(SKKN mới NHẤT) PHÁT TRIỂN NĂNG lực sử DỤNG CÔNG cụ VECTƠ CHO học SINH TRONG bài TOÁN CHỨNG MINH bất ĐẲNG THỨC HÌNH học và tìm cực TRỊ HÌNH học

Bất đẳng thức là một vấn đề hiện nay rất được quan tâm, trong các kì thi đại học, trong các cuộc thi học sinh giỏi, thi Olympic hay trên tạp chí Toán học và Tuổi trẻ bài toán bất đẳng th

Phần I: ĐẶT VẤN ĐỀ

1.1 Lý do chọn đề tài

Bất đẳng thức là một vấn đề hiện nay rất được quan tâm, trong các kì thi đại học, trong các cuộc thi học sinh giỏi, thi Olympic hay trên tạp chí Toán học và Tuổi trẻ bài toán bất đẳng thức rất hay xuất hiện và phương pháp chứng minh bất đẳng thức ngày càng phong phú và đa dạng bởi tính độc đáo của nó Để tìm được lời giải cho bài toán chứng minh bất đẳng thức đòi hỏi người làm toán phải biết đào sâu suy nghĩ, phân tích bài toán dưới nhiều khía cạnh và góc độ khác nhau Vì thế, mỗi bài toán chứng minh bất đẳng thức thường chứa đựng nhiều lời giải hay

và đẹp, bên cạnh đó các phương pháp chứng minh bất đẳng thức cũng rất đa dạng

và phong phú Nhằm trang bị thêm cho các em học sinh có kỹ năng sử dụng véctơ cũng như năng lực sử dụng véctơ trong bài toán hình học, trong bài viết này tác giả hướng dẫn học sinh sử dụng công cụ véctơ vào giải toán chứng minh các bất đẳng thức và tìm cực trị hình học

Véctơ là một khái niệm mới mẻ đối với các em học sinh bắt đầu vào lớp 10 , ngoài việc nắm vững khái niệm và các tính chất của véctơ thì việc áp dụng được véctơ vào giải toán chứng minh bất đẳng thức và tìm cực trị hình học là công việc hết sức quan trọng Nhằm mục đích nâng cao khả năng sử dụng véctơ cũng như năng lực áp dụng công cụ véctơ cho học sinh vào giải toán chứng minh bất đẳng thức và tìm cực trị hình học, đó cũng chính là lý do Tôi chọn viết đề tài này

1.3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

- Giáo viên giảng dạy môn toán bậc THPT, học sinh THPT…

- Giáo viên bồi dưỡng đội tuyển HSG cấp Tỉnh,

Phần II: NỘI DUNG

2.1 Những thuận lợi và khó khăn

- Có rất nhiều học sinh, đặc biệt là những học sinh lớp chọn có tố chất, nhiệt tình

và luôn mong muốn tìm hiểu, khám phá những vấn đề mới của toán học

2 1.2 Khó khăn

Bên cạnh những thuận lợi thì tôi cũng gặp một số khó khăn nhất định sau:

- Đặc thù của môn toán là rất khó so với các môn học khác nên các em thường có tâm lý e ngại khi học toán, chưa nói đến việc khai thác, hiểu sâu về môn toán

- Phần lớn học sinh của trường đều có hoàn cảnh gia đình khó khăn nên các bậc phụ huynh chưa chú trọng vào việc học của con em mình

2.2 Thực trạng của đề tài

- Trong giảng dạy, nếu đơn thuần chỉ truyền thụ những kiến thức cơ bản mà lãng quên đi những hoạt động tìm tòi, nghiên cứu thì bản thân người giáo viên sẽ mai một kiến thức và học sinh cũng bị hạn chế khả năng suy luận, tư duy sáng tạo

- Một số học sinh mang khuynh hướng học đối phó, học để thi nên không muốn hiểu sâu, hiểu rộng một vấn đề nào đó

2.3 Khả năng ứng dụng và khai triển đề tài

- Đề tài này có khả năng ứng dụng cho học sinh THPT, ôn thi học sinh giỏi, ôn thi đại học , trường công lập , trường bán công,…

2.4 Kiến thức cơ sở về véctơ

Trong mục này tác giả bổ sung một số kiến thức nâng cao về véc tơ

*) Một số bất đẳng thức về véctơ : Với các véctơ a 

c b

aIA

*) Một số hệ thức về véctơ liên quan đến các điểm đặc biệt trong tam giác

+) Với G là trọng tâm tam giác ABC thì: GA GB GC        0

+) Với I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC: aIA bIB cIC        0

b c BI aIA cIC cIB          aIA bIB cIC        0

+) Với Hlà trực tâm tam giác ABCthì: tan A HA   tan B HB   tan C HC    0

+) Với Olà tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABCthì:

OA  sin 2 A OB   sin 2 B OC   sin 2 C  0 

Chứng minh

Bình phương hai vế của đẳng thức ta có đẳng thức sau:

R 2sin 2 2 A  sin 2 2 B  sin 2 2 C 2sin 2 sin 2 A BOA OB   0

P

M H A

B'

A' N

M

DE

HK

I D

A

B

C M'

M P

P' N

+) Trong không gian

-) Cho tứ diện ABCD với I là tâm mặt cầu nội tiếp tứ diện , đặt Sa  SBCD,

B

C

D H

(2) Cộng vế theo vế các BĐT cùng chiều (1) và (2) ta có

S  S ,Sc  SBDA,Sd  SABC Gọi A B C D1, , ,1 1 1 lần lượt là hình chiếu vuông góc của

I lên các mặt đối diện các đỉnh A B C D , , , ta có đẳng thức véctơ sau

B

C

D I

A1 D1

Cho tứ diện ABCD gọi e e e e    1, , ,2 3 4

lần lượt là các véctơ đơn vị vuông góc với các mặt phẳng BCD , CDA , DAB , ABC và hướng ra phía ngoài tứ diện

Đặt: Sa SBCD,Sb SCDA,Sc  SBDA,Sd  SABC ta có đẳng thức véc tơ sau

S ea 1 S eb 2 S ec 3 S ed  4  0

*) Điểm Lơ-moan

+) Khái niệm đường đối trung

Cho tam giác ABC với trung tuyến AM S là điểm thuộc cạnh BC sao cho

HP

KQ

A

LH

lần lượt là hình chiếu vuông góc của E lên các cạnh AB và AC

Thật vậy: Gọi AM là đường trung tuyến của tam giác ABC và P Q , lần lượt là hình chiếu của M lên AB AC , Ta có

AMC AMB

Qua L dựng đường thẳng song song với BCvà cắt AB AC ,

b S x

2 c

c S x

khi đó tồn tại duy nhất điểm I sao cho 1 IA1 2IA 2   n  IAn  0

, điểm I gọi là tâm tỷ cự của hệ điểm A A1, 2, , An ứng với bộ số  1, 2, , n

-) Với điểm I là tâm tỷ cự của hệ điểm A A1, 2, , An của hình chóp S A A A 1 2 n ứng với bộ số  1, 2, , n Ta có:

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi M  G

Bài toán 2 Cho tam giác ABCvới trọng tâm G, chứng minh rằng

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi M  G

Bài toán 3 Cho tam giác ABC có AB c BC a CA b  ,  ,  Kí hiệu m m ma, b, c lần lượt

là các đường trung tuyến xuất phát từ các đỉnh A B C , , và Rlà bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, chứng minh rằng

2 R m a mb mc a 2  b 2  c 2

Chứng minh

Gọi Olà tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, ta có:

G A

M

N P

3 , 3 , 3

m  GA m  GB m  GC, lúc đó BĐT 3OA GA OB GB OC GC    AB 2  BC 2  CA 2

Bài toán 5 Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O, bán kính R Giả sử M

là một điểm nằm trong đường tròn tâm O và    , , là các số thực dương thỏa mãn

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi  MA   MB   MC

Bài toán 6 Cho điểm M thuộc mặt phẳng chứa tam giác đều ABC Gọi A B C1, ,1 1

lần lượt là hình chiếu của điểm M lên các cạnh BC CA AB , , của tam giác ABC Chứng minh rằng

MA1

B1C1

Trường hợp 2: Gọi G1 là trọng tâm của tam giác A B C1 1 1

1 1

3 4

C A  MB

Cộng vế theo vế các BĐT trên ta có: 2 2 2  2 2 2

3 4

G A  G B  G C  MA  MB  MC

4 MA  MB  MC  MA  MB  MC ( đpcm)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi M  G1

Bài toán 7 Cho tam giác ABC có AB c BC a CA b  ,  ,  Gọi Ilà tâm đường tròn nội tiếp tam giác đó, chứng minh rằng

2 .2 2 3

9

IA IB IC aIA bIB cIC 

Chứng minh

aIA bIB cIC         aIA bIB cIC      

 a IA 2 2  b IB 2 2  c IC 2 2  2 abIA IB    2 bcIB IC    2 caIC IA    0

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi tam giác ABClà tam giác đều

Bài toán 8 Cho tam giác ABC có AB c BC a CA b  ,  ,  , chứng minh rằng với mọi điểm M nằm trong mặt phẳng chứa tam giác ABC ta có bất đẳng thức sau

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi M  I

Bài toán 9 Cho tam giác ABC có AB c BC a CA b  ,  ,  , chứng minh rằng với mọi điểm M nằm trong mặt phẳng chứa tam giác ABC ta có:

MA MB MC 3

a  b  c 

( Olimpic 30 – 4 – 2013) Chứng minh

Gọi Glà trọng tâm tam giác ABCta có:

Bài toán 10 Cho tam giác ABC có AB c BC a CA b  ,  ,  và M là một điểm tùy ý nằm trong mặt phẳng chứa tam giác ABC, chứng minh rằng

Dấu “=” xảy ra khi và chi khi Mlà điểm Lơ – moan của tam giác ABC

Bài toán 11 Cho tam giác ABC có AB c BC a CA b  ,  ,  Kí hiệu Llà điểm lơ – moan của tam giác đó, chứng minh rằng

a 2  b 2  c 2LA 2  LB 2  LC 2  3 a LA 2 2  b LB 2 2  c LC 2 2

Chứng minh

Vì L là điểm Lơ – moan nên ta có: a LA b LB c LC 2   2   2    0

Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC, ta có:

GA   b c a , 2 1  2 2 2

2 9

GB   c a b , 2 1  2 2 2

2 9

GC   a b c BĐT 6 2 2 2 2 1 2 2 2 22 2 2 2 2 0

M G A

A1

B1 C1

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi tam giác ABC là tam giác đều

Bài toán 12 Cho tam giác ABC có tâm đường tròn nội tiếp là I, trọng tâm là G Kéo dài AG BG CG , , lần lượt cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại A B C1, ,1 1 Chứng minh rằng GA GB1 1 GC1 IA IB IC  

( Toán học và tuổi trẻ tháng 11 năm 2018) Chứng minh

Bài toán sau là một kết quả làm chặt bài toán số 9 vì ta có:

Lấy (1) nhân với 2 sau đó cộng vế theo vế các bất đẳng thức cùng chiều với (2) ta

có điều phải chứng minh

Bài tập:

1 Cho tam giác ABC có BC a CA b AB c  ,  ,  và nội tiếp đường tròn tâm O bán kính R, chứng minh rằng với mọi số thực dương    , , ta có bất đẳng thức sau

2 Cho tam giác ABC và điểm I ở trong tam giác Đặt BIC, CIA,

AIB Chứng minh rằng với mọi điểm M ta có:

MA sin   MB sin   MC sin   IA sin   IB sin   IC sin 

3 Cho tam giác ABC có các góc đều bé hơn 120 0 và M là điểm bất kỳ trong mặt phẳng chứa tam giác ABC Gọi Tlà điểm Tô – ri – xen – li của  ABC Chứng minh rằng

MA sin A MB  sin B MC  sin C a  cos A b  cos B c  cos C

6 Cho tam giác ABC, chứng minh rằng với mọi điểm M thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác đó ta có:

G A

MA 2 sin 2 A MB  2 sin 2 B MC  2 sin 2 C  3MH 2  MI 2  MK 2

8 ( Toán học và tuổi trẻ tháng 6 năm 2008)

Cho tam giác nhọn ABC với Q là tâm đường tròn Euler của nó Đường tròn ngoại tam giác ABC với bán kính R cắt AQ BQ CQ , , lần nữa tại M N P , , theo thứ tự Chứng minh rằng

11 ( Toán học và tuổi trẻ tháng 9 năm 2021)

Cho tam giác ABCcó AB c BC a CA b  ,  ,  Gọi G là trọng tâm của tam giác

đó, chứng minh rằng:

GA2 GB2 GC2 1

bc  ca  ab 

2.5.2 Sử dụng véctơ vào bài toán tìm cực trị hình học phẳng

Bài toán 1 Cho tam giác ABC có AB c BC a CA b  ,  ,  và đường thẳng d bất kỳ Tìm điểm M trên đường thẳng d sao cho biểu thức sau đạt giá trị nhỏ nhất

M1 K

I

A

K A

a) Tìm GTNN của biểu thức P

b) Tìm GTLN của biểu thức P

Lời giải

Trước tiên ta tìm điểm Isao cho     IA IB IC    0

Gọi K là trung điểm của BC ta có

a) MinP đạt được khi và chỉ khi MIđạt Max  M  A và MinP  8

b) MaxP đạt được khi và chỉ khi MIđạt Min  M  M1 và MaxP 8

O E

Max P 2 R a 2  b 2  2 ab cos Ckhi và chỉ khi M  M2

Bài toán 5 Cho tam giác ABC có góc A bằng 60 0 M là một điểm tùy ý thuộc mặt phẳng chứa tam giác ABC, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

 3 MA  1 cos MA AF , AB AC  AB AC

   Vậy: Min P AB AC  khi và chỉ khi M  A

Bài toán 6 Cho ABC với AB c BA a CA b  ,  ,  và M là điểm nằm trong mặt phẳng tam giác ABC    , , là các số thực thỏa mãn       0 Tùy vào dấu của

     hãy tìm giá trị lớn nhât, giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau

M N

    hay tam giác ABC là tam giác vuông cân

Bài toán 8 Cho tam giác ABC Tìm điểm M sao cho tổng MA MB MC   đạt giá trị nhỏ nhất

Min (MA MB MC   ) TA TB TC   khi và chỉ khi M  T

Trường hợp 2: Tam giác ABC có một góc lớn hơn hoặc bằng 120 0, không mất tính tổng quát giả sử   A 120 0, ta có:

Min(MA MB MC   ) AB AC  khi và chỉ khi M  A

Bài toán 9 Cho điểm M thuộc miền trong của tam giác nhọn ABC Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

T  tan A MA 2  tan B MB 2  tan C MC 2

 2 MH tan A HA   tan B HB   tan C HC 

Ta có: tan A HA   tan B HB   tan C HC    0

Do đó: T  tan tan tan A B C MH 2  tan A HA 2  tan B HB 2  tan C HC 2

Mặt khác do: HA  2 cos R A,HB  2 cos R B,HC  2 cos R C khi đó

tan A HA  tan B HB  tan C HC  2 R sin 2 A  sin 2 B  sin 2 C  8 R sin sin sin A B C  4 S ( S : diện tích  ABC)

T  tan tan tan A B C MH 2  8 R 2 sin sin sin A B C  tan tan tan A B C MH 2  4 S  4 S

Vậy: Min T 4Skhi và chỉ khi M  H

Bài toán 10 Cho tam giác ABC và M là một điểm nằm trong mặt phẳng chứa tam giác, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

P MA  sin 2 A MB  sin 2 B MC  sin 2 C

Lời giải

Gọi O và Rlần lượt là tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

Ta có P MA OA. sin 2A MB OB. sin 2B MC OC. sin 2C

B H K C

L P

Ta có: OA  sin 2 A OB   sin 2 B OC   sin 2 C  0 

Do đó: P R  sin 2 A  sin 2 B  sin 2 C 4 sin sin sin R A B C

Vậy: Min P 4 sin sin sin R A B C khi và chỉ khi

Kẻ AH  BC và gọi L là trung điểm của AHta có

L là điểm Lơ - moan của tam giác ABC, thật vậy

hay L là điểm Lơ – moan của tam giác ABC

Bổ đề: Với mọi điềm M ta có

1 Cho tam giác đều ABC cạnh a

a Cho M là một điểm nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, tính

MA  MB  MC theo a

b Cho đường thẳng d, tìm điểm N trên d sao cho NA 2  NB 2  NC 2 nhỏ nhất

2 Cho tam giác ABC, các điểm M N P , , lần lượt di động trên các đường thẳng

Bài toán 1 Cho các điểm A A1, 2, , An thuộc mặt cầu tâm O, bán kính đơn vị sao cho OA OA  1 2  OA  n 0

Với mọi điểm Mtrong không gian chứng minh rằng

MA1 MA2  MAn n

Chứng minh

Ta có: MA   i  OA OMi

(  i 1, n) Khi đó: MA1 MA2  MAn OA OM    1  OA2 OM   OA  n OM

 OA OM OA      1 1  OA2 OM OA2   OA   n OM OAn

OA OM OA       1   1 OA 2  OM OA 2   OA   n OM OA n

  n OM OA OA    1  2   OA n n

(đpcm) Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi MA i

cùng phương với OA i

Bài toán 2 Cho tứ diện ABCDcó AB CD AC BD AD BC  ,  ,  và Mlà một điểm bất

kỳ trong không gian Chứng minh rằng bình phương khoảng cách từ điểm M đến một trong các đỉnh của tứ diện không lớn hơn tổng bình phương khoảng từ điểm

Mđến ba đỉnh còn lại

Chứng minh

Không mất tính tổng quát ta chứng minh: MA 2  MB 2  MC 2  MD 2 (1)

Gọi O là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD, ta có:

hay M là điểm đối với A qua O Bài toán 3 Cho tứ diện ABCD và M là điểm tùy ý trong không gian, chứng minh rằng: MA 2  MB 2  MC 2  MD 2  GA 2  GB 2  GC 2  GD 2

P S

A

B

C M

I

Bài toán 4 Cho tứ diện ABCD có O là điểm nằm trong tứ diện sao cho

 

BOC DOA  , COA DOB  ,  AOB COD , chứng minh rằng với mọi điểm M bất kỳ

trong không gian ta có

hay tứ diện A B C D1 1 1 1 là tứ diện gần đều nhận O

làm tâm mặt cầu ngoại tiếp nên O cũng là trọng tâm

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi M  O

Bài toán 5 Cho tứ diện SABC có SA BC  , SB CA  ,SC  AB, một mặt phẳng đi qua tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC và cắt các tia SA SB SC , , theo thứ tự tại các điểm M N P , , Chứng minh rằng SM  SN SP SA SB SC    

Chứng minh

Đặt AB c BC a CA b  ,  ,  suy ra aIA bIB cIC        0

Ta có: aIA bIB cIC         0 a b c SI aSA bSB cSC         



 

,SC SCSN SN

Bài toán 7 Cho tứ diện ABCD có Glà trọng tâm, các đường thẳng GA GB GC GD , , ,

lần lượt cắt mặt cầu ngoại tiếp tứ diện tại các điểm A B C D1, , ,1 1 1, chứng minh rằng

B1

I D1

Bài toán 8 Cho tứ diện ABCD có G là trọng tâm tam giác BCD , một mặt phẳng

  đi qua trung điểm I của đoạn thẳng AG và cắt các cạnh AB AC AD , , tại các điểm ( khác A) Gọi h h h hA, , ,B C D lần lượt là khoảng cách từ các điểm A B C D , , , đến mặt phẳng   , chứng minh rằng:

1

C A

1

D A