TH1 d1 SinhNT co ban ve bai toan dem

Cái khó ở đây chính là nhận ra sự có mặt của các quy tắc đó trong từng phần nhỏ của bài toán, tức là nằm ở việc phân tích tình huống thành các bài toán nhỏ đơn giản hơn.. Ban đầu, ta phả

Mở đầu về bài toán đếm

Nguyễn Thế Sinh, THPT chuyên Nguyễn Trãi, Hải Dương

Email: sinhntsp83@gmail.com

Ta hãy bắt đầu với hai bài toán từ cấp 1:

Ví dụ 1: Một khối lớp của trường tiểu học An Bình có 5 lớp học, lớp A có 30 học sinh,

lớp B có 25 học sinh, lớp C có 31 học sinh, lớp D có 27 học sinh, lớp E có 29 học sinh Hỏi cả khối lớp đó có bao nhiêu học sinh?

Đáp số: 30+25+31+27+29=142 học sinh

Ví dụ 2: Một sân vận động có 100 dãy ghế, mỗi dãy ghế có 200 cái Hỏi sân vận động đó

có bao nhiêu cái ghế?

Đáp số: 100.200=20.000 ghế

Hai bài toán trên được giải một cách vô cùng đơn giản chỉ với hai phép toán cộng và nhân Tuy nhiên, công việc thực hiện bài toán đếm lại không chỉ đơn giản như thế Chẳng hạn với bài toán sau:

Bài toán: Cho một bảng gồm 10 hàng cách đều nhau 1 cm, mỗi hàng có 10 điểm cách

đều nhau 1 cm Có bao nhiêu hình vuông được tạo thành có 4 đỉnh là các điểm của bảng

Công việc trở nên phức tạp hơn nhiều vì các hình vuông được đề cập có nhiều loại, được tạo thành theo nhiều cách khác nhau

Mặc dù vậy, bài toán khó hơn trên đây vẫn được giải quyết dựa vào những quy tắc ban đầu đơn giản, tương tự với bài toán 1 và 2 Đó là quy tắc cộng và quy tắc nhân Cái khó ở đây chính là nhận ra sự có mặt của các quy tắc đó trong từng phần nhỏ của bài toán, tức là nằm ở việc phân tích tình huống thành các bài toán nhỏ đơn giản hơn ( xem bài tập 14) Bây giờ, ta hãy xem xét kỹ hơn hai quy tắc này

1 Quy tắc cộng

Cách phát biểu 1: Một công việc có n phương án thực hiện Phương án thứ k (1 ≤k≤n)

có a k cách thực hiện Khi đó có a1+a2+ ⋯ +a n cách thực hiện công việc

Cách phát biểu thứ 2: Cho n tập hợp khác rỗng đôi một không giao nhau A A1, 2, … ,A n có

số phần tử tương ứng là a a1, 2, … ,a n Khi đó, số phần tử của tập

A=A ∪A ∪A⋯ ∪A là a1+a2+ ⋯ +a n

Với bài toán 1, công việc thực hiện ở đây xem như là: chọn một học sinh trong khối, ta có

5 phương án thực hiện: Chọn học sinh lớp A,B,C,D,E và các số 30;25;31;27;29 lần lượt

là số cách thực hiện từng phương án

Cũng vậy, xem xét về mặt tập hợp, ta có 5 tập tương ứng với 5 lớp A,B,C,D,E, X là hợp

5 tập này thì X là tập hợp các học sinh toàn khối, đương nhiên 5 tập trên đôi một không giao nhau, do đó số phần tử của tập X là tổng số phần tử các tập A,B,C,D,E

Với cách 1, ta phải liệt kê thủ công các phần tử của từng tập S i, với cách 2, ta có cách đếm đơn giản hơn Vậy cách chia tập trong quy tắc cộng cũng sẽ quyết định sự đơn giản của lời giải, và ta cần phải có lựa chọn sang suốt

2 Quy tắc nhân

Cách phát biểu 1: Một công việc được thực hiện bởi n công đoạn liên tiếp Công đoạn 1

có a1 cách thực hiện, mỗi cách thực hiện công đoạn 1, có a2 cách thực hiện công đoạn 2, mỗi cách thực hiện k công đoạn trước đó, có a k+1 cách thực hiện công đoạn thứ k+1 (

1≤k≤n−1 Khi đó có a a1 2…a n cách thực hiện công việc

Cách phát biểu 2: Số phần tử của tập S= {( ,x x1 2, … ,x n, x i∈S i,1 ≤ ≤i n}(*) là a a1 2…a n

trong đó a i là số phần tử của tập S i

Với bài toán 2, công việc được nói đến ở đây là việc chọn một chiếc ghế trong sân vận động Ban đầu, ta phải chọn dãy ghế, sau đó là chọn một ghế trong dãy, như vậy là ta đã thực hiện 2 công đoạn để hoàn thành công việc, mỗi công đoạn đều đã biết số cách thực hiện

Nếu xem xét về mặt tập hợp, ta gọi (a,b) là cặp số chỉ thứ tự dãy ghế và thứ tự ghế trong dãy thì a∈S1, S1 là tập các số chỉ thứ tự dãy ghế, có 100 phần tử, b∈S2 là tập các số chỉ thứ tự ghế trong một dãy, có 200 phần tử Vậy ta có kết quả như trên

Ta xét một ví dụ khác:

Ví dụ 4: Một căn phòng được trang bị 10 bóng đèn, để phòng sáng cần ít nhất một bóng

đèn phải được bật Hỏi có bao nhiêu cách bật các bóng đèn mà phòng luôn sáng?

Lời giải:

Một trạng thái của các bóng đèn là một bộ ( ,x x x1 2, 3, … ,x10) mà x i là trạng thái của bóng đèn thứ i, x i nhận một trong hai trạng thái: bật, tắt Theo quy tắc nhân, ta có đáp số là 10

2 − 1, vì có đúng một trạng thái tất cả các bóng đèn đều tắt là không thỏa mãn

Đây là 2 quy tắc cơ bản của phép đếm Việc áp dụng các quy tắc cộng khi đã biết rõ đâu là các phương án thực hiện công việc hay tương ứng là đã chỉ rõ cách chia tập A thành các tập con rời nhau, có hợp bằng A ( ta gọi là phân hoạch tập A), cũng như áp dụng quy tắc nhân khi đã chỉ rõ các công đoạn thực hiện công việc hay tương ứng là chỉ

rõ tập S về dạng (*) là điều vô cùng đơn giản, bởi việc còn lại lúc bấy giờ chỉ là hai phép

toán cộng và nhân Như vậy, sự khó khăn khi thực hiện một bài toán đếm dồn hết vào việc chỉ ra cách chia công việc thành các phương án thực hiện riêng biệt ( phân hoạch một tập), hoặc chỉ rõ các công đoạn cần thực hiện một cách khoa học, không trùng lặp, không chồng chéo Cùng với đó là sự kết hợp khéo léo 2 quy tắc cơ bản trên Ta sẽ xem xét một số bài tập sau đây để vừa thấy rõ điều này, vừa theo dõi con đường đi đến một số vấn đề phức tạp hơn

3 Bài tập áp dụng

Bài 1 Một trường học có 2014 cái bàn Họ muốn đánh số tất cả chúng bằng cách dán các

miếng đề can đánh số từ 1 đến 2014 cho mỗi chiếc bàn Biết rằng mỗi chữ số dán đề can tiêu tốn 1000 đồng, tính cả tiền công dán Chẳng hạn, dán xong số cho bàn số 9 chỉ hết

1000 đồng, trong khi với bàn số 100 phải mất 3000 đồng Hỏi họ phải tốn bao nhiêu tiền cho công việc trên?

Lời giải:

Muốn tính toán được số tiền, ta cần đếm được số chữ số phải dùng Có 4 loại cần phải tách riêng

Loại 1: Các bàn sử dụng 1 chữ số Có 9 cái loại này, mất tổng cộng 9 chữ số

Loại 2: Các bàn sử dụng 2 chữ số Có 90 cái loại này, mất tổng cộng 180 chữ số

Loại 3: Các bàn sử dụng 3 chữ số Có 900 cái loại này, mất tổng cộng 2700 chữ số

Loại 4: Các bàn sử dụng 4 chữ số Có 1014 cái loại này, mất tổng cộng 4056 chữ số Như vậy, tổng cộng mất 9+180+2700+4056=6945 chữ số, tức là 6.945.000 đồng

Trong lời giải trên, tập A các số tự nhiên từ 1 đến 2014 được phân hoạch thành 4 tập riêng biệt, dễ đếm vì các phần tử cùng chung tính chất Ta có thể trình bày lời giải gọn hơn một chút như sau ( bản chất không thay đổi)

Gọi x i (1 ≤ ≤i 4) là số lượng số có i chữ số trong tập {1, 2, … , 2014}

Khi đó số chữ số cần dung là S=x1+ 2x2+ 3x3+ 4x4 Mà x1= 9,x2 = 90,x3 = 900,x4 = 1014

nên S=6945 Từ đó thu được đáp số

Cũng có thể hỏi bài toán ngược lại như sau:

Bài 1.1 Một trường học muốn đánh số tất cả các bàn của họ bằng việc dán các tấm đề can

ghi số lên mỗi bàn, bắt đầu từ số 1, mỗi số tiếp theo cộng thêm 1 Biết mỗi chữ số phải dán tiêu tốn hết 1000, sau khi dán xong, họ thấy đã tiêu hết 6.945.000 Hỏi trường học đó

có bao nhiêu cái bàn?

Lời giải:

Ta gọi đường vành đai n n× là tập hợp các ô vuông vòng ngoài như đề bài đề cập

Trong bài toán này, công việc điền số được chia ra làm nhiều công đoạn, mỗi công đoạn ứng với việc điền số vào đường vành đai từ ngoài vào trong Vậy, ta cần biết số các đường vành đai và số cách điền số vào mỗi đường vành đai

Ta có các đường vành đai lần lượt là: 19 19;17 17;15 15, × × × … ,1 1 × , tức là có 10 đường vành đai từ ngoài vào trong Mỗi đường vành đai có 2 cách điền số là 0, 1 Do đó có 10

2 cách điền số vào bảng vuông thỏa mãn đề bài

Bài 3 Có bao nhiêu số chẵn, có 3 chữ số khác nhau?

Lời giải:

Để thành lập một số chẵn, có 3 chữ số khác nhau, ta phải lần lượt chọn từng chữ số và chú ý đến từng điều kiện khi chọn và việc chọn chữ số nào trước cũng là việc quan trọng cần suy tính Gọi abc là số cần tìm Khi đó a,b,c đôi một khác nhau, a =/0 và c là số chẵn, hơn nữa { , , }a b c ⊂{0,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,8, 9}

Chẳng hạn sẽ có lời giải như sau:

Việc lập số được chia làm 3 công đoạn:

1) Chọn a =/0, có 9 cách chọn

2) Mỗi cách chọn a có 9 cách chọn b, khác a

3) Mỗi cách chọn a,b có bao nhiêu cách chọn c?

Đến đây, số cách lựa chọn c không còn giống nhau trong mọi trường hợp chọn a và b

nữa, vì nếu b chẵn chẳng hạn, số cách chọn c sẽ ít hơn so với b lẻ Quy tắc nhân không thể áp dụng trực tiếp được Vì thế nếu chọn con đường này, lời giải sẽ trở nên rất phức

tạp bởi việc phân chia trường hợp tỉ mỉ và thủ công

Vì lẽ đó, ta sẽ chọn b sau cùng Hơn nữa, chọn a trước hay c trước cũng đều vấp phải sự khó chịu tương tự Nếu a trước, a chẵn hay lẻ sẽ chi phối số cách chọn c Nếu chọn c trước, c=0 hay khác 0 chi phối số cách chọn a Đến đây, ta bắt buộc phải phân chia bài toán thành 2 trường hợp, tùy theo việc chọn a hay c trước

Chẳng hạn, ta quyết định chọn c trước, sẽ có lời giải:

Cách 1

Xét 2 trường hợp

1) c =0 Khi đó, mỗi cách chọn c sẽ có 9 cách chọn a ( khác c=0), mỗi cách chọn c, a

sẽ có 8 cách chọn b ( khác a,c), nên có 9.8=72 số loại này

2) c =/0 Khi đó có 4 cách chọn c chẵn, mỗi cách chọn c có 8 cách chọn a (

a=/ a=/ c , mỗi cách chọn c,a có 8 cách chọn b ( khác a, c) nên có 4.8.8=256 số loại này

Vậy tổng cộng có 72+256=328 số thỏa mãn đề bài

Cũng có thể có một lời giải khác như sau, dựa trên sự khó chịu khi số 0 tham gia vào bài toán và không thể đứng đầu

Cách 2

Trước hết, cứ coi số 0 như mọi số bình thường khác và thành lập số Như vậy, khi chọn c,

ta có 5 cách, mỗi cách chọn c có 9 cách chọn a, mỗi cách chọn a và c lại có 8 cách chọn

b Như vậy ta lập được 5.9.8=360 số

Tuy nhiên, trong số đó có một loạt các số không hợp lệ, là số mà 0 đứng đầu Mỗi số như thế, có 4 cách chọn c và 8 cách chọn b, nên có 4.8=32 số

Những số còn lại hợp lệ, có 360-32=328 số

Lời giải thứ 2 trên đây, dựa vào một nguyên lý có tên gọi: nguyên lý bù trừ, với trường hợp này, nó là hệ quả trực tiếp của quy tắc cộng Thật vậy:

Gọi A là tập các số dạng abc thỏa mãn đề bài, khác một điều là a có thể bằng 0

Gọi B là tập các số trong A mà a=0

Gọi C là tập các số cần tìm Rõ ràng A=B∪C nên |A| | = B| + |C| Vậy |C| | = A| − |B|, nhờ đó ta được cách giải trên

• Không có chữ số 1 nào

Rõ ràng việc đếm trường hợp sau cùng này và số số có 5 chữ số dạng abcba tùy ý là đủ

để giải quyết bài toán, nghĩa là ta chỉ cần làm 2 bài toán nhỏ, trong khi nếu phân tích theo hướng trên thì ta cần làm 4 bài toán Vì vậy, ta có lời giải sau:

Gọi A là tập các số dạng abcba tùy ý và B là tập các số dạng abcba không chứa chữ số 1,

Lời giải:

Cách 1 Chọn dãy d d d d4 5 6 7 rồi chọn d d d1 2 3 tương ứng sau đó

Có 2 trường hợp xảy ra:

Gọi A là tập dãy dễ nhớ mà d d d1 2 3=d d d4 5 6 và B là tập dãy dễ nhớ mà d d d1 2 3 =d d d5 6 7 Khi đó, số dãy dễ nhớ là số phần tử của tập A∪B Gọi C =A∩B thì tập A∪B được chia thành 3 tập rời nhau: A∖C, B∖C và C nên

Ta sẽ chứng minh định lý này bằng phương pháp quy nạp

Với n=2 Đẳng thức trên đã được chứng minh ở phần trên

Giả sử đẳng thức trên đúng với họ n-1 tập Khi đó

Bài 6 Có bao nhiêu số nguyên dương không vượt quá 1000 , là bội của 3 hoặc 5?

Lời giải:

Gọi A là tập các số không vượt quá 1000, là bội của 3 và B là tập các số không vượt quá

1000, là bội của 5 Khi đó nếu X = A∪B thì |X| là đáp số cần tìm

Đánh dấu các ô vuông trên bảng vuông 3 3× như sau

Gọi A i (i=1,2,4,5) là tập các bảng vuông 3 3× chứa bảng màu đỏ 2 2 × mà ô i là ô trên cùng bên trái và A là tập các bảng vuông 3 3× thỏa mãn đề bài Khi đó

A=A ∪A ∪A ∪A nên số phần tử của A là

1

9 8 7

6 5 4

3 2

Bài 8 Có bao nhiêu tập con k phần tử của một tập hợp n phần tử?

Tuy nhiên, thực chất các kết quả này đã tính đến thứ tự của các phần tử lấy ra, trong khi một tập con k phần tử lại không quan tâm đến thứ tự ấy Vì thế, mỗi tập con k phần tử đã

bị tính lặp nhiều lần

Do đó, ta xem xét mỗi cách lấy ra k phần tử, sẽ tạo ra bao nhiêu kết quả như trên, tức là đếm số lần lặp đó Giả sử ta lấy k phần tử của tập con chọn được, cho vào k ô vuông như trên, với lập luận tương tự trên, ta có k k( − 1) … 2.1 =k! kết quả Vậy mỗi tập con đã bị tính lặp ở trên k! lần

Có thể hiểu lời giải trên dựa trên quy tắc nhân như sau:

Xét công việc: Lấy ra k phần tử từ n phần tử bỏ vào k ô vuông đánh số từ 1 đến k Theo lập luận trên, có n n( − 1)(n− 2) … (n k− + 1) cách thực hiện công việc

Mặt khác, chia công việc thành 2 công đoạn

đó

Vậy ta đã chứng minh xong định lý sau:

Định lý: Cho n là số nguyên dương, k là số nguyên thỏa mãn 1 k≤ ≤n Khi đó:

i) Số tổ hợp chập k của n phần tử là !

k n

n C

n A

Trong các bài toán tiếp theo, việc phân chia các trường hợp, các công đoạn để sử dụng được các quy tắc cơ bản cần sự phân tích cẩn thận hơn

Các đỉnh đỏ và đỉnh xanh sẽ tạo thành các đoạn liên tiếp trên đường tròn (mỗi đoạn gồm

ít nhất 1 đỉnh) Giả sử có k đoạn đỏ, khi đó sẽ có k đoạn xanh Ta kí hiệu độ dài các đoạn

theo chiều kim đồng hồ lần lượt là d x d x1, ,1 2, 2, … ,d x k, k trong đó d i là độ dài các đoạn đỏ và

đó, tât cả các giá trị có thể của cặp ( , )A B là (19 −k, 24 −k) trong đó k =1, 2, , 24

Có thể thấy bài toán trên chỉ sử dụng quy tắc cộng, nhưng vấn đề quan trọng nằm

ở chỗ phân chia các điểm thành từng đoạn xanh đỏ, để thấy rõ các trường hợp cần tính

Bài 10 Có bao nhiêu số là ước của 2014

10 , nhưng là bội của 1983

Theo quy tắc nhân ta có: 32.32=1024 cặp

Vậy có 1024 số thỏa mãn đề bài

Với lập luận tương tự, ta có định lý:

Định lý: Cho số tự nhiên n được phân tích về dạng 1 2

p p …p với p i là các ước nguyên

tố phân biệt của n và k i nguyên dương ( 1 ≤ ≤i m) Khi đó, số ước nguyên dương của n là: (k1+ 1)(k2 + 1) … (k m+ 1)

Bài 11 Có một bảng vuông 7 7× Tô 2 ô vuông của bảng màu vàng Các ô còn lại tô màu xanh Ta nói hai cách tô màu là tương đương nếu thu được cách này từ cách kia nhờ phép quay trong mặt phẳng Có bao nhiêu cách tô màu không tương đương?

Lời giải:

Có 49 ô vuông nên có 2

49

C cách tô màu vàng 2 ô vuông

Gọi x là số cách tô màu mà 2 ô vuông màu vàng đối xứng nhau qua tâm hình vuông Từ một cách tô như thế, khi thực hiện các phép quay 0

49

2x+ 4y=C

Mặt khác có 24 cặp ô đối xứng nhau qua tâm nên 2x=24 hay x=12

Số cách tô màu không tương đương là

Bài 12 Có bao nhiêu cách sắp xếp các số 21, 31,41,51,61,71, 81 sao cho tổng của 4 số

liên tiếp bất kỳ đều chia hết cho 3

Lời giải:

Giả sử một cách sắp xếp thỏa mãn là a a, , … ,a thỏa mãn

Khi đó do a1+a2+a3+a4 ≡a4+a5+a6+a7 ≡ 0(mod 3) nên

Vậy, kết quả bài toán là: 3.8.3!=144 cách

Bài 13 Cho tập S có 6 phần tử Có bao nhiêu cách chọn 2 tập con không nhất thiết phân

biệt của S sao cho hợp hai tập con đó bằng S Không kể đến thứ tự các tập con đó

− + = cách

Bài 14 Cho một bảng gồm 10 hàng cách đều nhau 1 cm, mỗi hàng có 10 điểm cách đều

nhau 1 cm Có bao nhiêu hình vuông được tạo thành có 4 đỉnh là các điểm của bảng

Lời giải:

Ta xét bảng n n× , cho n=10, ta được kết quả cần tìm

Xét các hình vuông nội tiếp trong một hình vuông k.k ( mỗi cạnh có k+1 điểm)

Các hình vuông tạo thành có cạnh 2 2

a= i + k−i với I thay đổi từ 0 đến k-1

Suy ra có k hình vuông như vậy

( Có thể chỉ ra với mỗi điểm trên cạnh hình vuông k.k có đúng một hình vuông tương ứng)

và cho n=10, ta được đáp số là 825 hình vuông

Bài 15 Cho n đoạn thẳng có độ dài lần lượt là 1,2,…, n Có bao nhiêu tam giác không

bằng nhau tạo thành từ 3 trong số n đoạn đó

• Nếu x≤m, ta chỉ cần chọn y sao cho y>2m-x Khi đó x+y> 2m≤ 2x

Vậy với 1≤x≤m, có x-1 giá trị y ( từ k-x+1 đến k-1), nên có tổng cộng:

=∑ − tam giác như vậy

• Nếu x>m, x+y>2x>2m nên chỉ cần chọn y sao cho y>x Như vậy có 2m-x-1 giá trị

y ( từ x+1 đến 2m-1)

Vậy tổng cộng có

2 1 2

• Nếu 1≤x≤m, ta chỉ cần y>2m+1-x>x nên có x-1 giá trị y

+) Xét n chẵn, n=2m Khi đó P P1 m+1 là đường kính của đường tròn ngoại tiếp đa giác Khi

đó, các tam giác tù đỉnh P1 ( ∠P1 nhọn) là số cặp 2 điểm thuộc cùng một nửa đường tròn đường kính P P1 m+1 Có 2

1

2C m− tam giác như thế