CỰC TRỊ HÀM BẬC BA Giáo viên: Nguyễn Tiến Đạt A.. Kết luận các giá trị m thỏa mãn: m=D1ÇD2... Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu ÞmÎD1.. Viết phương trình đường thẳng nối 2 điể
Trang 1
CỰC TRỊ HÀM BẬC BA Giáo viên: Nguyễn Tiến Đạt
A KIẾN THỨC CẦN NHỚ
Bài toán tổng quát:
Tìm m để hàm số y= f x m( ; )=ax3+bx2+cx d+ có 2 cực trị
2
0
3 0
y
y
a a
b ac
¢
¢
ì = ¹
ï
Û í
D = - >
Tìm m để hàm số y= f x m( ; )=ax3+bx2+cx d+ không có cực trị
0
3 0 0
y
y
a a
b ac
a b
¢
¢
éìï = ¹
êí
ê
ÛêîïD = - £
ê
= = ê
Bài toán tổng quát: Cho hàm số y= f x m( ; )=ax3+bx2+cx d+ Tìm tham số m để đồ
thị hàm số có 2 điểm cực trị x1, x2 thỏa mãn điều kiện K cho trước?
Phương pháp:
— Bước 1. Tập xác định D= . Tính đạo hàm: y¢ =3ax2+2bx c+
— Bước 2. Để hàm số có 2 cực trị Ûy¢=0 có 2 nghiệm phân biệt 2
0
3 0
y
y
a a
b ac
¢
¢
ì = ¹ ï
Û í
D = - >
và giải hệ này sẽ tìm được mÎD1.
— Bước 3. Gọi x1, x2 là 2 nghiệm của phương trình y¢=0. Theo Viét, ta có:
1 2
b
S x x
a c
P x x
a
ì
= + = -ï
ï
× í
ï
= = ï
î
— Bước 4. Biến đổi điều kiện K về dạng tổng S và tích P. Từ đó giải ra tìm được mÎD2.
— Bước 5. Kết luận các giá trị m thỏa mãn: m=D1ÇD2.
Lưu ý:
— Hàm số bậc 3 không có cực trị Û y¢=0 không có 2 nghiệm phân biệt ÛD £y¢ 0.
Trang 2— Trong trường hợp điều kiện K liên quan đến hình học phẳng, tức là cần xác định tọa
độ 2 điểm cực trị A x y( ; ), ( ; )1 1 B x y2 2 với x1, x2 là 2 nghiệm của y¢=0. Khi đó có 2
tình
huống thường gặp sau:
· Nếu giải được nghiệm của phương trình y¢=0, tức tìm được x1, x2 cụ thể, khi đó
ta sẽ thế vào hàm số đầu đề y= f x m( ; ) để tìm tung độ y1, y2 tương ứng của A và
B.
· Nếu tìm không được nghiệm y¢=0, khi đó gọi 2 nghiệm là x1, x2 và tìm tung độ
1, 2
y y bằng cách thế vào phương trình đường thẳng nối 2 điểm cực trị.
Để viết phương trình đường thẳng nối hai điểm cực trị, ta thường dùng phương
pháp tách đạo hàm (phần dư bậc nhất trong phép chia y cho y¢), nghĩa là:
Phân tích (bằng cách chia đa thức y cho y¢): 1 1
( ) ( ) ( )
( )
y h x
y y q x h x
y h x
ì = ï
¢
=
Đường thẳng qua 2 điểm cực trị là y=h x( ).
Bài toán. Tìm m để hàm số có 2 điểm cực trị A, B sao cho AB // d hoặc AB^d ?
— Bước 1. Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu ÞmÎD1.
— Bước 2. Viết phương trình đường thẳng nối 2 điểm cực trị AB.
2
//
1
AB d
AB d
AB d k k m D
AB d k k m D
ê ^ Û = - Þ Î ë
Bước 4. Kết luận các giá trị mÎD1ÇD2.
Bài toán. Vị trí tương đối giữa 2 điểm cực trị với đường thẳng:
Cho 2 điểm A x( ;A y A), ( ;B x B y B) và đường thẳng d ax by c: + + =0. Khi đó:
· Nếu (ax A+by A+ ×c) (ax B+by B+c) 0< thì A B, nằm về 2 phía so với đường thẳng d.
· Nếu (ax A+by A+ ×c) (ax B+by B+c) 0> thì A B, nằm cùng phía so với đường d.
Trường hợp đặc biệt:
· Để hàm số bậc ba y= f x( ) có 2 điểm cực trị nằm cùng phía so với trục tung OyÛ
phương trình y¢=0 có 2 nghiệm trái dấu và ngược lại.
· Để hàm số bậc ba y= f x( ) có 2 điểm cực trị nằm cùng phía so với trục hoành OxÛ đồ
thị hàm số y= f x( ) cắt trục Ox tại 3 điểm phân biệt Û phương trình hoành độ giao điểm
( ) 0
f x = có 3 nghiệm phân biệt (áp dụng khi nhẩm được nghiệm).
Bài toán . Tìm m để đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị A B, đối xứng nhau qua đường d:
— Bước 1. Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu ÞmÎD1.
— Bước 2. Tìm tọa độ 2 điểm cực trị A B, . Có 2 tình huống thường gặp:
Trang 3+ Một là y¢=0 có nghiệm đẹp x1, ,x2 tức có A x y( ; ), ( ; ).1 1 B x y2 2 + Hai là y¢=0 không giải ra tìm được nghiệm. Khi đó ta cần viết phương trình đường thẳng nối 2 điểm cực trị là D và lấy A x y( ; ), ( ; )1 1 B x y2 2 Î D.
— Bước 3. Gọi 1 2; 1 2
x x y y
Iæ + + ö
è ø là trung điểm của đoạn thẳng AB.
Do A B, đối xứng qua d nên thỏa hệ 0 2
d
d AB u
m D
I d I d
ì
ìD ^ × =
Î
— Bước 4. Kết luận m=D1ÇD2.
Bài toán . Tìm m để đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị A B, cách đều đường thẳng d:
— Bước 1. Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu ÞmÎD1.
— Bước 2. Tìm tọa độ 2 điểm cực trị A B, . Có 2 tình huống thường gặp:
+ Một là y¢=0 có nghiệm đẹp x1, ,x2 tức có A x y( ; ), ( ; ).1 1 B x y2 2 + Hai là y¢=0 không giải ra tìm được nghiệm. Khi đó ta cần viết phương trình đường thẳng nối 2 điểm cực trị là D và lấy A x y( ; ), ( ; )1 1 B x y2 2 Î D.
— Bước 3. Do A B, cách đều đường thẳng d nên d A d( ; )=d B d( ; )ÞmÎD2.
— Bước 4. Kết luận m=D1ÇD2.
Lưu ý: Để 2 điểm A B, đối xứng nhau qua điểm IÛI là trung điểm AB.
Kỹ năng giải nhanh các bài toán cực trị hàm số bậc ba y=ax3+bx2+cx d a+ ( ¹0)
Ta cóy¢ =3ax2+2bx c+
Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị khi phương trình y¢=0 có hai nghiệm phân
biệt Ûb2-3ac>0 Khi đó đường thẳng qua hai điểm cực trị đó là :
2
2 2
=ç - ÷ +
.
Bấm máy tính tìm ra đường thẳng đi qua hai điểm cực trị :
3 9
x i
x b
ax bx cx d ax bx c Ai B y Ax B
a
=
+ + + - + + ç + ÷¾¾¾¾¾® + Þ = +
Hoặc sử dụng công thức
18
y y y a
¢ ¢¢
- .
Khoảng cách giữa hai điểm cực trị của đồ thị hàm số bậc ba là:
Trang 43
4e 16e AB
a
+
9
b ac e
a
B BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 1 Hàm số bậc ba có thể có bao nhiêu cực trị ?
A. 1 hoặc 2 hoặc 3. B. 0 hoặc 2. C. 0 hoặc 1 hoặc 2. D. 2.
Câu 2 Điểm cực đại của hàm số f x( )=x3-3x+2 là:
A. ( 1; 4)- B. ( 1; 0)- C. (1; 4) D. (1; 0)
Câu 3 Hàm số y=2x3+3x2-36x-10:
A. Nhận điểm x = - 3 làm điểm cực tiểu.
B. Nhận điểm x = 2 làm điểm cực đại.
C. Nhận điểm x = - 3 làm điểm cực đại.
D. Nhận điểm x = - 2 làm điểm cực tiểu.
Câu 4 Cho hàm số y=x3-3x2-9x+4. Nếu hàm số đại cực đại tại x1 và cực tiểu tại x2 thì
tích y x y x( ) ( )1 2 bằng:
A. –302. B. –207. C. –82. D. –25.
Câu 5 Tìm m để hàm số y=x3-3mx2+6mx m+ có 2 cực trị:
A. 0
2
m m
é <
ê
ê >
0 2
m m
é £ ê
ê ³
ë . C.
0 < m < 2. D. 0 £ m £ 2.
Câu 6 Tìm m để hàm số y=mx3+3mx2-(m-1)x-1 có cực đại, cực tiểu:
A.
0 1 4
m m
é <
ê
ê
>
ê
ë
0
4
m
< £ C. 1
0
4
m
£ < D. 1
0
4
m
< <
Câu 7 Cho hàm số y=2x3+3(m-1)x2+6(m-2)x-1. Xác định m để hàm số có cực đại và cực
tiểu nằm trong khoảng ( 2;3)- :
Trang 5A. mÎ(3; 4). B. mÎ -( 1;3) (3; 4)È C. mÎ -( 1; 4). D. mÎ(1;3).
Câu 8 Tìm m để hàm số y=x3-(m+3)x2+mx m+ +5 đạt cực đại tại điểm x = 2
C. m = 3. D. Không tồn tại m.
Câu 9 Đồ thị của hàm số y=x3-3x2+ax b+ nhận điểm M(2; 2)- làm điểm cực tiểu. Tính
tổng a b +
A. a b + = 2. B. a b + = - 2. C. a b + = 3. D. a b + = - 3.
Câu 10 Hàm số y=ax3+bx2+cx d+ đại cực trị tại x x1, 2 nằm hai phía trục tung khi và chỉ
khi:
A.a>0,b<0,c> 0 B.b2-12ac³ 0 C. a và c trái dấu. D. b2-12ac> 0
y=x - mx + m có cực đại, cực tiểu và các điểm cực trị này đối xứng nhau qua đường thẳng y= x
A. m= ± 2. B. m= 2. C. m= - 2. D. m = 0.
Câu 12 Tìm m để các điểm cực trị của đồ thị hàm số y=2x3+3(m-3)x2+11 3- m và điểm
(0; 1)
I - thẳng hàng.
A. Không tồn tại m. B. m = 3. C. m = - 3. D. m = 0.
1 (2 1) 3 3
y= x - m - x + m- x+ Tìm m để hàm số có hai điểm cực trị cách đều trục tung.
A. m = - 1. B. m = ± 1. C. m = 1. D. m = 2.
Câu 14 Tìm m để một trong hai điểm cực trị của đồ thị hàm số y=x3-3x2+4m thuộc trục
hoành:
A. 0
1
m m
é =
ê
ê =
ë
C. m = 1. D. Không tồn tại m.
Câu 15 Tìm m để hàm số y=x3+ -(1 2 )m x2+(2-m x) +2 có 2 cực trị và hoành độ các điểm
cực trị đều dương.
Trang 6A. 5
2
4<m< B.
5
2
4£m< C.
5
2
4£m£ D.
5
2
4<m£
Câu 16 Tìm m để tung độ điểm cực tiểu của đồ thị hàm số y=(m2+1)x3-3(m2+1)x đạt
giá trị lớn nhất.
A. m = 0. B. m = 2. C. m = - 2. D. m = ± 1.
Câu 17 Cho hàm số y=x3-3x2+3(1-m x) + +1 3 (m C m). Tìm m để hàm số có cực đại, cực
tiểu, đồng thời các điểm cực đại và cực tiểu cùng với gốc O tạo thành tam giác có diện
tích bằng 4.
A. m = ± 1. B. m = 1. C. m = - 1
D. m = ± 2.
Câu 18 Tìm m để hàm số y=x3+2(m-1)x2+(m-1)x m+ 2+2 đạt cực trị tại 2 điểm x x1, 2
sao cho (x1+x2)(3-x x1 2) 0=
A. 4
2
m m
é =
ê
ê =
-ë
4
m m
é = ê
ê = ë
2
m m
é = -ê
ê = ë
2
m m
é = -ê
ê = -ë
.
Câu 19 Tìm m để hàm số y=x3-(m+2)x2+ -(1 m x) +3m-1 đạt cực trị tại 2 điểm x x1, 2 sao
cho x1-x2 = 2
A. 1
8
m m
é =
ê
ê =
1 8
m m
é = -ê
ê =
ë . C.
1
m = D. m = - 8.
Câu 20 Cho hàm số y=4x3+mx2-3x. Tìm m để hàm số đã cho có 2 điểm cực trị x x1, 2 thỏa
mãn x1= -4x2. Chọn đáp án đúng nhất?
2
m= ± B. m = 0. C
3 2
m= ± D. 9
2
m= ±
Câu 21 Cho hàm số y=x3-3mx2+3(m2-1)x-m3+m. Tìm m để hàm số đã cho có hai
diểm cực trị. Gọi x x1, 2 là hai điểm cực trị đó. Tìm m để x12+x22-x x1 2= 7
A. m = 0. B. 9
2
m= ± C. 1
2
m= ± D. m = ± 2.
Câu 22 Tìm m để hàm số f x( )=x3-3x2+mx-1 có hai điểm cực trị x x1, 2 thỏa mãn
x +x =
A. 3
2
m= B. m = 1. C. m = - 2. D. 1
2
m=
Trang 7( 1) 3( 2)
y= x - m- x + m- x+ , với m là tham số thực. Xác định m
để hàm số đã cho đạt cực trị tại x x1, 2 sao cho x1+2x2 = 1
A. 19 73
8
m - ±
= B. 19 73
16
m ±
= C. 19 73
16
- ±
. D. 19 73
8
m ±
Câu 24 Cho hàm số y=x3+2(m-1)x2+(m2-2m+1)x m+ 2+2. Tìm m để đồ thị hàm số đạt
cực trị tại x x1, 2 sao cho 1 2
1 1 1
( )
3 x x
x +x = +
A. m=4;m= - 2 B. m=5;m= - 2 C. m=4;m= - 3 D. m=5;m= - 3
2 3 2 1 6 1 2
y= x - a+ x + a a+ x+ Nếu gọi x x1, 2 lần lượt là hoành
độ các điểm cực trị của đồ thị hàm số thì giá trị x2-x1 bằng:
A. a + 1. B. a. C. a - 1. D. 1.
Câu 26 Đồ thị hàm số y= -x3+3mx2-3m-1 có hai điểm cực đại, cực tiểu đối xứng với nhau
qua đường thẳng :d x+8y-74 0= thì tập tất cả các giá trị của m:
A. m = 1. B. m = - 2. C. m = - 1. D. m = 2.
Câu 27 Đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số y=x3-3x2-9x m+ có
phương trình:
A. y= -8x m+ B. y= -8x m+ - 3 C. y= -8x m+ + 3 D. y= -8x-m+3.
Câu 28 Giá trị của m để khoảng cách từ điểm M( )0;3 đến đường thẳng đi qua hai điểm cực
trị của đồ thị hàm số y=x3+3mx+1 bằng 2
5 là:
A. 1
1
m m
é =
ê
ê =
-ë
3
m m
é =
-ê
ê =
y=x + x + m+ x m- - có cực đại, cực tiểu tại x x1, 2 sao cho
x < - <x thì giá trị của m là:
A. m > 1. B. m < 1. C. m > - 1. D. m < - 1.
Trang 8Câu 30 Cho hàm số y=x3+3x2+mx m+ -2 với m là tham số, có đồ thị là ( )C m Xác định
m để ( )C m có các điểm cực đại và cực tiểu nằm về hai phía đối với trục hoành ?
A. m < 2. B. m £ 3. C. m < 3. D. m £ 2.
C ĐÁP ÁN
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
B A C B A A B D A C A A A A A A B A A D
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
D A B A D D B B B C