Bài giảng số 3: Ứng dụng véc tơ trong chứng minh các bất đẳng thức hình học

Chứng minh rằng bình phương khoảng cách từ điểm M đến một trong các đỉnh của tứ diện không lớn hơn tổng bình phương khoảng cách từ điểm M đến 3 đỉnh còn lại. Gọi G là trọn[r]

Bài giảng số 3: ỨNG DỤNG VECTƠ TRONG CHỨNG MINH CÁC BÀI TOÁN

KHÔNG GIAN

A CÁC VÍ DỤ MẪU

Ví dụ 1: Cho tứ diện OABC có   0

180

đường phân giác trong của góc AOC Tính góc BOD

Giải:

Trên OA OB OC lần lượt lấy các vectơ đơn vị , , e1

, e2

và e3 như hình vẽ

Ta có e 1e3

nằm trên cạnh OD

Vậy ta có: e OD  2 e k e2  1e3

          

 2 

cos e OD, 0

    

0

90

BOD

Ví dụ 2: Gọi  1, 2, , là độ lớn 6 góc nhị diện các cạnh của tứ 6

diện ABCD Chứng minh rằng:

6

1

cos i 2

i









Giải:

Gọi O là tâm hình cầu nội tiếp tứ diện ABCD Từ O dựng

1

OA  BCD , OB1ACD, A M1 CD OM CD,

1

cosA MB cosCD cosAOB

   

   

6

1

i



6

1

cos i 2

i





  (đpcm)

O

B

e1

e2 e3

D

A

A

M

1

1

Ví dụ 3: Gọi R là bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD Gọi G G G G là trọng tâm của các a, b, c, d

tam giác BCD , ACD , ABD , ABC Đặt m a AG a , m b BG b , m c CG c , m d CG d Chứng minh

16 a b c d

R m m m m

Giải:

Gọi O là tâm hình cầu nội tiếp tứ diện ABCD Ta có:

           

4

16 a b c d

16 4 a b c d

      16R2 9m a m b mcmd2

3

16 a b c d

Dấu “=” xảy ra

ABCD





  



là tứ diện đều

Ví dụ 4: Cho tứ diện ABCD với tam diện vuông đỉnh A Xác định vị trí của điểm M để biểu thức sau là

Giải:

Ta có: 3MA MB MC MD 3MA MB AB. MC AC. MD AD.

MA

  



MA

        



AM MB AB AM MC AC AM MD AD

        

  

Vậy biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi M A

(Ở đây AB; AC; AD

  

đôi một vuông góc nên AB AC AD 1

  

)

B BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 1: Cho tứ diện gần đều ABCD, M là một điểm bất kỳ trong không gian Chứng minh rằng bình phương khoảng cách từ điểm M đến một trong các đỉnh của tứ diện không lớn hơn tổng bình phương khoảng cách từ điểm M đến 3 đỉnh còn lại

Bài 2: Giả sử r R tương ứng là bán kính mặt cầu nội tiếp và ngoại tiếp một tứ diện có thể tích , V Chứng minh: 8R r2 3 3V

Bài 3: Cho tứ diện A A A A Gọi 1 2 3 4 S là diện tích mặt đối diện đỉnh i A và i ei

là vectơ đơn vị vuông góc với mặt đối diện đỉnh A sao cho i ei

không chứa điểm nào bên trong tứ diện i 1, 2, 3, 4 Chứng minh rằng: S e1 1S e22 S e3 3S e4 4 0

(định lý con nhím)

Bài 4: Cho tứ diện ABCD với độ dài các cạnh a b c , , , x y z, , nội tiếp trong hình cầu bán kính R Gọi

G là trọng tâm tứ diện Chứng minh rằng:

4

R

Bài 5: Cho hai tứ diện ABCD và A B C D    Gọi G và G lần lượt là trọng tâm của hai tứ diện ABCD

và A B C D    Chứng minh rằng:

4

GG     