Những nội dung cơ bản của lý thuyết chuỗi trong giải tích toán học

Các kết quả nghiên cứu được trong giải tích không chỉ áp dụng vào các lĩnh vực khác nhau của toán học mà còn áp dụng trong các ngành khoa học khác như vật lý, hóa học, thiên văn học, … M

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Trong toán học giải tích chiếm một vị trí rất quan trọng Các kết quả nghiên cứu được trong giải tích không chỉ áp dụng vào các lĩnh vực khác nhau của toán học mà còn áp dụng trong các ngành khoa học khác như vật lý, hóa học, thiên văn học, …

Mặt khác, trong giải tích các kết quả nghiên cứu về lý thuyết chuỗi có ý nghĩa rất lớn về cả mặt lý thuyết lẫn thực hành Vì vậy trong khóa luận này

em chọn đề tài “Những nội dung cơ bản của lý thuyết chuỗi trong giải tích toán học”

2 Mục đích nghiên cứu

Đề tài nhằm hệ thống lại những nội dung cơ bản của lý thuyết chuỗi trong giải tích toán học

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Đề tài nghiên cứu những nội dung cơ bản về: Chuỗi số, chuỗi hàm, chuỗi lũy thừa, chuỗi Fourier

4 Đối tượng và phạm vi nhiên cứu

Đối tượng nghiên cứu: Những nội dung cơ bản của lý thuyết chuỗi Phạm vi nghiên cứu: Học phần giải tích 2

5 Phương pháp nghiên cứu

- Nghiên cứu, phân tích các tài liệu

- Hệ thống các vấn đề

- Sưu tầm, giải quyết các bài toán

- Tống kết kinh nghiệm

a hoặc

1

n n

a

Ta gọi S n =

1

n k k

a là tổng riêng thứ n, dãy S n được gọi là dãy tổng

riêng của chuỗi số

1

n n

a

Định nghĩa 1.2 Cho chuỗi số

1

n n

a có dãy tổng riêng là S n Nếu S n hội

tụ tới S thì ta nói chuỗi

1

n n

a hội tụ và gọi S là tổng của chuỗi số Kí hiệu

a được gọi là chuỗi phân kì

Định nghĩa 1.3 Nếu chuỗi số

1

n n

a hội tụ về S thì với mọi n nguyên dương

hiệu S S n được gọi là phần dư thứ n của chuỗi Kí hiệu: r n

Định lí 1.1 Điều kiện cần và đủ để chuỗi

1

n n

Từ tiêu chuẩn Cauchy về sự hội tụ dãy số ta có tiêu chuẩn Caychy về

sự hội tụ của chuỗi số như sau:

Định lí 1.2 (Tiêu chuẩn Cauchy) Chuỗi

1

n n

a hội tụ khi và chỉ khi 0

a hội tụ thì lim n 0

Nhận xét Kết quả này có thể sử dụng để kiểm tra tính phân kỳ của chuỗi

Nhưng lưu ý rằng đó chỉ là điều kiện cần của sự hội tụ, mà không phải là điều kiện đủ

Ví dụ Chuỗi điều hòa

1

1

n n có số hạng tổng quát

10

n n

Từ tiêu chuẩn Cauchy ta suy ra ngay chuỗi điều hòa không hội tụ

Định lí 1.3 (Tính chất tuyến tính) Giả sử các chuỗi

1

k k

a (1) và

1

k k

Định lí 1.4 (Tính chất kết hợp) Nếu các số hạng của chuỗi hội tụ được gộp

lại thành từng nhóm (nhưng không làm thay đổi thứ tự của chúng) thì chuỗi mới thu được cũng hội tụ và có tổng bằng tổng của chuỗi đã cho

Chứng minh Giả sử chuỗi 1 2

Suy ra dãy {V k } hội tụ và lim k lim n

a có dãy tổng riêng bị chặn, tức là tồn tại một số M > 0

sao cho |A n | = |a 1 + a 2 + + a n | M với mọi n

ii) {b n } là dãy đơn điệu giảm và lim n 0

a b hội tụ

Chứng minh Chọn số M sao cho |An | M, n N Với 0 cho trước,

tồn tại số tự nhiên N sao cho b n

Định lí 1.6 (Abel) Giả thiết:

i) Chuỗi

1

n n

a b hội tụ

Chứng minh Do dãy b là dãy đơn điệu và bị chặn cho nên hội tụ đến b n

nào đó, ta xét dãy c với n c n b n b và áp dụng dấu hiệu Dirichlet ta cũng

có điều cần chứng minh, vì rằng

1

n n n

a b =

1

n n n

a c + b

1

n n

a được gọi là chuỗi số dương nếu mọi số hạng a n của chuỗi đều dương

Dễ dàng suy ra được định lý sau

Định lí 1.7 (Điều kiện cần và đủ) Điều kiện cần và đủ để chuỗi số dương hội

tụ là dãy tổng riêng của nó bị chặn

Để chứng minh một chuỗi số dương hội tụ ta thường sử dụng một trong

các dấu hiệu (không chứng minh) sau:

Định lí 1.8 (Dấu hiệu so sánh thứ nhất) Giả sử

1

n n

a và

1

n n

b là hai chuỗi số dương thỏa mãn điều kiện: Tồn tại một số tự nhiên n0 và một hằng số C > 0 sao cho a n b n với mọi n n0. Khi đó:

i Nếu chuỗi

1

n n

b hội tụ thì chuỗi

1

n n

a hội tụ

ii Nếu chuỗi

1

n n

a phân kì thì chuỗi

1

n n

b phân kì

Định lí 1.9 (Dấu hiệu so sánh thứ 2) Cho hai chuỗi số dương

1

n n

a và

1

n n

b

Giả sử tồn tại giới hạn hữu hạn hay vô hạn lim n

n n

a k

a và

1

n n

b cùng hội tụ hoặc cùng phân kì

b) Nếu k = 0 và

1

n n

b hội tụ thì

1

n n

a hội tụ

c) Nếu k và

1

n n

b phân kỳ thì

1

n n

a b ,

1

n n

n n

a b ,

1

n n a

n hội tụ

Nhận xét Sử dụng dấu hiệu so sánh người ta thường so sánh với các chuỗi

trội hay dễ thấy sự hội tu hay phân kì của chúng

Định lí 1.10 (Dấu hiệu tích phân Cauchy) Cho chuỗi số dương

1

n n

x

x f t dt hữu hạn thì chuỗi

1

n n

a hội tụ

2) Nếu

1lim ( )

x

x f t dt thì

1

n n

lim

1

x p x

p dt

p t

p

nÕu nÕu 0 <

Vậy chuỗi số

1

1

p

n n hội tụ khi p 0 và phân kỳ khi p 0.

Định lí 1.11 (Dấu hiệu Cauchy) Cho chuỗi số dương

1

n n

a , giả sử tồn tại

giới hạn hữu hạn hay vô hạn lim n

n

n a c Khi đó:

1 Nếu c 1 thì chuỗi đã cho hội tụ

2 Nếu c 1 thì chuỗi đã cho phân kì.

Ví dụ Xét sự hội tụ của chuỗi số

trong đó a, b là hai số dương khác nhau

Kí hiệu số hạng tổng quát của chuỗi số đã cho là c , ta có: n

1 1

2 1

1 2

1, 2,

1, 2,

k k k

k k k

n c ab Theo dấu hiệu Cauchy, chuỗi hội tụ

nếu ab 1và phân kì nếu ab 1 Với ab 1 chuỗi phân kì vì số hạng tổng quát không dần đến 0 khi n

Định lí 1.12 (Dấu hiệu D’Alembert) Cho chuối số dương

1

n n

1) Nếu d < 1 thì chuỗi số đã cho hội tụ

2) Nếu d > 1 thì chuỗi đã cho phân kì

n n

q , trong đó

n n

Chú ý i) Các dấu hiệu Cauchy, D’Alembert không áp dụng được trong trường

hợp c 1 hay d 1, nhưng nếu từ một số n0 nào đó trở đi mà n 1

a phân kì

ii) Vì nếu tồn tại giới hạn lim n 1

n n

a

d

a thì lim

n n

n a d nên nếu chuỗi

1

n n a

thỏa mãn dấu hiệu D’Alembert thì cũng thỏa mãn dấu hiệu Cauchy

iii) Trong các dấu hiệu Cauchy hoặc D’Alembert nếu các giới hạn limn

n

n

a a

a các giới hạn này luôn tồn tại và có kết quả tương tự

Định lí 1.13 (Dấu hiệu Raabe) Cho chuỗi số dương

1

n n a 1) Nếu tồn tại một số r > 1 và một số tự nhiên n0 sao cho với mọi n

n0 ta đều có

1

n n

a phân kì

Hệ quả Giả sử

1

n n

a là chuỗi số dương và tồn tại giới hạn hữu hạn hay vô

a hội tụ

2) Nếu R < 1 thì chuỗi

1

n n

a phân kì

Định lí 1.14 (Dấu hiệu Gauss) Cho

1

n n

a là chuỗi số dương Giả sử

1 1

a hội tụ, nếu 1 thì chuỗi

1

n n

a phân kì

2) Với 1: Nếu 1 thì chuỗi

1

n n

a hội tụ

Nếu 1 thì chuỗi

1

n n

a

khi n

Theo dấu hiệu Gauss, nếu p 2 thì chuỗi đã cho hội tụ, còn với p 2

thì chuỗi đã cho phân kì

1.3 Chuỗi với các số hạng có dấu bất kỳ

Định lí 1.15 (Dấu hiệu Leibniz) Nếu dãy a là dãy đơn điệu giảm và n

Do dãy S 2n và dãy S2n 1 cùng có giới hạn S nên, trực tiếp từ định

nghĩa, ta dễ dàng suy ra rằng lim n

n S S Thật vậy, với mỗi 0 bất kỳ, tồn tại các số K K1, 2 N sao cho S 2k S , k K và 1 S 2k S ,

2

k K Lấy N 2max K K1, 2 1 thì với mọi n > N (hoặc n chẵn hoặc n

lẻ) ta đều có S n S , suy ra dãy S n hội tụ đến S W

Chú ý Trong định lí Leibniz giả thiết về tính đơn điệu giảm dần về 0 khi

n + của dãy a n có ý nghĩa quan trọng vì có những ví dụ chứng tỏ rằng:

n n

n n là một chuỗi đan dấu có

n n

n

-1 2 1( 1) n

trong đó chuỗi 1

1

2( 1)n

n n hội tụ theo định lí Leibniz còn chuỗi 1

n n

1 1

2( 1)n

a gọi là hội tụ tuyệt đối nếu chuỗi

1

n n

a hội tụ

Nếu chuỗi

1

n n

a hội tụ mà chuỗi

1

n n

a phân kì thì ta nói chuỗi

1

n n

a bán hội

tụ (hay hội tụ có điều kiện)

Từ định nghĩa trên ta có kết quả sau

Định lí 1.16 Mọi chuỗi hội tụ tuyệt đối đều hội tụ

Nhận xét Điều kiện

1

n n

a hội tụ chỉ là điều kiện cần để chuỗi

1

n n

a hội tụ

Điều ngược lại không đúng Chẳng hạn chuỗi

1

1( 1)n

n n hội tụ theo định lí

Leibniz Tuy nhiên chuỗi

1

1( 1)n

1

n n là chuỗi phân kì

Một tính chất quan trọng của chuỗi hội tụ tuyệt đối là định lí Dirichlet

Định lí 1.17 (Định lí Dirichlet) Giả sử

1

n n

a là chuỗi hội tụ tuyệt đối và có

a cũng hội tụ tuyệt đối và ( )

1

n n

a S Nói một cách khác: Việc thay đổi thứ tự các số hạng của một chuỗi số hội tụ tuyệt đối không làm thay đổi tính hội tụ và tổng của chuỗi đó

Chứng minh Theo giả thiết

1

n n

a hội tụ tuyệt đối nên tồn tại một M 0 sao

a hội tụ tuyệt đối

Gọi S n và T n lần lượt là tổng riêng thứ n của các chuỗi

1

n n

a và ( )

1

n n a

khi đó lim n

n S S và với mọi 0 cho trước bao giờ cũng có một số tự

nhiên n 0 sao cho

a (A) hội tụ tuyệt đối

Khi đó với số L cho trước (hữu hạn hay vô hạn) ta có thể hoán vị các

số hạng của chuỗi số (A) để nhận được một chuỗi số có tổng bằng L

Chứng minh Ta viết chuỗi (A) dưới dạng

1

n n

b B c (C) đều là các chuỗi phân kì vì chuỗi

(A) hội tụ không tuyệt đối

Trước hết, giả thiết L là một số hữu hạn ta chọn k 1 đủ lớn sao cho:

Nếu L thì ta chọn chuỗi D sao cho dãy tổng riêng S n của nó

lần lượt lớn hơn 1, 2, 3, …khi đó tổng của chuỗi D sẽ là

Trường hợp L được là tương tự W

Chương 2 CHUỖI HÀM

2.1 Dãy hàm

2.1.1 Khái niệm Điều kiện hội tụ đều của dãy hàm

Dãy hàm là một họ đếm được các hàm số xác định trên một tập U nào

đó được đánh số theo thứ tự tăng dần, kí hiệu f n

Định nghĩa 2.1 Cho dãy hàm f n xác định trên U

Ta nói dãy hàm f n hội tụ tại x0 U nếu dãy số f x n 0 hội tụ, còn

nếu tại x0 dãy số f x n 0 phân kì thì ta nói dãy hàm f n phân kì tại x0

Nếu dãy hàm f n hội tụ tại mọi điểm x U thì ta nói dãy hàm f n hội tụ trên U và khi đó hàm số f xác định trên U sao cho f(x) lim n( )

n

f x với

x U được gọi là giới hạn của dãy hàm f n trên tập U Kí hiệu:

U n

Điều kiện đủ: Giả sử limsup n( ) ( ) 0

n A f x f x , khi đó với 0 cho trước nhỏ tùy ý n0 n0 N sao cho n n 0

Điều này có nghĩa là dãy hàm f n hội tụ đều trên A đến f. W

Định lí 2.3 (Weierstrass) Dãy hàm f n là hội tụ đều đến hàm f trên tập A nếu tồn tại dãy số dương a hội tụ đến 0 và thỏa mãn điều kiện

Vậy f n hội tụ đều đến hàm f trên tập A. W

2.1.2 Tính chất hàm giới hạn của dãy hàm

Định lí 2.4 (Tính liên tục) Giả sử rằng:

a) f n là dãy hàm hội tụ đều trên tập A đến hàm f

b) f n ( n = 1, 2, …) là các hàm liên tục trên A

Khi đó f là một hàm liên tục trên A

Chứng minh Lấy x0 bất kì thuộc tập A, ta sẽ chứng minh hàm f liên tục tại x0 cho trước 0 vì

A n

f f nên tồn tại số tự nhiên n0 sao cho n n 0

.3

Định lí 2.5 (Qua giới hạn dưới dấu tích phân) Giả thiết:

x trong đó i là giao độ của hàm

f x dx f x dx W

Hệ quả Nếu mọi hàm của dãy hàm f n đều liên tục trên a b và , f n hội

tụ đều đến f trên , a b thì f liên tục trên a b và ,

n n

f x dx f x dx

Chú ý Nếu chỉ thỏa mãn điều kiên hội tụ đều thì chưa đủ để có kết luận trên

Ví dụ Chứng minh rằng dãy hàm f n x nxe nx2, n 1, 2, hội tụ đều trên đoạn 0,1 nhưng

b) Dãy hàm f n hội tụ tại một điểm ( , ).a b

c) Dãy đạo hàm f n' hội tụ đều trên a b đến hàm g trên , a b ,

Khi đó:

1) Dãy hàm f n hội tụ đều trên đến a b hàm f ,

2) f khả vi trên a b và f ’(x) = g(x) , x a b ,

Chứng minh 1) Theo giả thiết b), c) với 0 cho trước bao giờ cũng tồn tại

số tự nhiên n n0 sao cho n m, n 0

2) Lấy tùy ý x0 ( , )a b , ta chứng minh f khả vi tại x0 và f x'( 0) g x ( 0)

Theo giả thiết c) với 0 tồn tại số tự nhiên n sao cho 0 n n 0

1 1

1

1 0

Nếu dãy các tổng riêng S n hội tụ tại mỗi điểm trên tập U thì ta nói rằng chuỗi hàm (2.2) hội tụ (hay hội tụ điểm) trên tập U

Giới hạn của dãy tổng riêng trên U được gọi là tổng của chuỗi hàm trên

u x hội tụ đều trên tập U

Nghĩa là, chuỗi hàm

1

k k

u x được gọi là hội tụ đều trên U nếu

u x

U

S x Nhận xét Như vậy chuỗi hàm cũng có bản chất tương tự như dãy hàm, cho

nên từ kết quả về dãy hàm ta dễ dàng suy ra các kết quả đối với chuỗi hàm

Định lí 2.7 (Tiêu chuẩn Cauchy) Chuỗi hàm

1

k k

u x hội tụ đều trên tập U khi và chỉ khi với 0 cho trước tồn tại số tự nhiên n0 n0( ) sao cho với

mọi n n và với mọi m nguyên dương đều xảy ra 0

1( )

n m k

u x hội tụ đều trên tập A thì dãy hàm u n là hội tụ đều đến 0 trên tập A

Định lí 2.8 (Dấu hiệu Weierstrass) Cho chuỗi hàm

1

n n

u x gồm các hàm u n xác định trên tập U Giả thiết tồn tại một dãy số dương C n sao cho:

a) u x n( ) C n x U n N

b) Chuỗi số

1

n n

C hội tụ

Khi đó chuỗi hàm

1

n n

u x hội tụ đều trên U

sử dụng tiêu chuẩn Cauchy ta suy ra điều cần chứng minh W

Nhận xét Với chứng minh như trên ta cũng suy ra được rằng chuỗi hàm là hội

tụ tuyệt đối (và đều trên tập U) Dấu hiệu này tuy đơn giản nhưng rất hữu ích

Ví dụ Ta dễ dàng nhận ra tính hội tụ đều của chuỗi hàm 2

Định lí 2.9 (Dấu hiệu Dirichlet) Cho hai dãy hàm a n , b n cùng xác định

trên tập U Giả thiết :

a) Dãy tổng riêng A x của chuỗi hàm n

1

( )

n n

Chứng minh Ta có thể xem b n là dãy đơn điệu giảm và hội tụ đều trên U

đến 0 Khi đó với 0 n0 n0 sao cho

00

a x b x hội tụ đều trên U. W

Nhận xét Dấu hiệu Dirichlet thường khó kiểm tra hơn tiêu chuẩn Weierstrass,

cho nên nó chỉ được dùng khi không áp dụng được tiêu chuẩn Weierstrass, như trong trường hợp sau đây

Ví dụ Xét tính hội tụ đều của chuỗi hàm

sin2

cho nên A n bị chặn đều trên mọi đoạn không chứa các điểm là bội của 2

Theo dấu hiệu Dirichlet ta suy ra chuỗi

1

sin

n

nx

n là hội tụ đều trên mọi

đoạn nói trên

Định lí 2.10 (Dấu hiệu Abel) Cho hai dãy hàm a n , b n cùng xác định trên

a x hội tụ đều trên U

b) Dãy hàm b n đơn điệu với mọi x và bị chặn đều có nghĩa là với mọi x U dãy số b n x là dãy đơn điệu và tồn tại số M 0 sao cho n

a x hội tụ đều nên với mỗi số dương tồn tại số

tự nhiên n sao cho với mọi số tự nhiên 0 n n và mọi số tự nhiên p ta có 0

3

m p n

và từ tiêu chuẩn Cauchy ta có điều cần chứng minh W

Ví dụ Chứng minh rằng nếu chuỗi Dirichlet

1

n x n

a

n hội tụ tại điểm x x thì 0

chuỗi này cũng hội tụ với mọi x x 0

Giải Với x x ta có

n hội tụ, còn 0

1

x x

n đơn điệu giảm đến 0 khi

n Do đó theo dấu hiệu Abel chuỗi

1

n x n

a

n hội tụ với mọi x x 0.

2.2.2 Tính chất của tổng chuỗi hàm

Từ tính liên tục của hàm giới hạn của dãy hàm ta có kết quả sau

Định lí 2.11 (Tính liên tục) Cho chuỗi hàm

1

n n

u x hội tụ đều trên U đến tổng S x Khi đó S là một hàm liên tục trên U

Chú ý Định lí chỉ là điều kiện đủ Ví dụ chuỗi

0

11

n n

x hội tụ không đều trên

Khi đó chuỗi hàm

1

n n

u x hội tụ đều trên a b ,

Chứng minh Ta chứng minh cho trường hợp un là hàm không âm trên a b ,

(Trường hợp u n không dương được chứng minh hoàn toàn tương tự)

S x u x Khi đó n (n 1,2, …) là

những hàm liên tục trên ,a b , hơn nữa với mỗi x a b cố định, , n( )x là

một dãy giảm 1( )x 2( ) x n( ) x Vì chuỗi

1

n n

u x không hội tụ đều trên a b , khi đó tồn tại ,

số 0 0 , với mọi n = 1, 2,… tìm được các số x n a b sao cho , n( )x n 0

Ta nhận được dãy x n a b là một dãy bị chặn, theo nguyên lí Bolzano - ,Weierstrass sẽ tìm được dãy con

u x hội tụ đều trên [a, b]. W

Hệ quả Nếu f n là dãy hàm đơn điệu liên tục hội tụ đều đến một hàm f liên tục trên , a b thì dãy hàm đó hội tụ đều trên , a b

Định lí 2.13 (Qua giới hạn từng số hạng) Cho chuỗi hàm

1

n n

u x , U là tập hợp con của tập số thực và x 0 là điểm tụ của U Giả sử rằng:

a) Chuỗi hàm hội tụ đều trên U và có tổng là S