Day so GV đỗ kim sơn

Dãy xác định như sau: Tìm các giá trị của u1, sao cho tồn tại giới hạn hữu hạn của dãy số nói trên.. Bài giải Xét hai khả năng sau đây: hay... Ta sẽ chứng minh rằng đồng thời dãy đã cho

 u n













u

u

1

1

2 1 1

2 1





n

k 1u k

1



 1

limS n







u

3 , 2

1 

 i

u i

1

1 1

1 1

) 1

1 1

1 1

1 ( 1 1 1

1

,

3 , 2

1 1

1 ) 1 (

1 1

1

1 2

1

1 1

1 1























































n

n k

n k

n k

k k

k k

k n

i i

i i i

u u

u

u u

u u

u u

u S

i u u

u u u

1

1 2 2

1 , 1

1 1

2 1



















n n

u S

u u

u

1

1 lim 2 lim

1

















n n n

, ) 1 (

lim

2 ) 1 (

1

1

1 1 1 1 2

1 1

1





























n n

n n n

u

u u u u u u

0 lim 



n S

 

) 1 1 1 2

1 1

1 )

1 1 2

1 3

1 1

) 1 (

1

1 1

( 1 1

; 1

































n n

u

u u

u u

u u

u u ui

 u n

2 , 1 ), 1 (

 u n

GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ

Bài 181 Dãy số vô hạn , n=1,2 xác định như sau:

Với n = 1,2 Đặt Sn Tìm

Bài giải:

Mặt khác hiển nhiên ta có

Từ các lập luận trên ta suy ra

Do

Vậy từ (2) suy ra

(Chú ý:Do

Bài 183:

Cho u1 là số thực cho trước Dãy xác định như sau:

Tìm các giá trị của u1, sao cho tồn tại giới hạn hữu hạn của dãy số nói trên

Bài giải

Xét hai khả năng sau đây:

hay

 u n

1

0u1 



















u

N n u

n

n (2)

) 1 ( 1 0

1 1

1

0u1  1

0u k 

1 0

1 0

) 1 ( 0 1 1

0

1

1

































k k

k k

k k k k

u u

u u

u u u u

.

N

n 



N

n 









n n

u

a lim

2





nlim lim lim( 2)

u









0



a a a a

, 0 lim 



n u 0u1 1

0

1 

u u1 1  u2 u1(1 u1)0 u n 0n2,3

2 , 1 ), 1 (

 v n

 v n

n

n v





lim



0 )

1

v

















nlim v limu

 v n



















1996

1

2 1

1

n u

u u

u

n

n n

























1 3

2 2

lim

n

n

u u

u u u

2 , 1 , 1996

2

n

1 Nếu Ta sẽ chứng minh rằng đồng thời dãy đã cho thỏa mãn hai điều sau đây:

Thật vậy ta sẽ dùng nguyên lý quy nạp để chứng minh Với n=1, ta đã có theo giả thiết Giả thiết (1) đã đúng đến n = k, tức là ta có

Do đó

Do

Vậy (1) cũng đúng với n=k+1 Theo nguyên lý quy nạp 1

cách chứng minh trên, ta đã thấy (2) đúng

Và như thế (1)(2) đã chứng minh Điều ấy có nghĩa là dãy đơn điệu giảm và bị chặn dưới Theo nguyên lý giới

Và , ta có

, và từ (3) suy ra phương trình sau đây

Như thế nếu

2 Nếu hoặc Khi đó

nên từ suy ra là dãy đơn điệu tăng

Nếu như bị chặn trên, thì theo nguyên lý tồn tại giới hạn hữu hạn, suy ra tồn tại

Từ

Đó là điều vô lý, vì vn đơn điệu tăng mà v2>0 Như thế

không bị chặn trên, tức là

Tóm lại dãy đã cho tồn tại giới hạn hữu hạn khi và

Bài 185

Cho dãy số xác định như sau:

Tìm

Bài giải:

Từ hệ thức đã cho ta có:

Hay dưới dạng sau:

k n

u u u

u

n n n

n 1996 1 1 , 1 , 2

1 1





















