lý thuyết giới hạn dãy số

1. Hàm số y x = sin • Tập xác định: D R = • Tập giác trị: 1;1 − , tức là −≤ ≤ ∀∈ 1 sin 1 x xR • Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng ( 2; 2) 2 2 π π −+ + k k π π , nghịch biến trên mỗi khoảng 3 ( 2; 2) 2 2 π π + + k k π π . • Hàm số y x = sin là hàm số lẻ nên đồ thị hàm số nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng. • Hàm số y x = sin là hàm số tuần hoàn với chu kì T = 2π . • Đồ thị hàm số y x

TỔNG ÔN TOÁN 11 CHỦ ĐỀ 13 GIỚI HẠN DÃY SỐ

d) Nếu lim un = a thì lim u n = a

3 Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn

S = u1 + u1q + u1q2 + … = 1

1

u q

d) Nếu lim un = +∞, lim vn = a

0

neáu a neáu a

VIP

• Để chứng minh lim =u n l ta chứng minh lim(u n− =l) 0

• Để chứng minh lim = +∞u n ta chứng minh với mọi số M >0 lớn tùy ý, luôn tồn tại số tự nhiên

M

n sao cho u n >M ∀ >n n M

• Để chứng minh lim = −∞u n ta chứng minh lim(−u n)= +∞

• Một dãy số nếu có giới hạn thì giới hạn đó là duy nhất

Câu 1 Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:

A Nếu limu n = +∞ , thì limu n = +∞ B Nếu limu n = +∞ , thì limu n = −∞

C Nếu limu n = , thì lim0 u n = 0 D Nếu limu n = − , thì lima u n = a

Câu 2 Giá trị của lim 1

1+

n

Câu 10 Giá trị của lim3n32+n

Câu 20 Giá trị của limn a với a>0 bằng:

DẠNG 2: TÌM GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ DỰA VÀO CÁC ĐỊNH LÝ VÀ CÁC GIỚI HẠN CƠ BẢN

• Dùng định lí kẹp: Nếu u n ≤v n,∀n và lim vn = 0 thì lim un = 0

Khi tính các giới hạn dạng phân thức, ta chú ý một số trường hợp sau đây:

• Nếu bậc của tử nhỏ hơn bậc của mẫu thì kết quả của giới hạn đó bằng 0

• Nếu bậc của từ bằng bậc của mẫu thì kết quả của giới hạn đó bằng tỉ số các hệ số của luỹ thừa cao nhất của tử và của mẫu

• Nếu bậc của tử lớn hơn bậc của mẫu thì kết quả của giới hạn đó là +∞ nếu hệ số cao nhất của

tử và mẫu cùng dấu và kết quả là –∞ nếu hệ số cao nhất của tử và mẫu trái dấu

Câu 1 Cho dãy số ( )u n với

Câu 6 Giới hạn dãy số ( )u n với 3 4

Câu 17 Giá tr ị của 4 4

+

n n

a n a n a D

b n b n b (Trong đó ,k p là các số nguyên dương; a b k p ≠0) bằng:

Câu 28 Giá tr ị của lim 3.21 31

++

Câu 39 Giá trị của ( 2 )

2

=

+

n B

bằng:

Câu 52 Giá tr ị của

1lim

( )21+

q q

Câu 62 Tính giới hạn của dãy số 2

n u

Câu 64 Tính giới hạn của dãy số ( 2 )

Câu 72 Tìm limu bi n ết

2

1 1 khi 0( )

2+

Tài liệu này thuộc Series Tổng ôn Toán 11

DÀNH RIÊNG CHO THÀNH VIÊN VIP

Đăng kí VIP tại bit.ly/vipkys

Contact us:

Hotline: 099.75.76.756

Admin: fb.com/khactridg

Email: tailieukys@gmail.com

Fanpage Tài liệu KYS: fb.com/tailieukys

Group Gia đình Kyser: fb.com/groups/giadinhkyser

 Nhận toàn bộ tài liệu tự động qua email

 Nhận toàn bộ các Series giải chi tiết 100%

 Được cung cấp khóa đề ĐỒNG HÀNH 2K

 Được nhận những tài liệu độc quyền dành riêng cho VIP

VIP

KYS

• Để chứng minh lim =u n l ta chứng minh lim(u n− =l) 0

• Để chứng minh lim = +∞u n ta chứng minh với mọi số M >0 lớn tùy ý, luôn tồn tại số tự nhiên

M

n sao cho u n >M ∀ >n n M

• Để chứng minh lim = −∞u n ta chứng minh lim(−u n)= +∞

• Một dãy số nếu có giới hạn thì giới hạn đó là duy nhất

Câu 1 Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:

A Nếu limu n = +∞ , thì limu n = +∞ B Nếu limu n = +∞ , thì limu n = −∞

C Nếu limu n = , thì lim0 u n = 0 D Nếu limu n = − , thì lima u n = a

Hướng dẫn giải:

Ch ọn C

Theo n ội dung định lý

Câu 2 Giá trị của lim 1

1+

42

Câu 9 Giá trị của lim 1

2

++

bằng:

DẠNG 2: TÌM GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ DỰA VÀO CÁC ĐỊNH LÝ VÀ CÁC GIỚI HẠN CƠ BẢN

• Dùn g định lí kẹp: Nếu u n ≤v n,∀n và lim vn = 0 thì lim un = 0

Khi tính các giới hạn dạng phân thức, ta chú ý một số trường hợp sau đây:

• Nếu bậc của tử nhỏ hơn bậc của mẫu thì kết quả của giới hạn đó bằng 0

• Nếu bậc của từ bằng bậc của mẫu thì kết quả của giới hạn đó bằng tỉ số các hệ số của luỹ thừa cao nhất của tử và của mẫu

• Nếu bậc của tử lớn hơn bậc của mẫu thì kết quả của giới hạn đó là +∞ nếu hệ số cao nhất của

tử và mẫu cùng dấu và kết quả là –∞ nếu hệ số cao nhất của tử và mẫu trái dấu

Câu 1 Cho dãy số ( )u n với

n n

Câu 10 Giá trị của ( 2 )4( )9

Ta có:

3

4 4

Câu 17 Giá tr ị của 4 4

n n

1lim 3

a n a n a D

b n b n b (Trong đó k p, là các số nguyên dương; a b k p ≠0) bằng:

n

Câu 24 Kết quả đúng củalim 2 5 2

3 2.5

−

−+

32

Câu 29 lim5 1

−+

++

++

344

23

44

 +   

b n b n b n b với a b k p ≠0 :

Hướng dẫn giải:

Ch ọn C

Ta chia làm các trường hợp sau

TH 1: n=k , chia cả tử và mẫu cho k

2 3 3

sin5

5

n n

n n

Câu 42 Giá tr ị của (3 2 3 )

Câu 46 Giá trị đúng của lim ( + −1 −1)

+

n n A

n

Câu 51 Giá tr ị của n

3

!lim

2

=

+

n B

Câu 57 Tính giới hạn của dãy số ( 1) 133 23 3

A +∞ B −∞ C

( )2

1−

q q

( )21+

q q

n u

1lim

Từ công thức truy hồi ta có: x n+1>x n, 1, 2, ∀ =n

Nên dãy (x n) là dãy số tăng

Giả sử dãy ( )x n là dãy bị chặn trên, khi đó sẽ tồn tại lim =x n x

Với x là nghiệm của phương trình : 2

10

= −

+

k x

+ +

1 1 2

2+

n với n∈ *

Dễ dàng chứng minh dự đoán trên bằng phương pháp quy nạp

11

( ) ( )

hơn)

Câu 85 Tính giới hạn: lim 1 12 1 12 1 12

Tài liệu này thuộc Series Tổng ôn Toán 11

DÀNH RIÊNG CHO THÀNH VIÊN VIP

Đăng kí VIP tại bit.ly/vipkys

Contact us:

Hotline: 099.75.76.756

Admin: fb.com/khactridg

Email: tailieukys@gmail.com

Fanpage Tài liệu KYS: fb.com/tailieukys

Group Gia đình Kyser: fb.com/groups/giadinhkyser

 Nhận toàn bộ tài liệu tự động qua email

 Nhận toàn bộ các Series giải chi tiết 100%

 Được cung cấp khóa đề ĐỒNG HÀNH 2K

 Được nhận những tài liệu độc quyền dành riêng cho VIP

VIP

KYS