chung minh dang thuc bat dang thuc hinh hoc

Định lý: Trong tam giác, đường phân giác của một góc chia cạnh đối diện thành hai đoạn thẳng tỉ lệ với hai cạnh kề hai đoạn ấy... Trong tam giác đều, trọng tâm, trực tâm, điểm cách đều

C' A

B'

M I

K

P C

B A

1.3 Sử dụng tính chất các đường trong tam giác

1.3.1 Tính chất đường phân giác của tam giác

- Điểm nằm trên tia phân giác của một góc thì cách đều haicạnh của góc đó

- Ba đường phân giác của một tam giác cùng đi qua một điểm

Điểm này cách đều ba cạnh của tam giác đó

Định lý: Trong tam giác, đường phân giác của một góc chia cạnh đối

diện thành hai đoạn thẳng tỉ lệ với hai cạnh kề hai đoạn ấy

Nếu AI là tia phân giác CAB thì ta có: CI AC

IB AB

C B

A

G F

M K

C

B A

F

L

K H

C B

A

1.3.2 Tính chất đường trung tuyến trong tam giác

Định lý: Ba đường trung tuyến của một tam giác cùng đi qua

một điểm Điểm đó cách mỗi đỉnh một khoảng bằng 2

3 độ dài đườngtrung tuyến đi qua đỉnh ấy

Tam giác ABC có AF, CM, BK là đường trung tuyến Ta có:

GA BK GC  CM 1.3.3 Tính chất đường trung trực của tam giác:

` Định lý: Ba đường trung trực của một tam giác cùng đi qua một

điểm, điểm này cách đều ba đỉnh của tam giác

( * ) Chú ý: Vì giao điểm O của ba đường trung trực của

tam giác ABC cách đều ba đỉnh của tam giác đó nên có

một đường tròn tâm O đi qua ba đỉnh A, B, C Ta gọi

đó là đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

1.3.4 Tính chất đường cao của tam giác:

Định lý: Ba đường cao của một tam giác cùng đi qua

một điểm

A' A

a N

M

C B

A

( * ) Chú ý: Trong trường hợp tam giác cân, đường trung trực ứng với

cạnh đáy đồng thời là đường phân giác, đường trung tuyến và đường

cao cùng xuất phát từ đỉnh đối diện với cạnh đó

Trong tam giác đều, trọng tâm, trực tâm, điểm cách đều ba đỉnh,

điểm nằm trong tam giác và cách đều ba cạnh là 4 điểm trùng

- Định lý: Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của tam giác và

song song với cạnh còn lại thì nó tạo thành một tam giác

mới đồng dạng với tam giác đã cho

Cho tam giác ABC, ta có: MN // BC

 DABC DA B C' ' '

- Các trường hợp đồng dạng của hai tam giác:

A' A

C

A' A

C

A' A

1.4.1 Trường hợp đồng dạng thứ nhất

Cho ABC A B C, ' ' ',nếu

C A

a Tam giác vuông này có một góc nhọn bằng góc nhọn của tam giácvuông kia

b Tam giác vuông này có hai cạnh góc vuông tỉ lệ với hai cạnh gócvuông của tam giác kia

Định lý 1: Nếu cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác

vuông này tỉ lệ với cạnh huyền và cạnh góc vuông của tam giác vuôngkia thì hai tam giác đó đồng dạng

+ Định lý 2: Tỉ số hai đường cao tương ứng của hai tam giác đồng

C B

( * ) Chú ý: Tỉ số lượng giác của một góc nhọn

luôn luôn dương, hơn nữa ta có: 0 sin  1, 0 cos  1

Sin2 + cos2 = 1, tg = sin

1.6.5 Tỉ số lượng giác của hai góc phụ nhau

Nếu hai góc phụ nhau thì sin góc này bằng côsin góc

kia, tang góc này bằng côtang góc kia, hay ta có:

sin   c os , cos =sin   

cot , cot

tg  g g tg

C' A

A1.6.6 Hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông

Tam giác ABC vuông tại A, ta có các hệ thức:

b = a.sinB = a.cosC, b= c.tgB = c.cotgC

c = a.sinC = a.cosB, c = b.tgC = b.cotgB

1.7 Hệ thức lượng trong đường tròn

2 Một vài bài ví dụ và bài tập minh họa

H

C' B'

A

C B

2.2 Định lý Talet thuận, đảo và hệ quả của nó

Bài 1 [Bài 10 trang 63 toán 8 tập 2] Cho tam giác ABC có

a Xét tam giác AB’H’ và tam giác ABH có

B’H’ // BH => theo hệ quả định lý Talét

Bài 2: Cho tam giác ABC cân tại A Trên cạnh BC kéo dài về phía C,

lấy một điểm M Một đường thẳng d đi qua điểm M cắt các cạnh CA,

AB tại N và P Chứng minh rằng: BM CM BP  CN không đổi khi M và dthay đổi

Giải:

N P

d

Q M

C B

y t x

O

Bài 3: (Chuyên đề hình học THCS)

Cho tam giác ABC nhọn Điểm O nằm trong tam giác thoảmãn: AB + BO = AC + CO Lấy P bất kì trên cạnh BC Qua P kẻ PXsong song với CO, PY song song với BO (XÎAB Y AC, Î ) Chứngminh rằng chu vi tứ giác AXPY không đổi khi P di chuyển trên BC

Bài 4: ( Nâng cao và phát triển toán 8 )

Cho tam giác ABC Chứng minh rằng nếu một đường thẳng cắtcạnh AB ở D, cắt cạnh BC ở K và cắt tia đối của tia CA ở E sao cho

BD = CE thì tỉ số KD KE không đổi

2.3 Sử dụng tính chất các đường trong tam giác

Bài 1: [ Bài 30, trang 87, SGK Toán 6 tập 2]

Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ chứa tia Ox, vẽ tia Ot, Oy sao cho

a Ta thấy 2 tia Ot và Oy cùng thuộc một nửa mặt phẳng có

bờ chứa tia Ox, mà xOt < xOy ( Vì 25 50 ) nên

tia Ot nằm giữa 2 tia Ox và Oy (1)

b, Vì Ot nằm giữa 2 tia Ox và Oy nên ta có:

Mà xOt   nên25 tOy   tOx 25   (2)

c, Từ (1) và (2), ta có: Ot là tia phân giác của góc xOy

y

x

D C

B A

O

Bài 2:[ Bài 34, trang 71, SGK toán 7 tập 2]

Cho góc xOy khác góc bẹt Trên tia Ox lấy A và B, trên tia Oy lấy C và D sao cho OA = OC, OB = OD Gọi I là giao điểm của hai đoạn thẳng AD và BC CMR:

A'

C' G

C B

A

N M

B A

Bài 3: [Bài 29, trang 67, toán 7 tập 2]

Gọi G là trọng tâm tam giác ABC đều CMR: GA = GB = GC

Bài 4: [bài 47, trang 76, toán 7 tập 2]

Cho điểm M, N nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng AB

2.4 Sử dụng hai tam giác đồng dạng và các trường hợp đồng dạng

Bài 1: (Tuyển tập đề thi môn toán trung học cơ sở - T25)

Cho tam giác AHC có ba góc nhọn, đường cao HE Trên đoạn HE lấy

diểm B sao cho CB vuông góc với AH ; hai trung tuyến AM và BK của

tam giác ABC cắt nhau tai I, hai trung trực của các đoạn thẳng AC và BC

Phương pháp: chứng minh hai tam đồng dạng theo

trường hợp hai góc đôi một bằng nhau

Giải:

Ta có MO//HA( do cùg vuông góc với BC),

tương tự : OK / / BH Þ KMO· =BHA· (góc nhọn

có cạnh tương ứng song song)

Ta cũng có MK // AB( do M, K là trung điểm BC, AC) Þ AHB· =KMO·

( góc nhọn có cạnh tương ứng song song)

Từ đó suy ra: DABH : DMK O

Bài 2: (Tuyển tập đề thi môn toán trung học cơ sở - T5)

Cho đường tròn (O), đường kính AB cố định, điểm I nằm giữa A và O

sao cho AI= AO1

2 Kẻ dây MN vuông góc với AB tại I Gọi C là điểm tùy ý thuộc cung lớn MN sao cho C không trùng với M, N và B Nối AC cắt MN

tại E

a) Chứng minh tứ giác IECB nội tiếp đựpc trong một đường tròn

b) Chứng minh DAME : DACM

Bài 3 :(Tuyển tập đê thi môn toán trung hoc cơ sở - T9)

I

M

K B

A

O E

H

C' B'

A

C B

d

Đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B Các tiếp tuyến tại A của các đường tròn (O) và (O’) cắt đường tròn (O) và (O’) theo thứ tự tại C và D.Gọi P và Q lần lượt là trung điểm của các dây AC và AD

Chứng minh: Hai tam giác ABD và CBA đồng dạng

b Xét tam giác AB’H’ và tam giác ABH có

B’H’ // BH => theo hệ quả định lý Talét

Cho tam giác ABC Trên cạnh BC lấy hai điểm M và N sao cho

MAB NAC Chứng minh rằng

2

Vẽ đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN

Gọi E và F lần lượt là các giao điểm thứ hai của AB và AC với đườngtròn này

Do MAB NAC nên ME = NF

Vậy MNFE là một hình thang cân hay EF //BC

Ta có BM.BN = BE.BA

CM.CN = CF.CA

Do đó: CM CN BM BN.. CF CA BE BA.. (1)

Mặt khác do EF//BC nên CF BE CA BA (2)

Từ (1) và (2) 

2.

Giả sử D là một điểm nằm trong tam giác nhọn ABC sao cho

ADB ACB 900 và AC.BD = AD.BC Chứng minh rằng

AB CD

AC BD .

Giải: (Sử dụng các tỉ số được suy ra từ hai tam giác đồng dạng)

Về phía ngoài tam giác ABC dựng tam giác BCE vuông cân tại C

Ta có: ADB ACB 900ACE

AD AC AC

BD BC CE

Vậy DADBDACE(c.g.c)

Do đó: DABEDADC suy ra AB AD

BE DC hay AB.CD = AD.BE

Trong tam giác vuông cân CBE có BE = 2BC và theo gt suy ra:

AB.CD = 2BC.AD = 2AC.BD

A

Gọi AM, BN, CL là ba đường cao của tam giác ABC Chứng minhrằng: AN.BL.CM = AB.BC.CA.cosA.cosB.cosC

Giải: (Sử dụng các hệ thức lượng trong tam giác vuông)

Xét tam giác vuông ABN có AN = AB cosA

Xét tam giác vuông BCL có BL = BC cosB

Xét tam giác vuông ACM có CM = AC cosC

Nhân vế với vế 3 đẳng thức trên ta có:

a a

8 60

2.6 Sử dụng các hệ thức lượng trong tam giác

Bài 1: [ Bài 57, SGK Toán 7 tập 1, trang 131]

Cho bài toán: tam giác ABC có: AB = 8, AC = 17, BC = 15 có phải là

tam giác vuông hay không?

D ABC: AB = 8 , AC = 17 , BC = 15

AB2 + AC2  BC2

-> KL D ABC kh«ng vu«ng lµ sai

Ta cã AB2 + BC2 = 82 + 152 = 64 + 225 = 189 = 172

-> AB2 + BC2 = AC2 -> D ABC vu«ng t¹i B

Bài 2: [bài 16, SGK toán 9 tập 1, trang 77]

Cho tam giác vuông có một góc 60 và cạnh huyền có độ dài là 8 Hãy tìm

độ dài của cạnh đối diện với góc 60

Giải: Áp dụng hệ thức lượng giác trong tam giác vuông, ta có:

Sin60 = AC BC => AC = sin60 BC = 3

2 8 = 4 3

H 4,5cm 7,5cm

6cm

C

B A

Cho tam giác ABC có AB = 6cm, AC = 4,5cm, BC = 7,5cm

CMR: tam giác ABC vuông tại A?

Bài 3: (Chuyên đề hình học THCS)

Cho tam giác ABC Gọi , ,d d d lần lượt là khoảng cách từ tâm a b c

đường tròn ngoại tiếp tới tâm đường tròn bàng tiếp góc A, B, C Gọi R, d lầnlượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp, khoảng cách giữa tâm đường tròn nộitiếp và tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác Chứng minh rằng:

B H

2.1.1 Quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong một tam giác

Định lý 1: Trong một tam giác, góc đối diện với cạnh lớn hơn là góc

lớn hơn

Cho ABCD , AC > AB   B C

Định lý 2: Trong một tam giác, cạnh đối diện với góc lớn hơn là cạnh

lớn hơn

Cho ABCD , nếu B C    thì AC AB

2.1.2 Quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên

Định lý: Trong các đường xiên và đường vuông góc kẻ từ một điểm ở

ngoài một đường thẳng đến đường thẳng đó, đường vuông góc là

đường ngắn nhất

AH là đường vuông góc, AB là đường xiên thì AH < AB

Quan hệ giữa các đường xiên và hình chiếu của chúng

Định lý 2: Trong hai đường xiên kẻ từ một điểm nằm ngoài

một đường thẳng đến đường thẳng đó:

+ Đường xiên nào có hình chiếu lớn hơn thì lớn hơn

+ Đường xiên nào lớn hơn thì có hình chiếu lớn hơn

+ Nếu 2 đường xiên bằng nhau thì hai hình chiếu bằng nhau, và ngược

lại, nếu hai hình chiếu bằng nhau thì hai đường xiên bằng nhau

2.1.3 Bất đẳng thức tam giác

Định lý: Trong một tam giác, tổng độ dài hai cạnh bất kì bao giờ cũng

lớn hơn độ dài cạnh còn lại

Cho tam giác ABC, ta có các bất đẳng thức tam giác sau:

AB + AC > BC

AB + BC > AC

AC + BC > AB

Từ bất đẳng thức tam giác, ta suy ra:

+ cạnh ứng với góc xen giữa lớn hơn là cạnh lớn hơn

+ góc xen giữa ứng với cạnh lớn hơn là góc lớn hơn là góc lớn hơn 2.1.5 Độ dài đoạn thẳng nằm trong tam giác nhỏ hơn độ dài cạnh lớn nhấtcủa tam giác

2.1.6 Trong tam giác, ứng với cạnh lớn hơn là đường cao, đường trungtuyến, đường phân giác nhỏ hơn

Trong một tam giác, độ dài đường phân giác không lớn hơn độ dàitrung tuyến kẻ từ một đỉnh

2.1.7 Trong một tứ giác, tổng các tích hai cạnh đối diện không nhỏ hơn tíchhai đường chéo ( Định lý Ptolêmê)

2.1.8 Trong đường tròn, đường kính là dây cung lớn nhất

2.1.9 Trong hai dây cung của đường tròn, dây cung nào gần tâm hơn thì dâycung đó lớn hơn

2.1.10 Trong các dây cung đi qua điểm M nằm trong đường tròn tâm O thìdây cung vuông góc với MO là dây cung có độ dài nhỏ nhất

2.2 Phương pháp chứng minh bất đẳng thức hình học

Tuỳ theo đặc trưng từng bài mà ta có thể tìm phương pháp giải hợp lýnhất Nếu căn cứ vào phép suy luận hay công cụ chính có thể chiathành những phương pháp giải như sau

2.2.1 Phương pháp biến đổi tương đương

Cơ sở phương phápnày dựa vào sơ đồ logic:

1 1 2 2 n n

a b  a b  a b   a b

nếu bất đẳng thức cuối cùng đúng thì bất đẳng thức đầu cũng đúng

Do đó để chứng minh bất đẳng thức a b , ta chỉ ra một dãy bất đẳngthức tương đương như trên cho đến một bất đẳng thức đúng thì dừnglại Thông thường trong quy trình biến đổi phải sử dụng giả thiết vàphép biến đổi tương đương

x D E

A

C B

C' B'

vậy c < min(a, b)

2.2.3 Phương pháp sử dụng bất đẳng thức hình học

Sử dụng các bất đẳng thức hình học cơ bản: bất đẳng thức về góc và cạnh đối diện trong tam giác, bất đẳng thức về mối quan hệ giữa đường xiên và hình chiếu, bất đẳng thức tam giác, …để giải quyết bài toán bất đẳng thức hình học phẳng

Ví dụ: Cho 2 tam giác có 2 cặp cạnh bằng nhau từng đôi một Chứng

minh cạnh ứng với góc lớn hơn thì lớn hơn, góc xen giữa ứng với cạnh lớn hơn thì lớn hơn

+ Nếu D nằm giữa E và C => DC < EC => AC > DC = A’C’

+ Nếu D không nằm giữa E và C thì DEDC có: DE + EC > DC

Dấu “=” xảy ra khi a = b = c  tam giác ABC đều

Ví dụ 2: Cho tam giác ABC đều cạnh a Trên các cạnh BC, CA, AB

có các điểm I, J, K thoả mãn IJK 60  CMR: CJ2 + CI2 + CI.CJ 2

2

a



Giải: Từ giả thiết  BIK  AKJ ( vì cùng bằng 120  BKI )

 tam giác AKJ đồng dạng tam giác BIK (g.g)

=> (a – 2CI – 2CJ)2 + 2(a2 – 2CI2 – 2CJ2 – 2.CI.CJ)  0

=> a2 – 2CI2 – 2CJ2 – 2CI.CJ  0 => CI2 + CJ2+ CI.CJ

2

2

a

 (đpcm)Dấu “=” xảy ra  KA = KB

( * ) Chú ý: Mỗi bài toán có khi cần kết hợp nhiều phương pháp mới

đi đến được lời giải Tuỳ từng tình huống bài toán cụ thể mà mỗi

phương pháp trên có ưu điểm riêng Người giải cần phải xác định

được:

+ Thể loại bài toán+ Định ra phương hướng giải+ Tìm được công cụ và phương pháp giải thích hợp

Để làm được các bước trên thì chúng ta thường tiến hành một số biện

pháp tìm lời giải sau:

- Khai thác triệt để giả thiết bài toán, dạng của bài toán, các điều

kiện đặt ra cho đại lượng và tính chất của các biểu thức có mặt

trong bài toán

- chuyển hoá nội dung bài toán chẳng hạn từ chúng minh bất đẳng

thức, thành tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức,…

- chuyển hoá hình thức bài toán như biến đổi giả thiết, kết luận về

dạng tương đương, đưa bài toán về dạng lượng giác, đại số hay

hình học nhằm thực hiện lời giải tốt hơn

- lựa chọn các công cụ giải toán, sử dụng trong lời giải tối ưu nhất

2.3 Hệ thống bài tập

Một bài toán có thể sử dụng nhiều phương pháp để giải nên chúng tôi

không phân loại hệ thống bài tập theo phương pháp mà phân loại theo

từng lớp học ở THCS

2.3.1 Bài toán chứng minh bất đẳng thức hình học cho học sinh lớp 7

- Đối với lớp 7 thì bài toán chứng minh bất đẳng thức hình học chủ

yếu xoay quanh quan hệ giữa các góc và độ dài các đường trung

tuyến, đường cao, đường phân giác, trong tam giác

- Phương pháp chủ yếu là sử dụng các bất đẳng thức hình học như bất

đẳng thức về quan hệ góc và cạnh đối diện, quan hệ giữa đường

vuông góc và đường xiên, giữa đường xiên và hình chiếu, bất đẳng

thức tam giác,…

Bài tập

Bài 1: Cho DABC vuông tại A Tia phân giác góc B cắt AC ở D,

CMR AD < min(DC, AB)

Giải: Trên BC lấy E sao cho AB = AE Trong tam giác

ABD: ABD ADB => AD < AB Trong tam giác DEC có:

AD = DE < DC

Vậy AD < min(AB, DC) (đpcm)

M

C B

=> AB = DC, BAM CDM Giả thiết AC > AB,

trong tam giác ADC có: AC > DC => ADC CAD =>

BAM CAM Ngược lại, nếu có

CAD CAD => AC > DC => AC > AB

Bài 3: Cho điểm M nằm trong DABC cân tại A

CMR: MB < MC  AMC AMB

Giải: Giả sử MB < MC, dựng ra phía ngoài tam giác ABC một tam

giác ACK sao cho ACKD DABM Trong tam giác MCK có

MC > CK = MB (gt) => CKM CMK

Mặt khác tam giác AMF cân tại A => AMK AKM (đpcm)

Ngược lại chứng minh bằng phản chứng

Bài 4: Cho tam giác ABC vuông tại A, với A là đường cao.

CMR: AB + AC – BC < AH BC2

Bài 5: Cho tam giác ABC cân tại A, các điểm E, F thuộc AB, AC sao

cho AE = AF CMR: BC + EF < 2BF

(HD): Trên tia đối của CB lấy K sao cho CK = EF, tam giác ABE =

tam giác AKE (c.g.c) => BE = KE

Xét tam giác CEK: CE – EK = CE – BE >CK = AC – AK = AC –

AB

Bài 6: Cho tam giác ABC cân tại A, trên tia AB, AC lần lượt lấy D và

E sao cho AD + AE = AB + AC CMR: BC < DE

(HD): Kẻ DH vuông góc với BC, EK vuông góc với BC ( H, K thuộc

BC)

Ta có: DBHD DCKE => BH = CK => HK < DE