Luận văn toán học Nguyễn Thị Hiền

Trong quá trình phát triển, giải tích hàm đã tích lũy được một số nội dung hết sức phong phú, những kết quả mẫu mực, tổng quát của giải tích hàm đã xâm nhập vào tất cả các ngành toán học

Trang 1

LỜI CẢM ƠN

Em xin chân thành cảm ơn sự giúp đỡ của các thầy giáo, cô giáo trong

tổ Giải tích, các thầy giáo cô giáo trong khoa toán, các thầy giáo cô giáo trongtrường ĐHSP Hà Nội 2 và các bạn sinh viên Đặc biệt em xin bày tỏ lòng biết

ơn sâu sắc của mình tới T.S Tạ Ngọc Trí người đã tận tình giúp đỡ em trong suốt quá trình hoàn thành khóa luận này

Do lần đầu tiên làm quen với công tác nghiên cứu khoa học, hơn nữa

do thời gian và năng lực của bản thân còn hạn chế, mặc dù rất cố gắng

nhưng chắc chắn không tránh khỏi những thiếu sót Em kính mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô và các bạn để khóa luận của em được hoàn thiện hơn và có nhiều ứng dụng trong thực tế

Em xin chân thành cảm ơn !

Hà nội, ngày 11 tháng 5 năm 2011

Sinh viênNguyễn Thị Hiền

Trang 2

Nguyễn Thị K33C - Khoa

2

Trang 3

LỜI CAM ĐOAN

Khóa luận này là kết quả của bản thân em qua quá trình học tập và nghiên cứu Bên cạnh đó em được sự quan tâm và tạo điều kiện của các thầy giáo cô giáo trong khoa toán Trường đại học sư phạm Hà Nội 2, đặc biệt sự hướng dẫn tận tình của T.S Tạ Ngọc Trí

Trong khi nghiên cứu hoàn thành khóa luận này em có tham khảo một

số tài liệu đã ghi trong phần tài liệu tham khảo

Em xin cam đoan rằng khóa luận này là trung thực, tên đề tài không trùng lặp với bất cứ tên đề tài nào khác

Hà Nội, ngày11 tháng 5 năm 2011 Sinh viên thực hiện

Nguyễn Thị Hiền

Trang 4

4

Trang 5

MỤC LỤC

LỜI CẢM ƠN 1

LỜI CAM ĐOAN 2

MỤC LỤC 3

LỜI MỞ ĐẦU 5

CHƯƠNG 1: CÁC KIẾN THỨC CƠ SỞ 6

1.1 Giới thiệu 6

1.2 Không gian độ đo 7

1.2.1 Các định nghĩa 7

1.2.2 Đinh lý mở rộng Kolomogorov 8

1.2.3 Các ví dụ của không gian độ đo 9

1.3 Tích phân 9

1.3.1 Các định nghĩa 9

1.3.2 Các không gian LP 10

1.3.3 Các định lý hội tụ 11

1.3.4 Định lý biểu diễn Riesz 11

1.4 Độ đo xác suất 12

CHƯƠNG II: CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI BẢO TOÀN ĐỘ ĐO 14

2.1 Độ đo bất biến với phép biến đổi liên tục 14

2.1.1 Độ đo bất biến 14

2.1.2 Độ đo bất biến với các phép biến đổi liên tục 15

2.2 Không gian của các độ đo bất biến 16

2.2.1 tồn tại của các độ đo bất biến 16

2.2.2 tính chất của M(X, T) 17

2.3 Các ví dụ về các phép biến đổi bảo toàn độ đo 18

2.3.1 Sử dụng Định lý mở rộng Kolmogorov 18

2.3.2 Sử dụng chuỗi Fouries 22

Trang 6

6

Trang 7

CHƯƠNG 3: ERGODIC 25

3.1 Định nghĩa của Ergodic 25

3.2 Đặc trưng của Ergodic 26

3.3 Các ví dụ 27

3.4 Sự tồn tại của các độ đo Ergodic 30

3.5 Phép truy toán và Ergodic đơn trị 33

3.5.1 Định lý phép truy toán của Poincare 33

3.5.2 Ergodic đơn trị 34

3.5.3 Ví dụ 36

3.6 Định lý Ergodic của Birkhoff 37

3.6.1 Kì vọng có điều kiện 37

3.6.2 Định lý Ergodic của Birkhoff theo từng điểm 39

3.7 Các hệ quả của định lý Ergodic của Birkhoff 45

3.7.1 Các hệ quả 45

3.7.2 dụng 47

Trang 8

8

Trang 9

LỜI MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Giải tích hàm là một ngành toán học được xây dựng đầu thế kỉ XX và đến nay vẫn được xem như là một ngành toán học cổ điển Trong quá trình phát triển, giải tích hàm đã tích lũy được một số nội dung hết sức phong phú, những kết quả mẫu mực, tổng quát của giải tích hàm đã xâm nhập vào tất cả các ngành toán học có liên quan và sử dụng đến công cụ giải tích và không gian vectơ Chính điều đó đã mở rộng phạm vi nghiên cứu cho các ngành toánhọc

Với mong muốn được nghiên cứu, tìm hiểu sâu sắc về bộ môn này và bước đầu tiếp cận với công việc nghiên cứu khoa học cùng với sự giúp đỡ củaT.S Tạ Ngọc Trí, em đã chọn đề tài : “Các phép biến đổi bảo toàn độ đo và độ

đo Ergodic”

2 Cấu trúc của khóa luận

Khóa luận này gồm 3 chương

Chương 1: Các kiến thức cơ sở

Chương 2: Các phép biến đổi bảo toàn độ đo

Chương 3: Độ đo Ergodic

4 Phương pháp nghiên cứu

Đọc tài liệu, phân tích, so sánh tổng hợp

Trang 10

1

Trang 11

Cho X là một không gian toán học Xét ánh xạ T : X X Lấy x X

và lặp lại ứng dụng của ánh xạ T đối với x ta được một dãy {x, T(x), T2(x),

T3(x), } Đây gọi là quỹ đạo của x

Nếu Tn(x) = x thì điểm x được gọi là tuần hoàn với chu kì n

Ta xét bài toán như sau: Cho Cho T: [0, 1] [0, 1] và cố định một đoạn [a, b] [0, 1], cho x [0, 1] Tần số mà các quỹ đạo của x nằm trong[a,b] là gì? Trước hết, ta đã biết hàm đặc

trưng bởi

của tập A được xác định

1 nếu x A

= 0 nếu x AThì số lần n điểm đầu tiên trong quỹ đạo của x nằm trong [a, b] là

n 1 [a, b]

Do đo, tần số mà quỹ đạo của x nằm trong [a, b] là

lim 1 n 1 (Tj(x))

n n j 0Một kết quả khá quan trọng, đó là Định lý Ergodic của Birkhoff sẽ chỉ cho chúng ta rằng: khi T là ergodic thì tần số trên bằng độ dài của đoạn [a, b] Tức

là (Trong trường hợp của độ đo Ergodic):

lim

Trang 12

1

Trang 13

-;

;

-

-Một cách tổng quát của định lý này là: nếu xét với hàm đo được f bất kì

thì tần số mà quỹ đạo của x nằm trong một tập con A X là:

Trước khi nghiên cứu cụ thể định lý này, chúng ta nhắc lại một số kiến thức:

1.2 Không gian độ đo

đại số nhỏ nhất các tập con của X mà bao

đại số các tập con của X, ta có:

: i ( ) = 0;

Trang 14

1

Trang 15

ii Nếu En là các tập hợp đếm đƣợc , đôi một phân biệt trong thì:

Ta gọi (X, , ) là không gian độ đo

Nếu (X) < thì là độ đo hữu hạn

Nếu (X) = 1 thì là độ đo xác suất

Định nghĩa: Ta nói một tính chất đúng hầu khắp nơi nếu tập hợp các điểm

Thì có một độ đo duy nhất : ( ) ¡ mà là mở rộng của

1.2.3 Các ví dụ của không gian độ đo

hạn tất cả các khoảng con của [0,1] Với mỗi đoạn con [a,b], định nghĩa:

([a,b])= b - a

là độ đo Lebesgue

Trang 16

1

Trang 17

([a,b]) = b - a

là độ đo Lebesge trên đường tròn

Độ đo Dirac Cho X là không gian xác suất và là

một Cho x X Định nghĩa độ đo x bởi:

1 nếu x A

đại số bất kì

x (A) = 0 nếu x AThì x là độ đo xác suất Nó được gọi là độ đo Dirac tại x

hợp tuyến tính các hàm đặc trưng của các tập trong , nghĩa là

f

với ai , Ai , Ai đôi một phân biệt

Với một hàm đơn giản f : X

f d =

, ta định nghĩa

Trang 18

1

Trang 19

+ Nếu f 0 thì tồn tại một dãy hàmđơn giản tăng f n sao cho f n f

tương đương nếu f = g -h.k.n Ta viết

L1(X, , ) tập hợp các lớp tương đương của các hàm khả tích trên (X, , )

Trang 20

2

Trang 21

Định lý 1.3 : ( Định lý hội tụ đơn điệu )

Giả sử f n: X là một dãy tăng các hàm khả tích trên (X, , ).

Nếu f n d là dãy bị chặn của các số thực thì lim

1.3.4 Định lý biểu diễn Riesz

Cho X là một không gian metric compact và cho

Trang 23

Cho (X, , ) là không gian độ đo.

Nếu (X) =1 thì được gọi là độ đo xác suất và (X, , ) tương ứng

là là không gian xác suất

Đặt M(X) = { | (X) = 1} là tập hợp tất cả độ đo xác suất trên (X, )

Trang 24

2

Trang 25

B

CHƯƠNG II: CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI BẢO TOÀN ĐỘ ĐO

2.1 Độ đo bất biến với phép biến đổi liên tục

Định nghĩa: Ta nói rằng T là một phép biến đổi bảo toàn độ đo hay được

gọi là độ đo T-bất biến nếu (

Trang 26

2

Trang 27

B oT d

f

i T là một phép biến đổi bảo toàn độ đo;

ii Với mỗi f L1(X, , ), ta có

Vậy là độ đo T-bất biến

(i) (ii) Ngược lại, giả sử rằng T là một phép biến đổi bảo toàn

độ đo Với hàm đặc trưng bất kì χB, B ,

χB d = (B) = (T 1 B) = χ

T 1 Bd =

Suy ra đẳng thức đúng cho hàm đơn giản bất kì Cho bất kì f L1(X, , )

với f 0, ta có thể tìm được một dãy tăng các của các hàm số đơn giản f n

với f n khi n Với mỗi n ta có

f nd = f n oT d

Và, áp dụng định lý hội tụ đơn điệu cho cả hai vế, ta có

f d = f oT d Kết quả này có thể mở rộng cho hàm f có dấu bất kì bằng cách xét phần âm

và dương

2.1.2 Độ đo bất biến với các phép biến đổi liên tục

Cho X là một không gian metric compact, là -đại số Borel và T là mộtánh xạ liên tục (T đo được) Thì T cảm sinh ra một ánh xạ trên M(X) như

Trang 28

2sau:

Trang 29

Bổ đề 2.3

Cho T: X X là một ánh xạ liên tục của các không gian metric compact.Các mệnh đề sau đây tương đương:

i T* =

Trang 31

2.2 Không gian của các độ đo bất biến

2.2.1 tồn tại của các độ đo bất biến

Định lý 2.4.Cho T: X X là một ánh xạ liên tục của một không gian metric

compact thì tồn tại ít nhất một độ đo xác suất T- bất biến

Chứng minh.

Cho M(X) là một độ đo xác suất Định nghĩa dãy n M(X) bởi

1

n = nVới B , ta có

Trang 32

3

f oT d f d = lim f oT d f d

Trang 35

Suy ra M(X,T) Điều này chỉ ra rằng M(X,T) là đóng Nó là compact vì

nó là tập con đóng của tập compact M(X)

2.3 Các ví dụ về các phép biến đổi bảo toàn độ đo

Phần này chúng ta sẽ đƣa ra một số ví dụ về các phép biến đổi bảo toàn độ đo bằng cách sử dụng định lý mở rộng Kolmogorov và sử dụng chuỗiFourier

iii Nếu En , n 1, đôi một phân biệt và nếu UEn

Trang 36

3

Trang 37

¡

))

nghĩa là, độ đo Lebesgue là T - bất biến

T(x) = 2x mod 1Chúng ta sẽ chỉ ra rằng T bảo toàn độ đo Lebesgue

Thật vậy, ta có

Trang 38

3

Trang 39

T 1 (a,b) =

Do đó

Trang 40

4

Trang 41

a n

11x dx

Do đó T* = trên đại số của hợp hữu hạn các khoảng con Vì đại số này tạo

ra đại số, theo tính duy nhất trong định lý mở rộng Kolmogorov, ta thấyrằng T* = nghĩa là, độ đo Gauss là T - bất biến.

Trang 42

4

Trang 44

-Nguyễn Thị K33C - Khoa

4nếu

Trang 45

Ta sẽ chỉ ra rằng là T- bất biến bằng sử dụng chuỗi Fourier.

Nếu f có chuỗi Fourier

2 i2nx

d =

= c0 = f d

Trang 46

4

Trang 47

XA

CHƯƠNG 3: ERGODIC

3.1 Định nghĩa của Ergodic

một phép biến đổi bảo toàn độ đo Ta nói rằng T là một phép biến đổi Ergodic(hoặc là một độ đo Ergodic) nếu, với B , có

T 1 B = B (B) = 0 hoặc 1

T: A và T: (X \ A) (X \ A) với các độ đo xác suất bất biến tương ứng

Trang 48

4

Trang 49

làm suy yếu điều kiện T

Trang 50

j 0 i j

Nếu T là Ergodic và ( B B ) = 0 thì (B) = 0 hoặc 1

Trang 52

5

Trang 53

Cố định và định nghĩa T: ¡ / ¢ / ¢ bởi T(x) = x + mod 1.

Ta đã biết rằng T bảo toàn độ đo Lebesgue

Định lý 3.4.

Cho T(x) = x + mod 1

i Nếu ¤ thì T không là Ergodic

ii Nếu ¤ thì T là Ergodic

Mà f không là hàm hằng Điều này mâu thuẫn với tính chất 3.3.

Vậy T không là Ergodic

(ii) Giả sử rằng ¤ Giả sử f L2(X,

h.k.n Giả sử f có chuỗi Fourier

sao cho f oT = f

Trang 54

5

Trang 55

0 Do

X

.,)

Trang 56

5

Trang 57

1dx

B 1 x

) 2

với m ¢ , j = 0, 1, 2 Bổ đề Riemann - Lebesgue nói rằng an 0 khi

|n| Do đó, nếu m 0, ta có am = a2j m 0 khi j Do đó với m

ta có am = 0 Tức f có chuỗi Fourier là a0 và phải là một hằng số h.k.n

3.4 Sự tồn tại của các độ đo Ergodic

= 1 + (1 với 1, 2 M (X, T) , 0 < < 1 thì ta có = 1 = 2

-Định lý 3.7.

Các mệnh đề sau đây là tương đương:

i Độ đo xác suất T- bất biến là Ergodic;

ii là một điểm cực trị của M(X, T)

Chứng minh.

i ii Hiển nhiên

ii i Giả sử không là Ergodic

Trang 58

5

Trang 59

(A (X \ B))(X \ B)do

1 A (B)

Khi đó tồn tại B sao cho

đo xác suất 1 và 2 trên X bởi

= ( T A (B) T B)

= (A (B) B)

= 1(A)

(T 1A (X \B))

Trang 60

6

Trang 61

Chọn một dãy con dày đặc đếm đƣợc { f i}i=0 của C( X ,

M 0

thì ở trên đã chỉ ra rằng M0 là không rỗng Mà M0 đóng, do đó compact

Chúng ta xét hàm số tiếp theo f1 và định nghĩa

M1

Lập luận nhƣ trên M1 là một tập con không rỗng đóng của M0

Tiếp tục quy nạp, chúng ta định nghĩa

M j

và do đó thu đƣợc một dãy các tập lồng nhau

M(X, T) M0 M1 Mj với mỗi Mj không rỗng và đóng

Bây giờ chúng ta sẽ xem xét các giao

Trang 62

6

Trang 63

2

Giả sử có thể viết = 1 + (1 - ) 2 với 1, 2 M (X, T), 0 < <1

Ta phải chỉ ra rằng 1 = 2 Vì { f i}i=0 là dày đặc trong

f j d 1 = f j d 2 j 0

Xét f0 Giả sử

f0 d = f0 d 1 + (1 - f0 d 2 .Trong đó

3.5 Phép truy toán và Ergodic đơn trị

3.5.1 Định lý phép truy toán của Poincare

Cho (X, , ) là không gian xác suất

Định lý 3.9 (Định lý phép truy toán của Poincare)

Trang 64

6

Trang 65

Cho T : X là phép biển đổi bảo toàn độ đo của (X, , ) và cho A

có (A) > 0 Thì với x A - h.k.n , quỹ đạo {Tnx} quay lại A vô

hạn lần

Chứng minh Đặt

E = { x A | Tnx A với vô hạn n }thì ta phải chỉ ra rằng (A \ E) = 0

n F F A Điều này mâu thuẫn với định

nghĩa của F Vì vậy T

Trang 66

6

Trang 67

k F) = (F) k 0 ( do độ đo được bảo toàn) nên các số hạng trong

phép lấy tổng trên có cùng giá trị hằng (F) Tức phải có (F) = 0

Vậy (A \ E) = 0

3.5.2 godic đơn trị

biến đổi đo được Nếu có duy nhất độ đo xác suất T- bất biến thì ta nói rằng

T là Ergodicđơn trị

Định lý 3.10.

Cho X là không gian metric compact và cho T : X

biến đổi liên tục Các mệnh đề sau đây là tương đương:

Chứng minh.

(ii) (i) : Giả sử rằng v là các độ đo xác suất T- bất biến, ta sẽ chỉ

ra rằng = v Lấy tích phân biểu thức trong (ii) ta có

Trang 68

6

Trang 69

và vì vậy = v (theo định lý biểu diễn Riesz)

(i) (ii) Cho M(X, T) = { } Nếu (ii) là đúng thì theo định lý hội tụ

Dominated ta cần phải có c( f ) = f d Giả sử (ii) là sai thì ta có thể tìm

f C( X ) và các dãy nk ¥ và xk X sao cho

Trang 70

7

Trang 71

Do đó ta có f dm = f d với mỗi f C( X ) Vì vậy m =

3.6 Định lý Ergodic của Birkhoff

3.6.1 Kì vọng có điều kiện

đối với và viết v = nếu với B mà (B) = 0 ta luôn có v (B) = 0

Nhận xét : Nhƣ vậy v là liên tục tuyệt đối nếu các tập có v - độ đo 0 thì

cũng có - độ đo 0 (nhƣng có thể có nhiều hơn các tập có v -độ đo 0).

Trang 72

7

Trang 73

f f ở đó

Ví dụ Cho f L1(X, , ) là không âm và định nghĩa độ đo v bởi

v (B) = Thì v =

Định lý 3.11 ( Radon - Nikodym)

Cho (X, , ) là không gian xác suất Cho v là một độ đo được xác

định trên và giả sử rằng v = Thì có một hàm đo được không âm f

sao cho

v (B) = Hơn nữa, f là duy nhất theo nghĩa nếu g là hàm đo được có cùng tính chất thì

f = g h.k.n.

Cho là một tiểu -đại số Chú ý rằng định nghĩa một độ đo

trên bằng một sự hạn chế Cho f L1(X, , ) Thì chúng ta có thể địnhnghĩa một độ đo v trên bằng cách lập

hàm f bất kì, ta chia f thành phần âm và dương f

Trang 74

7E( | ) : L1(X, L1(X, , )

Trang 75

3.6.2 Định lý Ergodic của Birkhoff theo từng điểm

Đặt = { B | T 1 B = B} là -đại số của các tập T- bất biến

Định lý 3.12 (Định lý Ergodic của Birkhoff)

Cho (X, , ) là không gian xác suất và T : X là một phép biếnđổi bảo toàn độ đo Cho biểu thị -đại số của các tập T- bất biến Thì với

Cho (X, , ) là không gian xác suất, cho T : X

đổi bào toàn độ đo và cho f L1(X, , ) Định nghĩa

Trang 76

7

Trang 78

7

1 A = A, ta có

Trang 79

Với trường hợp tổng quát, chúng ta làm với sự hạn chế của T trên A, T : A

A, và áp dụng bất đẳng thức cực đại trên các tập con để có được

theo yêu cầu

Chứng minh định lý Ergodic của Birkhoff Đặt

f * (x) = lim

n

sup 1n

n

Trang 80

8

Trang 81

E ,

, 1

Trang 85

Vì điều này đúng với tất cả n 1, ta có

Tương tự đối với

Thỏa mãn yêu cầu

Cuối cùng ta đi chứng minh f * = E( f \ ) Trước hết chú ý

* là

T-bất biến, nó là đo được đối với Hơn nữa, nếu I bất kì là T-bất biến thì

Trang 87

T : X X,) Thì

Cho (X, , ) là không gian xác suất và cho

biến đổi bào toàn độ đo Ergodic Cho f L1(X, là một phép

E( f | ) d = c (X) = cLại có

Trang 89

(i) (ii): Giả sử rằng T là Ergodic Vì A L1(X, , ), định lý

Ergodic của Birkhoff nói rằng

Trang 90

9

Trang 91

Điều này cho (A) = (A)2 Do đó (A) = 0 hoặc 1 và vì vậy T là Ergodic.

3.7.2 Ứng dụng

a) Các số tầm thường

Một số x [0, 1) được gọi là tầm thường với cơ số 2 nếu nó có mộtkhai triển nhị phân duy nhất, chữ số 0 xuất hiện trong khai triển với tần số1/2, và chữ số 1 xuất hiện với tần số 1/2

Chúng ta sẽ chỉ ra rằng hầu hết x [0, 1) là tầm thường với cơ số 2

Thật vậy, ta đã biết rằng hầu hết với mỗi x [0, 1) có khai triển nhịphân duy nhất x = x1x2 , xi {0, 1} Xét ánh xạ kép T(x) = 2x mod 1 Khi

Vì T là ergodic ( đối với độ đo Lebesgue) nên áp dụng định lý Ergodic củaBirkhoff cho f = [0, 1/2) ta được

Định dạng
Số trang	104
Dung lượng	834,15 KB