Xét dãy số nguyên dương {an} thỏa mãn các điều kiện Tính giới hạn Giải Nhận xét rằng dãy {an} là một dãy tăng thực sự.. Thật vậy, nếu xãy ra một trường hợp ak+1 ak thì do giả thiết ak+1>
Trang 11
n n
n a a
n
n a
a
2 1 1 lim
2 1 2
1
0
a a
n
u a
n a
a n
n a
n a
a
1 1 1
1 1
2 1 2
2 1
1 0
n
u n
0
1
1 1 1 lim
2 1
n
, 0 1 1
1 2
, 1 2
1
1
n b
b
n a
a
n n
n n
4
4
n
n
b
a
n b b
n a a
n n
n n
1 1
a min 2 , 2 1 max 2 , 2 1
4 lim
n n n
n
b u
n
2
2 limn u n 4
Bài toán 1.
Xét dãy số nguyên dương {an} thỏa mãn các điều kiện Tính giới hạn
Giải
Nhận xét rằng dãy {an} là một dãy tăng thực sự Thật vậy, nếu xãy ra một trường hợp ak+1 ak thì do giả thiết
ak+1>akak+2 ta thu được ak+1 >ak+2 và cứ như thế ta được một dãy số nguyên dương giảm thực sự, điều này là không thể Do nên theo quy nạp ta có ngay an > n
Từ đó suy ra
Đặt
Thì
Do vậy
Bài toán 2.
Cho dãy {un} thỏa mãn điều kiện
Chứng minh rằng dãy {un} có giới hạn Tìm giới hạn đó
Giải:
Xác định các dãy {an} và {bn} như sau:
a0 = min { u0, u1, 4} ;
b0 = max {u0, u1, 4} ; Bằng phương pháp quy nạp theo n, ta sẽ chứng minh được các bất đẳng thức sau:
và (2) và (3)
(4) Từ (2) và (3) các hệ thức xác định an, bn suy ra các dãy {an}, {bn} có giới hạn và
Từ (4) suy ra
và
Trang 22 1
0
1
;
k k k
x x x a
A n
x a n
lim
6 3 3
3 1
1 3 3
k k k
k
x x x
3 3 3
1
k
x
n x
0
3
1 1 3 3
1 3
3
2 3 0
3 0
1 3 1
k k
x k x k x x
n k
n k
n k n
k k n
x
k k
n x x
3 1
1
1
1 2
3 1 3
1 9
1 1 3
1 9
1 1 1
9
2
1 2
1 1
1
3
1 2
1 2
1 1 1
1
1
3 2
1 2 1
1 1 1
1 2
n n
n
n n k
n k
k
n k
n k
n
2 1
2 1 1
n k
n k
1 2
2 1
9
2 2 3 3
3 1 3 3
0
n n n
x n
x n
Bài toán 5.
Giả sử a>0 Lập dãy số {xn} theo quy luật sau
Chứng minh rằng tồn tại 2 số dương a, A sao cho
Giải:
Ta có
Từ (8) ta suy ra
Viết các đẳng thức này ứng với k = 1,2, , n –1 và cộng lại, ta được
Từ đó suy ra
Viết các đẳng thức (8) ứng với k = 1,2, , n-1 và cộng lại,
ta được
Mà
Theo bất đẳng thức Bunhiacovki, ta có
(10)
Do đó
(11)
Do (10) và (11) nên từ (8) và (9) ta suy ra
Trang 33 lim
3 lim
3 3 3
n x n x
n n
n n
0 , 0 ,
2 1
n
1 1 2
1
n n n
x
a x
x
1 2
2
1 2 1 1
n
n
x
a x
x
a
x n
1 2 2
1 1
a x
x
n n
a
x n1
1
n
n x x
a a a
a a a
a a
2 1
a
a a
x n
lim
2
1 1 2 3
1
n n n
y
a y
1 1
1 3
1 3
2
n
y y
2
3
2 1
y
a y
y
n n
0 2
1
1
1
x
a x
x n
3 limy n a
Chuyển qua giới hạn ta thu được
Suy ra
Vậy a =3 và A = 3
Bài toán 2
Cho {xn} được xác định như sau:
; với Chứng minh rằng dãy trên hội tụ và tìm giới hạn của dãy
Giải:
Ta có:
Do đó bằng phép quy nạp và bất đẳng thức Cauchy, ta suy
ra tức {xn} bị chặn dưới bởi
Mặt khác, ta có:
và
Suy ra
Do đó hay {xn} là dãy giảm Kết hợp với điều kiện dãy bị chặn, ta suy ra dãy {xn} hội tụ về a
Từ hệ thức quy nạp, chuyển qua giới hạn, ta thu được
Vì a>0 nên
Vậy
Bài toán 3.
Cho dãy {yn} được xác định như sau:
; với
Chứng minh rằng dãy trên hội tụ và tìm giới hạn của dãy Giải
Tương tự như Bài toán 2, dùng bất đẳng thức Cauchy và phép quy nạp ta suy ra
Mặt khác
Vậy dãy số {yn} hội tụ từ hệ thức quy nạp ta suy ra