Tài liệu Cơ sở GROEBNER và chứng minh định lý hình học bằng máy tính

NgoƠi các cơu lệnh có ch c năng kiểm tra, tính toán, minh ho hình ảnh,…nó còn cho phép các giáo viên có thể sử dụng ngôn ngữ lập trình c a Maple để t o các công cụ mới, các gói cơu lệnh

Công trình đ c hoƠn thƠnh t i

Tr ng Đ i h c Khoa h c – Đ i h c Thái Nguyên

Ng i h ng d n khoa h c: TS Nguy n Danh Nam

Phản biện 1: PGS.TS Nguyễn Việt Hải

Phản biện 2: PGS.TS Tr nh Thanh Hải

Luận văn sẽ được bảo vệ trước hội đồng chấm luận văn h p t i:

Tr ng Đ i h c Khoa h c – Đ i h c Thái Nguyên

Có thể tìm hiểu t i:

Th vi n Tr ng Đ i h c Khoa h c vƠ Trung tơm H c li u - Đ i h c Thái Nguyên

M C L C

Trang

M C L C 1

M Đ U 2

CH NG 1: C S GROEBNER 4

1.1 Th tự từ 5

1.2 Iđêan khởi đầu vƠ c sở Groebner 6

1.3 Đ nh lý Hilbert về không điểm 10

CH NG 2: PH N M M MAPLE VĨ GịI L NH GEOPROVER 12

2.1 Phần mềm Maple 12

2.2 Gói cơu lệnh GeoProver 13

CH NG 3: CH NG MINH Đ NH Lụ HỊNH H C B NG MÁY TệNH 16

3.1 Đ i số hóa giả thiết vƠ kết luận c a đ nh lý 16

3.2 Quy trình ch ng minh đ nh lý hình h c bằng máy tính 20

3.3 Ch ng minh một số đ nh lý hình h c 25

K T LU N 56

TĨI LI U THAM KH O 57

M Đ U

Với sự phát triển nhanh chóng c a công nghệ thông tin vƠ truyền thông, các phư ng tiện - thiết b d y h c hiện đ i đã vƠ đang được sử dụng một cách có hiệu

trợ giáo viên thực hiện được phần nƠo các ý tưởng sư ph m c a mình Maple lƠ một phần mềm toán h c t o ra một cách tiếp cận mới sinh động vƠ sáng t o NgoƠi các cơu lệnh có ch c năng kiểm tra, tính toán, minh ho hình ảnh,…nó còn cho phép các giáo viên có thể sử dụng ngôn ngữ lập trình c a Maple để t o các công cụ mới, các gói cơu lệnh mới Vì thế, Maple có khả năng đầy đ để giảng d y vƠ h c tập từ bậc phổ thông (các gói ch c năng về đ i số, số h c, giải tích, hình h c,…) lên đ i

h c (đ i số tuyến tính, phư ng trình vi phơn, hình h c cao cấp, đ i số hiện đ i,…)

Xuất phát từ ý tưởng rằng có rất nhiều đ nh lý hình h c hoƠn toƠn được mô

tả bằng các khái niệm đ i số bằng cách biểu diễn các hình hình h c trong to độ Đề-các vuông góc Khi đó, hầu hết các hình hình h c vƠ biên c a nó có thể xem lƠ tập không điểm c a các đa th c, vƠ các quan hệ giữa chúng đều có thể mô tả bằng các phư ng trình đa th c cũng như tập không điểm phải xét trên trường số thực Như vậy, để kiểm tra tính đúng - sai c a một giả thuyết hay một đ nh lý hình h c nƠo đó hoƠn toƠn có thể thực hiện được nhờ những kết quả quan tr ng liên quan đến khái niệm c sở Groebner được nhƠ toán h c Bruno Buchberger đưa ra năm

1965 trong luận án phó tiến sĩ c a mình

Tính toán hình th c hay còn g i lƠ Đ i số máy tính, xuất hiện khoảng ba chục năm nay vƠ gần đơy trở thƠnh một chuyên ngƠnh độc lập Đơy lƠ một chuyên ngƠnh kết hợp chặt chẽ toán h c vƠ khoa h c máy tính Nó được ra đời dưới ảnh hưởng c a sự phát triển vƠ phổ cập máy tính cá nhơn Một mặt, sự phát triển nƠy đòi hỏi phải xơy dựng các lý thuyết toán h c lƠm c sở cho việc thiết lập thuật toán

vƠ các phần mềm toán h c Mặt khác, khả năng tính toán mỗi ngƠy một tăng c a

máy tính cũng có tác dụng tích cực trở l i trong nghiên c u toán h c lý thuyết

Nhiều kết quả lý thuyết đã được phán đoán hoặc có được phản ví dụ nhờ sử dụng máy tính

Hầu hết những vấn đề mƠ lý thuyết c sở Groebner cho lời giải bằng thuật toán đã được biết trước đó, đó lƠ tính giải được Tuy nhiên giữa việc ch ng minh tính giải được vƠ thực hiện tính toán trên thực tế lƠ khoảng cách lớn H n nữa, nhiều đối tượng trong các ngƠnh khá trừu tượng như Đ i số giao hoán vƠ Hình h c

đ i số có thể tính toán thông qua c sở Groebner ch ng tỏ có một tầm quan tr ng

c a lý thuyết nƠy

Mục đích c a luận văn lƠ giới thiệu thuật toán tính c sở Groebner cho các Iđêan đa th c, để trình bƠy một số ng dụng c a lý thuyết c sở Groebner trong tính toán hình th c bằng máy tính lƠ Đ i số giao hoán vƠ Hình h c đ i số Hiện nay, có nhiều phần mềm xử lý toán h c như Maple, Macaulay, CoCoA để phục

vụ cho việc tính toán Nhưng luận văn nƠy ch n phần mềm Maple để trình bƠy cách

đ i số hóa bƠi toán hình h c và ch ng minh đ nh lý hình h c bằng máy tính Tuy

nhiên, nếu chỉ đ n thuần sử dụng gói công cụ Groebner c a Maple thì giáo viên nhiều khi khó thực hiện được k ch bản sư ph m c a mình Giải pháp cho vấn đề này là giáo viên sử dụng ngôn ngữ lập trình c a Maple để xơy dựng các gói công cụ

phù hợp Do đó, chúng tôi đã xơy dựng gói GeoProver để hỗ trợ ch ng minh một

số đ nh lý hình h c s cấp

Ch ng 1

C S GROEBNER

Khái niệm c sở Groebner ra đời trong những năm 1970 để giải quyết bƠi toán chia đa th c Sau h n 20 năm khái niệm nƠy đã có những ng dụng to lớn trong nhiều chuyên ngƠnh toán h c khác nhau từ Đ i số đến Hình h c, Tô pô, Tổ hợp vƠ Tối ưu [9]

Việc sử dụng các hệ đa th c giống như c sở Groebner đã xuất hiện từ đầu thế kỉ nƠy với các công trình c a Gordan, Macaulay, Hilbert Người đầu tiên thấy được tầm quan tr ng c a thuật toán chia lƠ nhƠ toán h c người Áo Broebner Ọng

đã đặt vấn đề tính c sở Groebner lƠm một đề tƠi luận án phó tiến sĩ cho h c trò c a ông lƠ Buchberger Năm 1970, Buchberger tìm thấy một thuật toán hữu hiệu để tính

c sở Groebner Sau nƠy người ta mới phát hiện ra rằng Groebner đã biết những nét

c bản c a thuật toán nƠy từ những năm 50 Cùng thời gian nƠy cũng xuất hiện những kĩ thuật tư ng tự giống như thuật toán chia trong các công trình c a Hironaka về giải kì d , c a Grauert trong Giải tích ph c vƠ c a Cohn trong Lý thuyết vƠnh không giao hoán [9]

C sở Groebner được nghiên c u đúng thời kì máy tính cá nhơn ra đời vƠ bắt đầu trở nên phổ cập Ngay lập t c người ta thấy rằng có thể lập trình thuật toán chia

để giải quyết các bƠi toán với các biến số mƠ ngƠy nay được g i lƠ tính toán hình

th c (symbol computation) Bản thơn thuật toán chia đã ch a đựng những thuận lợi

c bản cho việc lập trình như:

một đa th c như một véc-t các hệ số vƠ do đó ta có thể đưa dữ liệu về các đa th c vƠo trong máy tính một cách dễ dƠng

t a độ đầu tiên c a các véc-t tư ng ng

Về mặt lý thuyết khái niệm c sở Groebner cũng đưa ra những phư ng pháp

vƠ vấn đề nghiên c u mới Trước tiên, người ta thấy rằng nhiều khi chỉ cần xét tập hợp các h ng tử đầu c a c sở Groebner lƠ đ để có các thông tin cần thiết về hệ đa

th c ban đầu Có thể thay các h ng tử nƠy bằng các đ n th c nên thực chất lƠ ta phải xét một số hữu h n các bộ số tự nhiên ng với các số mũ c a các biến trong

đ n th c Ta có thể coi các bộ số tự nhiên nƠy như những điểm nguyên lƠ các điểm

có t a độ lƠ các số nguyên Vì vậy, nhiều bƠi toán Hình h c vƠ Đ i số có thể quy về việc xét các tính chất tổ hợp hay tô pô c a một tập hợp hữu h n các điểm nguyên

Sau đơy luận văn trình bƠy một số kiến th c c bản về c sở Groebner trước khi đưa ra thuật toán để ch ng minh đ nh lý hình h c

vƠ thƠnh phần đầu tiên khác không kể từ bên phải c a véct  1   1 , , n  nlà

lm f  x là đ n th c đầu c a f đối với th tự từ 

 

l m f ) thay cho in f (tư ng ng lc f , lm f )

Từ khởi đầu c a đa th c 0 được xem lƠ không xác đ nh (có thể nhận giá tr tuỳ ý)

Từ khởi đầu còn g i lƠ từ đầu hay từ đầu tiên Như vậy nếu trong biểu diễn

tự từ đã ch n

1.2.2 Iđêan kh i đ u vƠ c s Groebner

i n I  f f  I nên in I  lƠ iđêan đ n th c

iđêan I cho trước Cách tốt nhất lƠ tìm một hệ sinh tối tiểu c a nó Tuy nhiên, m i

iđêan đ n th c đều có một tập sinh đ n th c vƠ tập đó hữu h n Do đó ta có thể đưa vƠo khái niệm quan tr ng sau đơy:

Đ nh nghƿa 1.7 Cho  lƠ một th tự từ vƠ I lƠ iđêan c a R Tập hữu h n các

tự từ , nếu:

    1 , ,  s 

in I  in g in g

Tập g1 , ,g s  I được g i lƠ một c sở Groebner, nếu nó lƠ c sở Groebner c a

iđêan sinh bởi chính các phần tử nƠy

M nh đ 1.2 Cho I là một iđêan tuỳ ý c a R Nếu g1, ,g s  I là c sở Groe bner c a I đối với một th tự từ nào đó, thì g1 , ,g s là c sở c a I

Đ nh nghƿa 1.8 C sở Groebner rút gọn c a iđêan I đối với một th tự từ đã

cho lƠ một c sở Groebner G c a I thoả mãn các tính chất sau:

 ' |

in g m

M nh đ 1.3 Cho I  0 Khi đó đối với mỗi th tự từ, I có duy nhất một c

sở Groebner rút gọn Mọi c sở Groebner rút gọn đều là c sở Groebner tối tiểu

Đ nh nghƿa 1.9 Cho I lƠ iđêan c a vƠnh R Tập hợp:

I  r R  n N r  I

lập thƠnh một iđêan Iđêan nƠy được g i lƠ căn c a I

Rõ ràng I  I Nếu I  I thì I được g i lƠ một iđêan căn

1.2.3 M t s tính ch t c a c s Groebner

(i) Cho I là một iđêan tuỳ ý c a R Nếu g1 , ,g s là c sở Groebner c a I đối với một th tự từ nào đó thì g1 , ,g s là c sở c a iđêan I

(ii) Cho  là một th tự từ Khi đó mọi iđêan đều có c sở Groebner tối tiểu

và mọi c sở Groebner tối tiểu c a cùng một iđêan đều chung số lượng phần tử và chung tập từ khởi đầu

(iii) Cho I  0 Khi đó đối với mỗi th tự từ, I có duy nhất một c sở Groebner rút gọn

(iv) Cho trước s là một số nguyên dư ng Khi đó tồn tại iđêan I sinh tối tiểu bởi f1 , , f s nhưng i n I( ) thực sự ch a (i n( f1 ) , ,i n( f s) )

sở Groebner c a I nếu và chỉ nếu với mọi f  I , i n( f ) chia hết cho i n g( ) với



g G nào đó

Ch ng minh G lƠ c sở Groebner c a I  i n I( )  (i n g( 1 ) , ,i n g( s) ) (với G  g1 , ,g s) Cần ch ng minh i n I( )  (i n g( 1 ) , ,i n g( s) )khi vƠ chỉ khi

với m i f  I , i n( f )chia hết cho i n g( )với g  I nƠo đó

T huận: Với m i f  I , doI  (g1, ,g s) nên

1

s

i i i

N ghịch: Rõ ràng (i n g( 1 ) , ,i n g( s) )  i n I( ) Với f  I , hay i n( f )  i n I( )

thì i n( f )chia hết cho i n g( ) với g  I nƠo đó  i n( f )  (i n g( 1 ) , ,i n g( s) ) 

1 ( ) ( ( ) , , ( s) )

i n I  i n g i n g  i n I( )  (i n g( 1 ) , ,i n g( s) )

Đ nh lý 1.2 Với mỗi đa th c f  R  K x[ ], kí hiệu M(f) là tập tất cả các

đ n th c c a f Cho  là một th tự từ trên M Với f ,g  R ta định nghĩa

bỨ h n thì bỨ h n Khi đó * là giả th tự tốt trên R và là mở rộng c a giả th tự trên tập các từ c a R

Ch ng minh Vì  lƠ th tự từ nên nó lƠ th tự tốt Kiểm tra được *giả th

tự toƠn phần Cần ch ng minh nó lƠ giả th tự tốt Giả sử nó không lƠ giả th tự tốt suy

Đ nh lý 1.3 Cho I là iđêan c a vành R = K[x] Trên R cố định một th tự từ và

cho T  i n I( ) là một từ nào đó Khi đó tập các đa th c f  I với i n( f )  T chỉ có một phần tử tối tiểu (theo giả th tự định nghĩa như ở Định lý 1.2)

Ch ng minh Theo Đ nh lý 1.2 thì tập đó có phần tử tối tiểu Bơy giờ ch ng

minh nó duy nhất Thật vậy, giả sử ngược l i, tập đó có ít nhất 2 phần tử tối tiểu khác nhau f và g Khi đó chúng có d ng:

Do I lƠ iđêan vƠ f ,g  I   1 f ,  1 g  I   1 f   1 g  I

A vào K biến mỗi điểm a1 , ,a n thành

1 , , n

A

Với mỗi tập A K  x , kí hiệu Z  A lƠ tập nghiệm chung c a các đa th c

f  A trong không gian n

A :

Mỗi phần tử c a tập nƠy còn được g i lƠ không điểm c a tập đa th c A

Đ nh lý 1.4 (Định lý Hilbert về không điểm) Cho K là trường, K là bao đóng đại số c a K và f, f1 , , f n K  x Các điều khẳng định sau tư ng đư ng:

i) Với mọi n, 1  n  0

K

a A f a   f a  suy ra f  a  0 ii) Tồn tại 0  s N sao cho f s f1 , , f n

Chú ý rằng hai điều kiện trên có thể diễn đ t như sau:

K

A ii) f   f1 , , f n

Đ nh lý 1.5 Cho I   f1 , , f n là iđêan và f là đa th c c a K  x Gọi G

là c sở Groebner c a iđêan  f1 , , f n,1  fy trong vành K x y, , trong đó y là biến mới Khi đó các điều kiện sau tư ng đư ng:

Phần mềm Maple lƠ kết quả nghiên c u c a nhóm các nhƠ khoa h c Trường

Đ i h c Waterloo (Canada) vƠ lƠ một trong những bộ phần mềm toán h c được sử dụng rỗng rãi nhất hiện nay Maple lƠ phần mềm có môi trường tính toán khá phong phú, hỗ trợ hầu hết các lĩnh vực c a toán h c như: Giải tích số, đồ th , đ i số hình

th c, do đó ta dễ dƠng tính được các giá tr gần đúng, rút g n biểu th c, giải phư ng trình, bất phư ng trình, hệ phư ng trình, tính giới h n, đ o hƠm, tích phơn

c a hƠm số, vẽ đồ th , tính diện tích, thể tích, số ph c, vƠ lập trình giải các bƠi toán với cấu trúc chư ng trình đ n giản NgoƠi ra, với phần mềm nƠy ta dễ dƠng

văn bản rất đ n giản mƠ không cần đến sự hỗ trợ c a bất kì một phần mềm nƠo khác (chẳng h n Page Text, Word, FrontPage ) Với các ch c năng trên, Maple lƠ công

cụ hỗ trợ đắc lực cho những người lƠm Toán

Phơn mềm Maple tích hợp gói Groebner lƠm công cụ khai thác những ng dụng c a c sở Groebner trong giải một số bƠi toán hình h c phẳng Một th tự từ

được g i lƠ một termorder Khi xét các th tự từ dễ sử dụng nhất lƠ th tự từ điển ngược Th tự từ điển được g i lƠ plex (t c pure lexicographic) vƠ th tự từ điển ngược được g i lƠ tdeg (t c total degree) Maple cần biết termorder muốn dùng

plex hay tdeg vƠ một danh sách các biến Các lệnh sử dụng phổ biến trong gói Groebner c a Maple lƠ normalf để thực hiện thuật toán chia vƠ gbasis để tính một

c sở Groebner Kết quả lƠ phần dư c a đa th c f trong phép chia cho các đa th c thuộc danh sách polylist sử dụng th tự từ quy đ nh bởi termorder

Nếu sử dụng các đa th c với hệ số nguyên hay hữu tỷ trong normalf hay

gbasic, Maple sẽ giả đ nh rằng ta đang thực hiện trên trường ℚ Chú ý rằng ở đơy không giới h n trên kích thước c a các hệ số Để Maple cố đ nh một biến trong trường c sở (một tham số), ta chỉ cần bỏ qua nó trong danh sách các biến trong

trình phục vụ cho mục đích riêng c a mình (chưa sẵn có trong Maple) Maple cho

ta công cụ lý tưởng để so n giáo trình vƠ giáo án điện tử Tóm l i, đơy lƠ phư ng tiện để người thầy thiết lập công cụ hỗ trợ cho phư ng pháp vƠ phong cách giảng

d y c a mình, không b lệ thuộc vƠo những gì có sẵn

2.2 G ịI L NH GEOPROVER

Gói Groebner trong Maple chưa cung cấp đ những cơu lệnh đ m nh giúp

đ i số hoá các đ nh lý hình h c Vì vậy, gói GeoProver được xơy dựng dựa trên

ngôn ngữ lập trình Maple để giải quyết vấn đề nƠy, từ đó ta có thể dùng máy tính để kiểm tra tính đúng sai c a một giả thuyết hình h c Sau đơy lƠ các cơu lệnh được sử dụng trong gói:

[> restart: with(Groebner):

[> read(“D:/Maple/GeoProver.mpl”): with(geoprover):

Để sử dụng gói nƠy, chúng ta phải chú ý đường dẫn đến file GeoProver.mpl

trong cơu lệnh trên Cần chú ý, kết quả trả l i c a các cơu lệnh trong gói nƠy lƠ 0

nếu giả thiết đưa ra luôn đúng

Sau đơy lƠ một số cơu lệnh c bản trong gói cơu lệnh GeoProver:

Kiểm tra ba điểm thẳng hƠng:

[> A:= Point(x1, x2): B:= Point(x3, x4): C:= Point(x5, x6):

[> is_collinear(A, B, C);

x1x4– x1x6– x3x2 + x5x2– x5x4

Điều trên có nghĩa lƠ với điều kiện ba điểm A, B, C thẳng hƠng thì ta có đa

th c trên

Kiểm tra ba đường thẳng đồng quy:

[> D_:= Point(1, 2): E:= Point(3, 0): F:= Point(0, 1):

[> is_concurrent(pp_line(A, B), pp_line(C, D_), pp_line(E, F));

– 16x 2 x 1 x 4 + 16x 3 x 4

Kiểm tra hai đường tròn tiếp xúc với nhau:

[> is_cc_tangent(p3_circle(D_, E, F), p3_circle(Point(0, 0), Point(-1, 0), C));

+ 4x 1 + 2x 2 – 3

Kiểm tra bốn điểm cùng thuộc một đường tròn:

[> is_concyclic(A, F, C, E);

–8x 1 x 6 + 8x 2 x 5 + 6x 6 – 6x 2 + 2x 1 2 x 6 + 2x 2 2 x 6 – 2x 2 x 5 2 – 2x 2 x 6 2

Kiểm tra khoảng cách bằng nhau (AB = EF), hai góc bằng nhau:

[> eq_dist(A, B, E, F);

x 1 2 – 2x 1 x 3 + x 3 2 + x 4 2 – 2x 4 x 2 + x 2 2 – 4

[> eq_angle(A, B, C, D_, E, F):

NgoƠi ra còn nhiều cơu lệnh để khai báo vƠ kiểm tra khác như: khai báo

điểm, trung điểm c a đoạn thẳng, đường thẳng qua hai điểm, đường tròn qua ba điểm, đường cao, trung tuyến c a tam giác, trọng tâm, trực tâm c a tam giác, tâm

và bán kính đường tròn nội tiếp, tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp, đường tròn

le, đường thẳng qua một điểm và vuông góc (song song) với một đường thẳng, góc giữa hai đường thẳng (hoặc góc xác định bởi ba điểm), khoảng cách, diện tích tam giác, điểm đối x ng qua một điểm (đường thẳng, đường tròn), điểm ngẫu

n hiên, giao điểm c a hai đường thẳng, giao điểm th hai (khác giao điểm đã cho)

c a hai đường tròn (đường thẳng và đường tròn), vẽ đồ thị Với các cơu lệnh trên,

về c bản ta có thể đ i số hóa được hầu hết các bƠi toán hình h c trong mặt phẳng

vƠ kiểm nghiệm tính đúng sai c a nó

Quy trình ch ng minh đ nh lý hình h c trên Maple được tóm tắt thông qua các bước sau đơy:

B c l: Đ i số hóa bƠi toán hình h c

fs, 1 - yg) với chú ý xem các biến độc lập như tham số

B c 3: C sở Groebner c a iđêan (f1 = 0, , fs, 1 - yg) ch a các đa th c 1 khi vƠ chỉ khi đ nh lý hình h c cần ch ng minh lƠ đúng

Nếu t i bước 2 ta vẫn xem các biến độc lập lƠ biến, thì t i bước 3 nếu c sở

biến độc lập, thì ta vẫn kết luận được đ nh lý hình h c cần ch ng minh lƠ đúng Tuy nhiên điều ngược l i chỉ đúng nếu ta ch n th tự từ khử đối với các biến không

độc lập vƠ y (chẳng h n dùng plex và xếp các biến độc lập ở sau cùng)

3.1.2 Đ i s hóa m t s đ nh lý hình h c

Gi ả thiết: Được mô tả bởi hệ phư ng trình 1 =⋯ = = 0

Kết luận: Khi đó m i nghiệm thực c a nó phải thoả mãn hệ phư ng trình

ng với các biến này có thể chọn tuỳ ý), còn các biến 1,… , lƠ phụ thuộc, nghĩa

Ta sử dụng ngôn ngữ đ i số để mô tả một số đ nh lý hình h c sau đơy:

Ví d 3.1 Trong một tam giác, ba đường trung trực đồng quy

Hình 3.1

Đ i số hóa đ nh lý trên như sau: Không mất tính chất tổng quát, ta có thể đặt

t a độ các điểm A(0, 0), B(c, 0) vƠ điểm C(a, b) Giả sử các đường trung trực c a

(p 1): 1 −2 = 0

(p 2): −

Điều này dẫn đến hai phư ng trình khác như sau:

c a G được tính và mục tiêu là ch ng minh 1 − 2 → ′ = 0 và 1 − 2 → ′ = 0

Ví d 3.2 (Định lý con bướm) Cho đường tròn tâm O Các điểm A, B, C, D

thuộc đường tròn trên Gọi P là giao điểm c a AC và BD Gọi F, G tư ng ng là giao điểm c a đường thẳng đi qua P và vuông góc với OP với đường thẳng AB,

CD Khi đó P là trung điểm c a FG

Ch ng minh Ta ch n hệ trục to độ Đề-các với điểm P là gốc to độ, trục

hoƠnh nằm trên đo n thẳng OP Khai báo t a độ các điểm như sau:

Hình 3.2

[> P:= Point(0, 0): O_:= Point(u1, 0):

[> A:= Point(u2, u3): B:= Point(u4, x1):

[> C:= Point(x2, x3): D_:= Point(x4, x5):

[> F:= Point(0, x6): G:= Point(0, x7):

[> c:= pc_circle(O_, A):

Từ giả thiết B, C, D thuộc đường tròn tơm O ta có:

[> on_circle(B, c), on_circle(C, c), on_circle(D_, c);

u 4 2 + x 1 2 – 2u 1 u 4 + 2u 2 u 1 – u 2 2 – u 3 2 , x 2 2 + x 3 2 – 2u 1 x 2 + 2u 2 u 1 – u 2 2 – u 3 2 ,

x 4 2 + x 5 2 – 2u 1 u 4 + 2u 2 u 1 – u 2 2 – u 3 2

Từ giả thiết P lƠ giao điểm c a AC và BD, F thuộc AB và G thuộc CD, ta có:

[> on_line(P, pp_line(A, C)), on_line(P, pp_line(B, D_)),

on_line(F, pp_line(A, B)), on_line(G, pp_line(D_, C));

u 3 x 2 – u 2 x 3 , x 1 x 4 – u 4 x 5 , x 6 u 2 – x 6 u 4 + u 3 u 4 – u 2 x 1 , x 7 x 4 – x 7 x 2 + x 2 x 5 – x 3 x 4

Kết luận điểm P lƠ trung điểm c a đo n thẳng FG được cho bởi đa th c:

[> numer(sqrdist(P, midpoint(F, G)));

(x 7 + x 6)2

Ví d 3.3 (Định lý về điểm PhỨc-ma) Cho tam giác ABC Lấy BC, CA, AB

làm cạnh dựng các tam giác cân đồng dạng BCP, CAQ, ABR ra phía ngoài tam giác Khi đó các đường thẳng AP, BQ, CR đồng quy tại một điểm Điểm đó được gọi là điểm PhỨc-ma

[> con:=is_concurrent(pp_line(A, P), pp_line(B, Q), pp_line(C, R));

B c 1: Ch n hệ trục to độ để biểu diễn các điểm vƠ các dữ kiện c a đ nh

lý Ta ch n sao cho số lượng các biến trong c sở Groebner lƠ ít nhất bởi vì số lượng biến cƠng nhiều, thời gian tính toán trên máy tính cƠng lơu

B c 2: Đ i số hoá giả thiết vƠ kết luận c a đ nh lý

B c 3: Liệt kê một danh sách bao gồm các đa th c giả thiết vƠ một đa th c

kết luận được nhơn với một biến phụ thuộc mới, sau đó trừ đi 1

B c 4: Tìm đa th c dư c a đa th c 1 cho các đa th c trong danh sách trên

bằng lệnh: [> normalf(1, WL, T), trong đó WL lƠ danh sách các đa th c, T lƠ một

th tự từ Nếu kết quả trả l i bằng 0 thì đ nh lý luôn đúng Ngược l i chúng ta tiếp tục tìm c sở Groebner rút g n c a iđêan sinh bởi WL

B c 5: Tìm c sở Groebner rút g n G c a WL

B c 6: Tìm iđêan khử bằng các dòng lệnh sau:

[> for j from 1 to nops(G) do k[j]:= degree(leadterm(G[j], plex(T’)), {T’}):

if k[j] = 0 then print(G[j]); fi: od;

Trong đó T lƠ một th tự từ đối với các biến phụ thuộc

B c 7: Giải các phư ng trình đa th c sinh ra iđêan khử để tìm ra các trường

hợp suy biến

Chú ý rằng khi đ i số hoá giả thiết vƠ kết luận c a đ nh lý ta không tránh khỏi kết quả c a các phép tính toán không lƠ một đa th c Lúc đó, ta dùng cơu lệnh

numer() để lấy phần tử th c Còn phần mẫu th c bằng 0 chúng ta coi như một

trường hợp suy biến, cần xét thêm

Sau đơy lƠ một số nhận xét về các bước trên:

ch ng minh bằng hình h c, nhưng phư ng pháp nƠy có lợi thế lƠ có thể thực hiện

được bằng máy tính vƠ không đòi hỏi sự lắt léo nƠo (như vẽ thêm đường, chọn thêm

điểm) Khi đã đ i số hoá được bƠi toán thì thời gian ch y máy tính không đáng kể

nhiều cách đ i số hoá một bƠi toán hình h c, vƠ do đó có thể nhận được nhiều bƠi toán T tư ng ng mƠ độ ph c t p c a lời giải có thể rất khác nhau

đó ta đ i số hoá vƠ tìm các trường hợp suy biến Từ đó, chúng ta có thể khẳng đ nh

được nhìn chung giả thuyết đó có đúng hay không? Điều nƠy cũng đem l i một lợi thế khác: tìm phản ví dụ dựa trên các trường hợp suy biến cho một số bài toán hình

học

3.2.2 Xét các tr ng h p suy bi n c a đ nh lý

Không phải bƠi toán nƠo cũng tư ng đư ng với phát biểu hình h c c a nó, bởi vì khi xét tập không điểm c a các đa th c trong giả thiết, ta không hề phơn biệt

đơu lƠ biến độc lập, đơu lƠ biến phụ thuộc Như vậy có thể có một số điểm nƠo đó sẽ

ng với một hình hình h c ngoại lai, hay như thông thường vẫn nói lƠ trường hợp

suy biến.

Ví d 3.4 Nếu ABCD là một hình thoi thì hai đường chỨo AC và BD vuông

góc với nhau và cắt nhau tại điểm N là trung điểm c a mỗi đường chỨo

Sau đơy ta sẽ đ i số hoá đ nh lý trên Ta ch n hệ trục to độ Đề-các mƠ gốc

to độ lƠ A vƠ trục hoƠnh trùng với tia AB (nhằm hạn chế tối đa các biến độc lập)

Ta sẽ dùng phần mềm Maple để thiết lập các hệ phư ng trình giả thiết vƠ kết luận Trong Maple, khi khai báo các điểm mƠ to độ c a nó ch a tham số vƠ sử dụng các cơu lệnh để thực hiện các phép tính trên các điểm đó thì bao giờ Maple cũng yêu

cầu các điểm đó phải thoả mãn một số điều kiện nhất đ nh để thực hiện được phép tính

Khi dùng lệnh khai báo một đường thẳng đi qua hai điểm có to độ cho trước dưới d ng tham số thì Maple sẽ đưa ra một thông báo lƠ hai điểm đó phải lƠ hai

điểm phơn biệt (t c là chúng ta phải đưa ra câu lệnh giả thiết rằng hai điểm đó là

phân biệt trước khi khai báo đường thẳng) Với mỗi th tục đó khi thực hiện phép

tính sẽ rất ph c t p mƠ nhiều khi chưa chắc đã lƠm được Do vậy, vấn đề xơy dựng một gói công cụ mới dựa trên ngôn ngữ lập trình Maple để giải quyết vấn đề trên lƠ không thể thiếu được Sau đơy lƠ các cơu lệnh để đưa ra hệ phư ng trình giả thiết vƠ kết luận c a đ nh lý:

Ta tiến hƠnh khai báo các điểm:

[> A:=Point(0, 0): B:=Point(u1, 0): C:=Point(u2, u3): D_:=Point(x1, x2): N:=Point(x3, x4):

Hình 3.4

Các biến u 1 , u 2 , u 3 lƠ các biến độc lập, còn các biến x 1 , x 2 , x 3 , x 4 lƠ các biến

phụ thuộc vƠ nó b rƠng buộc bởi điều kiện ABCD là hình thoi và N lƠ giao điểm c a

hai đường chéo

[> is_orthogonal(pp_line(C, A), pp_line(D_, B)) = 0;

Bây giờ ta sử dụng phần mềm Maple đối với iđêan I 1 để kiểm đ nh kết luận

đối với th tự từ điển trên:

[> normalf(1, L1, plex(L2));

1

Ta thấy đa th c dư lƠ 1, do vậy kết luận g 1 chưa đúng Để xem đ nh lý suy

[> G:= gbasis(L1, plex(L2));

G  u x x u z u u 

L 3 và sử dụng các câu lệnh c a Maple để đưa ra 1′ :

cách khác điểm C nằm trên trục hoành c a hệ trục t a độ đã ch n vƠ khi đó hình

thoi suy biến thành một đường thẳng

Ta tiếp tục kiểm đ nh đối với kết luận g 2:

3.3 C H NG MINH M T S Đ NH Lụ HỊNH H C

Sau đơy chúng tôi trình bƠy phư ng pháp ch ng minh một số đ nh lý hình

h c s cấp bằng máy tính Phần mềm Maple sẽ đưa ra kết luận về tính đúng sai c a

đ nh lý hình h c Sau khi có kết quả từ máy tính, chúng tôi sẽ ch ng minh đ nh lý

đó bằng toán h c vƠ phát triển thêm các bƠi toán khác

Đ nh lý 1 (Đường thẳng le) Gọi O, H, G lần lượt là tâm c a đường tròn

ngoại tiếp, trực tâm và trọng tâm c a ABC cho trước Khi đó, ba điểm O, H, G thẳng hàng và điểm G chia đoạn thẳng OH theo tỉ số 1:3

Trước tiên, trong hệ t a độ Đề-các vuông góc ta tiến hƠnh khai báo t a độ

c a các điểm như sau:

[> A:=Point(a1, a2): B:=Point(b1, b2): C:=Point(c1, c2):

0

lƠ đúng Bơy giờ ta ch ng minh bằng toán h c như sau:

Ch ng minh G i A’, B’, C’ lần lượt lƠ trung điểm c a các c nh BC, CA,

AB Ta ch ng minh giao điểm c a đường thẳng HO và đường thẳng AA’ chính là

tr ng tâm G c a ABC Thật vậy, ta có: HA = 2OA' và HA // OA' ⇒ ′ =

suy ra G lƠ tr ng tơm ABC Từ đó ta suy ra H, G, O thẳng hƠng

Hình 3.5

điểm G lƠ tr ng tơm A’B’C’ vƠ điểm O là trực tâm c a A’B’C’) Đặc biệt, bốn

= −2

Đ nh lý 2 (Đường tròn le) Trong tam giác ba trung điểm c a ba cạnh, ba

chân các đường cao, ba trung điểm c a ba đoạn thẳng nối trực tâm với các đỉnh

c a tam giác là 9 điểm nằm trên một đường tròn với tâm O 9 là trung điểm c a đoạn thẳng OH Đường tròn này được gọi là đường tròn le

Trong hệ t a độ Đề-các vuông góc ta có thể ch n t a độ các điểm với A là

[> A:=Point(0, 0): B:=Point(u1, 0): C:=Point(u2, u3) :