Phép nghịch đảo luận văn toán học

13 CHƯƠNG 2: PHÉP NGHỊCH ĐẢO VÀ ỨNG DỤNG TRONG VIỆC GIẢI CÁC LỚP BÀI TOÁN HÌNH HỌC .... ấu hiệu nhận biết phép nghịch đảo trong các lớp bài toán hình học .... Trong đ , nhiều trường hợp

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

LỜI CẢM ƠN

Trong quá trình thực hiện khoá luận em đã nhận được nhiều sự giúp đỡ quý báu và bổ ích từ các thầy cô và bạn bè Em xin chân thành cảm ơn các thầy cô trong khoa Toán trường Đại học sư phạm Hà Nội 2

đã tận tâm giảng dạy, truyền thụ kiến thức và kinh nghiệm quý báu để

em hoàn thành tốt khoá học Đặc biệt, em xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc

của mình tới thầy Bùi Văn Bình, thầy đã trực tiếp hướng dẫn, nhiệt tình

giúp đỡ và chỉ bảo em trong suốt quá trình thực hiện khoá luận

Em xin chân thành cảm ơn các thầy cô trong tổ Hình học – khoa Toán, thư viện nhà trường, gia đình và bạn bè đã tạo mọi điều kiện, động viên, giúp đỡ để em hoàn thành khoá luận này

Hà Nội, ngày 16 tháng 5 năm 2014

Sinh viên

Nguyễn Thị Mai Lan

LỜI CAM ĐOAN

Tôi cam đoan khoá luận “Phép nghịch đảo ” là kết quả nghiên cứu

của tôi dưới sự hướng dẫn của thầy Bùi Văn Bình

Tôi xin khẳng định kết quả nghiên cứu trong khoá luận này không trùng với kết quả của bất cứ tác giả nào khác Nếu sai tôi xin chịu hoàn toàn trách nhiệm

Hà Nội, ngày 16 tháng 5 năm 2014

Sinh viên

Nguyễn Thị Mai Lan

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 1

CHƯƠNG 1 : PHÉP NGHỊCH ĐẢO 3

1.1 Định nghĩa 3

1.1.1 Không gian bảo giác 3

1.1.2 Phép nghịch đảo 3

1.2 Tính chất 3

1.2.1 Tính chất 1 3

1.2.2 Tính chất 2 4

1.3 Định lí 4

1.3.1 Định lí 1 4

1.3.2 Định lí 2 6

1.3.3 Định lí 3 7

1.3.4 Định lí 4 9

1.3.5 Định lí 5 10

1.3.6.Định lí 6: 11

1.3.7 Định lí 7 13

CHƯƠNG 2: PHÉP NGHỊCH ĐẢO VÀ ỨNG DỤNG TRONG VIỆC GIẢI CÁC LỚP BÀI TOÁN HÌNH HỌC 15

2.1 ấu hiệu nhận biết phép nghịch đảo trong các lớp bài toán hình học 15

2.2 Phép nghịch đảo và bài toán chứng minh 15

2.2.1 ài toán chứng minh 15

2.2.2 Phương pháp giải 16

2.2.3 ác ví dụ 16

2.3 Phép nghịch đảo và bài toán quỹ tích 26

2.3.1 ài toán quỹ tích 26

2.3.2 Phương pháp giải 27

2.3.3 ác ví dụ 27

2.4 Phép nghịch đảo và bài toán dựng hình 35

2.4.1 Bài toán dựng hình 35

2.4.2 Phương pháp giải 36

2.4.3 ác ví dụ 36

2.5 Phép nghịch đảo và bài toán tính toán 42

2.5.1 Bài toán tính toán 42

2.5.2 Phương pháp giải 43

2.5.3 ác ví dụ 43

2.6 ài tập đề nghị và lời giải 47

2.6.1 ài tập đề nghị 47

2.6.2 Hướng dẫn giải 48

KẾT LUẬN 55

TÀI LIỆU THAM KHẢO 56

Trong đ , nhiều trường hợp phép biến hình là công cụ h u hiệu cho phép giải toán hợp lí và ngắn gọn hơn trong việc giải các lớp bài toán hình học như: bài toán chứng minh, bài toán quỹ tích, bài toán dựng hình và bài toán tính toán

Trong chương trình THPT một số phép biến hình đã được đưa vào giảng dạy như : phép đối xứng trục, phép đối xứng tâm, phép quay, phép tịnh tiến, phép vị tự, phép đ ng dạng tuy nhiên phép nghịch đảo c ng là một phép biến hình nhưng lại không được đề cập đến Hầu như các bài

áp dụng phép nghịch đảo là các bài toán hay, các bài toán thi học sinh giỏi quốc gia, quốc tế iệc s dụng phép nghịch đảo để giải quyết các bài toán hình học nhiều khi rất cần thiết Đặc biệt trong nhiều bài toán, nhiều khi không dùng phép nghịch đảo thì việc tìm một lời giải tr nên gặp rất nhiều kh kh n cho người học toán

Phép nghịch đảo là một công cụ quan trọng trong hình học, n xuất hiện như một điều tất yếu của sự phát triển tư duy toán học – tư duy biến hình Trong m i bài toán c s dụng phép nghịch đảo để giải quyết thì phép nghịch đảo là một mắt xích quan trọng, một định hướng thông suốt trong quá trình tư duy Ngoài ra, phép nghịch đảo với các tính

2

chất khác biệt của n đưa đến hướng giải quyết mới trong việc giải một

số lớp bài toán của hình học

ới nh ng lý do trên chúng tôi lựa chọn đề tài “ h p n h ch

o để thực hiện kh a luận tốt nghiệp Đại học

2.M c ch nhiệ nghi n c u

Nghiên cứu các kiến thức cơ bản của phép nghịch đảo và ứng

dụng của n trong việc giải các lớp bài toán hình học

ây dựng hệ thống các ví dụ minh họa và bài tập tự luyện thể hiện việc s dụng phép nghịch đảo vào giải các lớp bài toán hình học

3 Đ i ư ng ph i nghi n c u

Đối tượng nghiên cứu: phép nghịch đảo

Phạm vi nghiên cứu: ứng dụng của phép nghịch đảo trong việc

giải các lớp bài toán hình học

4 Phư ng ph p nghi n c u

Nghiên cứu lí luận, phân tích, tổng hợp, đánh giá

Nghiên cứu sách giáo trình, bài giảng chuyên đề và các tài liệu tham khảo c liên quan

3

CHƯƠNG 1 : PHÉP NGHỊCH ĐẢO

1.1 Định nghĩa

1.1.1 Khôn ian b o iác

Không gian bảo giác En

( n = 2,3) bổ sung phần t   ( điểm vô cực) đuợc gọi là không gian bảo giác n

Quy uớc: Trong không gian n

m i đuờng thẳng hay mặt phẳng đều đi qua  

1.1.2 h p n h ch o

Trong không gian bảo giác n

cho điểm O (  ) cố định và số thực k ≠ 0 Phép biến hình trong không gian Bn

O

N )=(M) = NOk(NOk(M) ) = NOk(M) = M

 Bốn điểm M, N,M,Ncùng thuộc một đuờng tròn hay tứ giác

MM N N  là tứ giác nội tiếp

1.2.3 Tính chất 3

Nếu phuơng tích nghịch đảo k > 0 thì phép nghịch đảo k

O

N có tập các điểm bất động là siêu cầu tâm O, bán kính là k ( gọi là siêu cầu nghịch đảo)

Nếu phuơng tích nghịch đảo k < 0 thì phép nghịch đảo không có điểm bất động

Nếu k < 0 thì không c điểm bất động nào

N' O

M'

N , k > 0 của không gian B n Hai điểm

M,Mtuơng ứng với nhau qua phép nghịch đảo k

O

N khi và chỉ khi qua

M và M có n siêu cầu trực giao với siêu cầu nghịch đảo

Chứn minh

Ta chứng minh định lí trong không gian 2

, trong không gian B3tiến hành tương tự

() Giả s M và Mtương ứng nhau qua phép nghịch đảo k

M

Để chứng minh định lí 1.3.3 ta chứng minh bổ đề sau đây:

Bổ đề : Trong không gian Bn, phép nghịch đảo k

O

N biến đường cong ( ) thành đường cong (C') Nếu A, A' là hai điểm tương ứng trên (C), (C') và tại đ c các tiếp tuyến thì các tiếp tuyến này đối xứng với nhau qua đường trung trực của AA

Chứng minh bổ đề

8

Lấy trên ( ), (C') hai điểm tương ứng M,Mkhá gần A và A' sao cho khoảng cách OM không bị triệt tiêu khi M dần đến A Ta c A, M,

M,A' cùng thuộc một đường tròn (K), khi M dần tới A thì Mdần tới

A'và cát tuyến AM dần đến tiếp tuyến At, cát tuyến A'M' dần đến tiếp tuyến A't', đường tròn (K) dần tới đường tròn (K0)

Khi M  A thì At, A't' c ng là các tiếp tuyến của đường tròn (K0), do đ chúng đối xứng nhau qua đường trung trực của AA'

Chứng minh định lí

Giả s c hai đường cong ( ) và ( ) cắt nhau A, qua k

O

N biến thành hai đường cong tương ứng (C'), (D')cắt nhau tại A' =NOk(A)

t' t

A' A

M

O

M'

A' A

(D') (D)

9

Theo bổ đề trên thì các tiếp tuyến At và A't'đối xứng nhau qua đường trung trực của AA', các tiếp tuyến Au và Auc ng đối xứng nhay qua đường trung trực AA'

Chứn minh:

Ta chứng minh trong 2 iệc chứng minh trong 3

hoàn toàn tương tự

Trong B2 ta chứng minh phép nghịch đảo biến đường thẳng không

đi qua cực nghịch đảo thành đường tròn đi qua cực nghịch đảo

Giả s trong 2 c phép nghịch đảo NkOvà d là đường thẳng nào

đ không đi qua O

Do OH' cố định  M' n m trên đường tròn đường kính

Ngược lại, Lấy điểm N' bất kì trên đường tròn đường kính OH',

N = NOk(N'), tương tự như trên ta c :

(C')

(C)

N'

A' B'

M'

B A

N M

O

11

Ta chứng minh trong 2

trong B3 tiến hành tương tự:

Giả s cho phép nghịch đảo k

Nếu M A hoặc thì M' trùng A'hoặc B'tức M'(A'B')

Nếu M {A, } thì tứ giác AMM'A' là tứ giác nội tiếp

Tứ giác BMM'B'nội tiếp A'B'M'= BMM'

Do M (C) AMB= 90o tức là M' (C') (1)

ới N'(C') đều c A, là ảnh của A',B' qua phép nghịch đảo NkO

N = NkO(N') n m trên đường tròn đường kính A

ậy N'(C') đều c N (C) sao cho NkO(N) = N' (2)

- Tích của hai phép nghịch đảo không cùng cực phương tích dương có thể phân tích một cách duy nhất thành tích của một phép đối xứng qua siêu phẳng và một phép nghịch đảo hoặc một phép nghịch đảo

và một phép đối xứng qua siêu phẳng mà siêu phẳng đối xứng là siêu phẳng đẳng phương của hai siêu cầu nghịch đảo

Chứn minh:

hứng minh định lí trong không gian 2

, trong B3 tiến hành chứng minh tương tự

13

Trong E2 xét phép nghịch đảo NkO,NO'k', k , k' > 0 và (C), (C) là hai siêu cầu nghịch đảo o O O' nên   là trục đẳng phương của (C), (C)

ới M  E2, Nếu k

O

N (M) = M' và Nk'O'(M') = M''thì ( MM'M'') trực giao với cả ( ), (C) và tâm ( MM'M'') n m trên 

Xét M1 = S (M), I1= M"M1 OO' o tâm của ( MM'M'') trên

 nên M1( MM'M'') MM M'M"1 là tứ giác nội tiếp

 (M'M'' , M'O) = (M M'' , M M1 1 ) (M'M'' , M'O) = (I M'' , I O1 1 ) ( vì MM1 // OI1) ậy tứ giác PM"I O1 nội tiếp I1 = Nk'O'(O)  I1 cố định

ét phép nghịch đảo N*

= N ( I1,P I / (MM'M'')), k = P I / (MM'M'') là

h ng số do { (MM'M'')} là bộ phận chum liên hợp ( ), (C) c trục đẳng phương là OO' Ta có NkO° k'

O'

N = N* °S Xét M2 = S (M''), I2 = M"M1 OO' o đ MM M"M2 1là hình thang cân trục  nên I1, I2 đối xứng qua 

15

CHƯƠNG 2 PHÉP NGHỊCH ĐẢO VÀ ỨNG DỤNG TRONG VIỆC GIẢI CÁC

LỚP BÀI TOÁN HÌNH HỌC

2.1 D u hiệu nhận i ph p nghịch o rong c c ớp i o n hình học

Để c thể giải được bài toán b ng cách s dụng phép nghịch đảo được hay không thì trước hết phải nhận ra được dấu hiệu của lớp bài toán c khả n ng giải được b ng phép nghịch đảo hay không ưới đây

là là một số dấu hiệu nhận biết phép nghịch đảo trong bài toán

Dấu hiệu 1: Trong giả thiết ( hình v ) hay kết luận của bài toán c

tích độ dài đại số, hay tích độ dài của hai đoạn thẳng hẳng hạn

OM.OM = k với O, M, M' thẳng hàng, điểm O thường là giao điểm của một số đường tròn hoặc một số đường thẳng còn M và M' n m trên hai đường tròn hoặc một n m trên đường thẳng còn điểm kia n m trên một đường tròn, k là h ng số xác định thường là phương tích của O với đường tròn M, M'

Dấu hiệu 2: Trong d kiện bài toán c nhiều đường tròn tương

giao với nhau: tiếp xúc, trực giao, cắt nhau theo một g c  cho trước ì phép nghịch đảo c khả n ng biến đường tròn thành đường thẳng và ngược lại đ ng thời bảo t n g c gi a hai đường cong nên khi gặp bài toán c dấu hiệu trên ta c thể nghĩ đến việc dùng phép nghịch đảo để đưa bài toán về dạng đơn giản

2.2 Ph p nghịch o i o n ch ng inh

2.2.1 B i toán chứn minh

ài toán chứng minh là bài toán cơ bản trong toán học n i chung

và trong hình học n i riêng ài toán chứng minh chứa đựng trong hầu

16

hết các bài toán hình khác như bài toán dựng hình, bài toán quỹ tích, bài toán tính toán

Để giải bài toán chứng minh thông thường xuất phát từ giả thiết A

và nh ng mệnh đề đúng đã biết, b ng lập luận chặt ch , quy tắc suy luận logic, dựa vào các định nghĩa, tiên đề tính chất, hệ quả của các đối tượng hình học để đi đến kết luận Trong một số trường hợp c thể phải chứng minh thêm một số bài toán phụ làm cơ s để chứng minh bài toán ban đầu

2.2.2 h n pháp i i

Để giải một bài toán chứng minh c ứng dụng phép nghịch đảo, thông thường bao g m các thao tác sau:

Nghiên cứu kỹ đề tài, v hình chính xác

ác định rõ yếu tố cần chứng minh, các yếu tố cố định và quan hệ ban đầu gi a các yếu tố đ

ựa vào kết quả phân tích trên, lựa chọn một phép nghịch đảo với cực nghịch đảo và phương tích nghịch đảo xác định

ác định ảnh và mối quan hệ gi a các ảnh của các yếu tố hình học

để thể chuyển bài toán về một bài toán mới đơn giản hơn

Giải bài toán mới

ựa vào tính chất của phép nghịch đảo để suy ra điều phải chứng minh

2.2.3 Các ví d

Ví d 1: (Định lí Feuerbach)

Chứng minh r ng đường tròn đi qua các trung điểm các cạnh của

tam giác tiếp xúc với đường tròn nội tiếp và ba đường tròn bàng tiếp

17

Lời gi i:

Gọi K, L,M lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CA của

∆A

Giả s :(S )là đường tròn đi qua các các điểm K, L, M

(S1 )là đường tròn nội tiếp ∆A

(S2) là đường tròn bàng tiếp tiếp xúc vơi các cạnh AB

Ta có: E = (S1) AB, D = (S2) AB

Độ dài của các cạnh BC, CA, AB là a, b, c

Ta lấy P BC, Q  AC sao cho PQ là tiếp tuyến chung của đường tròn S1 và S2 ( không chứa cạnh nào của ∆A )

Giả s : L1 = KL PQ, M1 = KM PQ

Dễ dàng nhận được BE = AD = 1

2 ( a+ c - b) và KD = KE =

b - a2

A

P

Q

E K

L

M D

18

Vị tự (S1) và (S2) với tâm vị tự K ta có (S1*) AB = E, (S2*) AB = D

o đ ta c :(S1*) = (S1) , (S2*) = (S2) hay S1, S2 bất biến qua phép nghịch đảo N (K, KD)

Mặt khác qua phép nghịch đảo : N = ( K, KD) ta lại có: N [(S)] = M*L*

Ta cần chứng minh đường thẳng M*L* tiếp xúc với các đường tròn (S1) và (S2)

- Đường phân giác của góc C là trục đối xứng của các đường tròn (S1) và (S2), do đ : P = A = b và Q = = a

V d 2: ho đường tròn tâm O đường kính A và đường thẳng

d  A Đường tròn tâm A cắt (O) C' và cắt d D' AC' cắt d tại ,

AD' giao với (O) tại giao điểm thứ hai

hứng minh r ng : C' = DD'

N , ta c N( ) = I Theo giả thiết d AB và

do tính chất bảo toàn g c của phép nghịch đảo nên:

C'

C

D O

O

A

B

M T

P

20

Ta có: OM  AT, BP  AT  OM // BP

ét trong ∆A P c O là trung điểm A , OM // BP

 OM là đường trung bình của ∆A P

Mà M là trung điểm của A nên AP = 2.AM

Tương tự ta c AP' = 2.AM'

o đ AP AP' = 4k không đổi

Lập luận tương tự phần trên, thay M M', k b i P, P', 4k ta có TT' đi qua điểm cố định 4 = N2 (B3) với 3 = N3 ( ), và hai phép nghịch đảo :

 AC.BD AB.CD + AD.BC

ấu “ = ” xảy ra A,B, C thẳng hàng theo thứ tự

 ốn điểm A, , , đ ng phẳng và tứ giác A nội tiếp

V d 4: Cho 4 điểm không thẳng hàng A, , ,

MR: G c gi a hai đường tròn ( A ) và ( A ) b ng g c gi a hai đường tròn ( A) và ( )

V d 5: ho đường tròn (O, R) cố định và đường kính di động

của n Giả s A là điểm cố định khác O , không n m trên (O) và

A , A cắt (O) tại điểm thứ hai lần lượt tại B', C'

a, MR: ác đường tròn (A ), (AB'C') đi qua điểm cố định khác A

b, MR: Đường tròn Ơle của ∆A đi qua điểm cố định khác O

Lời i i:

a, ét phép nghịch đảo N1 = N (O, - R2), N1 (B) = C

Gọi A1 = N1 (A) o A cố định nên A1 cố định

Khi đ tứ giác A A1 nội tiếp nên đường tròn (A ) đi qua A1 cố định

A

22

ét phép nghịch đảo N2 = N ( A, P A (O) / )

N2 (B) = B', N2 (C) = C'

N2[(A )] = , mà đi qua O cố định

 Đường tròn (AB'C') đi qua O1 = N2 (O) cố định)

b, Đường tròn Ơle của tam giác A đi qua trung điểm O của , hai chân đường cao B', C' do đ đường tròn (OB'C')

Do N2 (O) = O1, N2 (B') = B, N2 (C') = C nên N2 [(OB'C')] = (O1BC)

Vì O1 cố định nên thay vai trò của điểm A câu a) bỏi O1 ta có (O1BC)

đi qua = N2(O1) cố định và (O1 ) đi qua D' = N2( D)

V d 6: Trong không gian (C ) tâm O, bán kính R và điểm A cố định n m ngoài (C ) Mặt phẳng () thay đổi qua tâm O cắt (C ) theo đường tròn (S)

a, CMR: Mặt cầu (C’) qua A và (S) đi qua một điểm cố định khác A

b, Điểm M di động trên (S), AM cắt mặt cầu (C ) tại N MR: N

di chuyển trên một đường tròn (S') và mặt cầu qua A và (S') đi qua một điểm cố định khác A

A

M

D

23

Gọi A1 = N1 (A) thì A1 cố định do A cố định

Theo tính chất của phép nghịch đảo : tứ giác A A1 nội tiếp

 A1 (ACD) (C ‘ ) đi qua A1 cố định

b) Ta có AM AN = P A ( / C ) = k không đổi

Xét phép nghịch đảo N2 = N (O, k), N2 (M) = N , N2[(C )] = (C ) Gọi mặt cầu (C *) = N [()]

Mà M  (S) = () (C ) suy ra N (C *) (C ) = (S)

o đ điểm N di chuyển trên đường tròn (S) cố định

Ta c mặt cầu (C *) đi qua A và (S)

Do () đi qua O cố định nên (C *) = N2 [()] đi qua O1 = N2 (O) cố định

V d 7: Trong không gian cho đường tròn (S) n m trên mặt

phẳng () Điểm O n m ngoài () GỌi H là hình chiếu vuông g c của

O trên () Điểm M bất kì thuộc (S), M' là hình chiếu của H lên OM

M'



ta lấy điểm S Gọi A', B', C',D' lần lượt là hình chiếu vuông g c của

H trên các đường thẳng SA, S , S , S hứng minh r ng A', B',

A'

D'

C'



Ví d 9: Trong không gian cho chỏm cầu (C ) và 2 mặt cầu tâm

(O), (O’) thay đổi nội tiếp (C ) và tiếp xúc ngoài với nhau tại P

CMR: Tiếp diện chung của (O)và (O’) tại P đi qua điểm cố định

Lời gi i:

Gọi I là tâm của mặt cầu chứa chỏm cầu (C ) Xét mặt phẳng ()

đi qua I, O, O’

Mặt phẳng () s cắt toàn bộ hình v như sau:

Cắt chỏm cầu ( ) theo hình viên phân (c) theo đường tròn lớn (T) Cắt O’ theo đường tròn lớn (T) Cắt tiếp diện chung của O và O’ tại

P Khi đ ta c : (t) và (t’) nội tiếp viên phân (c) và tiếp xúc ngoài với nhau tại P

Mặt phẳng () cắt mặt cầu (I) theo đường tròn (t*) tạo ra hình viên phân nhỏ

O

B

A O'