b/ Xác định tất cả các giá trị của n sao cho xn là số nguyên.. Bài 4 6 điểm Trong mặt phẳng cho một đường tròn C, giả sử tâm của nó chưa được đánh dấu.. A là một điểm trong mặt phẳng..
Trang 1SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI BẬC PTTH THỪA THIÊN HUẾ NĂM HỌC 1998-1999.
-
ĐỀ CHÍNH THỨC MÔN: TOÁN BẢNG A VÒNG 2 SBD: (180 phút, không kể thời gian giao đề)
-Bài 1 ( 3 điểm)
Tìm các đường tiệm cận của đồ thị hàm số:
y = (1 a )+ x x1, (a > 0).
Bài 2 ( 5 điểm)
Định dạng của tam giác ABC, biết rằng:
osA osB
sinB sinA
= và os A6 os B6
p
Bài 3 ( 6 điểm)
Cho dãy số (xn) Biết x1 = x2 = 1 và xn + 2 = xn + 1 + 1, n N" � *
a/ Tìm số hạng tổng quát xn ( n N*)
b/ Xác định tất cả các giá trị của n sao cho xn là số nguyên
Bài 4 (6 điểm)
Trong mặt phẳng cho một đường tròn (C), giả sử tâm của nó chưa được đánh dấu A là một điểm trong mặt phẳng Chỉ dùng thước thẳng hãy dựng qua A tiếp tuyến của đường tròn (C) ( Thước thẳng là dụng cụ để vẽ đường thẳng)
-SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ BIỂU ĐIỂM
Trang 2THỪA THIÍN HUẾ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TỈNH NĂM HỌC 1998-1999 MÔN: TOÂN BẢNG A VÒNG 2
-Bài 1 (3điểm)
+ Tìm tiệm cận đứng:
Tập xác định: R\{0}
x 0+ thì 1
x� +� và ax 1
Do đó : x x1
x 0lim(1 a )+
� + = +� nên x = 0 là đường tiệm cận đứng
a/+ Xét trường hợp: 0 < a 1
+ x (0; + ): 0 < 1 + ax 2
Do đó: 0 < (1 + a ) x x1 � ( vì 2 1x> ) nên: 0 x x1
x +
1 lim (1 + a )
1 x
xlim 2 1
Do đó: x x1
x 0lim(1 a )+ 1
� + = nên y = 1 là đường tiệm cận ngang nhánh phải
+ x (- ; 0):
x
1
0 < 1 +
���
��
�
Do đó:
1
x x
1
1 > 1 +
a
1 x
2
� ����
�
� ������� �
x< ) nên
1
x x
-1
a
1 x
� ����
�
� �� �������� � =
Do đó:
x
x
-1 lim 1 + =1
a
� �
� ����
�
� �������
Suy ra
x
x
-1 lim 1 + = a
a
1
x x
� ����
�
+ = �� �������� Vậy y = a là tiệm cận ngang nhánh trái
b/+ Xét trường hợp a > 1
+ x (- ; 0) : 0 < 1 + ax < 2
Do đó: 1> (1 + a )x x1
1 x
2
> ( vì 1x< ) nên: 0 x x1
x
1 lim (1 + a )
1 x
xlim 2 1
Do đó: x x1
xlim(1 a ) 1
�- � + = nên y = 1 là đường tiệm cận ngang nhánh trái
+ x (0; + ):
x
1
1 < 1 +
���
� <�
��
�
(1 đ)
(1 đ)
(1 đ)
Trang 3Do đó:
1
x x
1
1 < 1 + <
a
1 x
2
� ����
�
� �������
x> ) nên
1
x x
1
a
1 x
� ����
�
� �� �������� � =
Do đó:
1
x x x
1 lim 1 + =1
a
�+�
� ����
�
� �������
1
x x x
1 lim 1 + = a
a
1
x x
� ����
�
+ = �� �������� Vậy y = a là đường tiệm ngang nhánh phải
Bài 2 ( 5 điểm)
+ cosA cosB 2 sin2A sin2B 4sinAsinB
sin(A+B)cos(A- B)=cos(A- B) cos(A- +B)�cos(A- B) sinC 1[ - ]=cosC
cos(A B)
1 cos (A B)
-j =
1
1 cos (A B)
j =
(1) trở thành: sin(C - ) = cos cos = cos( C
2
p+ j
-)
(3)
, k Z
(4)
2
2
p
� = + p
�
�
�
= + j � < j <
1 cos (A B)
Vậy tam giác ABC vuông
+ Mặt khác:
� � � �� �
+ =��� ��� �+� �� �� với
3 3
a cos A
b cos B
� =
�
�
� =
Mà A B cos A6 cos B6 ( )A 2 ( )B 2 a 2 b 2
+ = � ��� + ����=�� + ������ ���+��� ����
(5)
Suy ra:
2
cos A cos B 2(a b)
Sử dụng bổ đề: (a + b)2 1
cos A cos B 1
cos A cos B 1
A + B =p nên (7) xảy ra đẳng thức tức là : Đẳng thức xảy
(2.5 đ)
(1 đ)
Trang 4ra tại (5) và (6) tức là:
cos A cos B
2
�
�
�
�
Suy ra tam giác ABC cân đỉnh C Thử lại ta thấy đúng với giả thiết Vậy ABC là tam giác vuông cân đỉnh C
+ Chứng minh bổ đề:
Cos3 A + cos3B = ( cosA + cosB)(cos2A+cos2B - cosAcosB)
= 2cosA BcosA B 1 1[cos(A B) cos(A B)]
Vì A + =B 2p nên cos A3 cos B3 2cosA B 3 cos2A B
2x( x )
2- với
x cos
2
Ta được y 2
2
2
2
Bài3 ( 6 điểm)
xn+2 = xn+1 + x2n , nN*
với x1 = x2 = 1; Do đó nếu đặt x0 = 0 ta được: xn+2 = xn+1 + x2n , nN (hoặc không cần đặt như trên và chứng minh trực tiếp)
Câu a ( 2điểm)
Từ đẳng thức: xn+2 = xn+1 + x2n xn+2 - xn+1 - x2n = 0
Có phương trình đặc trưng là: x2 - x - 1 0 x 1 3 hay x 1 3
Suy ra
n
+ b
n n
= ��� �� ��� ��
Với x0 = 0, x1 = 1 ta được:
1
� + =
�
�
� Vậy công thức tổng quát:
n
x
��+ � �� - ���
= ���� ��- ��� ���
Câu b (4 điểm)
, n N
1 x
(1 đ)
Trang 5Và ( ) ( )
, n N
1 x
+ Xét x2n+1 (nN)
Gọi bn 1 (1 3) 2( 3)n (1 3) 2( 3)n , n N
Ta có: b0 = 2, b1 = 6 và bn+1 = 4bn - bn-1 nên bn+1 - bn-1 bn-1 2 ( mod 4) Suy ra bn chia hết 2 và không chia hết 4 ( nN)
2n 1 n 1
b
2
+
Vậy chỉ có x1 Z
+ Xét x2n (nN)
n
1
Ta có: a0 = 0, a1 = 2 và an+1 = 4an - an-1 nên an an-1 ( mod 4)
Do: a1 = 2 nên a2k+1 chia hết 2 và không chia hết 4
Xét f(n) N sao cho an chia hết 2f(n) và không chia hết 2f(n)+1
Suy ra: Nếu n số lẽ thì f(n) = 1
Ta có: 2n 1 ( )2n ( )2n = an ( )n ( )n
3
Lại đặt Cn = ( )n ( )n
2+ 3 + -2 3 ta có C0 = 2, C1 = 4 và Cn = 4Cn-1 2 C n-2,
n = 2, 3, 4,
Suy ra n
n
C 2(mod 4)
C 4(mod 8)
�
�
� Mà a2n = an.Cn
Do đó: f(2n) = f (n) 1
f (n) 2
�
� Giả sử: n = 2h.s ( s là số tự nhiện lẻ, h N)
Thì f(n) = f(2h.s ) = f(2h - 1.s) + 1 = f(2h - 2.s) + 2 = = f(2s) + h -1 = h + 2
a
2
��۳� ��� � M Vậy: h = 2 n = 4 x8 = 7
h = 1 n = 2 x4 = 2
h = 0 n = 1 x2 = 1
+ Kết luận: các số x1, x2, x4, x8 là các số nguyên
Bài 4 ( 6 điểm)
+ Bổ đề 1:
Từ một điể M ngoài đường tròn (C) tâm O bán kính R vẽ hai tiếp tuyến MA, MB Hai cát tuyến đi qua M cắt đường tròn PQ, RS, thì giao điểm hai đường thẳng SP và QR thuộc đường thẳng AB
nếu n chẵn (vì C0
= 2) nếu n chẵn (vì C1
= 4) nếu n chẵn nếu n chẵn
_K
_Y
(1.5 đ)
(0.5 đ)
(2 đ)
(1.5 đ)
Trang 6
OX.OY OK.OXuuur uuur uuur uuur (QPIM) (SRJM) 1
Bổ đề 2: X là một điểm cho trước, tập hợp tất cả các điểm Y sao cho OX.OY Ruuur uuur 2 là đường thẳng dx vuông góc với Ox X, X’, X” thẳng hàng và O không thuộc XX’ thì dx, dx’, dx” đồng quy
Trở lại bài toán:
a/ Nếu A không thuộc đường tròn thì sử dụng bổ đề 1
b/ Nếu A thuộc đường tròn Chọn B, C sao cho A, B, C thẳng hàng và B, C ở ngoài đường tròn Dùng bổ đề 1 và 2 dựng tiếp tuyến
BE, BF và CG, CH, EF và GH cắt nhau tại T thì AT là tiếp tuyến cần dựng
_ I
_M
_ A
_B
_Q
_ S
_P
(1.5 đ)
(1.5 đ)
(1.5 đ)