lý thuyết HÀM số LIÊN tục trên một đoạn có kèm bài tập luyện tập có đáp án chi tiết

HÀM SỐ LIÊN TỤC LÀ PHẦN KIẾN THỨC QUAN TRỌNG CỦA CHƯƠNG TRÌNH HỌC LỚP 11 ĐỂ MỞ ĐẦU CHO CHƯƠNG GIẢI TÍCH SAU NÀY .VÌ VẬY CÁC BẠN CẦN CHÚ Ý HỌC THẬT KĨ PHẦN HÀM SỐ LIÊN TỤC NÀY .SAU ĐÂY LÀ TÀI LIỆU LÝ THUYẾT HÀM SỐ LIÊN TỤC TRÊN MỘT ĐOẠN CS KÈM BÀI TẬP VÀ PHẦN ĐÁP ÁN GIÚP CÁC BẠN THAM KHẢO .

HÀM SỐ LIÊN TỤC (B2)

I LÝ THUYẾT

Định lý:

Nếu hàm số yf x  liên tục trên đoạn a b;  và f a f b     0

thì tồn tại ít nhất một điểm

 ; 

c a b sao cho f c   0.

Phát biểu cách khác:

Nếu hàm số yf x  liên tục trên đoạn a b;  và f a f b     0

thì phương trình f x   0 có

ít nhất một nghiệm thuộc khoảng a b;  .

Ý nghĩa hình học

Nếu hàm số yf x  liên tục trên đoạn a b;  và f a f b     0 thì đồ thị của hàm số yf x  cắt trục hoành ít nhất tại một điểm có hoành độ ca b; 

VD 1. Chứng minh phương trình 2x3 6x 1 0 có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng 2;2

Lời giải

Xét hàm số f x  2x3 6x liên tục trên 1 2;2

Ta có: f 23; f  2  5

Suy ra: f 2   f 2  0

Do đó phương trình 2x3 6x 1 0 có ít nhất một ngiệm thuộc khoảng 2;2

VD 2. Chứng minh phương trình 2x3 6x 1 0 có ít nhất 3 nghiệm thuộc khoảng 2;2

Lời giải

Xét hàm số f x  2x3 6x liên tục trên 1 2;2

Ta có: f 2 3; f  0 1;f  1 3;f  2  5

Suy ra: f 2   f 0 0;f    0 1f 0; f    1 f 2  0

Nên phương trình 2x3 6x 1 0 có ít nhất 1 ngiệm thuộc mỗi khoảng (-2;0), (0,1), (1;2)

Do đó phương trình 2x3 6x 1 0 có ít nhất 3 ngiệm thuộc khoảng 2;2

VD 3 Chứng minh phương trình sinx x   luôn có nghiệm.1 0

Lời giải

Hàm số f x  sinx x  liên tục trên  nên liên tục trên 1

3 0;

2



  Ta lại có

 0 1; 3 3  0 3 0

f  f      f f   

    nên phương trình đã cho có nghiệm trên

khoảng

3 0;

2



  Vậy phương trình đã cho luôn có nghiệm

VD 4 Cho phương trình

2

x  x  x 

Chứng minh phương trình có đúng 4 nghiệm trên khoảng 2;2

Lời giải

Xét hàm số   4 2 1

10

2

f x x  x  x

liên tục trên 2;2

Ta có f 2 , f  1 ,f  0 , f  1 ,f  2 là dãy đan dấu

Suy ra phương trình f x   0

có ít nhất 4 ngiệm thuộc khoảng 2;2

Mặt khác phương trình bậc 4 có tối đa bốn nghiệm

Vậy phương trình có đúng 4 nghiệm thuộc khoảng 2;2

????? Nếu hàm số yf x  liên tục trên đoạn a b;  và f a f b     0 thì phương trình

  0

f x  vô nghiệm trên khoảng a b; ?

Xét hàm số f x x2 5 Hàm số này xác định trên đoạn 3;3 và liên tục trên đó, đồng thời f 3   f 3 4.4 16 0  nhưng lại có hai nghiệm x 1 5, x 2 5 thuộc vào khoảng 3;3

liên tục trên đoạn a b;  và f a f b     0 thì chưa khẳng dịnh

được phương trình f x   0 có nghiệm hay không trên khoảng a b;  .

VD 5 Cho phương trình x3ax2bx c 0  1 trong đó a b c, , là các tham số thực Chứng minh

phương trình  1 có ít nhất một nghiệm với mọi a b c, , .

Lời giải

Đặt f x x3ax2bx c Ta có: Hàm số yf x 

liên tục trên 

Suy ra phương trình f x   0 có ít nhất một nghiệm trên khoảng x x1; 2 Suy ra phương trình

 1 có ít nhất một nghiệm với mọi a b c, , .

Nhận xét: Phương trình đa thức bậc lẻ có hệ số bậc cao nhất khác 0 luôn có ít nhất 1 nghiệm.

VD 6 Tìm tất cả các giá trị của tham số thực m sao cho phương trình sau có nghiệm:

2m2 5m2 x12017x2018 22x 3 0

Lời giải

+ Nếu 2m2 5m 2 0 thì phương trình đã cho trở thành

3

2

x   x

+ Nếu 2m2 5m 2 0 phương trình đã cho là một đa thức bậc lẻ (bậc 4035) nên theo nhận xét ở

ví dụ 3, phương trình có ít nhất một nghiệm

Vậy với mọi m   phương trình đã cho luôn có ít nhất một nghiệm.

II BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

I f x  liên tục trên đoạn a b;  và f a f b     0 thì phương trình f x   0 có nghiệm.

II f x  không liên tục trên a b;  và f a f b     0 thì phương trình f x   0 vô nghiệm.

 I f x  liên tục trên đoạn a b;  và f a f b     0 thì tồn tại ít nhất một số ca b;  sao cho

  0

f c  .

 II f x  liên tục trên khoảng a b;  và f a f b     0 thì tồn tại ít nhất một số ca b;  sao cho f c   0.

A Chỉ  I

C Cả  I

và  II

và  II

sai

Câu 3. Cho hàm số 4x3 8x2  Phương trình 1 0 f x   0 có nghiệm thuộc khoảng nào trong các

khoảng sau đây?

Câu 4. Phương trình x5 3x23 0 có nghiệm thuộc khoảng nào

A 3; 2 

B 0;1. C 2; 1 

D 2;3.

Câu 5. Cho hàm số f x x31000x20,01 Phương trình f x   0 có nghiệm thuộc khoảng nào

trong các khoảng sau đây?

I 1;0 II 0;1. III 1; 2.

Câu 6. Phương trình nào dưới đây có nghiệm trong khoảng 0;1.

A 2x2 3x  4 0 B x12019 x2021 2 0

8

x  x  x 

Chọn khẳng định đúng:

A. Phương trình  1

có đúng một nghiệm trên khoảng 2;2

B. Phương trình  1

có đúng hai nghiệm trên khoảng 2;2

C. Phương trình  1

có đúng ba nghiệm trên khoảng 2; 2

D. Phương trình  1

có đúng bốn nghiệm trên khoảng 2; 2

Câu 8. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình 1 m x2 5 3x1 0

có nghiệm?

Câu 9. Tìm tất cả các giá trị của tham số thực m sao cho phương trình m2 5m4x52x2 1 0

có nghiệm

A m  \ 1; 4  . B m    ;1  4; 

C m 1; 4 . D m  

Câu 10. Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình m2m1x42x 2 0

có nghiệm?

Câu 12. Có kết luận gì về nghiệm của phương trình m x 1 3 x 22x 3 0 ?

Câu 13. Cho hàm số x5 5x34x1 0 Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?

A Phương trình chỉ có 2 nghiệm phân biệt.

B Phương trình chỉ có 3 nghiệm phân biệt.

C Phương trình chỉ có 4 nghiệm phân biệt.

D Phương trình có đủ 5 nghiệm phân biệt.

Câu 14. Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình m x2 42mx33x1 0 có nghiệm?

Câu 15. Có thể kết luận gì về số nghiệm của phương trình x3ax2bx c  , với mọi , ,0 a b c là các tham

số thực?

Câu 16. Cho các số thực , ,a b c thỏa mãn 4 a c  8 2b và a b c    Khi đó số nghiệm thực phân1

biệt của phương trình x3ax2bx c  bằng0

Câu 17. Xét tất cả các tam thức bậc hai f x  ax2bx c a , 0

, , ,a b c   sao cho f x 

có hai nghiệm thực phân biệt trong khoảng 0;1

Trong tất cả các tam thức như trên, xét tam thức thỏa mãn a nhỏ nhất Khi đó giá trị của biểu thức P a 2 2a bằng

m21x3 2m x2 2 4x m 2 1 0