Một cách chứng minh mới cho định lý Schauder

Sự phát triển của giải tích hàm gắn với Nguyên lý ánh xạ mở,Nguyên lý bị chặn đều, Định lý Haln – Banach, Định lý điểm bất độngBrouwer và một trong số đó là: Định lý Schauder Với mong mu

LỜI CẢM ƠN

Bản khóa luận tốt nghiệp này là bước đầu tiên để em làm quen với việcnghiên cứu khoa học Trước sự bỡ ngỡ và khó khăn khi mới làm quen vớicông tác nghiên cứu khoa học em đã nhận được sự giúp đỡ động viên của cácthầy cô giáo và các bạn sinh viên trong khoa Em xin chân thành cảm ơn sựgiúp đỡ quý báu của các thầy cô giáo trong tổ Giải tích, các thầy cô giáo trongkhoa Toán, các thầy cô giáo trong trường ĐHSP Hà Nội 2

Đặc biệt, em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc nhất tới Tiến sĩ Tạ Ngọc Trí,người đã giúp đỡ hướng dẫn tận tình để em hoàn thành được bài Khóa luậntốt nghiệp của mình

Em cũng xin chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm khoa Toán đã tạo điều kiện cho em hoàn thành được bài Khóa luận

Hà Nội, tháng 5 năm 2011

Sinh viên

Nguyễn Thị Huyền Trang

1

LỜI CAM ĐOAN

Dưới sự hướng dẫn của Tiến sĩ Tạ Ngọc Trí cùng với sự cố gắng nỗ lựccủa bản thân, em đã hoàn thành bài Khóa luận của mình Trong quá trìnhnghiên cứu và thực hiện Khóa luận tốt nghiệp, em có tham khảo tài liệu củamột số tác giả đã nêu trong mục Tài liệu tham khảo

Em xin cam đoan những kết quả trong Khóa luận là kết quả nghiên cứucủa em, không trùng với kết quả của các tác giả khác Nếu sai em xin hoàntoàn chịu trách nhiệm

Hà Nội, tháng 5 năm 2011

Sinh viên

Nguyễn Thị Huyền Trang

MỤC LỤC

LỜI NÓI ĐẦU 5

Chương 1: MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ SỞ 7

1.1 MỘT SỐ ĐỊNH NGHĨA, THUẬT NGỮ SỬ DỤNG 7

1.2 KHÔNG GIAN TUYẾN TÍNH 8

1.3 KHÔNG GIAN ĐỊNH CHUẨN 10

1.4 TOÁN TỬ TUYẾN TÍNH BỊ CHẶN 11

1.5 ĐỊNH LÝ HALN – BANACH 12

1.5.1.Không gian Banach 12

1.5.2.Định lý Haln – Banach cho không gian tuyến tính 12

1.5.3.Định lý Haln – Banach cho không gian định chuẩn 13

Chương 2: CHỨNG MINH ĐỊNH LÝ SCHAUDER CỦA S.KAKUTANI 14

2.1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 14

2.1.1.Hàm bị chặn toàn phần 14

2.1.2.Định lý Arzela – Ascoli 15

2.1.3.Cặp định chuẩn 16

2.2.ĐỊNH LÝ SCHAUDER 19

Chương 3: MỘT CÁCH CHỨNG MINH MỚI CHO ĐỊNH LÝ

SCHAUDER CỦA V.RUNDE 21

3.1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 21

3.2.ĐỊNH LÝ SCHAUDER 24

KẾT LUẬN 26

TÀI LIỆU THAM KHẢO 27

LỜI NÓI ĐẦU

Ra đời từ đầu thế kỷ XX, giải tích hàm đã nhanh chóng phát triển mạnh

mẽ, có sức hút lớn và tìm được những ứng dụng rộng rãi không chỉ trong cácngành toán học lý thuyết và ứng dụng mà còn nhiều trong các ngành khoa học

kỹ thuật khác Sự phát triển của giải tích hàm gắn với Nguyên lý ánh xạ mở,Nguyên lý bị chặn đều, Định lý Haln – Banach, Định lý điểm bất độngBrouwer và một trong số đó là:

Định lý Schauder

Với mong muốn được nghiên cứu và tìm hiểu sâu hơn các định lý trên

và bước đầu làm quen với công việc nghiên cứu khoa học em đã chọn đề tài

“Một cách chứng minh mới cho định lý Schauder”.

Mục đích đặt ra của khóa luận này là trên cơ sở nắm được các kiến thức

cơ bản về không gian định chuẩn, không gian Banach, … sẽ trình bày mộtcách chứng minh mới cho định lý Schauder được đề xuất bởi Volker Rundetrong chương III

Nội dung của khóa luận gồm 3 chương:

Chương I: Một số kiến thức cơ sở.

Nội dung của chương là nhắc lại một số khái niệm cơ bản, tính chất cơbản của một số không gian, tập hợp,… là công cụ cho những nội dung nghiêncứu các chương sau như không gian tô pô, không gian định chuẩn, khônggian Banach, ánh xạ thương, toán tử tuyến tính bị chặn,…

Chương II: Chứng minh định lý Schauder của S.Kakutani

Nội dung của chương là trình bày cách chứng minh định lý Schauder đãđược biết đến của tác giả S.Kakutani

Chương III: Một cách chứng minh mới cho định lý Schauder của V.Runde

Nội dung của chương là trình bày một cách chứng minh mới cho định

lý Schauder của tác giả Volker Runde

Khóa luận này được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2dưới sự hướng dẫn của thầy giáo – tiến sĩ Tạ Ngọc Trí Em xin bày tỏ lòngbiết ơn sâu sắc đến thầy, đã tận tình chỉ bảo, giúp đỡ em trong quá trình hoànthành khóa luận này

Em xin chân thành cảm ơn ban lãnh đạo khoa Toán, cùng các thầy côgiáo trong trường đã giúp đỡ em trong suốt thời gian học tập tại trường Đạihọc Sư phạm Hà Nội 2

Mặc dù em đã hết sức cố gắng, song do khả năng và kiến thức còn hạnchế nên bản khóa luận không tránh khỏi những thiếu sót Em rất mong nhậnđược những ý kiến đóng góp của các thầy cô giáo và bạn đọc

Em xin chân thành cảm ơn

Xuân Hòa, ngày… tháng 05 năm 2011

Sinh viên

Nguyễn Thị Huyền Trang

UG ;

Chương 1: MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ SỞ

Mục đích của chương này là trình bày một số kí hiệu, kiến thức cơ bảncủa giải tích hàm để chuẩn bị cho nội dung các chương sau

1.1 MỘT SỐ ĐỊNH NGHĨA, THUẬT NGỮ SỬ DỤNG

1.1.1 Cho M là một tập con mở của không gian tuyến tính X trên

Khi đó: SpanM = không gian tuyến tính nhỏ nhất chứa M

1.1.2 Cho M là tập con của không gian định chuẩn X thì:

X được gọi là không gian tuyến tính trên trường nếu X xác định:

(I) Một ánh xạ của tích X X vào X gọi là phép cộng, đặt tương ứng

∈ X một phần tử của X gọi là tổng của u và v ,

ký hiệu là u v sao cho:

Tồn tại phần tử θ ∈ X , gọi là phần tử không, sao cho θ + u = u

, với mọi u ∈ X ;

u sao cho u

X với vô hướng của , đặt tương ứng với mỗi phần tử

phần tử của X gọi là tích của α với u , kí hiệu là α u , sao cho:

;

1 Các phần tử θ và u trong (I)c và (I)d, là duy nhất.

- Nếu = ℝ thì ta được không gian tuyến tính thực

Từ nay về sau ta chỉ xét hai trường hợp trên, do đó phần tử của gọi là

số Phần tử θ ∈ X giống như số 0, do đó ta viết 0 thay cho θ

C a,b và C a,b là không gian tuyến

tính thực với phần tử không và phần tử đơn vị tương ứng là các ánh xạ hằngbằng 0 và 1

1.2.2 Định nghĩa 4:

Cho X là không gian tuyến tính trên Tập M gọi là không gian

tuyến tính con của X nếu mỗi u , v ∈ M, suy ra:

1.2.3 Định nghĩa 5:

Cho một không gian tuyến tính X Một hàm số f x xác định trên X

và lấy giá trị là số (thực hay phức tùy theo X là không gian thực hay phức)

gọi là một phiếm hàm trên X Phiếm hàm đó gọi là tuyến tính nếu:

Như vậy, một phiếm hàm tuyến tính trên X thực chất là một toán tử

tuyến tính từ X vào

1.3 KHÔNG GIAN ĐỊNH CHUẨN

1.3.1 Định nghĩa 6:

ℂ) Ta gọi X là không gian định chuẩn (hay không gian tuyến tính định chuẩn) nếu có một ánh xạ từ X vào , kí hiệu là , đọc là chuẩn, thỏa mãncác điều kiện:

(iii) u v u + v với ∀ u , v ∈ X (bất đẳng thức tam giác).

Số u được gọi là chuẩn của phần tử u trong X Không gian địnhchuẩn X với chuẩn , kí hiệu là X , Nếu chỉ xét một chuẩn trên X thì

ta chỉ cần kí hiệu là X

1.3.2 Ví dụ 2:

Không gian tuyến tính

với chuẩn xác định bởi:

C a,b là không gian tuyến tính định chuẩn,

Cho hai không gian tuyến tính X và Y trên trường P (P là trường số

thực ℝ hoặc trường số phức ℂ) Ánh xạ A từ không gian X vào không gian

Y gọi là tuyến tính nếu ánh xạ A thỏa mãn các điều kiện:

Ta thường gọi ánh xạ tuyến tính là toán tử tuyến tính Khi toán tử A

chỉ thỏa mãn điều kiện (i) thì A gọi là cộng tính, còn khi toán tử A chỉ thỏamãn điều kiện (ii) thì A gọi là toán tử thuần nhất Khi Y = P thì toán tử cộng tính A thường gọi là phiếm hàm tuyến tính.

1.4.2 Định nghĩa 8:

Cho không gian định chuẩn X và Y Toán tử tuyến tính A từ không

gian X vào không gian Y gọi là bị chặn nếu tồn tại hằng số C > 0, sao cho:

Ax C x ∀ x ∈ X (*).

1.4.3 Định nghĩa 9:

Cho A là toán tử tuyến tính bị chặn từ không gian định chuẩn X vào

không gian định chuẩn Y , hằng số C > 0 nhỏ nhất thỏa mãn hệ thức (*) gọi là chuản của toán tử A và kí hiệu là A

Từ định nghĩa dễ thấy chuẩn của toán tử có các tính chất:

nếu mọi dãy cơ bản trong không gian này đều hội tụ

a x b

u(x)

⟶ 0 khi n ⟶ ∞ Nghĩa là, dãy u n , n = 1, 2, … các hàm số liên tục u n :

(iii) f : L ⟶ ℝ là phiếm hàm tuyến tính, sao cho:

f u ≤ p(u) với mọi u ∈ L

Khi đó f có thể thác triển thành một phiếm hàm tuyến tính F : X ⟶

Khi đó, f có thể thác triển thành một phiếm hàm tuyến tính liên tục

F : X ⟶ ℝ thỏa mãn tính

chất

F (u)

Chương 2: CHỨNG MINH ĐỊNH LÝ SCHAUDER

CỦA S KAKUTANI

Những kết quả dưới đây được tham khảo trong [ 3 ]

2.1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

2.1.1 Hàm bị chặn toàn phần.

Cho hai tập hợp X = x , Y = y Cho f (x, y) là một hàm lấy giá trị

thực bị chặn xác định với mọi x ∈ X và với mọi y ∈ Y

Bổ đề 1

Ba điều kiện sau là tương đương:

(i) Với mỗi ε > 0 đều tồn tại một phân tích X

một số hữu hạn các tập con A i ; i = 1, m , sao cho:

của hàm lấy giá

trị thực liên tục f (x,

y)

được xác định trên một không gian metric X được

giới hạn hoàn toàn bởi metric:

X được gọi là hoàn toàn bị chặn đối với

d (1) (x , x ; f ) nếu với mọi ε > 0 thì tồn tại một phân tích X =

với tựa metric

thì tương đương với điều kiện (i) của bổ đề 1; tính bị

chặn của Y đối với

1

Chú ý:

d (2) ( y , y ;

f )

thì tương đương với điều kiện (ii) của bổ đề

Trong định lý 2 thì X và Y là đối xứng Do đó phần “nếu” và “chỉnếu” của định lý 2 chủ yếu là các mệnh đề tương tự Hơn nữa, thật dễ dàng

để thấy rằng mệnh đề này là hệ quả của định lý Arzela – Ascoli

(9) y = sup (x, y) ;2

x 1 1

với mọi x ∈ X và với mọi y ∈ Y

X và Y được gọi là một cặp định chuẩn đối với tích trong (x, y).

Cho X , Y là một cặp định chuẩn đối với tích trong (x, y) Cho T ; T *

là hai toán tử tuyến tính bị chặn xác định trên X , Y T và T

và không gian liên hợp X *

của nó nếu ta xác định tích trong

của X và không gian liên

y

y

Cũng dễ dàng thấy rằng, nếu xét đến X như là một không gian tuyến

X * ) tạo thành một cặp liên hợp.

Tương tự như vậy, toán tử liên hợp T *

của T và toán tử liên hợp thứ

hai T

** của T (xác định trên X ** ) tạo thành một cặp liên hợp

Từ định lý 2 ta có ngay:

Bổ đề 2:

Cho X , Y là một cặp định chuẩn đối với tích trong ( x , y ) và cho A ,

B tương ứng là hai tập con bị chặn của X và Y Khi đó ba điều kiện sau là

tương đương:

(i) A thì hoàn toàn bị chặn đối với tựa metric:

(x , x ; B)

Cho X và Y là một cặp định chuẩn đối với tích trong (x, y) và cho A

là một tập con bị chặn của X Khi đó ba điều kiện sau là tương đương:

(i) A thì hoàn toàn bị chặn đối với metric:

d (1)(x1, x2 ) = x1

(ii) Hình cầu đơn vị

1 2

1 2

1 2

metric d (2)

( y , y ; A)

1, 2,3,

x2 1

những phần tử

trong x, y hội tụ đều trên A )

k

(iii) Tích trong x, y thì hoàn toàn bị chặn trên A và S Y

Và bây giờ ta đi chứng minh định lý Schauder

2.2 ĐỊNH LÝ SCHAUDER.

Một toán tử tuyến tính bị chặn T được xác định trên một không gian

tuyến tính định chuẩn X thì được gọi là hoàn toàn liên tục trên X nếu ảnh

của toán tử tuyến tính bị chặn tương ứng xác định trên X , Y Khi đó T là

hoàn toàn liên tục trên X nếu và chỉ nếu T * là hoàn toàn liên tục trên Y

Thật vậy từ bổ đề 3 có thể suy ra trực tiếp định lý Schauder vì thấy rằng

5 điều kiện sau là tương đương:

Chương 3: MỘT CÁCH CHỨNG MINH MỚI

CHO ĐỊNH LÝ SCHAUDER CỦA

Và trong suốt quá trình, chúng ta viết Ball(E) thay cho hình cầu đơn vịđóng của không gian Banach E

Cho E , F là không gian Banach và cho T : E ⟶ F là compact Vậythì T(Ball(E)) hoàn toàn được giới hạn, mà với mỗi ε > 0 sao

cho

x1

,

x2 ,… x n

∈ Ball(E), với mỗi x ∈ Ball(E) có j ∈ {1, 2, …, n} sao cho T x

Cho Y : = span T ,T1 2, ,T Khi đó

Q Y : F ⟶

F / Y là ánh xạ thương.

Ngược lại, giả sử T : E ⟶ F bị chặn và với mỗi ε > 0, có một không

∈

Cho x ∈ Ball(E) tùy ý

Cho E , F là không gian Banach và cho T : E ⟶ F bị chặn, khi đó

T là compact nếu và chỉ nếu, với mỗi ε > 0, có một không gian con hữu hạn

chiều Y của F sao cho:

Cho E , F là không gian Banach , cho T : E ⟶ F bị chặn, cho ε > 0

và cho X là không gian con đóng của E với số đổi chiều hữu hạn (finite

codimension) sao cho

E , sao cho:

T / X

Khi đó có một không gian hữu hạn

3

x

Áp dụng định lý Haln – Banach, ta dung phép nhúng đẳng cự vào trong

ℓ∞( ) cho phù hợp với chỉ số thiết lập ( = Ball(E*))

Do đó chúng ta có thể giả sử mà không làm mất tính tổng quát:

x n ∈ Ball(E), sao cho, với

mỗi x ∈ Ball(E), có j ∈ {1, 2, …, n} với S x

Cho x cố định, x ∈ Ball(E), cho j ∈ {1, 2, …, n}, sao cho

Cho E , F là không gian Banach và cho T : E ⟶ F bị chặn với tính

chất sau: với mỗi ε > 0, có một không gian con đóng X của E với số đổi

chiều hữu hạn sao cho:

3.2 ĐỊNH LÝ SCHAUDER

Đị nh lý :

Cho E , F là không gian Banach và cho T : E ⟶ F là một toán

tử tuyến tính bị chặn Khi đó các mệnh đề sau là tương đương:

(iii) Cho mỗi ε > 0 có một không gian con đóng X của E với số đổi

chiều hữu hạn sao cho:

Từ bổ đề 1 ta chứng minh được (i) ⟺ (ii)

Từ bổ đề 2 ta chứng minh được (iii) ⟹ (ii)

Để chứng minh (ii) ⟹ (iv): cho ε > 0 và cho Y là một không gian con

hữu hạn chiều của F sao cho:

Q Y T

Cho X là annihilator (triệt tiêu) của Y trong

F* , vì vậy X có số đổichiều hữu hạn

trong

F* và

và do đó

X

Cho ε > 0 bất ký, các hệ quả áp dụng cho T * thì thỏa mãn (iv)

Để chứng minh (iv) ⟹ (iii), giả sử ε > 0 Áp dụng bổ đề ε cho T *

KẾT LUẬN

Như đã nói trong phần mở đầu, mục đích của khóa luận này là nghiêncứu, trình bày một cách chứng minh mới cho định lý Schauder Để thực hiệnnhiệm vụ đó cần nắm vững các kiến thức về không gian tuyến tính, khônggian định chuẩn, không gian Banach,…

Kết quả chính của Khóa luận này là trình bày một cách có hệ thống cáckết quả, từ việc nghiên cứu các kiến thức cơ sở đến nội dung các định lý cơbản của Giải tích hàm, từ đó trình bày nội dung chính của bài Khóa luận

Trước khi kết thúc khóa luận này, một lần nữa em xin được bày tỏ lòngbiết ơn sâu sắc đến các thầy cô giáo trong trường ĐHSP Hà Nội 2, các thầy côtrong khoa Toán, đặc biệt là thầy giáo – Tiến sĩ Tạ Ngọc Trí đã tận tình chỉbảo, hướng dẫn, giúp đỡ em hoàn thành khóa luận này

Mặc dù em đã hết sức cố gắng, song do khả năng và kiến thức còn hạnchế nên bản Khóa luận không tránh khỏi những thiếu sót Rất mong nhậnđược những ý kiến đóng góp của các thầy cô giáo và bạn đọc

Em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, tháng 5 năm 2011

Sinh viên

Nguyễn Thị Huyền Trang

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[ 1 ] Nguyễn Phụ Hy (1992), Giáo trình giải tích hàm,

Đại học Sư phạm Hà Nội 2

[ 2 ] Nguyễn Xuân Liêm (1994), Giải tích hàm,

NXB Giáo dục

[ 3 ] S Kakutani (1951), A proof of Schauder’s theorem,

J Math Soc Japan T(Ball(E)) ,228 – 231

[ 4 ] V.Runde - A new and simple proof of Schauder's theorem

http://arxiv.org/abs/1010.1298