Ta chứng minh rằng... Dễ dàng chứng minh được nhận xét phụ sau đây: Nếu r là số hữu tỷ dương, thì Xét dãy Nhân từng vế các bất đẳng thức trên do mọi thừa số đều dương Theo phần 2 ta suy
Trang 1N n u
N n n u
N n n n u
n
n
n
, 2
1 1
1
1 1 1
1 1
3
,
!
1
! 2
1
!
1
1
2
, 2
1
3
1 2
1 1
2 2
2
n
n n
n n
u N n u u
n n
n
n n n
n n
n n n
n
n n
n
n n
n n
n u
u
1
1
0 1
1
1 2 1
1
2 1
1 1
2 1 1
2 1 2 1
1 2
1
2
1 1
1 2 1
1 1
2
1 1
k k
k n
k k
2
1 1
1 1
1
n n
1
2 2 3 2 2 1
1 2 2 2 1 1
n
n u
lim
2 , 1 , 0 2
2 1 2
1
2
1 1
u
n n
n
N n
u n 2(2)
n
n u
lim
1
Bài 197
Xét dãy số với số hạng tổng quát như sau:
Chứng minh rằng các dãy số trên đều có giới hạn hữu hạn
Bài giải
1 Ta có
là dãy đơn điệu giảm Dễ thấy
Trong (1) lần lượt thay k = 1,2,…,n ta có
Cộng từng vế các bất đẳng thức trên, ta có
hạn, tồn tại giới hạn hữu hạn
Đó là đ.p.c.m
2 Rõ ràng un+1 > un, vậy {un} là dãy đơn điệu tăng Ta chứng minh rằng
Trang 23
! 2
1
! 1
1
; 1
! 1
1
2
u
N n u
n u
n n
n n
n
2 2
2
1 1 2 2
1 1 2
1 1 2
1
2
1 2
1
1
(*) 2
1
2
1 2
1 2
1 1
!
1
! 2
1
! 1
1 1
1 2
1 3
2 1
n u
lim
) 1 ( 3
1r
!
1 1
! 2
1 1
! 1
1 1
n
u n
! 1
! 2 1
! 1 1
!
1 1
3
! 2
1 1
3
! 1
1 1
n
1
! 2
1
! 1
1
n
u
nlimu
ndaucan n
u 2 2 2
ndaucan
n
n
u 2 2 2 2 2
n
n u
lim
n n n
u u u
2
lim 1 2
1 2 cos
n
Chú ý là 3! = 2.3>22
4! = 2.3.4>22
n! = 2.3.4 5> 2n-2
Vậy
Do
Dãy {un} đơn điệu tăng và bị chặn trên bởi 2 tồn tại
đ.p.c.m
3 Dễ dàng chứng minh được nhận xét phụ sau đây: Nếu r
là số hữu tỷ dương, thì
Xét dãy
Nhân từng vế các bất đẳng thức trên (do mọi thừa số
đều dương)
Theo phần 2 ta suy ra un<32
hạn
đ.p.c.m
Bài 203
Tìm
Tìm
Bài giải
1 Ta sẽ chứng minh
Trang 32 1
2 cos 2
u
1 2
k
2 2
2
1 1
2 cos 2 2 cos 2 2
2 cos 2 2 2
k k
k k
k
x
u u
) 1 (
1
2 3 1
1 2
1 3
2
2 1
2 sin 2
2
cos 2 cos
2
cos 2 sin 2 lim
2
2 cos
2
cos 2 cos 2 lim 2
lim
n n n n
n
n
n n
n n n n
u u u
2 2
lim 0 2
lim
2 2 sin
2 lim 2
sin 2
1 lim 2
lim
2 1 1
1
1
1
2 1
n
n n
n
n
n n
n n n n n n
u u u
u u u
2
2
sin lim lim
2 sin 2 2 sin 2 2 2
2 cos 1 2 2 2 cos 2 2 2
2
2 2 2 2
1 1
1
1 1
2
n
n n
n n
n
n n
n
n
n n n
n n
u u
2,3
1
1
1 n u n u
u
n n
n
1 2
sin 2
cos
2
cos 2 sin
n n
n
Thật vậy với n = 1, ta có
Vậy (1) đúng khi n = 1 giả sử (1) đã đúng đến n = k, tức là
Ta có
Vậy (1) đúng khi n =k+1 đúng
Ta có
Dễ thấy:
Vậy từ (*) suy ra:
Do
Từ câu 1 suy ra
Vậy
Bài 209
Theo bài 197, ta đã chứng minh được tồ tại hữu hạn giới hạn
Giới hạn đó người ta tính được và là e (e = 2,718 và người ta lấy làm cơ số cho logarit tự nhiên)
Trang 4
n
a
1 1 lim
n
n
k
n n
k k
n
n
n
u n
u u
k u
u u
!
1 ,
2 1
1 1
1
1 1
1 1
1
1 1
!
1
! 2
1
! 1
1 1
1 1
n
e n
n
a
! 2
1
! 1
1 1 lim
1 1 lim
1
N n n u
n
mso
m m
n
1 1
m n
n
m
m n
n n
1 1
1 1
1 1
1 1
m n
m n
1
1 1
1
1 1
1 1
1 1
n
m n
n
m n
1
Ta có:
Bài giải
Ta có
Bằng phương pháp quy nạp ta sẽ chứng minh được ngay:
Vậy (1) và(2) ta suy ra
Theo giả thiết suy ra
Chú ý;
Về số e có thể thấy rõ hơn trong bài 204 dưới đây
Bài 210
Xét dãy số
Chứng minh tồn tại giới hạn hữu hạn
Bài giải
Trước hết ta chứng minh hai bổ đề sau:
Bổ đề 1: Cho m<n và là hai số nguyên dương, ta có
(1)
Ta thấy
(2) (*)
Do (*) hiển nhiên đúng, vậy (2)đúng
Bất đẳng thức
(3)
Trang 5N n u
u n1 n
N
n
n m
m n
m m
1
1 1
), 2 ( m m
m
n
m m
n
m m
n
1 1
1 1
1
3
1
1
3 9
62 , 26 27
66 21 , 1 27
64 21
,
1
3
4 21 , 1 1 , 1 1 , 1 1
,
1
3
4 331 , 1 1
,
1
3 3
2 11
3
n n
N n
11
11 1 , 1 11
1 1
1
m n
e n
n a
1 1 lim
Chứng minh tương tự như (1) Từ (1), (2),(3)suy ra bổ đề được chứùng minh
Từ bổ đề (1) nói riêng ta suy ra vậy dãy {un} là đơn điệu tăng
Bổ đề (2) , thì
Chứng minh
Từ bổ đề (1) suy ra số nguyên dương n và ta có
(4)
- Thực vậy nếu thì (4) chính là hệ quả của bổ đề 1
- Nếu n<m, thì theo bổ đề 1, ta có
(4) (4) luôn luôn đúng
Nói riêng từ (4) suy ra
Do
Bổ đề 2 được chứng minh
hạn, tồn tại giới hạn
Trang 62 , 1 , 1 3 1 2 1
1
u
u
n n
.
0
1
, 2
n
3 1 0
1
0 1 2 1
2
2 1
a a
a a
a a
2
1
2
3 1 2
1 2
3 1 1 2
3 1 1 2 3
1
2 2
2 2
2 1
n n
n
n
n n
u u
u
u
u u
2
3 3 1
3 1 3
3 1 3
1
2
u u
u u
n n
n n
0 3
2
3 3
1 2
3 3
1 1
2
3 3
1
n n
0 2
3 lim
n n
3 1 lim
lim
0 3 lim
1
1
n n n n
n n
u u
hay u
lim n
Bài 211
Tìm
Bài giải
Ta nhận thấy thì –1<un<0 từ đó suy ra nếu dãy {un} có
giới hạn là a thì
Và a thỏa mãn phương trình
Xét hiệu sau đây
Do un < 0 và , nên
Lắp lại bất đẳng thức (*) n lần ta đí đến
Như thế ta có:
Do là nên theo nguyên lý kẹp suy ra:
Bài toán giải hoàn toàn