R x x x
x2 +3 +1≥ ,∀ ∈
a
x n
∞
→
lim 1 1
3
2 + = ⇔ =−
a
1 2
1 1 3
2 + x+ ≤− ⇔− ≤ x≤−
x
( 2) 1
3 1
2
x n n n
[ 2; 1]
1∈ − −
x
[ 2; 1]
1∈ − −
x x2∈[−2;−1]
2
1 lim =
∞
n x
4
1 1
1 − >
x
( n) n( n)
x + − > ≥ 1−
4
1 1
1
N n
x n < ∀ ∈
< 1,
0
n
n x
a
∞
→
=lim ( n)
≤ + 1 4
1
1
n n n n n
≤
∞
→ +
∞
→ +
∞
4
1 1
lim lim 1
lim
4
1
1 1
2
1 0
1 2
=
⇔
≤
−
a a
=
n
n S
n n
2
3
2 2
2 2 2
1
n
n S
∞
→ lim
Bài toán 4
Xác định x1 để dãy {xn} xác định như sau
là một dãy hội tụ
Giải
Giả sử dãy {xn} là hội tụ và thì
Do đó, vì {xn} tăng nên
Ta có
dãy tăng và bị chặn
Nếu x1>-1 hoặc x1<-2 thì x2>-1 và dẫn đến xn > -1
Dãy {xn} sẽ không hội tụ
Vậy, nếu thì {xn} hội tụ
Bài toán 5
Cho dãy { x1, xn, , xn} với 0<xn<1 và
Chứng minh rằng
Giải
Mặt khác
và 0<xn,1 nên xn+1> xn
Dãy đã cho tăng và bị chặn trên nên có giới hạn
Đặt
Ta có
nên
Bài toán 8
Cho
Tính
Trang 2( ) ( )2 1
2 1 1
2
3
2 2
2 2 2
2 1
+
+ +
=
+ + + + +
=
n S
n
n
n n
n
( 1) 2
1
1 +
=
n
n S
;
5
8
; 3
5
; 5
8
; 2
3
;
1 = S = S = S = S =
S
( ) ( ) 2 .( 1)
1 1
1 2
2
1
+
+
=
n
n S
n
n S S
( )( ) ( ) ( )
( )
( 1)
2
1 1
1 2
1 1
1 2
1 2
1 2
=
−
−
− +
=
=
+ +
− +
=
=
−
−
n n
S S
S n
n n
S n
S n
n
n n
n
n n
0
1 0
0 − k− <
k S S
, 0
0= − k < ⇒ k + − k+ <
s
∞
→ =
n n
lim
∞
→ =
n n
S S
lim
4 0
S n n
4
1 < ∀ ≥
Giải
Suy ra
Ta có
Và
Do Sn >0nên –Sn-1 < 0
Vậy từ một giá trị k0 nào đó mà thì
Vì S5 - S4< Bằng phép quy nạp, ta suy ra
Vậy nên
Suy ra {Sn} là dãy giảm Ngòai ra, {Sn} bị chặn dưới bởi 0, nên suy ra {Sn} có giới hạn
Đặt
Từ hệ thức quy nạp, chuyển qua giới hạn, ta thu được S = 1 Vậy