đoạn thẳng 30
1
Demo Version - Select.Pdf SDK
Trang 53.2.Định lý điểm bất động của ánh xạ co dạng tích phân 33
3.3.Phương trình vi tích phân Volterra - Fredholm 38
KẾT LUẬN 43
TÀI LIỆU THAM KHẢO 44
Demo Version - Select.Pdf SDK
Trang 6MỞ ĐẦU
Ta biết không gian metric là cặp (X, d) trong đó ánh xạ d : X × X → R thỏa
ba tính chất quen thuộc:
i) d(x, y) ≥ 0, ∀x, y ∈ X; d(x, y) = 0 ⇐⇒ x = y (Tính xác định dương) ii) d(x, y) = d(y, x), ∀x, y ∈ X (Tính đối xứng)
iii) d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z), ∀x, y, z ∈ X (Bất đẳng thức tam giác)
Có thể hình dung không gian metric là một tập hợp mà trong đó khái niệm về khoảng cách (metric) giữa các phần tử được định nghĩa
Từ những năm 1930, một số nhà toán học tìm cách thay thế R trong định nghĩa metric bởi không gian Banach thứ tự Muốn vậy, họ đưa thứ tự vào không gian này bằng khái niệm “nón” và kết quả thu được “không gian metric nón” Trong không gian metric nón, metric không còn là một số thực dương mà là một vecto – một phần tử của không gian Banach được trang bị “nón” Khi đó, nhiều vấn đề của không gian metric như: không gian đủ, ánh xạ co, điểm bất động, được đề xuất
và nghiên cứu trong không gian mới này
Vào năm 2007, Huang và Zhang [3] đã tiến thêm một bước khi định nghĩa sự hội tụ của dãy thông qua các điểm trong của nón Cách tiếp cận này cho phép nghiên cứu không gian nón trong trường hợp nón không nhất thiết phải chuẩn tắc
Từ đó trở đi, nhiều kết quả về định lý điểm bất động được mở rộng từ không gian metric thông thường vào không gian metric nón Có thể thấy lý thuyết điểm bất động đóng vai trò nổi bật trong việc nghiên cứu không gian metric nón bởi lẽ nó
có những ứng dụng rộng rãi trong nhiều ngành của toán học như: giải tích phi tuyến, phương trình vi tích phân, Đặc biệt, các định lý điểm bất động trên các không gian thứ tự, trên nón, nón chuẩn tắc, nón không chuẩn tắc, được mở rộng cho nhiều lớp ánh xạ co khác nhau (ánh xạ co Banach, ánh xạ co dạng tích phân, .), thể hiện qua các công trình nghiên cứu của Huang và Zhang [3], M Abbas và
3
Demo Version - Select.Pdf SDK
Trang 7Jungek [1], F Khojasteh, Z Goodarzi và A Razani [6], Jankovic, Khadelburg và Radenovic [4], Có khá nhiều kết quả được công bố từ năm 2007 đến nay và còn tiếp tục
Vì vậy, chúng tôi chọn đề tài luận văn là:
KHÔNG GIAN METRIC NÓN VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG
Trong luận văn này, chúng tôi tập trung nghiên cứu, tìm hiểu tổng quan về không gian metric nón, các tính chất cơ bản và một số kết quả về điểm bất động của ánh xạ co, đặc biệt là các kết quả liên quan đến điều kiện dạng tích phân (một loại tích phân mới liên quan đến thứ tự trong nón) và ứng dụng
Ngoài phần mục lục, kết luận và tài liệu tham khảo, nội dung luận văn được trình bày trong 3 chương:
• Chương 1: Tổng quan về không gian metric nón
• Chương 2: Ánh xạ co trong không gian metric nón với nón chuẩn tắc và không chuẩn tắc
• Chương 3: Ánh xạ co dạng tích phân trong không gian metric nón
Mặc dù đã có nhiều cố gắng nhưng luận văn không tránh khỏi những hạn chế
và thiếu sót Chúng tôi rất mong nhận được những ý kiến đóng góp của các thầy,
cô giáo và bạn bè để luận văn được hoàn thiện hơn Xin chân thành cảm ơn!
Demo Version - Select.Pdf SDK