Một số bài toán đếm trong lý thuyết đồ thị (Luận văn thạc sĩ)

Một số bài toán đếm trong lý thuyết đồ thị (Luận văn thạc sĩ)Một số bài toán đếm trong lý thuyết đồ thị (Luận văn thạc sĩ)Một số bài toán đếm trong lý thuyết đồ thị (Luận văn thạc sĩ)Một số bài toán đếm trong lý thuyết đồ thị (Luận văn thạc sĩ)Một số bài toán đếm trong lý thuyết đồ thị (Luận văn thạc sĩ)Một số bài toán đếm trong lý thuyết đồ thị (Luận văn thạc sĩ)Một số bài toán đếm trong lý thuyết đồ thị (Luận văn thạc sĩ)Một số bài toán đếm trong lý thuyết đồ thị (Luận văn thạc sĩ)Một số bài toán đếm trong lý thuyết đồ thị (Luận văn thạc sĩ)Một số bài toán đếm trong lý thuyết đồ thị (Luận văn thạc sĩ)Một số bài toán đếm trong lý thuyết đồ thị (Luận văn thạc sĩ)Một số bài toán đếm trong lý thuyết đồ thị (Luận văn thạc sĩ)Một số bài toán đếm trong lý thuyết đồ thị (Luận văn thạc sĩ)Một số bài toán đếm trong lý thuyết đồ thị (Luận văn thạc sĩ)Một số bài toán đếm trong lý thuyết đồ thị (Luận văn thạc sĩ)Một số bài toán đếm trong lý thuyết đồ thị (Luận văn thạc sĩ)

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

NINH THỊ NỤ

MỘT SỐ BÀI TOÁN ĐẾM TRONG LÝ THUYẾT ĐỒ THỊ

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - 2019

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

TS TRẦN NGUYÊN AN

THÁI NGUYÊN - 2019

Mục lục

Mở đầu 1

Chương 1 Mở đầu đại số tổ hợp và lý thuyết đồ thị 3

1.1 Đại số tổ hợp 3

1.2 Công thức đa thức 12

1.3 Mở đầu lý thuyết đồ thị 14

Chương 2 Bài toán đếm trên đồ thị 23

2.1 Cây và các bài toán đếm cây 23

2.2 Công thức tính số cây khung 29

2.3 Đánh giá số cạnh của một đồ thị phẳng 34

2.4 Số tam giác trong đồ thị 38

Kết luận 41

Tài liệu tham khảo 41

Mở đầu

Cùng với sự phát triển với tốc độ nhanh của công nghệ thông tin, lýthuyết tổ hợp và đồ thị đã trờ thành các lĩnh vực toán học quan trọng vàcần thiết cho nhiều lĩnh vực khoa học và ứng dụng Lý thuyết tổ hợp là chiếccầu nối giữa các bài toán cần được giải quyết với công cụ tính toán, còn đồthị là mô hình trực quan để mô tả các quan hệ hai ngôi

Trong những thập kỷ gần đâỵ, người ta đã quan tâm nhiều tới đồ thị

và các ứng dụng của nó Đó là do đồ thị đã chứng tỏ được là một mô hìnhhữu hiệu cho tính toán và tối ưu Ngày nay khái niệm đồ thị đã xâm nhậpkhông chỉ vào các lĩnh vực khoa học tự nhiên truyền thống như toán học,vật lý học hay hoá học, mà còn vào nhiều lĩnh vực khoa học tự nhiên và xãhội khác

Có nhiều bài toán toán về lý thuyết đồ thị cần được tìm hiểu như bàitoán tối ưu trên đồ thị, bài toán tô màu đồ thị, cấu trúc đồ thị, Các bàitoán về đồ thị cũng thường xuất hiện trong các đề thi học sinh giỏi các cấp.Luận văn tìm hiểu về một số bài toán đếm trên lý thuyết đồ thị như bài toánđếm cây; tính số cây khung; tìm mối liên hệ giữa một số yếu tố trong đồ thịnhư cạnh, đỉnh; đếm số tam giác trên đồ thị

Luận văn được chia làm hai chương Chương 1 trình bày một số kiếnthức chuẩn bị về đại số tổ hợp, công thức đa thức và mở đầu về lý thuyết đồthị Tuy là kiến thức chuẩn bị cho Chương 2 nhưng đối với tác giả nhiều kiếnthức của chương là kiến thức mới và có nhiều ứng dụng trong giải toán phổthông Chương này chủ yếu tham khảo theo các tài liệu [1, 2, 4] Chương 2trình bày về một số bài toán đếm cơ bản trong lý thuyết đồ thị Bắt đầu làbài toán đếm về cây Việc đếm số đỉnh, số cảnh của cây cũng cho ta một sốđặc trưng của cây (Định lý móc xích kiểu hoa cúc) Tiếp theo luận văn tìmhiểu về số cây trên tập đỉnh cho trước, số cây có n đỉnh cho trước, với n là

một số nguyên dương Luận văn cũng tìm hiểu cách tính số cây khung bằng

ma trận Laplacian Việc đánh giá số đỉnh, số cạnh của đồ thị phẳng cũngđược xem là bài toán đếm Cuối cùng luận văn trình bày một số đánh giá

về việc đếm số tam giác trong đồ thị, bài toán này cũng thường xuất hiệntrong các đề thi học sinh giỏi Chương 2 tham khảo chính theo các tài liệu[4, 6, 7, 8, 9]]

Trong quá trình làm luận văn, tôi nhận được sự hướng dẫn và giúp đỡtận tình của TS Trần Nguyên An - Trường Đại học Sư phạm - Đại học TháiNguyên Tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy

Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến quý thầy cô giảng dạy lớp Caohọc khóa Cao học Toán khóa 11E (2017-2019) - trường Đại học Khoa học

- Đại học Thái Nguyên, đã truyền thụ đến cho tôi nhiều kiến thức và kinhnghiệm nghiên cứu khoa học

Lời cuối cùng, tác giả muốn dành để tri ân bố mẹ và gia đình vì đãchia sẻ những khó khăn để tác giả hoàn thành công việc học tập của mình

Thái Nguyên, ngày 30 tháng 01 năm 2019

Tác giả

Ninh Thị Nụ

Người ta thường phân biệt nhiều mức độ trong việc giải các bài toán

tổ hợp Mức độ đầu tiên là tìm ít nhất một cách bố trí những đối tượng cótính chất đã cho Nếu bài toán tổ hợp có nhiều lời giải thì vẫn đề đặt ra làđếm số lời giải, và mô tả tất cả các lời giải của các bài toán đã cho Cuốicùng, nếu các lời giải khác nhau được phân biệt với nhau bởi những tham sốnào đó, thì vấn đề đặt ra là tìm lời giải tối ưu của bài toán đã cho Ở đâychúng ta sẽ chỉ giới hạn vào việc đếm số lời giải của bài toán tổ hợp

Để làm việc này, người ta thường áp dụng những công thức thiết lậpcho từng loại bài toán Tất cả các công thức ấy, xét cho cùng, đều dựa trênhai quy tắc đơn giản là quy tắc cộng và quy tắc nhân

Định nghĩa 1.1.1 (Quy tắc cộng) Nếu một công việc nào đó có thể thựchiện theo n phương án khác nhau, trong đó: phương án 1 có m1 cách thựchiện, phương án 2 có m2 cách thực hiện, , phương án thứ n có mn cáchthực hiện Khi đó, có: m1 + m2 + + mn cách để hoàn thành công việc đã

Ta phát biểu quy tắc cộng theo ngôn ngữ tập hợp: Gọi A1 là tập hợpcác đối tượng x1, A2 là tập hợp các đối tượng x2, , An là tập hợp các đốitượng xn Mỗi cách chọn đối tượng xi ứng với một phần tử của Ai và đảolại Điều kiện "cách chọn đối tượng xi không trùng với bất kỳ đối tượng xj,

(j 6= i)" được diễn tả theo ngôn ngữ tập hợp bằng điều kiện: Ai ∩ Aj = ∅,

(i 6= j); i, j = 1, 2, , n Cách chọn "x1 hoặc x2 hoặc xn" được phiêndịch thành cách chọn một phần tử của tập hợp A1 ∪ A2 ∪ ∪ An Các số

m1, m2, , mn theo thứ tự là số phần tử của tập hợp A1, A2, , An, tức là,theo cách ký hiệu quen thuộc m1 = |A1|, m2 = |A2|, , mn = |An|

Mệnh đề 1.1.2 Nếu A1, , Am là các tập hợp hữu hạn đôi một rời nhau,khi đó:

|A1 ∪ ∪ Am| = |A1| + + |Am−1| + |Am|

Quy tắc cộng có thể mở rộng cho công thức |A1∪ A2∪ ∪ An|, trong

đó A1, , An là các tập hợp hữu hạn tùy ý (không nhất thiết đôi một rờinhau) Công thức này được gọi là Nguyên lý bao hàm và loại trừ

Định lý 1.1.3 (Nguyên lý bao hàm và loại trừ) Giả sử A1, A2, An Là cáctập hữu hạn bất kỳ Khi đó:

Định nghĩa 1.1.4 (Quy tắc nhân) Nếu một công việc nào đó phải hoànthành qua m giai đoạn liên tiếp, trong đó: giai đoạn 1 có m1 cách thực hiện,giai đoạn 2 có m2 cách thực hiện, , giai đoạn n có mn cách thực hiện Khi

đó, có: m1.m2 mn cách để hoàn thành công việc đã cho

Mệnh đề 1.1.5 Cho s tập hợp hữu hạn A1, A2, , An (n≥ 2) Khi đó

|A1 × A2 × × An| = |A1|.|A2| |An|

Định nghĩa 1.1.6 Cho X là một tập hợp có n phần tử và k > 0 là một số

tự nhiên Một chỉnh hợp có lặp chập k của n phần tử là một bộ sắp thứ tự

gồm k phần tử của X Ta kí hiệu Akn là số chỉnh hợp có lặp chập k của n

phần tử

Ví dụ 1.1.7 Cho X = {a, b, c} Khi đó (a, a, b, c) là một chỉnh hợp có lặpchập 4 của 3 phần tử Những bộ (b, a, a), (a, b, c) là những chỉnh hợp có lặpchập 3 của 3 phần tử Tất cả các chỉnh hợp có lặp chập 2 của 3 phần tử là

(a, a), (a, b), (a, c), (b, a), (b, b), (b, c), (c, a), (c, b), (c, c)

n là số chỉnh hợpkhông lặp chập k của n phần tử

Ví dụ 1.1.10 Cho X ={a, b, c} Khi đó (a, b, c) là một chỉnh hợp không lặpchập3của3 phần tử;(b, a, a) không là chỉnh hợp không lặp chập3của 3phần

tử Các chỉnh hợp không lặp chập 2của 3 phần tử là (a, b), (a, c), (b, a), (b, c),(c, a), (c, b) Do đó A2

trong đó ta quy ước 0! = 1

Cho thuận tiện, ta quy ước rằng có đúng một chỉnh hợp không lặpchập 0 của n phần tử

Định nghĩa 1.1.12 Cho X là một tập hợp có n phần tử Một hoán vị của

n phần tử là một bộ sắp thứ tự gồm n phần tử phân biệt của X Ta kí hiệu

Pn là số hoán vị của n phần tử

Ví dụ 1.1.13 Cho X ={a, b, c} Khi đó các hoán vị của 3 phần tử là

(a, b, c), (b, c, a), (c, a, b), (a, c, b), (c, b, a)(b, a, c)

Ví dụ 1.1.16 Cho k = 2 và n = 4 Cho X ={a, b, c, d} Khi đó các tổ hợpchập 2 của 4 phần tử trong tập X là

{a, b}, {a, c}, {a, d}, {b, c}, {b, d}, {c, d}

trong đó ta quy ước 0! = 1

Mệnh đề 1.1.18 Cho k, n là các số tự nhiên sao cho 0≤ k ≤ n Khi đó tacó

Hệ quả 1.1.20 Với mỗi số tự nhiên n ta có

(i) Cn0 + Cn1 + + Cnn = 2n Do đó, có 2n các tập con của một tập gồm n

phần tử

(ii) Cn0 − C1

n + Cn2 + + (−1)kCnk + + (−1)nCnn = 0

(iii) Cn1− 2C2

n+ 3Cn3− 4C4

n+ + (−1)k−1kCnk+ + (−1)n−1nCnn = 0 vớimọi n ≥ 2

phần tử cho trước thỏa mãn một số yêu cầu

Định lý 1.1.21 Cho các số tự nhiên k1, k2, , ks sao cho k1 + k2 + +

ks = m Khi đó số phân hoạch một tập hợp A gồm m phần tử khác nhauthành hợp rời rạc của s tập con B1, B2, , Bs, với số phần tử theo thứ tự là

k1, k2, , ks, bằng

m!

k1!.k2! ks!.

Chứng minh Ta có thể thực hiện các phân hoạch đã mô tả trên đây của tập

A thành s tập con B1, B2, , Bs như sau: Ta lấy một tập con B1 bất kỳchứa k1 phần tử của tập hợp A (điều này có thể thực hiện theo Ck 1

m cách),trong m − k1 phần tử còn lại, ta lấy một tập con B2 chứa k2 phần tử (điềunày có thể thực hiện theoCk2

m−k 1 cách) Khi đó, theo quy tắc nhân, số tất

Định nghĩa 1.1.22 Cho s phần tử khác nhau a1, a2, , as Một chỉnh hợp

có lặp chập m của s phần tử đã cho, trong đó có k1 phần tử thứ nhất a1, có

k2 phần tử thứ hai a2, , và có ks phần tử as (với m = k1+ k2+ + ks),được gọi là một hoán vị có lặp cấp m = k1+ k2+ + ks kiểu (k1, k2, , ks)

của s phần tử Số các hoán vị có lặp cấp m kiểu (k1, k2, , ks) của s phần

tử được kí hiệu là

Cm(k1, k2, , ks)

Định lý sau đây cho ta công thức tính số các hoán vị có lặp.

O = B1 ∪ B2 ∪ ∪ Bs

Như vậy ta thấy rằng mỗi hoán vị T hoàn toàn được xác định khibiết các tập B1, B2, , Bs Nói cách khác số các hoán vị có lặp cấp m kiểu

(k1, k2, , ks) của s phần tử đã cho bằng số các phân hoạch tập O thành s

tập con rời nhau B1, B2, , Bs sao cho |B1| = k1,|B2| = k2, ,|Bs| = ks

Ta lấy tùy ý một hoán vị T có lặp cấp m, kiểu (k1, , ks) của s phần tử đãcho (chẳng hạn để tiện cho minh họa ta lấy

T bởi những phần tử khác nhau sao cho ta được tất cả các phần tử đều khácnhau, thì ta được một hoán vị T′ gồm m phần tử khác nhau

(chẳng hạn với T như minh họa ở trên ta được

thực sự là một hoán vị thông thường củam phần tử khác nhau{u11, , u1k1,

u21, , u2k2, , us1, , usks}; còn đối với hoán vị T1 như trên thì nó sinh

ra hoán vị T1′ sẽ là một hoán vị nào đó của T′ như trên)

Khi đó các số hoán vị khác nhau sinh ra từ T′ là k1!k2! ks! (ta thấyđiều này bằng cách sử dụng quy tắc nhân) Ta sẽ làm như vậy cho bất kìhoán vị T có lặp cấp m, kiểu (k1, , ks), từ đó ta sẽ tìm được tất cả m!

hoán vị của m phần tử khác nhau

Nhận xét 1.1.24 (i) Số Cm(k1, k2, , ks) ở Định lý 1.1.23 được gọi là các

hệ số đa thức (vì ta sẽ thấy ở đó là các hệ số trong sự khai triển của đa thức

(a1 + a2 + + as)m khi coi các ẩn là a1, a2, , as)

(ii) Theo công thức (1.1), số hoán vị có lặp cấp m, kiểu (k, m− k), của 2phần tử đã cho bằng

và phần tử a chiếm k vị trí, nên có thể chọn các vị trí đó theo Cmk cách.Định nghĩa 1.1.25 Cho X là tập có m phần tử khác nhau, và n là số tựnhiên (không nhất thiết yêu cầu n ≤ m) Khi đó một tổ hợp có lặp chập n

của m phần tử đã cho là một bộ gồm n phần tử (không nhất thiết phân biệt,không phân biệt thứ tự) lấy từ tập X

Ví dụ 1.1.26 i) Cho hai phần tử khác nhau a và b Các tổ hợp có lặp chập

3 của hai phần tử đã cho là

aaa, aab, abb, bbb

ii) Các tổ hợp có lặp chập 2 của 3 phần tử khác nhau a, b, c là

aa, ab, ac, bb, bc, cc

Định lý 1.1.27 Số tổ hợp có lặp chập n của m phần tử, kí hiệu là Cn

m, nóđược xác định bằng công thức

Cn

m = Cn+m−1n = Cn+m−1m−1

Chứng minh Giả sử m phần tử đã cho được kí hiệu là a1, , am Lấy T làmột tổ hợp có lặp chập n của m phần tử đã cho Ta thấy rằng T sẽ đượchoàn toàn xác định khi biết cók1 phần tử a1 trongT, có k2 phần tửa2 trong

T, , có km phần tử am trong T (trong đó k1 + k2 + + km = n, và

0 ≤ k1, , km ≤ n) Một tổ hợp T như vậy ta sẽ gọi tắt là một tổ hợp cólặp chập n kiểu (k1, , km) của m phần tử

Ta sẽ thiết lập một tương ứng giữa các tổ hợp có lặp chập n của m

phần tử với tập các dãy gồm các chữ số 1 và 0 như sau: Xét một tổ hợp T cólặp chập n kiểu (k1, , km) của m phần tử Ta cho ứng T với dãy sau đây:

aa, ab, ac, bb, bc, cc

với các kiểu theo thứ tự là

Ta nhận thấy rằng mỗi dãy nói trên đúng là một chỉnh hợp có lặp chập

n + m− 1 của hai số 1 và 0, trong đó có n số 1 và m− 1 số 0 (nói cách khác

đó là một hoán vị có lặp cấp n + m− 1 kiểu (n, m− 1) của hai chữ số 1 và0)

Đảo lại, ứng với mỗi chỉnh hợp có lặp chập n + m− 1 hai chữ số 0 và

1, trong đó có n chữ số 1 và m − 1 chữ số 0 (hay mỗi hoán vị có lặp cấp

n + m− 1, kiểu (n, m− 1), của hai chữ số 1 và 0), ta có một tổ hợp có lặpchập n kiểu (k1, , km) của m phần tử, mà ta có thể viết ra một cách dễdàng

(thí dụ: Ứng với chỉnh hợp có lặp chập 12 của hai chữ 0 và 1 (gồm 9

số 1 và 3 số 0) là 011100111111; ta có thể thiết lập lại tổ hợp có lặp chập 9kiểu (0,3,0,6) của 4 phần tử a, b, c, d là bbbdddddd)

Như vậy số tổ hợp có lặp chập n của m phần tử bằng số chỉnh hợp cólặp chập n + m− 1 của hai chữ số 0 và 1 (trong đó có n chữ số 1 và m − 1

chữ số 0), tức là bằng số các hoán vị có lặp cấp n + m− 1, kiểu (n, m− 1),của hai chữ số 1 và 0) Kí hiệu số tổ hợp có lặp chập n của m phần tử là

"Công thức nhị thức Newton" là sự khai triển của biểu thức (a + b)n

trong đó a, b ∈ R và n ∈ N∗ "Công thức đa thức" là sự khai triển của biểuthức (a1+ a2 + + am)n trong đó a1, a2, , am ∈ R và n ∈ N∗

Để chứng minh công thức đa thức, trước hết ta chứng minh lại côngthức nhị thức Newton, theo một cách khác so với cách đã trình bày ở trên.Cách này dễ dàng mở rộng ra cho trường hợp tổng quát Theo định nghĩa,

Ví dụ 1.2.1 Ta xét các khai triển(a+b)2 = (a+b)(a+b) = aa+ba+ab+bb.(a+b)3 = (a+b)(a+b)(a+b) = aaa+aab+aba+abb+baa+bab+bba+bbb

Rõ ràng các số hạng ở vế phải là tích các phần tử của tất cả các chỉnhhợp có lặp chập n của hai chữ a và b Các số hạng đồng dạng là tất cả cáchoán vị có lặp của a và b có cấp n và kiểu (n1, n2), với n1+ n2 = n Số tất cảcác hoán vị có lặp đó là Cn(n1, n2) Sau khi rút gọn các số hạng đồng dạng

có kiểu (n1, n2), ta tìm được số hạng tương ứng của sự khai triển là

(a1 + + am)n = (a1 + + am)(a1 + + am) (a1 + + am)

(n lần), ta mở các dấu ngoặc và viết các số hạng theo thứ tự xuất hiện củachúng, ta sẽ được mn số hạng có dạng d1d2 dn, mỗi số hạng là một chỉnhhợp có lặp chập n củam chữ a1, a2, , am Các số hạng đồng dạng là tất cảcác hoán vị có cùng một kiểu (n1, n2, , nm) Có Cn(n1, n2, , nm) hoán

vị như thế Rút gọn các số hạng đồng dạng đó, ta tìm được số hạng tươngứng của sự khai triển là

Làm như vậy đối với tất cả các kiểu (n1, n2, , nm) sao cho n1+ n2 + +

nm = n, cuối cùng ta tìm được sự khai triển của (a1 + a2+ + am)n dưới

Tài liệu tham khảo chính của mục này là

Ngô Đắc Tân (2003), Lý thuyết tổ hợp và đồ thị, NXB Đại học Quốcgia Hà Nội

Định nghĩa 1.3.1 (Đồ thị có hướng) Một đồ thị có hướng G là một cặp cóthứ tự G = (V, E), ở đây V là một tập, còn E là một tập con của tích Đềcác V × V, tức là E là một quan hệ hai ngôi trên V

Các phần tử của V được gọi là đỉnh, còn các phần tử của E được gọi làcác cung của đồ thị có hướng G Cụ thể hơn, nếu (a, b) ∈ E thì (a,b) đượcgọi là cung của G với đỉnh đầu là a, đỉnh cuối là b và có hướng đi từ a tới b

Để được trực quan người ta thường biểu diễn đồ thị có hướng G trênmặt phẳng như sau Các đỉnh của G được biểu diễn bằng các chấm tròn, còncác cung thì dược biểu diễn bằng các đường cong nối đỉnh đầu với đỉnh cuối

và có mũi tên hướng từ đỉnh đầu tới đỉnh cuối

a

f

b

c d

e

Hình 1.1: Ví dụ một đồ thị có hướng

Ví dụ 1.3.2 Cho G = (V, E) với V = {a, b, c, d, e, f } và

E = {(a, a), (a, b), (b, d), (d, b)(c, e), (e, a)} Khi đó G là đồ thị có hướngđược biểu diễn bằng Hình 1.1

Định nghĩa 1.3.3 Giả sửG = (V, E)là một đồ thị có hướng Nếu(a, b) ∈ E

thì các đỉnh a và b được gọi là liên thuộc với cung (a, b) Khi đó a và b cũngđược gọi là kề nhau Hai cung bất kỳ của G được gọi là kề nhau nếu chúng

có đỉnh chung Cung dạng (a,a) với a ∈ V được gọi là khuyên Đỉnh khôngliên thuộc với một cung nào được gọi là đỉnh cô lập Số các đỉnh của G, tức

là |V |, được gọi là cấp của G, còn số các cung của G, tức là |E|, được gọi là

cỡ của G

Trước khi định nghĩa khái niệm đồ thị vô hướng ta nhắc lại khái niệm

đa tập Một đa tập hợp, gọi tắt là đa tập là tập các vật, trong đó có thể cónhững vật không phân biệt được với nhau (và có thể coi như sự lặp lại củacùng một vật) Ví dụ A = {a, b, b, c, c} là một đa tập lực lượng 6

Định nghĩa 1.3.4 (Đồ thị vô hướng) Một đồ thị vô hướng G là một cặp cóthứ tự G = (V, E), ở đây V là một tập, còn E là tập với các phần tử là các

đa tập lực lượng 2 trên V

Các phần tử của V cũng được gọi là các đỉnh, còn các phần tử của Eđược gọi là các cạnh của đồ thị có hướng G Nếu e = {a, b} là một cạnh của

G thì a và b được gọi là các đinh đầu mút của cạnh e hay các đỉnh liên thuộcvới e Ta cũng thường ký hiệu cạnh {a, b} ngắn gọn là ab

Người ta cũng thường biểu diễn đồ thị vô hướng trên mặt phẳng tương

tự như ta biểu diễn đồ thị có hướng: các đỉnh của đồ thị được biểu diễn bằngcác chấm tròn, còn các cạnh thì được biểu diễn bằng một đường cong nối cácđỉnh của cạnh Điểm khác biệt ở đây là không có mũi tên chỉ hướng trên cácđường cong đó

Ví dụ 1.3.5 Cho G = (V, E) với V = {a, b, c, d} và

E = {(a, a), (a, b), (b, d), (b, c)(c, d)}

Khi đó G là đồ thị vô hướng được biểu diễn bằng Hình 1.2

Đồ thị G′ = (V′, E′) được gọi là đồ thị con của đồ thị G = (V, E) nếu

V′ ⊆ V và E′ ⊆ E Đồ thị con G′ = (V′, E′) của đồ thị G = (V, E) được gọi

là đồ thị con bao trùm của G nếu V′ = V Nếu E’ chứa tất cả các cung hay

b

c d

Hình 1.2: Ví dụ một đồ thị vô hướng

cạnh của G, mà cả hai đỉnh liên thuộc với nó đều thuộc V’, thì G′ = (V′, E′)

được gọi là đồ thị con của G = (V, E) cảm sinh bởi tập đỉnh V’ hay cũngđược gọi là đồ thị con cảm sinh bởi G = (V, E) trên tập đỉnh V’ Khi đó G’cũng được ký hiệu là G′ = G[V′]

Ta thường phải xây dựng các đồ thị mới từ các đồ thị đã cho bằng cáchxóa hay thêm một số đỉnh hoặc cạnh Nếu W ⊆ V, thì G− W = G [V /W ],tức là đồ thị con của G nhận được từ G bằng cách xóa đi cách đỉnh thuộc W vàmọi cung (hay cạnh) liên thuộc với các đỉnh trong W Tương tự, nếu E′ ⊆ E

thì G − E′ = (V, E/E′) Nếu W = {w} và E′ = {(x, y)} (hay E′ = {xy}

) thì ký hiệu ở trên được đơn giản viết thành (G− w) và G− (x, y) (hay

(G− xy) ) Tương tự, nếu x và y không kề nhau trong G thì G + (x, y) (hay

G + xy ) là đồ thị nhận được từ G bằng cách nối x với y bằng cung (x, y)

(tương ứng, bằng cạnh xy).NếuG1 = (V1, E1) và G2 = (V2, E2) là hai đồ thị

đã cho, thì hợp của hai đồ thị này, ký hiệu là G1∪ G2, là đồ thị với tập đỉnh

là V1∪ V2 và tập cung (hay cạnh) E1∪ E2 Nếu cả hai đồ thị G1 và G2 là đồthị vô hướng, thì kết nối của hai đồ thị G1 và G2, ký hiệu là G1 + G2, là đồthị nhận được từ G1 ∪ G2 bằng cách thêm vào tất cả các cạnh dạng xy với

x6= y và x ∈ V1, y ∈ V2

Hiển nhiên là nếu một đồ thị vô hướng không có khuyên có cấp bằngn

thì cỡm của nó thỏa mãn 0 ≤ m ≤ n2
Đồ thị vô hướng cấp n và cỡ m = 0

được gọi là n-đồ thị rỗng hay n-đồ thị hoàn toàn rời rạc và được kí hiệu là

On hay En Còn đồ thị vô hướng không có khuyên cấpn và cỡ m = n2
đượcgọi là n-đồ thị đầy đủ và thường được ký hiệu là Kn

Giả sử G = (V, E) là đồ thị vô hướng không có khuyên với |V | = n.

Ta định nghĩa đồ thị bù của G, ký hiệu là G , là đồ thị vô hướng với tậpđỉnh cũng là V, còn tập cạnh là E(Kn)\E

Lớp đồ thị đặc biệt sau đây gọi là đồ thị m-phần cũng thường đượcchú ý Một đồ thị vô hướng không có khuyên G = (V, E) được gọi là đồ thị

m-phần nếu ta có thể phân hoạch V thành dạng V = V1 ∪ V2 ∪ ∪ Vm với

Vi 6= ∅, i = 1, 2, , m sao cho các đỉnh trong cùng Vi , i = 1, 2, , m, làkhông kề nhau Nếu G là đồ thịm-phần và tồn tại cạnh nối một đỉnh bất kỳcủa Vi với một đỉnh bất kỳ của Vj cho mọi i 6= j thì G được gọi là m-phầnđầy đủ Đồ thị 2-phần đầy đủ, trong đó các phần V1 và V2 có |V1| = m,

Khi đó NG(v) được gọi là tập các láng giềng của v Trong trường hợp đồ thị

G được hiểu ngầm, ta ký hiệu NG(v) đơn giản bằng N (v)

Định nghĩa 1.3.6 Ta định nghĩa bậc của đỉnh v trong đồ thị G, ký hiệu là

degG(v) hay ngắn gọn là deg(v) nếu như G được hiểu ngầm, như sau:

là đồ thị chính qui bậc k hay ngắn gọn là k-chính qui Một đồ thị vô hướngđược gọi là chính qui nếu nó là k-chính qui với một k nào đấy Đồ thị vôhướng k-chính qui cũng được gọi là đồ thị bậc k.

Có những đồ thị khác nhau nhưng khi đổi tên các đỉnh của các đồthị đó thì chúng lại có thể trùng nhau Những đồ thị như thế được đọi làđẳng cấu và trong lý thuyết đồ thị người ta thường đồng nhất chúng Cụ thểhơn, đồ thị có hướng (tương ứng, vô hướng) G = (V, E) và G′ = (V′, E′)

được gọi là đẳng cấu với nhau nếu tồn tại song ánh ϕ : V → V′ sao cho

(a, b) ∈ E (tương ứng, {a, b} ∈ E) khi và chi khi (ϕ(a), ϕ(b)) ∈ E (tươngứng,{ϕ(a), ϕ(b)} ∈ E) Song ánh ϕ như trên được gọi là đẳng cấu của G vàG’ Hai đồ thị đẳng cấu với nhau G và G’ được kí hiệu là G ∼= G′

e f

G = (V, E) G ′ = (V ′ , E ′ )

Hình 1.3: Ví dụ hai đồ thị vô hướng đẳng cấu

Ví dụ 1.3.7 Giả sử G = (V, E) và G′ = (V′, E′) là các đồ thị vô hướngtrong Hình 1.3 Khi đó G ∼= G′ và ánh xạ ϕ : V → V′ với

ϕ(1) = a, ϕ(5) = b, ϕ(2) = c,ϕ(6) = d, ϕ(3) = e, ϕ(4) = f

Vì mỗi cạnh {v, x} ∈ E với v 6= x có hai đỉnh liên thuộc với nó là v

và x, nên trong tổng ở vế phải mỗi {v, x} ∈ E với v 6= x đã được tính đúnghai lần: một lần trong Ev và một lần trong Ex Do đó,

Mặt khác, ta có E2 = E/E1 là tập tất cả khuyên của G Ký hiệu

V1 = {v ∈ V |{v, v} /∈ E}, V2 = {v ∈ V |{v, v} ∈ E} Khi đó, vì với mỗiđỉnh v ∈ V2, ta có đúng một khuyên {v, v} ∈ E, nên |V2| = |E2| Vì vậy,

0, 1, , n, vi ∈ V, còn với mọi i = 1, 2, , n, ei ∈ E và ei = (vi−1, vi) Khi

đó n được gọi là độ dài, đỉnh v0 được gọi là đỉnh đầu, còn vn được gọi làđỉnh cuối của hành trình có hướng trên Tương tự, một hành trình vô hướngtrong G là một dãy v0e1v1e2v2 envn sao cho với mọi i = 0, 1, , n,vi ∈ V,còn với mọi i = 1, 2, , n,ei ∈ E và hoặc ei = (vi−1, vi) hoặc ei = (vi, vi−1).Khi đó n cũng được gọi là độ dài, đỉnh v0 được gọi là đỉnh đầu, còn đỉnh vn

được gọi là đỉnh cuối của hành trình vô hướng trên

Một hành trình (có hướng, vô hướng) được gọi là khép kín nếu đỉnhđầu và đỉnh cuối của nó trùng nhau

Ví dụ 1.3.10 Giả sử G = (V, E) là đồ thị có hướng như ở Hình 1.4 Khiđó: