Khảo sát hàm số

Vấn đề 1 : KHẢO SÁT HÀM ĐA THỨC

A KIẾN THỨC CƠ BẢN

SƠ ĐỒ KHẢO SÁT HÀM SỐ : HÀM SỐ BẬC BA , HÀM SỐ TRÙNG PHƯƠNG

x

x

1 TXĐ : D = ? (chẵn, lẻ, tuần hoàn)

2 Giới hạn :

lim f(x) ?

lim f(x) ?

3 ĐH :

(tăng , giảm , cực trị Ca )

áp 1 Cấp

2 : y

→+ ∞

→− ∞

= ∞

= ∞

′ →

′

•

•

•

′

→y 0 x ? (y ?) ( Tìm điểm uốn )

4 ĐĐB

5 ĐT

B.VÍ DỤ

LOẠI 1 : HÀM SỐ BẬC BA

3

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số : y = x x + 9x (C)

Giải

1 TXĐ : D =

2 Giới hạn : lim f(x) ; lim f(x)

Đạo hàm :

= +∞ = −∞

¡

3

x

x

 =

⇔ − + = ⇔  = Bảng biến thiên

Hàm số đã cho : Đồng biến trên : (g − ∞;1) , (3;+ ) ∞

g Nghịch biến trên : (1; )3

g Cực trị : xCĐ =1,yCĐ =3 ; xCT =3,yCT = −1

Điểm uốn : I(2;1) • y = 6x′′ −12 ; y = 0′′ ⇔6x− = ⇔ =12 0 x 2

4 Điểm đặc biệt :

x 0 1 2 3 4

y −1 3 1 1− 3

5 Đồ thị

x −∞ 1 3 +∞

y′ + 0 − 0 +

y −∞ 3 −1 +∞

2 2

3

Giải

1 TXĐ : D =

2 Giới hạn : lim f(x) ; lim f(x)

Đạo hàm :

′

• − + − = − − + = − −

¡

2 0 ) ≤ ∀ ∈, x ¡

Hàm số đã cho : Nghịch biến trên : (− ∞ ∞;+ )

• Điểm uốn I(1; ) y′′= −6(x ) ; y−1 ′′= ⇔ −−10 6(x )− = ⇔ =1 0 x 1

4 Điểm đặc biệt : x 0 1 2

y 0 −1 2−

5 Đồ thị 3 2 2 3 3 1 3 6 3 2 0 3 x x Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số : y = x x (C) Giải 1 TXĐ : D = 2 Giới hạn : lim f(x) ; lim f(x) Đạo hàm : y = 3x x x(x ) ; y = x →+ ∞ →− ∞ − + + = −∞ = +∞ ′ ′ • − + = − − ⇔ − ¡ 0 2 0 2 x (x ) x  = − = ⇔  = Bảng biến thiên Hàm số đã cho : g Nghịch biến trên : (0; )2 Đồng biến trên : (g − ∞;0) , (2;+ ) ∞

x −∞ +∞

y′ −

y +∞ −∞

x −∞ 0 2 +∞

y′ − 0 + 0 −

y 1 +∞ 5 −∞

4 Điểm đặc biệt :

x −1 0 1 2 3

y 5 1 3 5 1

5 Đồ thị 3 2 2 2 1 4 3 3 2 1 1 0 x x Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số : y = x x x (C) Giải 1 TXĐ : D = 2 Giới hạn : lim f(x) ; lim f(x) Đạo hàm : y = x x (x ) , x →+ ∞ →− ∞ − + = +∞ = −∞ ′ • − + = − ≥ ∀ ∈ ¡ ¡ Bảng biến thiên Hàm số đã cho : Đồng biến trên : (− ∞ ∞;+ )

2 2 0 2 2 0 1 2 3 y x ; y x x Điểm uốn I(1; ) ′′ ′′ • = − = ⇔ − = ⇔ =

4 Điểm đặc biệt : x 0 1 2

y 0 2

3

2 3 5 Đồ thị 3 2 5 1 3 1 0 x x Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số : y = x x (C) Giải 1 TXĐ : D = 2 Giới hạn : lim f(x) ; lim f(x) Đạo hàm : y = 3x , x →+ ∞ →− ∞ + − = +∞ = −∞ ′ • + > ∀ ∈ ¡ ¡ Bảng biến thiên x −∞ +∞

y′ +

y −∞ +∞

x −∞ +∞

y′ −

y −∞ +∞

Hàm số đã cho : Đồng biến trên : (− ∞ ∞;+ )

• Điểm uốn I(0; ) y′′=6x ; y′′= ⇔0 −61x= ⇔ =0 x 0

4 Điểm đặc biệt :

x 1− 0 1

y −2 −1 1

5 Đồ thị

LOẠI 2 : HÀM SỐ TRÙNG PHƯƠNG

3

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số : y = 3x x + (C)

Giải

1 TXĐ : D =

2 Giới hạn : lim f(x) ; lim f(x)

Đạo hàm :

−

= +∞ = +∞

¡

1

x

x

 =

⇔ − = ⇔  = ± Bảng biến thiên

Hàm số đã cho : g Đồng biến trên : ( ;0) , (1;+ ) −1 ∞

g Nghịch biến trên : (− ∞ −; 1) , (0; )1

g Cực trị : xCĐ =0,yCĐ=2 ; xCT = ±1 , yCT = −1

1 2

1

3

1 1 3 3 ,

Điểm uốn : I ( ; )

±

4 Điểm đặc biệt :

x − 2 1− 0 1 2

y 2 1− 2 1− 2

5 Đồ thị : Vì là hàm số chẵn nên đồ thị đối xứng qua trục Oy

x −∞ 1− 0 1 +∞

y′ − 0 + 0 − 0 +

y 1+∞ 2 − 1− +∞

4 2

3

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số : y = x x + (C)

Giải

1 TXĐ : D =

2 Giới hạn : lim f(x) ; lim f(x)

Đạo hàm :

+

= +∞ = +∞

¡

(x + = ⇔ =) x

Bảng biến thiên

Hàm số đã cho : Đồng biến trên : (0 ;+ ) g ∞

g Nghịch biến trên : (− ∞;0)

• y = 12x′′ 2+ > ∀ ∈4 0, x ¡ nên đồ thị hàm không có điểm uốn

4 Điểm đặc biệt :

x 1− 0 1

y 2 −1 2

5 Đồ thị : Vì là hàm số chẵn nên đồ thị đối xứng qua trục Oy

3

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số : y = x x (C)

Giải

1 TXĐ : D =

2 Giới hạn : lim f(x) ; lim f(x)

Đạo hàm :

− + +

= −∞ = −∞

• − + = − − ⇔ −

¡

1

x

x

 =

− = ⇔  = ±

Bảng biến thiên

x −∞ 0 +∞

′

y − 0 +

y 1+∞ − +∞

x −∞ 1− 0 1 +∞

y′ + 0 − 0 + 0 −

y 2 2 −∞ 1 −∞

Hàm số đã cho : g Đồng biến trên : (− ∞ −; 1) , (0; ) 1

g Nghịch biến trên : (−1;0) , (1;+ ∞)

g Cực trị : xCĐ = ±1,yCĐ=2 ; xCT =0 , yCT=1

1 2

1

3

1 14 9 3 ,

Điểm uốn : I ( ; )

• − + ⇔ − + = ⇔ = ±

±

4 Điểm đặc biệt :

x − 2 1− 0 1 2

y 1 2 1 2 1

5 Đồ thị : Vì là hàm số chẵn nên đồ thị đối xứng qua trục Oy

3

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số : y = x x + (C)

Giải

1 TXĐ : D =

2 Giới hạn : lim f(x) ; lim f(x)

Đạo hàm :

− −

= −∞ = −∞

¡

2

− + = ⇔ = Bảng biến thiên

Hàm số đã cho : g Đồng biến trên : (− ∞ ; ) 0

g Nghịch biến trên : (0;+∞)

• y = 12x′′ − 2− < ∀ ∈4 0, x ¡ nên đồ thị hàm không có điểm uốn

4 Điểm đặc biệt :

x 1− 0 1

y 1− 2 1−

5 Đồ thị : Vì là hàm số chẵn nên đồ thị đối xứng qua trục Oy

C.BÀI TẬP

x −∞ 0 +∞

′

y + 0 −

y −∞ 2 −∞

3 2 3 2 3 2 3 2

1

2

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số :

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ

4

thị của hàm số :

x a) y = x− + x b) y = x + x − c) y = x − x + 2 d) y = − −x +

Vấn đề 2 : KHẢO SÁT HÀM PHÂN THỨC HỮU TỈ

A KIẾN THỨC CƠ BẢN

SƠ ĐỒ KHẢO SÁT HÀM PHÂN THỨC

x

lim y ?

Đứng

Ngang ( hay xie

1 TXĐ : D = ?

2 Giới hạn , tiệm cận :

3 BBT : y BBT

(tăng , giảm , cực trị )

ân)

4 ĐĐB

5 ĐT

→±∞

′ →

•

•

LOẠI 1 : HÀM SỐ y ax b (c 0 và ad bc 0)

cx d

+

+

{ }

2 1

1 1

x Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số : y =

x Giải

1 Tập xác định : D = \

2 Tiệm cận :

lim y và lim y nên đường thẳng x = 1 là tiệm cận

+ +

−

¡

1 1

lim y và lim y nên đường thẳng y = 1 là tiệm cận ngang

Tâm đối xứng I( ; )→+∞ →−∞

−

g

g

3 Bảng biến thiên

1

(x )

−

′ < ∀ ≠ − +

Hàm số nghịch biến trên ( ; 1) và ( 1;−∞ − − +∞)

4 Điểm đặc biệt

x 2− −1 0

x −∞ 1− +∞

y 1 −∞ +∞ 1

{ }

2

1 1

2x 4 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số : y =

x Giải

1 Tập xác định : D = \

2 Tiệm cận :

lim y và lim y nên đường thẳng x = 1 là tiệm cận đứng

−

−

¡ g

2 2

lim y và lim y nên đường thẳng y = 1 là tiệm cận ngang

Tâm đối xứng I(→+∞ →−∞; )

−

g

g

3 Bảng biến thiên

1

(x )

′ > ∀ ≠

−

Hàm số đồng biến trên ( ;1) và (1;−∞ +∞)

4 Điểm đặc biệt

x 2 1 0

5 Đồ thị

LOẠI 2 : HÀM SỐ y ax2 bx c (a 0,a 0)

a x b

′ + ′

x −∞ 1 +∞

y 2 + ∞ 2−∞

{ }

1

1

1 1 1

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số : y =

x Giải

Viết lại : y = x +

x

1 Tập xác định : D = \

2 Giới hạn ,tiệm cận :

lim y , lim y

− +

−

−

= −∞ = +∞

¡ g

g

1

1

1 1

im y và lim y nên đường thẳng x = 1 là tiệm cận đứng

lim [y x] lim và lim [y x] nên đường thẳng y = x là tiệm cận xiên

x Tâm đối xứng I( ; )

= +∞ = −∞

−

−

g

g

3 Bảng biến thiên

(x )

− −

Hàm số đã cho : g Đồng biến trên : (− ∞; ) , (2; 0 + ∞)

g Nghịch biến trên : (0;1) , (1; 2)

g Cực trị : xCĐ =0,yCĐ = −1 ; xCT =2 , yCT=3

4 Điểm đặc biệt

x 1− 0 1 2 3

y 1 2 − 1− 3 7

2 5 Đồ thị

x −∞ 0 1 2 +∞

y′ + 0 − − 0 +

y 1−

−∞ −∞ +∞

+∞

3

{ }

2 2 3 2

2

3 2 2

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số : y =

x Giải

Viết lại : y = x

x

1 Tập xác định : D = \

2 Giới hạn ,tiệm cận :

lim y , lim y

− −

−

−

−

= −∞ = +∞

¡ g

g

3

0 1

2 2

m y và lim y nên đường thẳng x = 2 là tiệm cận đứng

lim [y x] lim = 0 và lim [y x] nên đường thẳng y = x là tiệm cận xiên

x Tâm đối xứng I( ; )

= −∞ = +∞

−

−

g

g

4 Bảng biến thiên

2

′ + > ∀ ≠

−

Hàm số đã cho : Đồng biến trên : (− ∞; ) , (2; 2 + ∞)

4 Điểm đặc biệt

x 1− 0 2 3 5

y

0 3

2

0 4

5 Đồ thị

x −∞ 2 +∞

y′ + +

y −∞ +∞ −∞ +∞

{ }

2 2 2 3

1

1 1 1

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số : y =

x Giải

Viết lại : y = x + 1

x

1 Tập xác định : D = \

− + −

−

− −

−

¡

1

1

2 Giới hạn ,tiệm cận :

lim y , lim y

lim y và lim y nên đường thẳng x = 1 là tiệm cận đứng

x

= +∞ = −∞

= −∞ = +∞

−

−

g

g

1 0

ân đường thẳng y = x là tiệm cận xiên

Tâm đối xứng I( ; )

− +

g

3 Bảng biến thiên

(x )

− − +

′ − + = ′ ⇔ − − = ⇔ = ∨ =

Hàm số đã cho : g Đồng biến trên : (0;1) , (1; 2)

g Nghịch biến trên : (− ∞; ) , (2; 0 + ∞)

g Cực trị : xCĐ =2,yCĐ = −2 ; xCT=0 , yCT =2

4 Điểm đặc biệt

x 1− 0 1 2 3

y 5/2 2 2− −9/2

5 Đồ thị

x −∞ 0 1 2 +∞

y′ − 0 + + 0 −

y 2 +∞ +∞ 2−

−∞ −∞

{ }

2 2 1 4

1 2

1 1

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số : y =

x Giải

Viết lại : y = x + 1 +

x

1 Tập xác định : D = \

− + +

−

−

−

¡

2 Giới hạn ,tiệm cận :

lim y , lim y

g

1

1

lim y và lim y nên đường thẳng x = 1 là tiệm cận đứng

lim [y ( x )] lim và lim [y ( x )] nên đường thẳng y = x là tiệm cận

x xiên

= −∞ = +∞

−

−

g

g

1 0 Tâm đối xứng I( ; )g

3 Bảng biến thiên

1

(x )

′ − − < ∀ ≠

−

Hàm số đã cho : Nghịch biến trên : (− ∞; ) , (1; 1 + ∞)

4 Điểm đặc biệt

x −∞ 1 +∞

y′ − −

y +∞ −∞ +∞ −∞

C.BÀI TẬP

1

2

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số :

a) y = b) y = c) y = d) y =

Khảo sát s

2

ự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số :

a) y = b) y = x c) y = d) y =