Để chứng minh bất đẳng thức, giải phương trình và bất phương trình đại số có thể xuất phát từ nhiều kiến thức khác nhau và giải bằng nhiều phương pháp khác nhau, trong đó có phương pháp sử dụng tọa độ trong hình học để chứng minh bất đẳng thức, giải phương trình và bất phương trình đại số. Với mục đích thay đổi hình thức của bài toán đại số thông thường thành bài toán sử dụng tọa độ hình học để giải.
Trang 2M C L CỤ Ụ
B. N I DUNH SÁNG KI N KINH NGHI M……….Ộ Ế Ệ 4
II. C S LÝ Ơ Ở
LU N……… Ậ 4 III. BÀI TOÁN MINH H A……….Ọ 6
1. M t s bài toán v b t đ ng th c, ch ng minh….ộ ố ề ấ ẳ ứ ứ
2. M t s bài toán v phộ ố ề ương
3. M t s bài toán v b t phộ ố ề ấ ương trình ………
………
14
4. M t s bài t p tộ ố ậ ương t ……….ự
IV. KI M NGHI M……… Ể Ệ 17
C. K T LU N, KI N NGH ………Ế Ậ Ế Ị 18
D. TÀI LI U THAM KH O……… Ệ Ả 19
Trang 3A. M Đ UỞ Ầ
Hi n nay, chúng ta đang ti n hành đ i m i giáo d c ph thông. M c tiêuệ ế ổ ớ ụ ổ ụ
c a các c p h c đ u hủ ấ ọ ề ướng đ n vi c hình thành năng l c nh n th c, năng l cế ệ ự ậ ứ ự hành đ ng, năng l c gi i quy t v n đ , năng l c thích ng cho h c sinh, phátộ ự ả ế ấ ề ự ứ ọ huy tính tích c c, ch đ ng, đ c l p sáng t o trong nh n th c c a ngự ủ ộ ộ ậ ạ ậ ứ ủ ườ ọ i h c,
b i dồ ưỡng năng l c t h c, g n h c v i hành, tác đ ng đ n tình c m đem l iự ự ọ ắ ọ ớ ộ ế ả ạ
ni m vui h ng thú h c t p cho h c sinh.ề ứ ọ ậ ọ
Trong môn Toán trở ường ph thông các bài toán v ch ng minh b t đ ngổ ề ứ ấ ẳ
th c, gi i phứ ả ương trình và b t phấ ương trình đ i s ngày càng đạ ố ược quan tâm đúng m c và có s c h p d n m nh m nh vào v đ p, tính đ c đáo c a cácứ ứ ấ ẫ ạ ẽ ờ ẻ ẹ ộ ủ
phương pháp gi i chúng. Bài t p v b t đ ng th c, phả ậ ề ấ ẳ ứ ương trình và b t phấ ươ ng trình đ i s r t phong phú và đa d ng c v n i dung và phạ ố ấ ạ ả ề ộ ương pháp gi i. ả
Đ ch ng minh b t đ ng th c, gi i phể ứ ấ ẳ ứ ả ương trình và b t phấ ương trình đ iạ
s có th xu t phát t nhi u ki n th c khác nhau và gi i b ng nhi u phố ể ấ ừ ề ế ứ ả ằ ề ươ ng pháp khác nhau, trong đó có phương pháp s d ng t a đ trong hình h c đử ụ ọ ộ ọ ể
ch ng minh b t đ ng th c, gi i phứ ấ ẳ ứ ả ương trình và b t phấ ương trình đ i s V iạ ố ớ
m c đích thay đ i hình th c c a bài toán đ i s thông thụ ổ ứ ủ ạ ố ường thành bài toán sử
d ng t a đ hình h c đ gi i. Phụ ọ ộ ọ ể ả ương pháp này tuy không ph i là chi c chìaả ế khoá v n năng đ có th gi i đạ ể ể ả ược cho m i bài toán v ch ng minh b t đ ngọ ề ứ ấ ẳ
th c, gi i phứ ả ương trình và b t phấ ương trình đ i s và ch a ch c phạ ố ư ắ ương pháp này đã là phương pháp thích h p nh t nh ng nó l i có nét lý thú và đ c đáo riêngợ ấ ư ạ ộ
c a nó, giúp h c sinh th y đủ ọ ấ ượ ực s liên h m t thi t, qua l i gi a các phân mônệ ậ ế ạ ữ
c a môn Toán v i nhau. Đó là n i dung mà tôi mu n đ c p đ n trong ph m viủ ớ ộ ố ề ậ ế ạ
Trang 4c a sáng ki n kinh nghi m này: ủ ế ệ “H ướ ng d n h c sinh s d ng t a đ trong ẫ ọ ử ụ ọ ộ hình h c ph ng đ ch ng minh m t s b t đ ng th c, gi i m t s ph ọ ẳ ể ứ ộ ố ấ ẳ ứ ả ộ ố ươ ng trình và b t ph ấ ươ ng trình đ i s nh m nâng cao ch t l ạ ố ằ ấ ượ ng đ i v i h c ố ớ ọ sinh l p 10 tr ớ ở ườ ng THPT”.
B. N I DUNG SÁNG KI N KINH NGHI MỘ Ế Ệ
I. TH C TR NGỰ Ạ
Trong năm h c 20152016 tôi đọ ược phân công gi ng d y b môn Toán ả ạ ộ ở
l p 10A6, 10A7 trớ ường THPT Nông C ng 3. Tôi nh n th y: H u h t h c sinhố ậ ấ ầ ế ọ
r t ng i khi g p các bài toán ch ng minh b t đ ng th c, gi i phấ ạ ặ ứ ấ ẳ ứ ả ương trình ho cặ
b t phấ ương trình đ i s Có r t ít h c sinh có kh năng gi i quy t đạ ố ấ ọ ả ả ế ược các bài toán này, đa s các em không th t nhìn ra hố ể ự ướng gi i quy t bài toán. Qua k tả ế ế
qu kh o sát l p 10A6, 10A7 trả ả ở ớ ường THPT Nông c ng 3, thu đố ược k t quế ả
nh sau:ư
L p ớ
Đi m ể
Gi i ỏ Đi m ể
Khá Đi mT
ể
B Đi mY u ếể Đi m Kém ể
SL t l ỷ ệ SL t l ỷ ệ SL t l ỷ ệ SL t l ỷ ệ SL t l ỷ ệ 10A6 1/45 2,2% 4/45 8,9% 14/45 31,1% 19/45 42,2% 7/45 15,6% 10A7 1/47 2,1% 6/47 12,8% 18/47 38,3% 17/47 36,2% 5/47 10,6%
V i mong mu n góp ph n nâng cao ch t lớ ố ầ ấ ượng d y h c môn Toán nhàạ ọ ở
trường THPT và giúp h c sinh đ t k t qu cao trong các kì thi tôi ch n đ tài:ọ ạ ế ả ọ ề
“H ướ ng d n h c sinh s d ng t a đ trong hình h c ph ng đ ch ng minh ẫ ọ ử ụ ọ ộ ọ ẳ ể ứ
Trang 5m t s b t đ ng th c, gi i m t s ph ộ ố ấ ẳ ứ ả ộ ố ươ ng trình và b t ph ấ ươ ng trình đ i s ạ ố
nh m nâng cao ch t l ằ ấ ượ ng đ i v i h c sinh l p 10 tr ố ớ ọ ớ ở ườ ng THPT”. Nh mằ
đ n gi n các bài toán đ i s , kh c sâu ki n th c c b n v hình h c và hìnhơ ả ạ ố ắ ế ứ ơ ả ề ọ thành k năng gi i bài toán v ch ng minh b t đ ng th c, gi i phỹ ả ề ứ ấ ẳ ứ ả ương trình và
b t phấ ương trình
II. C S LÝ LU NƠ Ở Ậ
1. Ki n th c c b n ế ứ ơ ả
Khi s d ng phử ụ ương pháp t a đ trongọ ộ hình h c ph ng đ ch ng minhọ ẳ ể ứ
m t s b t đ ng th c và gi i m t s phộ ố ấ ẳ ứ ả ộ ố ương trình và b t phấ ương trình đ i sạ ố các em h c sinh c n ôn l i các ki n th c v kho ng cách gi a hai đi m, b tọ ầ ạ ế ứ ề ả ữ ể ấ
đ ng th c tam giác, b t đ ng th c véc t (SGK hình h c 10 và sách giáo viênẳ ứ ấ ẳ ứ ơ ọ hình h c 10) đ có th nhanh chóng nh n d ng và ti p c n đọ ể ể ậ ạ ế ậ ược v i phớ ươ ng pháp này.
B t đ ng th c tam giác: ấ ẳ ứ
Cho tam giác ABC có đ dài các c nh BC, CA, AB tộ ạ ương ng là a, b, c. Taứ luôn có:
+ |b – c| < a < b + c hay |CA – AB| < BC < CA + AB
+
+ Cho 3 đi m A, B, C b t kì, ta luôn có |AC – AB| BC AC + AB (*). ể ấ
D u “=” x y ra trong cùng hấ ả ướng
D u “=” x y ra trong ngấ ả ược hướng
Suy ra, d u “=” trong (*) x y ra khi luôn cùng phấ ả ương
Nh v y ta ch n A, B, C có t a đ thích h p và dĩ nhiên liên quan đ n b tư ậ ọ ọ ộ ợ ế ấ
đ ng th c, ch ng minh r i s d ng các b t đ ng th c trên suy ra k t qu ẳ ứ ứ ồ ử ụ ấ ẳ ứ ế ả
B t đ ng th c véc t : ấ ẳ ứ ơ
Cho khác véc t không. Khi đó:ơ
+ cùng hướng
ngược hướng
+
B t đ ng th c luôn đúng, d u “=” x y ra khi vàngấ ẳ ứ ấ ả ược hướng.
D u “=” trong b t đ ng th c x y ra cùng hấ ấ ẳ ứ ả ướng
Trang 6Do
(*)
B t đ ng th c (*) g i là b t đ ng th c Bunhiacôpxki.ấ ẳ ứ ọ ấ ẳ ứ
(*) Trong đó:
D u “=” trong b t đ ng th c x y ra khi ngấ ấ ẳ ứ ả ược hướng
D u “=” trong đ ng th c x y ra khi cùng hấ ẳ ứ ả ướng
+ . D u “=” x y ra cùng hấ ả ướng
2. Các b ướ c th c hi n ự ệ
B ướ c 1: Khéo léo bi n đ i b t đ ng th c, phế ổ ấ ẳ ứ ương trình, b t phấ ương trình
v d ng có ch a ề ạ ứ
đ có th đ t ể ể ặ
đ t ặ
ho c đ t ặ ặ
B ướ c 2: S d ng b t đ ng th c tam giác ho c b t đ ng th c véc t trênử ụ ấ ẳ ứ ặ ấ ẳ ứ ơ
đ gi i và đ a ra k t lu n.ể ả ư ế ậ
III. BÀI TOÁN MINH H AỌ
1. M t s bài toán v b t đ ng th c, ch ng minh: ộ ố ề ấ ẳ ứ ứ
Bài toán 1.Ch ng minh r ng v i m i s a, b, c ta có:ứ ằ ớ ọ ố
Gi i.ả Ta nh n th y:ậ ấ
Xét t a đ 3 đi m A(a; 0), B,Cọ ộ ể
. Ta có:
Trang 7T BC AB + AC suy ra: ừ
(đpcm)
Bài toán 2. Cho a > c > 0 và b > c > 0. Ch ng minh:ứ
Gi i.ả Xét 2 véc t ơ
Khi đó:
Mà
(đpcm).
D u “=” x y ra khi cùng hấ ả ướng
Ho c:ặ Áp d ng b t đ ng th c Bunhiacôpxki (B t đ ng th c (*) ) cho 4 s , taụ ấ ẳ ứ ấ ẳ ứ ố có:
(đpcm)
Bài toán 3. Ch ng minh b t đ ng th c sau:ứ ấ ẳ ứ
Gi iả Bi n đ i b t đ ng th cế ổ ấ ẳ ứ
Xét t a đ 3 đi m A(x; 0), B(2; 3), C(3; 1). ọ ộ ể
Ta có:
Ta luôn có:
D u “=” x y ra khi ngấ ả ược hướng, t c là ứ
(2 – x).1 = (3 – x).(–3)
Bài toán 4. Ch ng minh r ng v i m i x ta có:ứ ằ ớ ọ
Gi i.ả Bi n đ i b t đ ng th c:ế ổ ấ ẳ ứ
Trang 8Xét các đi m ể
Ta có:
S d ng b t đ ng th c suy ra:ử ụ ấ ẳ ứ
D u “=” x y ra khi cùng phấ ả ương, t c là ứ
(vô lí)
Do đó d u “=” không x y ra. V y (đpcm)ấ ả ậ
Bài toán 5. Ch ng minh ta luôn có:ứ
Gi i.ả T p xác đ nh ậ ị
Xét hai véc t : ơ
Khi đó:
Mà
D u “=” trong x y ra khi ngấ ả ược hướng,
D u “=” trong x y ra khi cùng hấ ả ướng
Hay cùng phương, t c là (không x y ra)ứ ả
Do đó d u “=” không x y ra. V y (đpcm).ấ ả ậ
2. M t s bài toán v phộ ố ề ương trình:
Bài toán 1.Gi i ph ng trình:ả ươ
Gi i. ả T p xác đ nh ậ ị
Bi n đ i phế ổ ương trình v d ng:ề ạ
Xét 3 đi m ể
Trang 9Ta luôn có:
D u “=” x y ra khi ngấ ả ược hướng, t c là ứ
T đó suy ra, phừ ương trình có nghi m .ệ
Bài toán 2. Gi i ph ng trình:ả ươ
Gi i.ả T p xác đ nh ậ ị
Phương trình bi n đ i v d ng:ế ổ ề ạ
Xét 3 đi m . Khi đó:ể
Ta luôn có:
D u “=” x y ra khi cùng hấ ả ướng, t c là ứ
T đó suy ra, phừ ương trình có nghi m .ệ
Bài toán 3. Gi i ph ng trình: ả ươ
Gi i.ả T p xác đ nh ậ ị
Bi n đ i phế ổ ương trình
Xét các véc t : ơ
Khi đó:
M t khác: ặ
D u “=” x y ra khi cùng hấ ả ướng, t c làứ
T đó suy ra, phừ ương trình có nghi m .ệ
Bài toán 4. Gi i ph ng trình:ả ươ
Trang 10Gi i. ả T p xác đ nh ậ ị
Bi n đ i phế ổ ương trình
Xét các véc t : ơ
Khi đó:
M t khác: ặ
D u “=” x y ra khi cùng hấ ả ướng, t c làứ
T đó suy ra, phừ ương trình có nghi m .ệ
Bài toán 5. Gi i ph ng trình:ả ươ
Gi i.ả T p xác đ nh ậ ị
Bi n đ i phế ổ ương trình
Xét các véc t : ơ
Khi đó:
M t khác, ặ
D u “=” x y ra khi cùng hấ ả ướng, t c làứ
T đó suy ra, phừ ương trình có nghi m .ệ
Bài toán 6. Tìm t p nghi m c a ph ng trình:ậ ệ ủ ươ
Gi i. T p xác đ nh ả ậ ị
Bi n đ i phế ổ ương trình
Xét các véc t : ơ
Khi đó:
M t khác: ặ
Trang 11D u “=” x y ra khi cùng hấ ả ướng, t c là: ứ
(*)
T đó, suy ra đi u ki n là: ừ ề ệ
Suy ra: (*)
V y t p nghi m c a phậ ậ ệ ủ ương trình là nh ng c p (x; y) th a mãn ữ ặ ỏ
v i ớ
Ph ươ ng pháp này có th s d ng đ bi n đ i m t ph ể ử ụ ể ế ổ ộ ươ ng trình trong h ệ
ph ươ ng trình đ i s v d ng đ n gi n (nh bài toán 6 trên) đ k t h p v i ạ ố ể ạ ơ ả ư ể ế ợ ớ
ph ươ ng trình còn l i và gi i ạ ả
3. M t s bài toán v b t phộ ố ề ấ ương trình:
Bài toán 1. Gi i b t ph ng trìnhả ấ ươ
(1)
Gi i.ả T p xác đ nh ậ ị
B t phấ ương trình (1)
Xét các véc t : ơ
Khi đó, ta luôn có:
Suy ra:
V y b t phậ ấ ương trình (1) có nghi m v i ệ ớ
Bài toán 2. Gi i b t ph ng trình ả ấ ươ
(1)
Gi iả Đi u ki n: ề ệ
B t phấ ương trình (1)
Xét các véc t : ơ
Ta luôn có :
Mà
T (2) và (3) suy ra, b t phừ ấ ương trình (1) có nghi m khi b t đ ng th c (3) x y raệ ấ ẳ ứ ả
d u “=” hay hai véc t cùng hấ ơ ướng, t c làứ
V y b t phậ ấ ương trình (1) có nghi m x = 5.ệ
Trang 12Bài toán 3. Gi i b t ph ng trình:ả ấ ươ
(1)
Gi i. ả T p xác đ nh ậ ị
Bi n đ i b t phế ổ ấ ương trình thành:
(2) Xét các véc t : ơ
Khi đó:
M t khác: (3)ặ
T (2) và (3) suy ra b t phừ ấ ương trình (1) có nghi m khi d u “=” (3) x y ra.ệ ấ ở ả
D u “=” x y ra khi cùng hấ ả ướng, t c làứ
V y b t phậ ấ ương trình có nghi m .ệ
4. M t s bài t p tộ ố ậ ương tự
Bài 1. Ch ng minh b t đ ng th c sau:ứ ấ ẳ ứ
Bài 2. Gi i phả ương trình
Bài 3. Gi i phả ương trình
Bài 4. Gi i b t phả ấ ương trình
IV. KI M NGHI MỂ Ệ
* Kh o sát t i hai l p h c trong cùng th i đi m khi ch a v n d ng n iả ạ ớ ọ ờ ể ư ậ ụ ộ dung sáng ki n kinh nghi m:ế ệ
L p ớ
Đi m ể
Gi i ỏ Đi m ể
Khá Đi mT
ể
B Đi mY u ếể Đi m Kém ể
SL t l ỷ ệ SL t l ỷ ệ SL t l ỷ ệ SL t l ỷ ệ SL t l ỷ ệ 10A6 1/45 2,2% 4/45 8,9% 14/45 31,1% 19/45 42,2% 7/45 15,6% 10A7 1/47 2,1% 6/47 12,8% 18/47 38,3% 17/47 36,2% 5/47 10,6%
Trang 13* Qua th c t gi ng d y tôi đã v n d ng cho các em h c sinh l p 10A6 ti p xúc v i ph ự ế ả ạ ậ ụ ọ ớ ế ớ ươ ng pháp trên, tôi nh n th y k t qu đ ậ ấ ế ả ượ c nâng lên rõ r t. C th sau khi cho h c sinh ti p c n ph ệ ụ ể ọ ế ậ ươ ng pháp này tôi ti n hành ế
kh o sát, ki m tra ả ể t i hai l p h c trong cùng th i đi m khi v n d ng n i dung sáng ki n kinh nghi m cho ạ ớ ọ ờ ể ậ ụ ộ ế ệ
l p ớ 10A6 và thu đ ượ c k t qu nh sau: ế ả ư
L p ớ
Đi m ể
Gi i ỏ Đi m ể
Khá Đi mT
ể
B Đi mY u ếể Đi m Kém ể
SL t l ỷ ệ SL t l ỷ ệ SL t l ỷ ệ SL t l ỷ ệ SL t l ỷ ệ 10A6 6/45 13,3% 14/45 31,1% 20/45 44,4% 5/45 11,2% 0/45 0% 10A7 1/47 2,1% 8/47 17,0% 19/47 40,4% 17/47 36,2% 2/47 4,3%
C. K T LU N, KI N NGH Ế Ậ Ế Ị
Thông qua m t s ộ ố bài toán trên có th th y để ấ ược vai trò c a ng d ng t aủ ứ ụ ọ
đ trong hình h c ph ng vào vi c gi i các bài toán v ch ng minh, b t đ ngộ ọ ẳ ệ ả ề ứ ấ ẳ
th c, phứ ương trình và h phệ ương trình đ i sạ ố. Tuy nhiên, khi s d ng phử ụ ươ ng pháp này giáo viên c n ph i cung c p cho h c sinh m t s v n ki n th c nh tầ ả ấ ọ ộ ố ố ế ứ ấ
đ nh và k năng nh n d ng bài t p. Phị ỹ ậ ạ ậ ương pháp này cũng nh m i phư ọ ươ ng
Trang 14pháp khác không th áp d ng để ụ ược cho t t c các bài toán vấ ả ề ch ng minh, b tứ ấ
đ ng th c, phẳ ứ ương trình và h phệ ương trình đ i sạ ố và ch a h n đây đã là m tư ẳ ộ
phương pháp t i u. Do v y h c sinh c n căn c vào đ c đi m c a t ng bàiố ư ậ ọ ầ ứ ặ ể ủ ừ toán, khai thác gi thi t đã cho và nh n d ng bài t p đ l a ch n phả ế ậ ạ ậ ể ự ọ ương pháp
gi i cho thích h p, t đó s có cách nhìn linh ho t, uy n chuy n và có s nhu nả ợ ừ ẽ ạ ể ể ự ầ nhuy n v k năng khi gi i các bài t p v ễ ề ỹ ả ậ ề ch ng minh, b t đ ng th c, phứ ấ ẳ ứ ươ ng trình và h phệ ương trình đ i sạ ố
Qua th c t gi ng d y tôi đã m nh d n v n d ng cho các em h c sinh ti pự ế ả ạ ạ ạ ậ ụ ọ ế xúc v i phớ ương pháp trên tôi nh n th y k t qu đậ ấ ế ả ược nâng lên rõ r t. C th đãệ ụ ể
được ki m nghi m t i l p 10A6 năm h c 2015 – 2016. Tôi thi t nghĩ, phể ệ ạ ớ ọ ế ươ ng pháp này có th m r ng áp d ng vào gi i m t s h phể ở ộ ụ ả ộ ố ệ ương trình đ i s ạ ố
V i nh ng kinh nghi m c a b n thân, tôi mong r ng có th giúp các đ ngớ ữ ệ ủ ả ằ ể ồ nghi p làm tài li u tham kh o và hy v ng các b n đ ng nghi p có th v n d ngệ ệ ả ọ ạ ồ ệ ể ậ ụ
m t cách linh ho t, sáng t o đ đem l i hi u qu trong gi ng d y. R t mongộ ạ ạ ể ạ ệ ả ả ạ ấ
nh n đậ ượ ực s chia s , đóng góp ý ki n đ đ tài đẽ ế ể ề ược hoàn thi n h n.ệ ơ
Đ tài trên ch là m t kinh nghi m nh , k t qu c a s tìm tòi và nghiênề ỉ ộ ệ ỏ ế ả ủ ự
c u cá nhân, thông qua m t s tài li u tham kh o nên không tránh kh i nh ngứ ộ ố ệ ả ỏ ữ
h n ch , khi m khuy t. V y r t mong đạ ế ế ế ậ ấ ược H i đ ng khoa h c ngành, đ ngộ ồ ọ ồ nghi p trong và ngoài nhà trệ ường góp ý đ n i dung c a sang ki n kinh nghi mể ộ ủ ế ệ này được hoàn thi n và ng d ng r ng rãi.ệ ứ ụ ộ
Tôi xin trân tr ng c m n !ọ ả ơ
Thanh Hóa, ngày 06 tháng 05 năm 2016
XÁC NH N C A TH Ậ Ủ Ủ
TR ƯỞ NG Đ N V Ơ Ị
Tôi xin cam đoan đây là SKKN c a mình vi t, ủ ế không sao chép n i ộ dung c a ng ủ ườ i khác.
Trang 15Nguy n Th Hi n ễ ị ề
TÀI LI U THAM KH OỆ Ả
1 Bộ Giáo dục – Đào tạo, Sách giáo khoa Hình h c 10,Hình h c 10 nângọ ọ cao Nxb Giáo d c, 2006.ụ
2 B Giáo d c – Đào t o,ộ ụ ạ Sách Hình h c 10 (sách giáo viên), Hình h c 10ọ ọ nâng cao (sách giáo viên) Nxb Giáo d c, 2006.ụ
3 B Giáo d c – Đào t o, ộ ụ ạ Tài li u b i dệ ồ ưỡng giáo viên môn Toán l p 10;ớ
4 Nguy n Tr ng Tu nễ ọ ấ , Rèn luy n gi i toán hình h c 10, Nxb Giáo d c,ệ ả ọ ụ 2008
5 Lê Văn Đoàn, Chuyên đ ph ng trình, b t ph ng trình Đ i sề ươ ấ ươ ạ ố