lý thuyết hàm số liên tục

1. Hàm số y x = sin • Tập xác định: D R = • Tập giác trị: 1;1 − , tức là −≤ ≤ ∀∈ 1 sin 1 x xR • Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng ( 2; 2) 2 2 π π −+ + k k π π , nghịch biến trên mỗi khoảng 3 ( 2; 2) 2 2 π π + + k k π π . • Hàm số y x = sin là hàm số lẻ nên đồ thị hàm số nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng. • Hàm số y x = sin là hàm số tuần hoàn với chu kì T = 2π . • Đồ thị hàm số y x

Trang 1

2 Hàm số liên tục trên một khoảng: y = f(x) liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng đó

3 Hàm số liên tục trên một đoạn [a; b]: y = f(x) liên tục trên (a; b) và

lim+ ( ) ( ), lim− ( ) ( )

x a f x f a x b f x f b

• Hàm số đa thức liên tục trên R

• Hàm số phân thức, các hàm số lượng giác liên tục trên từng khoảng xác định của chúng

Giả sử y = f(x), y = g(x) liên tục tại điểm x0 Khi đó:

• Các hàm số y = f(x) + g(x), y = f(x) – g(x), y = f(x).g(x) liên tục tại x0

• Hàm số y = ( )

( )

f x

g x liên tục tại x0nếu g(x0) ≠ 0

4 Nếu y = f(x) liên tục trên [a; b] và f(a) f(b)< 0 thì tồn tại ít nhất một số c ∈ (a; b): f(c) = 0 Nói cách khác: Nếu y = f(x) liên tục trên [a; b] và f(a) f(b)< 0 thì phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm c∈ (a; b)

Mở rộng: Nếu y = f(x) liên tục trên [a; b] Đặt m = [ ]

a b f x Khi đó với mọi T ∈

(m; M) luôn tồn tại ít nhất một số c ∈ (a; b): f(c) = T

VIP

Trang 2

f x x Chọn câu đúng trong các câu sau:

(I) f x liên t( ) ục tại x=2

(II) f x( )gián đoạn tại x=2

(III) f x liên t( ) ục trên đoạn [−2; 2]

A Chỉ ( )I và ( )III B Chỉ ( )I C Chỉ ( )II D Chỉ ( )II và ( )III

Câu 3 Cho hàm số ( )

2 3

Trang 3

A 3 B − 3 C 2 3

2 3.3

C Chỉ ( )I và ( )III D Cả ( ) ( ) ( )I ; II ; III đều sai

Câu 7 Cho hàm số ( ) sin 55 0

Trang 4

Câu 9.Cho hàm số

2

4( )

f x

x

Khẳng định nào sau đây đúng nhất

A Hàm số liên tục tại x=4

B Hàm số liên tục tại mọi điểm trên tập xác định nhưng gián đoạn tại x=4

C Hàm số không liên tục tại x=4

B Hàm số liên tục tại mọi điểm

A Hàm số liên tục tại tại x=1và x= −1

B Hàm số liên tục tại x=1, không liên tục tại điểm x= −1

C Hàm số không liên tục tại tại x=1và x= −1

A Hàm số liên tục tại tại tại x0 = −1

C Hàm số không liên tục tại tại x0 = −1

Trang 5

A Hàm số liên tục tại x0 =0

B Hàm số liên tục tại mọi điểm như gián đoạn tại x0 =0

C Hàm số không liên tục tại x0 =0

f x

x

C Hàm số không liên tục tại tại x=1

B Hàm số liên tục tại mọi điẻm

f x

a x

x x

Trang 6

DẠNG 2: TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ TRÊN TẬP XÁC ĐỊNH

Phương pháp:

+ Sử dụng các định lí về tính liên tục của hàm đa thức, lương giác, phân thức hữu tỉ …

+ Nếu hàm số cho dưới dạng nhiều công thức thì ta xét tính liên tục trên mỗi khoảng đã chia và tại các điểm chia của các khoảng đó

Câu 1 Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau:

( )I ( )

2

11

x liên tục với mọi x≠1

( )II f x( )=sinx liên tục trên 

( )II f x ( ) gián đoạn tại x= 3

( )III f x liên t( ) ục trên 

A Chỉ ( )I và ( )II B Chỉ ( )II và ( )III

C Chỉ ( )I và ( )III D Cả ( )I ,( )II ,( )III đều đúng

Câu 4 Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau:

Trang 7

, 03

x x

C Hàm số không liên tục trên (2 :+∞ )

D Hàm số gián đoạn tại điểm x=2

Câu 8 Cho hàm số

3

1 khi 11

( )

khi 12

f x

x

x x

A Hàm số liên tục trên 

B Hàm số không liên tục trên 

C Hàm số không liên tục trên (1:+∞ )

D Hàm số gián đoạn tại các điểm x=1

Câu 9 Cho hàm số ( ) tan , 0 ,

1)

2++

+

=

x x

f

Trang 8

2 3

, 12

1sin , 0

A f x liên t( ) ục trên  B f x liên t( ) ục trên \ 0{ }

C f x liên t( ) ục trên \ 1{ } D f x liên t( ) ục trên \ 0;1{ }

Câu 14 Cho hàm số ( ) 2sinf x = x+3 tan 2x Khẳng định nào sau đây đúng nhất

A Hàm số liên tục trên  B Hàm số liên tục tại mọi điểm

f x

a khi x

A Hàm số liên tục trên  B Hàm số không liên tục trên 

C Hàm số không liên tục trên (1:+∞ ) D Hàm số gián đoạn tại các điểm x=1

C Hàm số không liên tục trên (0;+∞ ) D Hàm số gián đoạn tại các điểm x=0

Trang 9

C Hàm số không liên tục trên (2;+∞ ) D Hàm số gián đoạn tại các điểm x= ±1

Câu 19 Xác định a b, để các hàm số ( ) sin khi 2

10

20

Trang 10

DẠNG 3: ÁP DỤNG TÍNH LIÊN TỤC XÉT SỐ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH

Phương pháp :

• Để chứng minh phương trình f x( )=0 có ít nhất một nghiệm trên D, ta chứng minh hàm số

( )

=

y f x liên tục trên D và có hai số a b, ∈D sao cho f a f b( ) ( )<0

• Để chứng minh phương trình f x( )=0 có k nghiệm trên D, ta chứng minh hàm số y= f x( ) liên tục trên D và tồn tại k khoảng rời nhau ( ;a a i i+1) (i=1,2,…,k) nằm trong D sao cho f a( ) (i f a i+1)<0

I f x liên t( ) ục trên đoạn [ ]a b và ; f a f b( ) ( ) <0 thì phương trình f x( )=0 có nghiệm

II f x không liên t( ) ục trên [ ]a b và ; f a f b( ) ( ) ≥0 thì phương trình f x( )=0 vô nghiệm

A Chỉ I đúng B Chỉ II đúng C Cả I và II đúng D Cả I và II sai

( )I f x liên t( ) ục trên đoạn [ ]a b và ; f a f b( ) ( ) >0 thì tồn tại ít nhất một số c∈( )a b sao cho; f c( )=0

( )II f x liên t( ) ục trên đoạn (a b và trên ; ] [b c ; ) nhưng không liên tục ( )a c ;

Trang 11

HƯỚNG DẪN GIẢI DẠNG 1: TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ TẠI MỘT ĐIỂM

Trang 12

(I) f x liên t( ) ục tại x=2

(II) f x( )gián đoạn tại x=2

(III) f x liên t( ) ục trên đoạn [−2; 2]

Trang 13

x f x Vậy không tồn tại giới hạn của hàm số khi x→2

Câu 7 Cho hàm số ( ) sin 5 0

Trang 14

f x

x

B Hàm số liên tục tại mọi điểm trên tập xác định nhưng gián đoạn tại x=4

D Tất cả đều sai

Hướng dẫn giải:

Ch ọn C

Trang 15

Hàm số không liên tục tại x=1

Câu 11 Cho hàm s ố 3 ( ) cos 2 khi 1

A Hàm số liên tục tại tại x=1và x= −1

B Hàm số liên tục tại x=1, không liên tục tại điểm x= −1

C Hàm số không liên tục tại tại x=1và x= −1

A Hàm số liên tục tại tại tại x0 = −1

Trang 16

C Hàm số không liên tục tại tại x0 = −1

B Hàm số liên tục tại mọi điểm như gián đoạn tại x0 =0

f x

x

C Hàm số không liên tục tại tại x=1

D Tất cả đều sai

Ch ọn C

Trang 17

B Hàm số liên tục tại mọi điẻm

Trang 18

f x

a x

x x

Trang 19

DẠNG 2: TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ TRÊN TẬP XÁC ĐỊNH

Phương pháp:

+ Sử dụng các định lí về tính liên tục của hàm đa thức, lương giác, phân thức hữu tỉ …

+ Nếu hàm số cho dưới dạng nhiều công thức thì ta xét tính liên tục trên mỗi khoảng đã chia và tại các điểm chia của các khoảng đó

( )I ( )

2

11

Dễ thấy kđ (I) sai, Kđ (II) là lí thuyết

Hàm số: f x( )= 9−x liên t2 ục trên khoảng(−3;3) Liên tục phải tại 3 và liên tục trái tại 3−

9

f x x liên tục trên đoạn [−3;3]

x liên tục với mọi x≠1

( )II f x( )=sinx liên tục trên 

x x

Trang 20

( )II f x ( ) gián đoạn tại x= 3

( )III f x liên t( ) ục trên 

f x x x là hàm đa thức nên liên tục trên 

Ta có ( )III đúng vì f x( )= x−2 liên tục trên (2;+∞ và ) ( ) ( )

x x

Trang 21

C Hàm số không liên tục trên (2 :+∞ )

D Hàm số gián đoạn tại điểm x=2

1)

2++

+

=

x x

f

Trang 22

Câu 8 Cho hàm số

3

1 khi 11

( )

khi 12

f x

x

x x

A Hàm số liên tục trên 

B Hàm số không liên tục trên 

C Hàm số không liên tục trên (1:+∞ )

D Hàm số gián đoạn tại các điểm x=1

Vậy hàm số liên tục trên 

Câu 9 Cho hàm số ( ) tan , 0 ,

Trang 23

, 12

1sin , 0

A f x liên t( ) ục trên  B f x liên t( ) ục trên \ 0{ }

C f x liên t( ) ục trên \ 1{ } D f x liên t( ) ục trên \ 0;1{ }

x

f x

x liên tục trên khoảng ( )0;1 ( )2

Với x<0 ta có f x( )=xsinx liên tục trên khoảng (−∞; 0) ( )3

Vậy hàm số liên tục tại x=0 ( )4

Từ ( )1 , ( )2 , ( )3 và ( )4 suy ra hàm số liên tục trên 

Trang 24

Câu 14 Cho hàm số f x( )=2 sinx+3 tan 2x Khẳng định nào sau đây đúng nhất

A Hàm số liên tục trên  B Hàm số liên tục tại mọi điểm

Trang 25

f x

a khi x

C Hàm số không liên tục trên (1:+∞ ) D Hàm số gián đoạn tại các điểm x=1

C Hàm số không liên tục trên (2;+∞ ) D Hàm số gián đoạn tại các điểm x= ±1

Ch ọn D

Hàm số liên tục tại mọi điểm x≠ ±1và gián đoạn tại x= ±1

Trang 26

Câu 19 Xác định a b, để các hàm số ( ) sin khi 2

10

20

2

01

x nên hàm số liên tục trên khoảng \ 1{ }

Do đó hàm số liên tục trên  khi và chỉ khi hàm số liên tục tại x=1

Trang 27

x nên hàm số liên tục trên (0;+∞ )

• Với x<0 ta có f x( )=2x2+3m+1 nên hàm số liên tục trên (−∞; 0)

Do đó hàm số liên tục trên  khi và chỉ khi hàm số liên tục tại x=0

Để hàm số liên tục trên  thì hàm số phải liên tục trên khoảng (−∞; 2) và liên tục tại x=2

• Hàm số liên tục trên (−∞; 2) khi và chỉ khi tam thức

Trang 28

2 1

26

y f x liên tục trên D và có hai số , ∈a b D sao cho ( ) ( ) f a f b <0

• Để chứng minh phương trình f x( )=0 có k nghiệm trên D, ta chứng minh hàm số y= f x( ) liên tục trên D và tồn tại k khoảng rời nhau ( ;a a i i+1) (i=1,2,…,k) nằm trong D sao cho f a( ) (i f a i+1)<0

I f x liên t( ) ục trên đoạn [ ]a b và ; f a f b( ) ( ) <0 thì phương trình f x( )=0 có nghiệm

II f x không liên t( ) ục trên [ ]a b và ; f a f b( ) ( ) ≥0 thì phương trình f x( )=0 vô nghiệm

A Chỉ I đúng B Chỉ II đúng C Cả I và II đúng D Cả I và II sai

Ch ọn A

( )I f x liên t( ) ục trên đoạn [ ]a b và ; f a f b( ) ( ) >0 thì tồn tại ít nhất một số c∈( )a b sao cho; f c( )=0

( )II f x liên t( ) ục trên đoạn (a b và trên ; ] [b c ; ) nhưng không liên tục ( )a c ;

A Chỉ ( )I B Chỉ ( )II

( ) ( ) ( ) ( )

Trang 29

Từ ( )1 và ( )4 ta chưa thể kết luận về nghiệm của phương trình f x( )=0 trên khoảng ( )1; 2

Tài liệu này thuộc Series Tổng ôn Toán 11

DÀNH RIÊNG CHO THÀNH VIÊN VIP

Đăng kí VIP tại bit.ly/vipkys

Contact us:

Hotline: 099.75.76.756

Admin: fb.com/khactridg

Email: tailieukys@gmail.com

Fanpage Tài liệu KYS: fb.com/tailieukys

Group Gia đình Kyser: fb.com/groups/giadinhkyser

 1Nhận toàn bộ tài liệu tự động qua email

 Nhận toàn bộ các Series giải chi tiết 100%

 Được cung cấp khóa đề ĐỒNG HÀNH 2K

 Được nhận những tài liệu độc quyền dành riêng cho VIP

VIP

KYS

Định dạng
Số trang	29
Dung lượng	677,47 KB