tương giao giữa 2 đồ thị

SỰ TƯƠNG GIAO CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐỒ THỊ HÀM SỐ BẬC BA 1. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM Xét hàm số bậc ba ( ) 3 2 y ax bx cx d a = + ++ ≠ 0 có đồ thị (C) và hàm số bậc nhất y kx n = + có đồ thị d . Lập phương trình hoành độ giao điểm của (C) và d : 3 2 ax bx cx d kx n + + += + (1) Phương trình (1) là phương trình bậc ba nên có ít nhất một nghiệm. Ta có 2 trường hợp: • Trường hợp 1: Phương trình (1) có “nghiệm đẹp” 0 x . Thường thì đề hay cho nghiệm 0 x = ±± 0; 1; 2;... thì khi đó: ( )(

Trang 1

TÁN ĐỔ TOÁN PLUS

CHỦ ĐỀ 6 SỰ TƯƠNG GIAO GIỮA 2 ĐỒ THỊ

I SỰ TƯƠNG GIAO CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐỒ THỊ HÀM SỐ BẬC BA

1 KIẾN THỨC TRỌNG TÂM

y=ax +bx +cx+d a≠ có đồ thị ( )C và hàm số bậc nhất

y=kx+n có đồ thị d

Lập phương trình hoành độ giao điểm của ( )C và d:ax3+bx2+cx+ =d kx+n (1)

Phương trình ( )1 là phương trình bậc ba nên có ít nhất một nghiệm Ta có 2 trường hợp:

• Trường hợp 1: Phương trình ( )1 có “nghi ệm đẹp” x 0

Thường thì đề hay cho nghiệm x0 =0; 1; 2; ± ± thì khi đó:

0

0 2

x x





Khi đó:

+ ( )C và d có ba giao điểm ⇔ phương trình ( )1 có ba nghiệm phân biệt ⇔ phương trình ( )2 có hai nghiệm phân biệt khác nghiệm x (0 Đây là trường hợp thường gặp)

+ ( )C và d có hai giao điểm ⇔ phương trình ( )1 có hai nghiệm phân biệt ⇔ phương trình ( )2 có hai nghiệm phân biệt, trong đó có một nghiệm x ho0 ặc phương trình ( )2 có nghiệm kép khác x 0

+ ( )C và d có một giao điểm⇔phương trình ( )1 có một nghiệm⇔phương trình ( )2

vô nghiệm hoặc phương trình ( )2 có nghiệm kép là x 0

• Trường hợp 2: Phương trình ( )1 không thể nhẩm được “nghiệm đẹp” thì ta biến đổi

phương trình ( )1 sao cho hạng tử chứa x tất cả nằm bên vế trái, các hạng tử chứa tham

số m nằm bên vế phải, nghĩa là ( )1 ⇔ f x( )=g m( )

Ta khảo sát và vẽ bảng biến thiên hàm số y= f x và bi( ) ện luận số giao điểm của ( )C

và d theo tham số m

2 CÁC VÍ DỤ

Ví d ụ 1: Tìm giao điểm của đồ thị 3 2

( ) :C y=x −3x +2x+1 và đường thẳng y= 1

Hướng dẫn giải

x − x + x+ = ⇔ x − x + x=

0 1 2

x x x

=





 =

 Vậy

có ba giao điểm A( ) ( ) ( )0;1 ,B 1;1 ,C 2;1

VIP

Trang 2

Ví d ụ 2: Cho hàm số 3 2

y=mx −x − x+ m có đồ thị là ( )C m Tìm m đồ thị ( )C m cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt

x+ mx − m+ x+ m= ⇔ 2 2

x

mx m x m

= −





( )C m cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt ⇔ ( )1 có ba nghiệm phân biệt

⇔ ( )2 có hai nghiệm phân biệt khác −2

0

m

m m m

≠







⇔

0

1 6

m m m



 ≠



− < <





 ≠ −



⇔

0

m m

≠





− < <

6 2

d y= − +x cắt đồ thị ( )C tại ba điểm phân biệt

Phương trình hoành độ giao điểm của ( )C và d:

2

0

=





x

x mx m x x x x mx m

x mx m

Yêu cầu bài toán ⇔( )* có hai nghiệm phân biệt khác 0

2

0

m m m

⇔ 

≠



9

Ví dụ 4: Tìm m để đồ thị hàm số 3

2

y=x +mx+ cắt trục hoành tại một điểm duy nhất

Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành là

3

x +mx+ =

Vì x=0 không là nghiệm của phương trình, nên phương trình tương đương với

Trang 3

( )

2 2 0

x

( )

x

= − − với x≠0, suy ra

3

f x x

x x

f x = ⇔ =x Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy đồ thị cắt trục hoành tại một điểm duy nhất ⇔ > −m 3 Vậy

3

m> − thỏa yêu cầu bài toán

Ví dụ 5: Tìm m để đồ thị ( )C của hàm số 3 2

y=x − x − x+ cắt trục hoành tại ba điểm m

phân biệt

Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị và trục hoành:

( )

C y=x − x − x và đường thẳng :d y= −m Số nghiệm của ( )1 bằng số giao điểm của ( )C và d

y=x − x − x Tập xác định D= 

1

x

=



Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy ( )1 có ba nghiệm phân biệt

⇔ − < − < ⇔ − < <

Ví d ụ 6: Gọi d là đường thẳng đi qua điểm A(−1; 0) với hệ số góc k ( k∈ ) Tìm k để đường thẳng d cắt đồ thị hàm số( ) :C y=x3−3x2+ tại ba điểm phân biệt 4 A B C, , và tam giác OBC có diện tích bằng 1 (O là gốc tọa độ)

Đường thẳng d đi qua A( 1; 0)− và có hệ số góc k nên có dạng y=k x( +1), hay

0

kx− + =y k

y

−∞

5

27

−

+∞

( )

f x

−∞

+∞

−∞

3

−

−∞

Trang 4

Phương trình hoành độ giao điểm của ( )C và d là:

2

1

x

x x kx k x x x k

g x x x k

= −





dcắt ( )C tại ba điểm phân biệt ⇔ phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt khác −1

k

Khi đó g x( )= ⇔ = −0 x 2 k x; = +2 k Vậy các giao điểm của hai đồ thị lần lượt là

A − B − k k−k k C + k k+k k

2

1

k

BC k k d O BC d O d

k

2

1

OBC

k

Vậy k=1 thỏa yêu cầu bài toán

II SỰ TƯƠNG GIAO CỦA ĐƯỜNG THẲNG VỚI ĐỒ THỊ HÀM SỐ TRÙNG PHƯƠNG

0

y=ax +bx +c a≠ có đồ thị ( )C và đường thẳng y=k có đồ thị d

1

ax +bx + =c k

0

0 2

at + + − =bt c k

• ( )C và d có bốn giao điểm ⇔ ( )1 có bốn nghiệm phân biệt ⇔ ( )2 có hai nghiệm dương phân biệt ⇔phương trình ( )2 thỏa

0 0 0

P S

∆ >



 >



 >



(Trường hợp này thường gặp)

• ( )C và d có ba giao điểm⇔ ( )1 có ba nghiệm phân biệt⇔ ( )2 có hai nghiệm phân biệt, trong đó có một nghiệm dương và một nghiệm t=0

• ( )C và d có hai giao điểm⇔ ( )1 có hai nghiệm phân biệt ⇔ ( )2 có nghiệm kép dương

hoặc có hai nghiệm trái dấu

• ( )C và d không có giao điểm⇔ ( )1 vô nghiệm⇔ ( )2 vô nghiệm hoặc chỉ có nghiệm

âm

• ( )C và d có một giao điểm⇔ ( )1 có một nghiệm⇔ ( )2 có nghiệm t=0 và một nghiệm âm

2 CÁC VÍ DỤ

Ví dụ 1: Tìm giao điểm của đồ thị 4 2

( ) :C y=x +2x −3 và trục hoành

Phương trình hoành độ giao điểm:

2

1

3

 =

= −



x

Vậy có hai giao điểm: A(−1; 0 , 1; 0 ) ( )B

Trang 5

Ví dụ 2: Tìm m để phương trình 4 2

x − x − + =m có bốn nghiệm phân biệt

đường thẳng d y: =m Số nghiệm của ( )1 bằng số giao điểm của ( )C và d

y=x − x + Tập xác định D= 

0

1

=





 = −



x

Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy ( )1 có bốn nghiệm phân biệt ⇔ < <2 m 3 Vậy 2< <m 3

thỏa yêu cầu bài toán

đường thẳng d y: = −2 tại bốn điểm phân biệt

Lời giải

Phương trình hoành độ giao điểm của ( )C m và d:

0

t m t m m (C m)và d có bốn giao điểm ⇔( )1 có bốn nghiệm phân biệt ⇔( )2 có hai nghiệm dương phân biệt

2

1

0

3

m m

m

 > −

 + >



∆ >





; 0 3;

5

đồ thị ( )C tại bốn điểm phân biệt có hoành độ đều nhỏ hơn 2

y

+∞

2

3

+∞

Trang 6

Phương trình hoành độ giao điểm của ( )C và d:y= −1 là

0

t=x t≥ , ta có phương trình

t

t m t m

t m

=





x

 =



m

m m

< + <



+ ≠

1

− < < và m≠0thỏa yêu cầu bài toán

y x m x m có đồ thị là ( )C m Tìm m để đồ thị ( )C m cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt có hoành độ lập thành một cấp số cộng

x m x m ( )1

t=x (t≥0), phương trình ( )1 trở thành: 2 ( ) 2

t m t m ( )2

( )C m cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt ⇔ ( )1 có bốn nghiệm phân biệt

⇔ ( )2 có hai nghiệm dương phân biệt ⇔

2

0

m m

P m

S m



= >



 = + >



⇔

4 4

5 0

4 3

m m

 < − ∨ > −



≠





 > −



⇔

4 5 0

m m

 > −





 ≠



(*)

Khi đó phương trình ( )2 có hai nghiệm 0< <t1 t2 Suy ra phương trình ( )1 có bốn nghiệm phân biệt là x1 = − t2 <x2 = − t1 <x3= t1 <x4 = t2 Bốn nghiệm x x x x 1, 2, 3, 4 lập thành cấp số cộng

⇔ x2− =x1 x3−x2 =x4− x3 ⇔ − t1 + t2 =2 t1 ⇔ t2 =3 t1 ⇔ =t2 9t1 (3) Theo định lý Viet ta có 1 2

2

1 2

3 4 (4) (5)

t t m





=

1

2

10

+

 =



 =



m t

( )6

Thay ( )6 vào ( )5 ta được 9 ( )2 2

Trang 7

⇔ ( )

12

19

m

=



⇔

19

III SỰ TƯƠNG GIAO CỦA ĐƯỜNG THẲNG VỚI ĐỒ THỊ HÀM SỐ y ax b

cx d

+

= +

cx d

+

Lập phương trình hoành độ giao điểm của( )C và d:

( )

2

0 1

Ax Bx C

ax b

kx n d

c

+ ⇔ 

( )C và d có hai giao điểm ⇔ ( )1 có hai nghiệm phân biệt khác d

c

−

2 CÁC VÍ DỤ

Ví dụ 1: Tìm tọa độ giao điểm của đồ thị ( )C : 2 1

x y x

+

=

− và đường thẳng d y: = +x 2

Lời giải

x

x x

+

= +

2

x≠ Khi đó (1) ⇔ 2x+ =1 (2x−1)(x+2) ⇔2x2+ − =x 3 0

⇔

 = − ⇒ =



= ⇒ =



Vậy tọa độ giao điểm cần tìm là 3 1;

2 2

  và ( )1;3

Ví dụ 2 Cho hàm số 2 1

1

x y x

−

=

− có đồ thị là ( )C Tìm m để đường thẳng d y: = − +x m cắt

đồ thị ( )C tại hai điểm phân biệt

Lời giải

1

x

x m x

− = − +

Điều kiện: x≠1 Khi đó (1) ⇔ 2x− = − +1 ( x m)(x−1)

x m x m ( )2

dcắt ( )C tại hai điểm phân biệt ⇔ ( )1 có hai nghiệm phân biệt

2



Trang 8

⇔ 2

m − m+ > ⇔ ∈ −∞ ∪m ( ;1) (5;+∞)

Vậy giá trị m cần tìm là m∈ −∞ ∪( ;1) (5;+∞)

Ví dụ 3: Cho hàm số 1

2

mx y x

−

= + có đồ thị là ( )C m Tìm m để đường thẳng d y: =2x−1 cắt

đồ thị ( )C m tại hai điểm phân biệt , A B sao cho AB= 10

Lời giải

2

mx

x x

Điều kiện: x≠ −2 Khi đó

(1) ⇔ mx− =1 (2x−1)(x+2) ⇔ 2 ( )

2x − m−3 x− =1 0 ( )2

d cắt ( )C m tại hai điểm phân biệt A B, ⇔ ( )1 có hai nghiệm phân biệt

⇔(2) có hai nghiệm phân biệt khác −2

m m



1 2

Đặt A x( 1; 2x1−1 ; ; 2) (B x2 x2−1)với x1, x 2 là hai nghiệm của phương trình ( )2

Theo định lý Viet ta có 1 2

1 2

3 2 1 2

m

x x

−

 + =







, khi đó

AB= x −x + x −x = ⇔ ( )2

5 x +x −4x x =10

⇔

2

3

2

m−

Vậy giá trị m cần tìm là m=3

Ví dụ 4: Cho hàm số 2 1

1

x y x

+

= + ( )C Tìm m để đường thẳng d y: = − +2x m cắt ( )C tại hai điểm phân biệt A B, sao cho tam giác OAB có diện tích là 3

Lời giải

Phương trình hoành độ giao điểm của ( )C và d:

1

x

d cắt ( )C tại hai điểmA B, phân biệt ⇔ (1) có hai nghiệm phân biệt khác −1

2



⇔ 



Suy ra d luôn cắt ( )C tại hai điểm A B, phân biệt với mọi m

Trang 9

Gọi A x y( 1; 1) (; ;B x y2 2), trong đĩy1= −2x1+m y; 22 = − x2+ và m x1, x 2 là các nghiệm của

( )1 Theo định lý Viet ta cĩ 1 2

1 2

4 2 1 2

m

x x

m

x x

−

 + =





Tính được:

2 5

+

d O AB AB x x y y x x x x

1

+

OAB

m m

Vậy các giá trị m cần tìm là m=2; 2.m= −

Ví dụ 5: Cho hàm số 2 1

1

x y x

+

= + ( )C Tìm k để đường thẳng d y: =kx+2k+1 cắt ( )C tại hai điểm phân biệt A B, sao cho khoảng các từ A và Bđến trục hồnh bằng nhau

Lời giải

Phương trình hồnh độ giao điểm của ( )C và d:

1

x

+

kx k x k

d cắt ( )C tại hai điểmA B, phân biệt ⇔ (1) cĩ hai nghiệm phân biệt khác −1

2

0

 ≠

≠



k

k k

Khi đĩ: A x kx( 1; 1+2k+1 , ) (B x kx2; 2+2k+1) với x1, x 2 là nghiệm của (1)

1 2

2

k

x x

k

x x

− +

 + =







Tính được

( ; )= ( ; )⇔ 1+2 + =1 2+2 +1

d A Ox d B Ox kx k kx k

kx k kx k



1 2

x x

=





loại

k x x k k

Vậy k = −3 thỏa yêu cầu bài tốn

Trang 10

A BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

Câu 1 Số giao điểm của đồ thị hàm số 4 2

y= − +x x − với trục Ox là

Câu 2 Số giao điểm của đồ thị hàm số ( ) ( 2 )

Câu 3 Số giao điểm của đồ thị hàm số 3 2

Câu 4 Đường thẳng y= −x 1 cắt đồ thị hàm số 2 1

1

x y x

−

= + tại các điểm có tọa độ là

A ( )0; 2 B (−1; 0 ; 2;1 ) ( ) C (0; 1 ; 2;1 − ) ( ) D ( )1; 2

Câu 5 Đồ thị ( ) 2 1

:

1

x

C y

x

−

= + cắt đường thẳng d y: =2x−3 tại các điểm có tọa độ là

A (2; 1− ; ) ( 1 )

2

C (− − ; 1; 5) ( )3

; 0

Câu 6 Đồ thị hàm số 4 3 2

2

y= x + +x x cắt trục hoành tại mấy điểm?

Câu 7 Cho hàm số 3 2

y= x − x + có đồ thị ( )C và đường thẳng d:y= −x 1 Số giao điểm của ( )C và d là

Câu 8 Số giao điểm của đồ thị hàm số 2 4 3

2

= +

y

Câu 9 Số giao điểm của đồ thị hàm số ( ) ( 2 )

Câu 10 Giao điểm giữa đồ thị ( ) : 2 2 3

1

x

=

− và đường thẳng ( )d :y= +x 1 là

A A(2; 1 − ) B A(0; 1 − ) C A(−1; 2 ) D A(−1; 0 )

y=x − x − có đồ thị ( )C và đồ thị ( )P : y= −1 x2 Số giao điểm của ( )P

và đồ thị ( )C là

1

x y x

−

= + có đồ thị ( )C và đường thẳng d y: =2x−3 Số giao điểm của ( )C

và d là

Trang 11

Câu 13 Tọa độ giao điểm giữa đồ thị ( ) : 2 1

2

x

−

= + và đường thẳng d y: = −x 2 là

A A(− −1; 3 ; 3;1 ) B( ) B A(1; 1 ; 0; 2 − ) (B − )

C A(− −1; 3 ; 0; 2 ) B( − ) D A(1; 1 ; 3;1 − ) B( )

1

x y x

−

= + có đồ thị ( )C và đường thẳng d : y=2x−3 Đường thằng d cắt

( )C tại hai điểm A và B Khi đó hoành độ trung điểm I của đoạn thẳng AB là

A x I = 4

3

Câu 15 Tọa độ trung điểm I của đoạn thẳng MN với M N, là giao điểm của đường thẳng

d:y= +x 1và đồ thị hàm số ( )C : 2 2

1

x y x

+

=

− là

A I(− −1; 2 ) B I(−1; 2 ) C I(1; 2 − ) D I( )1; 2

Câu 16 Gọi M N, là hai giao điểm của đường thẳng d y: = +x 1 và ( ) 2 4

:

1

x

+

=

− Hoành độ

trung điểm I của đoạn thẳng MN là

5 2

−

Câu 17 Đồ thị hàm số 4 2

y= x −x + cắt đuờng thẳng y=6 tại bao nhiêu điểm?

Câu 18 Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số ( ) : 2

1

+

= +

x

các điểm có tọa độ là

A ( ) (1;1 ; 1;1 − ) B ( )1;1 C (−1;1 ) D ( )0;1

Câu 19 Đồ thị hàm số 3 2

y= −x x + cắt đường thẳng y=m tại ba điểm phân biệt thì tất cả các giá

trị tham số m thỏa mãn là

A m>1 B − ≤ ≤3 m 1 C − < <3 m 1 D m< −3

Câu 20 Đường thẳng y=m không cắt đồ thị hàm số 4 2

y= − x + x + thì tất cả các giá trị tham

số m là

Câu 21 Với tất cả giá trị nào của tham số m thì phương trình 4 2

biệt?

C m∈ − +∞( 3; ) D m∈ −∞ −( ; 4 )

Câu 22 Tất cả giá trị của tham số m để phương trình 3

x − x m− + = có ba nghiệm phân biệt là

Trang 12

Câu 23 Tất cả giá trị của tham số m để đồ thị ( ) 3 2

C y= −x x + cắt đường thẳng d y: =m tại ba điểm phân biệt là

A.− < <2 m 0 B − < <2 m 2 C 0< <m 1 D 1< <m 2

Câu 24 Tất cả giá trị của tham số m để đồ thị ( ) 4 2

C y=x − x − cắt đường thẳng d y: =m tại bốn điểm phân biệt là

A − < < −4 m 3 B m< −4 C m> −3 D 4 7

2

m

− < < −

y=x − x − có đồ thị ( )C và đường thẳng d y: =m Tất cả các giá trị của

tham số m để d cắt ( )C tại bốn điểm phân biệt là

A − ≤ ≤ −6 m 2 B 2< <m 6 C − < < −6 m 2 D 2≤ ≤m 6

Câu 26 Tất cả các giá trị của tham số m để phương trình 4 2

là

A 1 13

4

m

4

m

4

m

− < <

2

y= − +x x +m Tất cả giá trị của tham số m để đồ thị hàm số đã cho cắt trục

hoành tại ít nhất ba điểm phân biệt là

Câu 28 Cho hàm số ( 2 2 )

cho cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt là

A − < < −2 m 1 B 2 2

1

m m

− < <



 ≠ −

1

m m

− < <



 ≠



Câu 29 Tất cả giá trị của tham số m để phương trình 4 2

x − x − + =m có bốn nghiệm phân biệt

là

Câu 30 Tất cả giá trị của tham sốm để phương trình 4 2

x − x − + =m có hai nghiệm phân biệt là

Câu 31 Tất cả giá trị của tham số m để đồ thị hàm số 4 2

tại ba điểm phân biệt là

2

3

m=

Câu 32 Tất cả giá trị của tham số m để đồ thị hàm số ( ) 3 2

tại ba điểm phân biệt là

2

m

2

m

≤ ≤

Trang 13

Câu 33 Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương

trình x3−3x2+ + = 4 m 0 có nghiệm duy nhất lớn

y= − +x x − là hình bên

A m> 0

B m≤ − 4

C m< − 4

D m≤ −4 hoặc m≥0.

Câu 34 Tất cả giá trị của thm số m để phương trình 3

x − x− + =m có ba nghiệm phân biệt, trong đó có hai nghiệm dương là

A − ≤ ≤ 1 m 1 B − < ≤ 1 m 1 C − < < 1 m 3 D − < < 1 m 1

y= − x + x − có đồ thị ( )C như hình vẽ

Dùng đồ thị ( )C suy ra tất cả giá trị tham số m để phương

trình 2x3−3x2+2m= ( )0 1 có ba nghiệm phân biệt là

2

m

Câu 36 Cho phương trình 3 2

x − x + − =m (1) Điều kiện của tham số m để (1)có ba nghiệm phân biệt thỏa x1< <1 x2< khi x3

A m= −1 B − < <1 m 3 C − < < −3 m 1 D − ≤ ≤ −3 m 1

y= x − x + có đồ thị ( )C và đường thẳng :d y= −x 1 Giao điểm của ( )C

và d lần lượt là A( )1; 0 , B và C Khi đó khoảng cách giữa B và C là

2

BC=

1

x y x

−

= + có đồ thị ( )C và đường thẳng d: y=2x−3 Đường thằng d cắt

( )C tại hai điểmA và B Khoảng cách giữaA và B là

5

2

5

2

AB=

1

x y x

−

= + có đồ thị ( )C và đường thẳng d: y=2x−m Đường thằng d cắt

( )C tại hai điểm A và B khi giá trị của tham số m thỏa

A 4 2 6− − ≤ ≤ − +m 4 2 6 B m≤ − −4 2 6 hoặc m≥ − +4 2 6

C − −4 2 6< < − +m 4 2 6 D m< − −4 2 6 hoặc m> − +4 2 6

Câu 40 Cho hàm số ( ):

1

x

=

− và đường thẳng d y: = +x m Tập tất cả các giá trị của tham số

m sao cho ( )C và d cắt nhau tại hai điểm phân biệt là

2

-1

O

Định dạng
Số trang	16
Dung lượng	546,9 KB