Lý thuyết bậc brouwer luận văn toán học

Lý do chọn đề tài Bậc Brouwer là một khái niệm mới đề cập đến bậc của ánh xạ trong không gian hữu hạn chiều cùng định lý Brouwer về điểm bất động và định lý Borsuk.. Khái niệm bậc Brouwe

KHOA TOÁN -  

Người hướng dẫn khoa học

TS BÙI KIÊN CƯỜNG

LỜI CẢM ƠN  

Trước  khi  trình  bày  nội  dung  chính  của  khóa  luận,  em  xin  bày  tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Tiến sĩ Bùi Kiên Cường, người đã tận tình hướng dẫn để em có thể hoàn thành khóa luận này. 

Em cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới toàn thể các thầy cô giáo trong khoa Toán, trường Đại học Sư Phạm Hà Nội 2 đã dạy bảo em tận tình trong suốt quá trình học tập tại khoa. 

Nhân dịp này em cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình,  bạn  bè  đã  luôn  bên  em,  cổ  vũ,  động  viên,  giúp  đỡ  em  trong  suốt quá trình học tập và thực hiện khóa luận tốt nghiệp. 

Hà Nội, tháng 05 năm 2014

Sinh viên

Đào Thị Tĩnh

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan rằng đây là công trình nghiên cứu của tôi với sự 

hỗ trợ từ Tiến sĩ Bùi Kiên Cường. Các nội dung trong đề tài này không trùng với đề tài nào trước đây. 

Nếu phát hiện có bất kỳ sự gian lận nào, tôi xin hoàn toàn chịu trách nhiệm trước Hội đồng cũng như kết quả khóa luận của mình

MỤC LỤC  

MỞ ĐẦU   1 

Chương 1. MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ   2 

1.1. Hàm số liên tục và khả vi nhiều biến số   2 

1.2. Tích phân Cauchy   5 

1.3.  Hàm có dao động trung bình triệt tiêu VMO   8 

1.4.  Không gian Sobolev Wm p,      8 

Chương 2. LÝ THUYẾT BẬC BROUWER   10 

2.1.  Đặt vấn đề   10 

2.2.  Sự xây dựng bậc Brouwer   12 

2.3.  Định lý bậc với hàm trong VMO   29 

2.4.  Ứng dụng vào phương trình vi phân thường (ODE)   35 

KẾT LUẬN   40 

TÀI LIỆU THAM KHẢO   41   

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Bậc Brouwer là một khái niệm mới đề cập đến bậc của ánh xạ trong không  gian  hữu  hạn  chiều  cùng  định  lý  Brouwer  về  điểm  bất  động  và định lý Borsuk. Khái niệm bậc Brouwer cùng các kết quả kèm theo dùng 

Nghiên cứu một vài ứng dụng của bậc Brouwer. 

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Nghiên  cứu  bậc  của  hàm  nhiều  biến,  bậc  của  ánh  xạ,  bậc  của  các hàm BMO,VMO và ứng dụng của nó. 

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Chương 2:  Lý thuyết bậc Brouwer. 

7 Dự kiến đóng góp mới

Khóa luận là bài viết tổng quan về lĩnh vực lý thuyết bậc Brouwer. 

Chương 1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1 Hàm số liên tục và khả vi nhiều biến số

Chúng  ta  bắt  đầu  với  định  lý  giá  trị  trung  gian  phụ  của  Bolzano sau đây: 

Định lý 1.1.1. Cho f :a b   là một hàm liên tục, khi đó với m nằm , 

C   là  không gian  các  hàm  liên  tục  khả  vi k  

lần.  Nếu  f  khả  vi  tại  x0 thì  ta  gọi J f  x0 det f x0  là  định  thức 

Jacôbi  của  f  tại  x0.  Nếu J f  x0 0 thì x0 được  gọi  là  điểm  tới  hạn 

của  f  và kí hiệu  S f     { x :  J f  x   0} là tập những điểm tới 

hạn  của  f  trong     Nếu  1   

f y  S     thì  y  được gọi  là giá  trị chính quy của  f  Trái lại,  y  được gọi là giá trị kỳ dị của  f  

Bổ đề 1.1.4. (Bổ đề Sard’s) Cho    là tập mở và n f C1  Khi

đó, n f S f     , trong đó 0 n là độ đo Lebesgue. 

Chứng minh:   Do    mở  nên 

m là  diện  tích  xung  quanh 

của  Q i  nên  chúng  ta  có  r  m n   Bây  giờ,  giả  sử  rằng 

Mặt  khác,  f y   0 nên  f y Q i –  y  được  chứa  trong  một không gian con n   1 chiều của   Do đó, n n f y Q i –  y  0. 

 

1 1

Chứng minh:  Theo  Mệnh  đề  1.1.5,  tồn  tại  hàm  số  f  liên  tục  mở 

rộng của  f  tới   Định nghĩa hàm số sau đây: n

 

11

Hiển  nhiên, sup f xn: f x 0x x:   với  0  

Do  đó,  ta  có  fC  và  f x  hội  tụ  đều  đến  f x  trên  K  khi  

Nếu  thêm  f  liên  tục  trên    và  Ω  là  một  chu  tuyến,  thì  với  mọi 

 Hơn nữa, trên \  hàm F z có đạo hàm mọi cấp, chúng được  

cho bởi công thức: 

Định lí 1.2.3.  Giả sử f là hàm chỉnh trên miền  Khi đó, f có đạo hàm mọi cấp trên  và các đạo hàm này cũng có hàm chỉnh trên  Ngoài ra, các đạo hàm của f tại z   cho bởi công thức: 

Chứng minh:  Theo công thức (1.2.9) với   S a r ,  ta có: 

1.3 Hàm có dao động trung bình triệt tiêu VMO

Sau đây, cho    là một miền trơn mở, bị chặn trong   hoặc là một n

1.4 Không gian Sobolev Wm p,  

Định nghĩa 1.4.1 Cho    ,  số  nguyên n m 0 và 1 p    Không gian Wm p,    được định nghĩa: 

, W

p p

với chuẩn (1.4.1)  được gọi là không gian Sobolev. 

n i i

f  đối  với  và 0, rất hữu ích  cho việc trả lời những câu hỏi trên.  Để thúc đẩy quá trình này, đầu tiên chúng ta hãy nhắc lại số lần biến thiên (winding number) của những đường phẳng qua một điểm, tức là một số nguyên biểu diễn  số lần quay của  một  đường cong kín định hướng qua điểm đó. 

 Đường này có 2 lần quay quanh điểm p   

 Cho    là  tập  các  số  phức,  Г    là  đường  cong  đóng  C  được  định 1

hướng và a \Г. 

Khi đó, số nguyên: 

1 1( , )

Bây  giờ  cho  G    là  một  miền  đơn  liên  và    :   f G    là  hàm 

giải tích và  G  là một đường cong C  đóng để 1 f z   trên  Г      0Khi đó, chúng ta có: 

  là  những  bội  số  tương  ứng.  Nếu  chúng  ta  có  thêm  giả  thiết  rằng  Г  

định  hướng  dương  và  không  tự  cắt  thì  ta  có  định  lí  Jordan,  định  lí  sẽ được  chứng  minh  trong  chương  này,  đó  là ,z i  với  mọi 1 z   Do  i

và Gauss. Kronecker, Hadamard, Poincare và những công thức được mở rộng  từ  (2.1.1).  Năm  1912,  Brouwer  đã  giới  thiệu  bậc  Brouwer  trong 

n

  Chương này sẽ trình bày về lý thuyết bậc Brouwer và sự mở rộng của nó đối với các hàm thuộc VMO. Chương này được sắp xếp như sau:   Mục 2.1 giới thiệu một số vấn đề trình bày trong chương. 

  Mục  2.2  bắt  đầu  định  nghĩa  bậc  của  hàm C  sử  dụng  định  thức 1

Jacôbi. Ở đây trình bày một biểu diễn tích phân dùng để định nghĩa bậc của  một  hàm  liên  tục.  Cũng  trong  phần  này  trình  bày  một  số  tính  chất của bậc của một hàm liên tục và một số hệ quả hay sử dụng. Đó là định lí 

2.2 Sự xây dựng bậc Brouwer

Bây giờ, chúng ta đi xây dựng bậc Brouwer trong mục này như sau: Định nghĩa 2.2.1. Cho     là tập mở và bị chặn và n 1 

Giả  sử  rằng    f1  p  x x1, 2, ,x n.  Chúng  ta  có  thể  tìm  những hình  cầu  rời  nhau  B r x i  và  những  lân  cận  V  của  p  để  hàm  i

i U



    với 0

deg f,   ,   p    deg f,   ,   p , 

trong đó  p  là giá trị chính quy bất kì của  f  mà   p  p d p f( , ( . Nhận xét:  Việc  định  nghĩa  như  trên  là  đúng.  Thật  vậy,  chúng  ta  cần kiểm  tra  hai  giá  trị  chính  quy  bất  kì  p1  và  p2  của  f , 

deg f, , p    deg f, , p  

Với  d p f ,  max p p i :i1, 2 bất kì, ta có: 

j i

k N

ki ki k

1 , 1

(2)  (Tính giải được) Nếu deg f, , p thì 0 f x  p có nghiệm trong  ; 

(3)  (Tính  đồng  luân)  Nếu f t  x : 0,1    N là liên tục và

   thì deg f t , ,p không phụ thuộc vào t  0,1 ; 

(4) (Tính cộng tính) Giả sử   là tập con mở không giao nhau 1, 2

Hệ quả 2.2.10. Cho f :n  là một ánh xạ liên tục Nếu n

Định  lí  sau  đây  thể  hiện  mối  liên  hệ  giữa  bậc  Brouwer  trong  các không gian có số chiều khác nhau. 

Định lí 2.2.12.  Cho f    là một tập con mở, bị chặn, : n 1 m  , n cho f   : m là một hàm liên tục và cho g I f Nếu

y I  f  thì :

deg g, , y deg g m, R m,y , trong đó g là hạn chế của g trên m    m

Chứng minh: Chúng ta có thể giả sử  2 

f C  và  y  là một giá  trị chính quy của  g  trên    Thực hiện một phép tính trực tiếp thu được 

là số nguyên khi  y  chạy trên thành phần liên thông  U  của n \ f  . 

Do đó, rất hợp lý để kí hiệu số nguyên này bởi deg f, ,U. Một thành 

phần liên thông không bị chặn được kí hiệu bởi U. Bây giờ ta có công thức: 

Chứng minh:  Chúng ta chứng  minh  (2.2.1)  chỉ  có  hữu hạn giá  trị 

Do đó, vế phải của (2.2.1) chỉ có hữu hạn số khác 0. 

Đầu  tiên,  ta  giả  sử  1 

f C   ,  1 n

gC   và  p  là  giá  trị  chính  quy của  gf , vì vậy ta có: 

Định lí 2.2.14. Cho    , i n i 1, 2, là 2 tập compact đồng phôi nhau Khi đó, n \1 và n \2 có số cùng số thành phần liên thông

Chứng minh:  Cho  h   : 1 2 là  một  đồng  phôi  lên 2,  h  là  một  mở  rộng  liên  tục  của  h  vào   và n h1 là  mở  rộng  liên  tục  của 

 

1 1

Do u t x ,  r0 với  1

2

M t



 , có nghĩa là: 

u M  x B  với mọi x B r1 0  Điều này suy ra toán tử Poincare   2 

Định lí 2.2.16. Cho   n là tập con mở và f   : n liên tục và là 1-1 địa phương Khi đó, f là một ánh xạ mở

Chứng minh:  Với  mỗi  x  0 ,  ta  chứng  minh  tồn  tại   r 0 để 



 

 thì kn1.  Chứng minh:  Giả  sử  ngược  lại,  k n   Đặt  f x   trên  i  1 A , i  

i

f x    trên A i  với  i1, 2, ,k  ,1 f x   trên    với  i  1 ik, ,n 

và  f  f1, f2, ,f n   Giả  sử  f  liên  tục  trên   , khi  đó  f xf x  trên    với  mọi  0   Trái  lại,  f x0f x 0  với  0  và 

deg f , ,0  , 0 f x   với một số  x   ,   0điều này mâu thuẫn với  f n x   trên    Định lí được chứng minh. 1

Tiếp theo, ta chứng minh một số biến thiên là  một trường hợp đặc biệt của bậc Brouwer. 

Định lí 2.2.18 Cho B0,1  là hình cầu đơn vị,  B0,1 và

k

f i i

một  đường  cong  Jordan  để a nằm  trong  phần  trong  của  nó,  f S  có  i

cùng sự  định  hướng với S i nếu J f  z i 0 và ngược hướng với S i nếu 

   

f z  f    trên  mỗi  R j   Do  ảnh  f R j V   không  quay quanh a,  chúng  ta  có    f R j V ,a  và  lấy  tổng  trên  tất  cả 0các R  thu được :  j

Chứng minh:  Do  m B r x r m B n  0,1  và mB r x 0,  ta 

có  B r x  y B s x  y  hầu  khắp  nơi  khi  r  s ,  trong  đó 

 y 1

   nếu    y    và  y 0 nếu  y     Theo  định  lí  hội  tụ  bị 

trội của Lebesgue, ta biết rằng A f x r   là liên tục trong  r  Ta cũng có: 

k  Cho  B  là hình cầu lớn nhất của  i A  (có nghĩa là chọn  i B i là hình cầu 

có  bán  kính  lớn  nhất),  B2 là  hình  cầu  lớn  nhất  của  các  A i còn  lại  mà không  giao  nhau  với B ,  làm  tiếp  quá  trình  này  đến  tận  khi  dãy  i A   bị  i

vét  cạn.  Nếu  A  không  là  một  trong  những  j B i  thì  tồn  tại  i  để 

j i

A B   và bán kính của A j lớn nhất trong các B i  Do đó, A j B i*, 

trong đó  *B i  là hình cầu đồng tâm với B  mà bán kính của nó gấp 3 lần  i

     

   2

Để chứng minh tính hội tụ đều của A f x r   trên S , ta đặt:  n

vi phân thường trong   n

Định lí 2.4.1.  Cho f :  n  là một hàm liên tục và n

f t T x  f t x với mọi t x ,    Giả sử rằng những điều  n

kiện sau thỏa mãn:

(1) Tồn tại r 0 để  f t x x  , ,  0 với mọi t0,T và x  r

(2) Với mỗi x   , tồn tại n r x0,L x 0 để:

       

 

0 0

Hơn nữa, sử dụng (2.4.1), ta có thể dễ dàng chứng minh  S  liên tục. 

Do  đó,  theo  định  lí  điểm  bất  động  Brouwer,  S  có  một  điểm  bất  động 

trong B0,r ,  nghĩa là (E 2.4.1) có nghiệm. Định lí được chứng minh. 

Định lí 2.4.2. Cho G:n  là một hàm chẵn khả vi liên tục và thỏa

mãn điều kiện Lipschitz trên G , f : là hàm liên tục để n

Ta  lấy  một  hàm  chẵn,  khả  vi  liên  tục    thỏa  mãn  x   với 1

Hệ quả 2.4.3  Cho A là một ma trận đối xứng n n  và f : là n

một hàm liên tục để f t T f t  với mọi t   Khi đó, bài toán sau:

,,

có một nghiệm, trong đó    là một hằng số. Thật vậy, đặt: 

23

KẾT LUẬN  

Khóa luận đã đạt được những mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu đề 

ra. Đó là nghiên cứu bậc của các hàm nhiều biến, định lí điểm bất động, bậc  của  ánh  xạ,  bậc  của  các  hàm  VMO  và  một  vài  ứng  dụng  của  bậc Brouwer. 

Khóa  luận là  một tài  liệu  tổng quan ban  đầu đối với lý thuyết  bậc Brouwer  và  một  số  ứng  dụng  trong  lý  thuyết  phương  trình  vi  phân, không gian hàm BMO, VMO. 

TÀI LIỆU THAM KHẢO

4.  Donal  O’Regan,  Yeol  Je  Cho,  Yu-Qing  Chen  (2006),  Topological

degree theory and applications, Chapman & Hall/CRC, London.